hàm lagrange cho một số hệ vật lý

Để biết được trạng thái của hệ cần phải xác định được hàm Lagrange đối với hệ đó, vì mọi tính chất vật lí của cơ hệ đều bao hàm trong hàm Lagrange.. Khi nghiên cứu các hệ vật lý khác nha

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành đề tài này, ngoài sự nỗ lực của bản thân em đã nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo hết sức tận tình của cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thị Hà Loan Bên cạnh đó em cũng nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết

Qua đây em đã bước đầu được làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con đường công tác sau này

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Thị Hằng

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan tÊt c¶ nh÷ng néi dung nghiªn cøu vµ tr×nh bµy trong kho¸ luËn nµy lµ cña riªng t«i

Néi dung nghiªn cøu nµy ch­a tõng ®­îc c«ng bè trong bÊt k× kho¸ luËn nµo

Sinh viªn

NguyÔn ThÞ H»ng

Mục Lục

Trang

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Phần một: Mở đầu 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Đối tượng nghiên cứu 4

3 Phạm vi nghiên cứu 4

4 Mục đích nghiên cứu 5

5 Phương pháp nghiên cứu 5

6 Cấu trúc của khoá luận 5

Phần hai: Nội dung 6

Chương 1: Khái niệm chung về hàm Lagrange 6

1 Định nghĩa hàm Lagrange 6

2 Một số tính chất của hàm Lagrange 10

Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm của lý thuyết trường lượng tử13 1 Hàm Lagrange trong lý thuyết trường 13

2 Dạng của Lagrangian trong một số trường 15

Chương 3: Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý 22

1 Sơ lược về vật lý hạt cơ bản 22

2 Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý 22

Phần ba: Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Phần một: mở đầu

1 lý do chọn đề tài

Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên nghiên cứu tính chất và cấu tạo của các chất và những định luật của sự vận động của vật chất

Để giải được một bài toán vật lý đối với một hệ vật lý cụ thể đòi hỏi chúng ta phải xác định được trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kì Để biết được trạng thái của hệ cần phải xác định được hàm Lagrange đối với hệ đó, vì mọi tính chất vật lí của cơ hệ đều bao hàm trong hàm Lagrange Như vậy đối với một hệ cụ thể nếu ta tìm được hàm Lagrange của hệ đó thì ta có thể xác định được các đại lượng động lực của hệ từ đó ta xác định đựơc trạng thái của hệ đó, và đó chính là chìa khoá để

ta giải được các bài toán vật lý Do đó, việc xác định dạng của hàm Lagrange là một bước đầu tiên rất quan trọng trong việc giải một bài toán vật lý Khi nghiên cứu các

hệ vật lý khác nhau ta thấy dạng của hàm Lagrange tương ứng với các hệ đó cũng khác nhau

Như vậy vấn đề xây dựng dạng của hàm Lagrange đối với các hệ vật lý cụ thể

là một vấn đề có tính chất quan trọng và có ý nghĩa to lớn Vì lý do đó nên em chọn

đề tài: “Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý”

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là dạng của hàm Lagrange trong một số trường khác nhau và các hàm Lagrange đối với một số hệ vật lý

3 Phạm vi nghiên cứu

Với đề tài này, phạm vi nghiên cứu là:

- Tìm hiểu chung về hàm Lagrange

- Dạng của hàm Lagrange đối vơi các trường khác nhau

- Xác định hàm Lagrange cho một số hệ vật lý

4 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là từ việc tìm hiểu về hàm Lagrange ta xác định hàm Lagrange cho một số hệ vật lý

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tra cứu tài liệu

- Phương pháp giải tích toán học

- Các phương pháp khác của vật lý lý thuyết

6 Cấu trúc của khoá luận

Đề tài nghiên cứu gồm 3 chương:

Chương 1: Khái niệm chung về hàm Lagrange

Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm của lý thuyết trường lượng tử Chương 3: Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý

Phần hai: Nội dung

Chương 1: khái niệm chung về hàm Lagrange

Vì tại thời điểm t, vị trí của cơ hệ được xác định bởi 3N toạ độ Descarter

1.2 Phương trình Lagrange loại hai

Vị trí của cơ hệ đựơc xác định bởi một tập hợp s toạ độ suy rộng q1, q2, , qs Xuất phát từ phương trình tổng quát của động lực học:

Trước hết ta biểu diễn dịch chuyển ảo ri

(i = 1, 2, , N) qua biến thiên của toạ độ suy rộng Giả sử có toạ độ suy rộng qq t( , ) trong đó t là biến số thời gian,  là thông số Khi =0 thì q(t,0) = q(t) xác định vị trí thực của cơ hệ trong không gian Khi   thì toạ độ suy rộng q = q(t, 0  ) xác định vị trí có thể có của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó Ta có:

Công nguyên tố của lực chủ động đối với mọi di chuyển ảo bằng:





   (1.11) Vì biến thiên qklà tuỳ ý và khác không cho nên đẳng thức (1.5) chỉ thoả mãn khi tất cả các hệ số của qktrong phương trình (1.5) bằng không

đó là trong phương trình đó không chứa phản lực liên kết  N (Ni i m wi i F )i

Phương trình Lagrange loại hai là phương trình vi phân hạng hai đối với toạ độ suy rộng

Nếu lực chủ động F (i 1, 2, , N)i 

tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa thế năng tương tác của hệ U(r , r , , r ) 1 2 N

Vậy trong trường lực thế, hàm Lagrange được xác đinh bằng hiệu của động năng T và thế năng U của cơ hệ

Vì trong biểu thức của động năng:

L = T - U là hàm của toạ độ suy rộng, vận tốc suy rộng và thời gian t:

LL(q ,q , t)k k

2 Một số tính chất của hàm Lagrange

2.1 Vi phân toàn phần của hàm Lagrange

Như trên đã nói hàm Lagrange là hàm của toạ độ suy rộng, vận tốc suy rộng và thời gian t: LL(q ,q , t)k k

Như vậy vi phân toàn phần của hàm Lagrange sẽ là:

2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu

Ta biết rằng mọi tính chất vật lý của cơ hệ đều bao hàm trong hàm Lagrange

Nội dung nguyên lý: “Chuyển động thực của cơ hệ giữa hai vị trí ứng với các

thời điểm t 1 và t 2 (khoảng thời gian t 2 - t 1 khá nhỏ) được diễn tả bởi những hàm

q k = q k (t) mà tác dụng S có giá trị cực tiểu

Trong vật lý ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề Từ nguyên lý này ta có thể rút ra phương trình Lagrange loại hai và phương trình Haminton

Nguyên lý tác dụng tối thiểu được áp dụng không những trong cơ học cổ điển

mà cả trong cơ học tương đối và vật lý lượng tử, không những trong cơ học mà cả trong điện từ học Khi đó do những đòi hỏi vật lý đối với những hệ khác nhau mà

dạng hàm Lagrange sẽ khác nhau Trong phạm vi cơ học cổ điển, nguyên lý tác dụng tối thiểu có thể được suy ra từ phương trình tổng quát của động lực học

2.3 Tính bất định của hàm Lagrange

Thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề thì ta cần phải tìm dạng hàm Lagrange của hệ Thường dùng nguyên lý tương đối, tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối với hệ cụ thể để tìm hàm L Ta sẽ chỉ ra rằng hàm Lagrange được xác định trong phương trình: S (điều kiện cần của 0nguyên lý tác dụng tối thiểu) là không đơn giá Thật vậy, giả sử có hai hàm Lagrange: L (q ,q , t) k k và L(q ,q , t)k k liên hệ với nhau bằng hệ thức:

Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm của lý thuyết

đạo hàm bậc nhất của chúng theo các toạ độ không - thời gian:

L = L ( , )

ở đây các thành phần của hàm trường  đóng vai trò như toạ độ suy rộng của

hệ, của trường, cũng như các vận tốc suy rộng của nó

Ta đinh nghĩa tác dụng S là tích phân của hàm L theo thể tích bốn chiều bất biến:

S d x4 L ( , )

Với : d x4 dx dx dx dx0 1 2 3

1.2 Một số tính chất của Lagrangian

- Lagrangian của trường phải là hàm thực (các hàm trương nói chung có thể

là hàm phức) Đòi hỏi này được suy ra từ sự tương tự hình thức giữa lí thuyết trường

và cơ học cổ điển, và có liên quan tới đặc trưng động lực học cơ bản của trường một cách tuyến tính được biểu diễn qua Lagrangian Các đặc trưng này được đo trực tiếp trên thực nghiệm, mà chúng là các số thực

- Sự tuyến tính của lý thuyết trường dẫn đến sự tuyến tính của phương trình trường Vì vậy Lagrangian của trường phải được chọn dưới dạng tổ hợp tuyến tính nào đó của các số hạng, các hàm trường và đạo hàm của chúng

- Lagrangian không chứa đạo hàm bậc hai hoặc cao hơn của các toán tử trường Do vậy phương trình chuyển động của các trường không cao hơn phương trình vi phân bậc hai

- Lagrangian xác đinh chính xác đến div 4 chiều:

Từ (2.3) và (2.4) ta phát biểu định lý Noether’s như sau:

“Một phép biên đổi liên tục với số hữu hạn các tham số  sẽ cho ta một dòng xác i

định Dòng này sẽ bảo toàn nếu tác dụng không thay đổi

2 Dạng của Lagrangian trong một số trường

2.1 Trường vô hướng thực

Để mô tả hạt vô hướng trung hoà (không mang điện) với khối lượng m có 1 thành phần ta dùng hàm thực ( ) x Lagrangian tự do của nó như sau:

14! trong Lagrangian tương tác Lint Phương trình Euler - Lagrange cho trường hợp tự do: (    m ) (x)2  0

ở đây 4 thay cho 4! Phương trình chuyển động:

Trong đó  là các ma trận Dirac tuân theo hệ thức          2g

Người ta đưa thêm vào ma trận 5 có các tính chất sau:

  biến đổi như đại lượng giả vector

Chính vì điều này mà trong Lagrangian L ta phải chèn 5 vào giữa khi xây dựng tương tác với hạt giả vô hướng  - meson

2.4 Trường Spinor không khối lượng

1(1 ) P2

Trong trường hợp này, Lagrangian có dạng:

L0D= i (x)     (x)

bất biến dưới phép biến đổi:    5

2.5 Trường vector có khối lượng

Trường vector với khối lượng m có 3 trạng thái vật lý được mô tả bởi đối tượng

V (x) có 4 bậc tự do (thành phần) Do vậy người ta phải đặt thêm điều kiện ràng buộc để làm mất đi một bậc tự do Để yêu cầu trên được thoả mãn thì Lagrangian tự

Trường vector vừa khảo sát là trường vector trung hoà

Đối với trường vector mang điện, Lagrangian tự do được nhân đôi:





 Không cho ta hàm truyền của trường vector không khối lượng

Đây là hệ quả của sự việc sau: Trường vector không khối lượng chỉ có thể là trường chuẩn

Thật vậy, phương trình Euler - Lagrange có dạng:

( Lagrangian tương tác chứa số hạng từ bậc 3 trở lên theo toán tử trường)

Chương 3: hàm Lagrange cho một số hệ vật lý

1 Sơ lược về vật lý hạt cơ bản

Vật lý hạt cơ bản nghiên cứu tính chất của các hạt cơ bản và phản hạt của chúng, nghiên cứu sự tương tác và quá trình biến đổi giữa các hạt cơ bản, nghiên cứu mối liên hệ giữa các hạt cơ bản với các trường lực

Các hạt cơ bản đầu tiên tìm thấy vào năm 1932 Ngày nay người ta đã biết đến hơn 200 loại hạt cơ bản và con số đó đang tiếp tục tăng lên

Trước đây người ta quan niệm rằng các hạt cơ bản là nhỏ nhất không phân chia

được Ngày nay người ta thấy rằng các hạt cơ bản chưa phải đã nhỏ nhất, các hạt cơ bản có cấu trúc từ những hạt quark, viên gạch đầu tiên xây dựng nên thế giới vật chất Khi nghiên cứu về các hạt cơ bản, một vấn đề quan trọng là nghiên cứu về sự tương tác giữa chúng

Các loại hạt cơ bản tuân theo một hoặc nhiêù tương tác sau:

- Hệ tuân theo tương tác mạnh

- Hệ tuân theo tương tác yếu

- Hệ tuân theo tương tác điện từ

2 Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý

2.1 Hàm Lagrange cho hệ tuân theo tương tác mạnh

2.1.1 Khái niệm tương tác mạnh

Tương tác mạnh là tương tác gần, đại lượng đặc trưng cho tương tác mạnh là lực hạt nhân, nó không phụ thuộc vào điện tích mà chỉ phụ thuộc vào định hướng của các hạt tham gia tương tác Bán kính tác dụng của tương tác mạnh vào cỡ 10-13

cm Tham gia tương tác mạnh là các hạt trung bình và nặng (ví dụ: Các hadron) Hằng số tương tác mạnh: g   s 1 10

Đối với tương tác mạnh do hằng số tương tác lớn nên không thể áp dụng lí thuyết nhiễu loạn Người ta sử dụng một phương pháp nghiên cứu khác rất có hiệu quả đó là dùng lí thuyết các nhóm đối xứng SU(n) Đối xứng SU(2) là một trường hợp riêng của đối xứng SU(n)

2.1.2 Tính bất biến của Lagrangian dưới phép biến đổi của nhóm đối xứng SU(2)

- Định nghĩa nhóm SU(2): Nhóm SU(2) là tập hợp các ma trận 2 2 có định thức bằng đơn vị

Với  g SU(2) ta luôn có: g.g+ = g+.g = I (3.1)

detg = 1

- Nhóm biến đổi SU(2):

Giả sử có một nhóm gồm các phép biến đổi:

Do đó đối xứng SU(2) có nghĩa là L(x) không thay đổi dưới phép biến đổi này

L(x)L (x)' U()L(x)U( )1 L(x)

Do SU(2) không tác dụng lên biến số không gian nên điều kiện này phù hợp với việc tác dụng: SL(x)d x4 bất biến đối với phép biến đổi SU(2)

Từ (3.1) I , L(x)a  0

Xét tương tác giữa Nuclon (p, n) với  - meson của Yukawa

Khi chưa xét yêu cầu bất biến đối với SU(2), người ta viết Lagrangian tương tác Yukawa cho:

 =1:1: 1 : 1

2  2

Hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm

Biểu diễn: Lagrangian bất biến đối với SU(2)

Trong

2

:2

2.2 Hàm Larange cho hệ tuân theo tương tác yếu

2.2.1 Khái niệm tương tác yếu

Tương tác yếu là loại tương tác gắn liền với quá trình phân rã của các hạt cơ bản không bền vững và các quá trình phóng xạ hạt nhân

Tương tác yếu vi phạm tính đối xứng không gian và đối xứng gương Tham gia tương tác yếu chủ yếu là các hạt nhẹ (lepton), và có cả hadron

Các quá trình tương tác yếu chia làm hai loại:

+ Quá trình lepton thuần tuý

+ Quá trình có hadron tham gia

2.2.2 Lý thuyết tương tác yếu vạn năng V - A

Tương tác yếu gây nên sự rã của các hạt cơ bản cũng như một số quá trình xảy

ra khi va chạm các hạt So với tương tác mạnh tiết diện tán xạ cho các quá trình do tương tác yếu gây nên nhỏ hơn nhiều, tuy nhiên khoảng thời gian sống của các quá trình rã lại lại lâu hơn và vì vậy mà các quá trình gây nên bởi tương tác yếu gọi là các quá trình chậm

Mặc dù các hiện tượng thực nghiệm về tương tác yếu (ví dụ : Sự phân rã )

được phát hiện rất sớm vào cuối thế kỉ trước nhưng mãi đến năm 1934 Fermi mới xây dựng được lí thuyết đầu tiên về tương tác yếu xuất phát từ sự tương tự với điện

động lực học lượng tử Nơtrinô (phản nơtrinô) xuất hiện trong quá trình phân rã 

không chứa bên trong hạt nhân hoặc nơtron và được tạo ra trong quá trình phân rã

Điều đó tương tự sự phát xạ photon không chứa trong nguyên tử mà xuất hiện trong quá trình bức xạ Trên cơ sở đó quá trình phân rã :

n pe e

Có thể được mô tả tương tự quá trình bức xạ trong điện động học lượng tử Quá trình bức xạ được mô tả nhờ dòng sinh ra bởi các hạt tích điện Vì vậy một cách tự nhiên có thể mô tả sự phân rã  đồng thời các quá trình yếu khác bằng cách đưa ra khái niệm dòng của các hạt

Mặc dù lí thuyết của Fermi chưa phù hợp nhưng ý tưởng dùng các dòng để xây dựng Hamiltomian tương tác để mô tả các quá trình yếu về sau đã được chứng tỏ

đúng đắn

Thực nghiệm đã xác nhận rằng trong tương tác yếu các định luật bảo toàn tính chẵn lẻ, tính bất biến đối vơi phép liên hợp địên tích là bị vi phạm Do đó cần phải thiết lập những dòng sao cho điều đó được thể hiện

Từ các hàm sóng của các hạt lepton và các nơtrinô có thể xây dựng được năm loại dòng:

Trong lí thuyết này Hamiltonian tương tác có dạng:

Với mỗi loại dòng ta có một dạng tương ứng của Lagrangian

Tính vạn năng của lí thuyết này thể hiện ở chỗ tất cả các quá trình yếu đều

được mô tả bởi Hamiltonian với một hằng số duy nhất Lý thuyết tương tác yếu vạn năng V - A hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm (ở mức năng lượng thấp) Điều này

được chứng tỏ khi sử dụng lí thuyết để nghiên cứu các quá trình rã

2.3 Hàm Lagrange cho hệ tuân theo tương tác điện từ

Tương tác điện từ bao gồm tương tác giữa các thành phần của hạt mang điện, tương tác ma sát, tương tác đàn hồi, hoạt động cơ bắp, tương tác điện từ của ánh

sáng Tương tác điện từ có hằng số tương tác: 1

137

  , bán kính tác dụng không bị giới hạn Ngoài các hạt mang điện tích, tương tác điện từ còn chi phối cả photon và các hạt trung hoà có momen từ (ví dụ: notron)

Trong tương tác điện từ sẽ tồn tại “con thoi” truyền tải tương tác điện tà la photon Tương tác điện từ còn biểu hiện ở các quá trình sinh, huỷ hạt

Lý thuyết lượng tử có thể được áp dụng một cách triệt để để nghiên cứu tương tác điện từ giữa hai hạt (e, )

Gọi ( )x là toán tử trường của electron, A (x) là toán tử trường của photon Lagrangian của hệ bằng Lagrangian tự do cộng với Lagrangian tương tác với trường

điện từ Vậy để xác định Lagrangian của hệ ta phải biết dạng của Lagrangian tương tác

Ta có Lagrangian tương tác: Lint = e (x)   (x)A (x)