hàm lagrange cho một số hệ vật lý

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Lời cảm ơn Trong suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành đề tài này, nỗ lực thân em nhận giúp đỡ, bảo tận tình cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Hà Loan Bên cạnh em nhận góp ý chân thành thầy cô giáo tổ vật lý lý thuyết Qua em bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Chắc chắn điều bổ ích cho em đường công tác sau Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hằng -1- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Lời cam đoan Tôi xin cam đoan tất nội dung nghiên cứu trình bày khoá luận riêng Nội dung nghiên cứu chưa công bố khoá luận Sinh viên Nguyễn Thị Hằng -2- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Mục Lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Phần một: Mở đầu Lý chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu 4 Mục đích nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận Phần hai: Nội dung Chương 1: Khái niệm chung hàm Lagrange Định nghĩa hàm Lagrange Một số tính chất hàm Lagrange 10 Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm lý thuyết trường lượng tử13 Hàm Lagrange lý thuyết trường 13 Dạng Lagrangian số trường 15 Chương 3: Hàm Lagrange cho số hệ vật lý 22 Sơ lược vật lý hạt 22 Hàm Lagrange cho số hệ vật lý 22 Phần ba: Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 -3- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Phần một: mở đầu lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật đơn giản tổng quát tượng tự nhiên nghiên cứu tính chất cấu tạo chất định luật vận động vật chất Để giải toán vật lý hệ vật lý cụ thể đòi hỏi phải xác định trạng thái hệ thời điểm Để biết trạng thái hệ cần phải xác định hàm Lagrange hệ đó, tính chất vật lí hệ bao hàm hàm Lagrange Như hệ cụ thể ta tìm hàm Lagrange hệ ta xác định đại lượng động lực hệ từ ta xác định đựơc trạng thái hệ đó, chìa khoá để ta giải toán vật lý Do đó, việc xác định dạng hàm Lagrange bước quan trọng việc giải toán vật lý Khi nghiên cứu hệ vật lý khác ta thấy dạng hàm Lagrange tương ứng với hệ khác Như vấn đề xây dựng dạng hàm Lagrange hệ vật lý cụ thể vấn đề có tính chất quan trọng có ý nghĩa to lớn Vì lý nên em chọn đề tài: Hàm Lagrange cho số hệ vật lý Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dạng hàm Lagrange số trường khác hàm Lagrange số hệ vật lý Phạm vi nghiên cứu Với đề tài này, phạm vi nghiên cứu là: - Tìm hiểu chung hàm Lagrange - Dạng hàm Lagrange đối vơi trường khác - Xác định hàm Lagrange cho số hệ vật lý -4- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu từ việc tìm hiểu hàm Lagrange ta xác định hàm Lagrange cho số hệ vật lý Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Phương pháp giải tích toán học - Các phương pháp khác vật lý lý thuyết Cấu trúc khoá luận Đề tài nghiên cứu gồm chương: Chương 1: Khái niệm chung hàm Lagrange Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm lý thuyết trường lượng tử Chương 3: Hàm Lagrange cho số hệ vật lý -5- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Phần hai: Nội dung Chương 1: khái niệm chung hàm Lagrange Định nghĩa hàm Lagrange 1.1 Toạ độ suy rộng Xét hệ gồm N chất điểm M i (i 1, 2, , N ) Liên kết đặt lên biểu diễn n phương trình: f (x i , yi ,zi , t) 0;( 1, 2, , n) Nếu n phương trình liên kết độc lập số 3N toạ độ Descarter x i , yi , zi có s = 3N - n toạ độ độc lập, s gọi số bậc tự hệ Vậy muốn xác định cách đơn giá vị trí hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập Ký hiệu s thông số độc lập q1 ,q , ,q s Những thông số độc lập cần thiết qk (k = 1,2, ,s) để xác định cách đơn giá vị trí hệ gọi toạ độ suy rộng Vì thời điểm t, vị trí hệ xác định 3N toạ độ Descarter x i , yi , zi s toạ độ suy rộng qk nên toạ độ Descarter toạ độ suy rộng có mối liên hệ với Chẳng hạn, để xác định vị trí chất điểm chuyển động đường tròn bán kính R ta dùng toạ độ Descarter x, y, z toạ độ suy rộng chúng có mối liên hệ sau: y x R cos y R sin M R O -6- x Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý 1.2 Phương trình Lagrange loại hai Vị trí hệ đựơc xác định tập hợp s toạ độ suy rộng q1, q2, , qs Xuất phát từ phương trình tổng quát động lực học: N (Fi mi w i )ri i (1.1) Ta thành lập đượcphương trình chuyển động hệ toạ độ suy rộng q Trước hết ta biểu diễn dịch chuyển ảo ri (i = 1, 2, , N) qua biến thiên toạ độ suy rộng Giả sử có toạ độ suy rộng q q (t , ) t biến số thời gian, thông số Khi =0 q(t,0) = q(t) xác định vị trí thực hệ không gian Khi toạ độ suy rộng q = q(t, ) xác định vị trí có hệ phù hợp với liên kết đặt lên Ta có: q(t) q(t, d) q(t, ) q d (1.2) Đại lượng: q(t) gọi biến thiên toạ độ suy rộng q(t) d d q(t) ( q(t)) q(t) (1.3) dt dt r s s r q r i k i Và: ri i d d q k k q k k q k Dễ thấy rằng: Thay vào phương trình (1.1) ta có: N ri Trong đó: Q k Fi i q k s (Q k Zk )q k k N ri Zk mi w i q k i1 (1.5) (1.6) (1.7); (k = 1, 2, , s) -7- (1.4) Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Công nguyên tố lực chủ động di chuyển ảo bằng: s N A Fi ri Q k q k i k (1.8) * ý nghĩa vật lý Qk : Qk gọi lực suy rộng tương đương với toạ độ suy rộng qk: Qk A q1 q q k q k qs q k (1.9) Ta biến đổi lượng Zk thành: N N d r r d T T Zk mi ri i mi ri i dt i q k i q k dt q k q k (1.10) N Trong T động hệ: T mi ri i (1.11) Vì biến thiên q k tuỳ ý khác không đẳng thức (1.5) thoả mãn tất hệ số q k phương trình (1.5) không Nghĩa là: Qk - Zk = (1.12) Hệ phương trình (1.12) tương đương với phương trình tổng quát động lực học(1.5) Đặt biểu thưc Zk từ (1.10) vào (1.12) ta nhận được: d T T Qk dt q k q k (1.13) Phương trình (1.13) gọi phương trình Lagrange loại hai phương trình Lagrange toạ độ suy rộng Một ưu điểm phương trình Lagrange loại hai phương trình không chứa phản lực liên kết Ni (Ni mi w i Fi ) Phương trình Lagrange loại hai phương trình vi phân hạng hai toạ độ suy rộng -8- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Nếu lực chủ động Fi (i 1,2, , N) tác dụng lên hệ lực tương tác hệ U(r1 ,r2 , ,rN ) lực Fi liên hệ với hệ thức: U Fi ri (1.14) Thay (1.14) vào (1.6) ta có biểu thức lực suy rộng trường hợp viết: N r U r U Q k Fi i i q k ri q k i q k (1.15) Thế U (q1,q2, ,qs) phụ thuộc vào toạ độ suy rộng qk nên: T (T U) q k q k (1.16) Thay vào phương trình Lagrange loại hai (phương trình (1.13)): d T T Qk dt q k q k Ta thu được: d (T U) (T U) (1.17) dt q k q k Phương trình (1.17) dạng khác phương trình Lagrange loại hai 1.3 Định nghĩa hàm Lagrange Ta viết lại phương trình (1.17): d (T U) (T U) dt q k q k (1.17) Nếu đặt L = T - U L gọi hàm Lagrange phương trình (1.17) viết: d L L dt q k q k -9- Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Vậy trường lực thế, hàm Lagrange xác đinh hiệu động T U hệ Vì biểu thức động năng: T mi ri có chứa vận tốc suy rộng U hàm toạ độ suy rộng U = U (q1, q2, ,qs) nên hàm Lagrange: L = T - U hàm toạ độ suy rộng, vận tốc suy rộng thời gian t: L L(q k ,q k , t) Một số tính chất hàm Lagrange 2.1 Vi phân toàn phần hàm Lagrange Như nói hàm Lagrange hàm toạ độ suy rộng, vận tốc suy rộng thời gian t: L L(q k ,q k , t) Như vi phân toàn phần hàm Lagrange là: s L L d L L L L p k p k dL ( dq k dq k ) dt q k t q k q k dt q k k q k Pk gọi xung lượng suy rộng s Nên: dL (p dq k p k dq k ) k k s L L dt (p k dq k d(p k q k ) q k dp k ) dt t t k (1.18) ri Nếu liên kết đặt lên hệ dừng hàm L không phụ thuộc t tường minh vào thời gian nghĩa L , đó: t s dL (p k dq k d(p k q k ) q k dp k ) k Cũng từ (1.18) ta viết: - 10 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý 2.4 Trường Spinor không khối lượng Trường spin khối lượng (m = 0) thoả mãn phương trình: (x) (2.9) Kết hợp (2.6) với (2.9) ta thấy ( x) thoả mãn phương trình chuyển động: (x) (2.10) Ta tách: L R Trong đó: L (1 ) PL R (1 ) PR Các toán tử PL, R toán tử chiếu thoả mãn diều kiện sau đây: PL2 PL ;PR2 PR ;PL PR 1;PL PR Từ (2.9) (2.10) ta có L , R thoả mãn phương trình chuyển động: L (x) 0; R (x) (2.11) Công thức (2.11) cho thấy thành phần trái (L) thành phần phải (R) nghiệm riêng ma trận L L ; R R Hàm sóng cho phần trái phải có dạng sau: L (x) R (x) dk 1 ikx 1 ikx a(k, )u(k, )e b (k, )v(k, )e 2k 2 2 (2) dk 1 ikx 1 ikx a(k, )u(k, )e b (k, )v(k, )e 2 2 (2)3 2k - 19 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Trong trường hợp này, Lagrangian có dạng: L0D= i (x) (x) bất biến phép biến đổi: 2.5 Trường vector có khối lượng Trường vector với khối lượng m có trạng thái vật lý mô tả đối tượng V (x) có bậc tự (thành phần) Do người ta phải đặt thêm điều kiện ràng buộc để làm bậc tự Để yêu cầu thoả mãn Lagrangian tự phải có dạng sau: m2 L0 = V (x)V (x) V (x)V (x) bf (2.12) Trong đó: V (x) V (x) V (x) Phương trình Euler - Lagrange có dạng: V (x) m 2V (x) Lấy đạo hàm phương trình ta có: V (x) V (x) m V (x) ( 2.13) Số hạng (2.13) 0, vậy: V (x) (2.14) Với điều kiện Lorentz (2.14), phương trình Euler - Lagrange có dạng: ( m )V (x) Vậy: Bằng việc chọn Lagrangian tự thích hợp (2.12) ta tự động có điều kiện ràng buộc Lorentz phương trình Klein - Gordon cho thành phần trường vector Trường vector vừa khảo sát trường vector trung hoà - 20 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Đối với trường vector mang điện, Lagrangian tự nhân đôi: L0vc V* (x)V (x) m2V* (x)V (x) 2.6 Trường vector không khối lượng- trường điện từ Lagrangian tự có dạng sau: L0bf0= A (x)A (x) Không cho ta hàm truyền trường vector không khối lượng Đây hệ việc sau: Trường vector không khối lượng trường chuẩn Thật vậy, phương trình Euler - Lagrange có dạng: A (x) A (x) A (x) Phương trình bất biến với phép biến đổi chuẩn: A (x) A' (x) A (x) (x) * Như trường tự do, Lagrangian trường Lagrangian tự chứa số hạng bậc theo toán tử trường Trong trường hợp có tương tác Lagrangian tổng hai thành phần: Lagrangian tự Lagrangian tương tác Tuỳ theo chế tương tác ta có dạng Lagrangian tương tác tương ứng ( Lagrangian tương tác chứa số hạng từ bậc trở lên theo toán tử trường) - 21 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Chương 3: hàm Lagrange cho số hệ vật lý Sơ lược vật lý hạt Vật lý hạt nghiên cứu tính chất hạt phản hạt chúng, nghiên cứu tương tác trình biến đổi hạt bản, nghiên cứu mối liên hệ hạt với trường lực Các hạt tìm thấy vào năm 1932 Ngày người ta biết đến 200 loại hạt số tiếp tục tăng lên Trước người ta quan niệm hạt nhỏ không phân chia Ngày người ta thấy hạt chưa phải nhỏ nhất, hạt có cấu trúc từ hạt quark, viên gạch xây dựng nên giới vật chất Khi nghiên cứu hạt bản, vấn đề quan trọng nghiên cứu tương tác chúng Các loại hạt tuân theo nhiêù tương tác sau: - Tương tác mạnh - Tương tác yếu - Tương tác điện từ - Tương tác hấp dẫn Đối với tương tác hấp dẫn cường độ tương tác bé nên ta không xét đến Như ta nghiên cứu ba loại tương tác là: Tương tác mạnh, tương tác yếu tương tác điện từ Dựa vào tương tác ta chia hạt thành ba loại: Các hạt tuân theo tương tác mạnh, hạt tuân theo tương tác yếu hạt tuân theo tương tác điện từ Tương ứng với hệ vật lí mà ta xét là: - Hệ tuân theo tương tác mạnh - Hệ tuân theo tương tác yếu - Hệ tuân theo tương tác điện từ Hàm Lagrange cho số hệ vật lý 2.1 Hàm Lagrange cho hệ tuân theo tương tác mạnh - 22 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý 2.1.1 Khái niệm tương tác mạnh Tương tác mạnh tương tác gần, đại lượng đặc trưng cho tương tác mạnh lực hạt nhân, không phụ thuộc vào điện tích mà phụ thuộc vào định hướng hạt tham gia tương tác Bán kính tác dụng tương tác mạnh vào cỡ 10-13 cm Tham gia tương tác mạnh hạt trung bình nặng (ví dụ: Các hadron) Hằng số tương tác mạnh: g s 10 Đối với tương tác mạnh số tương tác lớn nên áp dụng lí thuyết nhiễu loạn Người ta sử dụng phương pháp nghiên cứu khác có hiệu dùng lí thuyết nhóm đối xứng SU(n) Đối xứng SU(2) trường hợp riêng đối xứng SU(n) 2.1.2 Tính bất biến Lagrangian phép biến đổi nhóm đối xứng SU(2) - Định nghĩa nhóm SU(2): Nhóm SU(2) tập hợp ma trận có định thức đơn vị Với g SU (2) ta có: g.g+ = g+.g = I (3.1) detg = - Nhóm biến đổi SU(2): Giả sử có nhóm gồm phép biến đổi: U() e ia Ia (a 1,3) thoả mãn điều kiện: U()U () I - Đồng thời vi tử Ia phép biến đổi thoả mãn hệ thức tương tự a nghĩa là: Ia ,I b iabc Ic (a, b,c 1,3) nhóm đựơc gọi nhóm biến đổi SU(2) Đối xứng SU(2) nghĩa hệ vật lý không thay đổi tác dụng phép biến đổi Trong lí thuyết trường từ Lagrangian L(x) suy tính chất động học hệ vật lí Do đối xứng SU(2) có nghĩa L(x) không thay đổi phép biến đổi - 23 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý L(x) L' (x) U () L(x)U (1) L(x) Do SU(2) không tác dụng lên biến số không gian nên điều kiện phù hợp với việc tác dụng: S L(x)d x bất biến phép biến đổi SU(2) Từ (3.1) Ia , L(x) Xét tương tác Nuclon (p, n) với - meson Yukawa Khi chưa xét yêu cầu bất biến SU(2), người ta viết Lagrangian tương tác Yukawa cho: p, n, : Lin g pn p n Lh p , p , : Lin g pp p p0 Lh Bây phải xây dựng Lagrangian tương tác cho thoả mãn đối xứng SU(2) Bất biến SU(2) cho loạt cac biểu thức liên hệ số tương tác Đưa vào ma trận: : Lúc đó: a a ;(a 1,3) i2 i2 Đây cách để xếp phần tử đông số chiều ma trận vào đa tuyến Dùng tính chất: Sp (a , b ) 2ab Ta được: a Sp (a ) Quy tắc biến đổi ma trận xem Spinơ hỗn hợp hạng hai - 24 - Khoá luận tốt nghiệp ij Nguyễn Thị Hằng K29B Lý ia 'ij U()ijU (1) (e a )ii ' ' ia j' (e i a ) j ' ' Khi a vô bé: Ia , ij ( a )ii j' jj ( a ) j' a , (3.2) i 2 j i Công thức (3.2) dẫn xuất cách khác lưu ý thành phần a biến đổi sau: Ia , j Ia , (b ) j b ( ) j.i.abcc i i b i j j a , c c a , 22 i i Lagrangian tương tác Nuclon N(n, p) với - meson L I (x) G i 5ij j G L'I (x) G '5'' G e ia a i 5e a a e a G L'I (x) L I (x) Biểu diễn dạng thành phần L I (x) G(pn) p n p n G(pn) p n - 25 - i a i e a a Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý G G p 50 p Gp n Gn p n 50 n 2 Do đó: g p0 p G G ;g p n G;g n p G;g n0 n 2 Và ta thu hệ thức g pn : g np : g pp0 : g nn0 =1:1: 1 : 2 Hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Biểu diễn: Lagrangian bất biến SU(2) L ( ) Qua liên hẹ với sau: ( i ) i ) a ma trận Pauli: (0 1) ( 2 i i (0 1) 2 )2 ( ) =(0 1) ( Vì Bởi vậy: ( ) a b a b (ab iabc c ) a b ( ) 2 22 2 23 23 2 2 2 Xét số hạng chứa tự (lưu ý: 2 ) ( ) - 26 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Trong : 2 ( ) : 22 22 Đóng góp nó: 22 Chú ý rằng: (0 1) ( ( i ) 2 i ) 2 1 Do đó: 2 Kết quả: 1 2 L 2 ( ) ( ) Rõ ràng trường a khối lượng m a = 0; trường có khối lương: m 2 2.2 Hàm Larange cho hệ tuân theo tương tác yếu 2.2.1 Khái niệm tương tác yếu Tương tác yếu loại tương tác gắn liền với trình phân rã hạt không bền vững trình phóng xạ hạt nhân Tương tác yếu vi phạm tính đối xứng không gian đối xứng gương Tham gia tương tác yếu chủ yếu hạt nhẹ (lepton), có hadron Các trình tương tác yếu chia làm hai loại: + Quá trình lepton tuý - 27 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý + Quá trình có hadron tham gia 2.2.2 Lý thuyết tương tác yếu vạn V - A Tương tác yếu gây nên rã hạt số trình xảy va chạm hạt So với tương tác mạnh tiết diện tán xạ cho trình tương tác yếu gây nên nhỏ nhiều, nhiên khoảng thời gian sống trình rã lại lại lâu mà trình gây nên tương tác yếu gọi trình chậm Mặc dù tượng thực nghiệm tương tác yếu (ví dụ : Sự phân rã ) phát sớm vào cuối kỉ trước đến năm 1934 Fermi xây dựng lí thuyết tương tác yếu xuất phát từ tương tự với điện động lực học lượng tử Nơtrinô (phản nơtrinô) xuất trình phân rã không chứa bên hạt nhân nơtron tạo trình phân rã Điều tương tự phát xạ photon không chứa nguyên tử mà xuất trình xạ Trên sở trình phân rã : n p e e Có thể mô tả tương tự trình xạ điện động học lượng tử Quá trình xạ mô tả nhờ dòng sinh hạt tích điện Vì cách tự nhiên mô tả phân rã đồng thời trình yếu khác cách đưa khái niệm dòng hạt Mặc dù lí thuyết Fermi chưa phù hợp ý tưởng dùng dòng để xây dựng Hamiltomian tương tác để mô tả trình yếu sau chứng tỏ đắn Thực nghiệm xác nhận tương tác yếu định luật bảo toàn tính chẵn lẻ, tính bất biến đối vơi phép liên hợp địên tích bị vi phạm Do cần phải thiết lập dòng cho điều thể Từ hàm sóng hạt lepton nơtrinô xây dựng năm loại dòng: - 28 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý + Dòng vô hướng S: + Dòng giả vô hướng P: + Dòng vector V: + Dòng giả vector A: + Dòng Tenxơ T: Vậy tạo nên dạng tương tác bất biến tương đối tính cách tổ hợp tuyến tính chúng cách thích hợp ta có kiểu khác để mô tả trình gây nên tương tác yếu Trong lí thuyết Hamiltonian tương tác có dạng: Ha G J (x)J (x) Trong đó: G: Là số Fermi J (x) : Là dòng tương tác yếu J (x) Jhad (x) Jlep (x) Trong đó: A J had (x) J h (x) J h (x) J lep (x) (l) (x) (1 ) (l) (x) l e, Chính dạng V(vector) - A(axial) dòng cộng với việc có số nên lí thuyết gọi lí thuyết tương tác yếu vạn V - A Từ ta xác định dạng Lagrangian Theo biểu thức (1.19) ta có: - 29 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý s H p k q k L ; Trong trường hợp biểu thức Lagrangian tương tác k chứa số hạng đạo hàm từ (1.19) ta có: Lint = - Hint= - Ha = G J (x)J (x) Với loại dòng ta có dạng tương ứng Lagrangian Tính vạn lí thuyết thể chỗ tất trình yếu mô tả Hamiltonian với số Lý thuyết tương tác yếu vạn V - A hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm (ở mức lượng thấp) Điều chứng tỏ sử dụng lí thuyết để nghiên cứu trình rã 2.3 Hàm Lagrange cho hệ tuân theo tương tác điện từ Tương tác điện từ bao gồm tương tác thành phần hạt mang điện, tương tác ma sát, tương tác đàn hồi, hoạt động bắp, tương tác điện từ ánh sáng Tương tác điện từ có số tương tác: , bán kính tác dụng không bị 137 giới hạn Ngoài hạt mang điện tích, tương tác điện từ chi phối photon hạt trung hoà có momen từ (ví dụ: notron) Trong tương tác điện từ tồn thoi truyền tải tương tác điện tà la photon Tương tác điện từ biểu trình sinh, huỷ hạt Lý thuyết lượng tử áp dụng cách triệt để để nghiên cứu tương tác điện từ hai hạt ( e, ) Gọi ( x) toán tử trường electron, A (x) toán tử trường photon Lagrangian hệ Lagrangian tự cộng với Lagrangian tương tác với trường điện từ Vậy để xác định Lagrangian hệ ta phải biết dạng Lagrangian tương tác Ta có Lagrangian tương tác: Lint = e (x) (x)A (x) - 30 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Trong đó: e điện tích electron Nêu ta đưa vào khái niệm dòng: J Lagrangian tương tác có dạng: Lint = eJ (x)A (x) Từ ta thành lập ma trận tán xạ S T (exp i d (x) Lint (x)) Dùng định lí Wick ta thu biên độ tán xạ, số rã, tiết diện tán xạ nghĩa nghiên cứu tính chất động lực hệ Tuy nhiên hệ có hadron ta áp dụng hadron tuân theo tương tác mạnh mà dạng cụ thể ta chưa biết Để nghiên cứu trình có hadron tương tác điện từ ta giả thiết số hạng cấp thấp nhất: Hint = eJ A J (x) : Là dòng điện từ hadron Giả sử hệ gồm p, e-, lúc đó: J j J proton Chỉ trường hợp xem proton e+ nặng ta viết J proton e (x) (x) - 31 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý phần ba: kết luận Hàm Lagrange đại lượng quan trọng, tính chất vật lí hệ bao hàm hàm Lagrange Do đó, việc xác định hàm Lagrange bước trình tự giải toán vật lý, nhân tố có ý nghĩa định kết toán Trong khoá luận em tìm hiểu khái niệm hàm Lagrange có đề cập đến số vấn đề khác có liên quan đến khái niệm như: Nguyên lí tác dụng tối thiểu, phương trình Lagrange loại hai, phương trình Euler - Lagrange, định lý Noerthers qua tìm hiểu hàm Lagrange theo quan điểm lí thuyết trường lượng tử Từ việc tìm hiểu khái niệm hàm Lagrange đến việc xác định hàm Lagrange cho số hệ vật lí: Hệ tuân theo tương tác mạnh, hệ tuân theo tương tác yếu, hệ tuân theo tương tác điện từ Tuy nhiên, thời gian hạn chế khuôn khổ đề tài không cho phép nên khoá luận chưa thể trình bày chi tiết việc xây dựng dạng hàm Lagrange trường khác nhau; hay hệ tuân theo tương tác mạnh chưa đưa dạng Lagrangian phép biến đổi nhóm đối xứng SU(3), SU(n), lần đầu tập dượt công việc nghiên cứu khoa học nên chắn có nhiều thiếu sót nội dung hình thức trình bày khoá luận Vì em mong nhận đựơc góp ý thầy, cô giáo bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện - 32 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý tài liệu tham khảo Tạ Quang Bửu (1987), Hạt bản, Nxb Giáo dục Đặng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Hoàng Ngọc Long (2003), Nhập môn lý thuyết trường mô hình thống tương tác điện yếu, Trung tâm Khoa học Tự nhiên Công Nghệ Quốc Gia - Viện vật lý Nguyễn Khắc Nhập - Nguyễn Hữu Minh (1978), Giáo trình lý thuyết, Nxb Đại Học Sư Phạm Hà Nội B.R Martin Gs ham, Particlephysics R.E Marshak - E.C.G Sudarshan, Intruduction to Elementary Particlephysics - 33 - [...]... phương trình Lagrange không đổi khi thay L bằng L Vậy hàm Lagrange được xác định sai khác một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm f (qk , t ) bất kì - 12 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Chương 2: Hàm Lagrange theo quan điểm của lý thuyết trường lượng tử 1 Hàm Lagrange trong lý thuyết trường 1.1 Hàm Lagrange Trong lý thuýêt trường, hàm Lagrange (hay mật độ Lagrangian) là một đại... điện từ Tương ứng với nó là 3 hệ vật lí mà ta sẽ xét đó là: - Hệ tuân theo tương tác mạnh - Hệ tuân theo tương tác yếu - Hệ tuân theo tương tác điện từ 2 Hàm Lagrange cho một số hệ vật lý 2.1 Hàm Lagrange cho hệ tuân theo tương tác mạnh - 22 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý 2.1.1 Khái niệm tương tác mạnh Tương tác mạnh là tương tác gần, đại lượng đặc trưng cho tương tác mạnh là lực hạt... cơ học cổ điển, nguyên lý tác dụng tối thiểu có thể được suy ra từ phương trình tổng quát của động lực học 2.3 Tính bất định của hàm Lagrange Thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề thì ta cần phải tìm dạng hàm Lagrange của hệ Thường dùng nguyên lý tương đối, tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối với hệ cụ thể để tìm hàm L Ta sẽ chỉ ra rằng hàm Lagrange được xác định... hiểu về hàm Lagrange theo quan điểm của lí thuyết trường lượng tử Từ việc tìm hiểu khái niệm hàm Lagrange đi đến việc xác định hàm Lagrange cho một số hệ vật lí: Hệ tuân theo tương tác mạnh, hệ tuân theo tương tác yếu, hệ tuân theo tương tác điện từ Tuy nhiên, do thời gian còn hạn chế và do khuôn khổ đề tài không cho phép nên khoá luận chưa thể trình bày chi tiết việc xây dựng dạng của hàm Lagrange. .. việc xác định hàm Lagrange là một bước đầu tiên trong trình tự giải một bài toán vật lý, đó là một trong những nhân tố có ý nghĩa quyết định đối với kết quả bài toán Trong khoá luận này em đã tìm hiểu khái niệm hàm Lagrange và có đề cập đến một số vấn đề khác có liên quan đến khái niệm này như: Nguyên lí tác dụng tối thiểu, phương trình Lagrange loại hai, phương trình Euler - Lagrange, định lý Noerthers... thiết rằng ở số hạng cấp thấp nhất: Hint = eJ A J (x) : Là dòng điện từ của các hadron Giả sử hệ gồm p, e-, lúc đó: J j J proton Chỉ trong trường hợp xem proton như một e+ nặng khi đó ta có thể viết J proton e (x) (x) - 31 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý phần ba: kết luận Hàm Lagrange là một đại lượng rất quan trọng, mọi tính chất vật lí của cơ hệ đều bao hàm trong hàm Lagrange. .. đề Từ nguyên lý này ta có thể rút ra phương trình Lagrange loại hai và phương trình Haminton Nguyên lý tác dụng tối thiểu được áp dụng không những trong cơ học cổ điển mà cả trong cơ học tương đối và vật lý lượng tử, không những trong cơ học mà cả trong điện từ học Khi đó do những đòi hỏi vật lý đối với những hệ khác nhau mà - 11 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý dạng hàm Lagrange sẽ khác... chứa các số hạng bậc 2 theo toán tử trường Trong trường hợp có tương tác thì Lagrangian là tổng của hai thành phần: Lagrangian tự do và Lagrangian tương tác Tuỳ theo cơ chế tương tác ta sẽ có dạng của Lagrangian tương tác tương ứng ( Lagrangian tương tác chứa số hạng từ bậc 3 trở lên theo toán tử trường) - 21 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Chương 3: hàm Lagrange cho một số hệ vật lý 1... d 4 x( ji )i R Cho i bất kì thì khi S 0 ta có dòng bảo toàn: ji 0 (2.4) Từ (2.3) và (2.4) ta phát biểu định lý Noethers như sau: Một phép biên đổi liên tục với số hữu hạn các tham số i sẽ cho ta một dòng xác định Dòng này sẽ bảo toàn nếu tác dụng không thay đổi 2 Dạng của Lagrangian trong một số trường 2.1 Trường vô hướng thực - 15 - Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hằng K29B Lý Để mô tả hạt... K29B Lý s s L d( p k q k L) (q k dp k p k dq k ) dt t k 1 k 1 s Đặt: H p k q k L gọi là hàm Haminton thì H H(q k , p k , t) k 1 s Vậy: H(q k ,p k , t) p k q k L (1.19) k 1 Trong trường hợp L 0 ta thu được định luật bảo toàn đại lượng H: t s dH L 0 H p k q k L const dt t k 1 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu Ta biết rằng mọi tính chất vật lý của cơ hệ đều bao hàm trong hàm Lagrange ... trường 13 Dạng Lagrangian số trường 15 Chương 3: Hàm Lagrange cho số hệ vật lý 22 Sơ lược vật lý hạt 22 Hàm Lagrange cho số hệ vật lý 22 Phần ba: Kết luận ... có ý nghĩa to lớn Vì lý nên em chọn đề tài: Hàm Lagrange cho số hệ vật lý Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dạng hàm Lagrange số trường khác hàm Lagrange số hệ vật lý Phạm vi nghiên cứu... giải toán vật lý hệ vật lý cụ thể đòi hỏi phải xác định trạng thái hệ thời điểm Để biết trạng thái hệ cần phải xác định hàm Lagrange hệ đó, tính chất vật lí hệ bao hàm hàm Lagrange Như hệ cụ thể