Tái chuẩn hoá QED ở bậc một vòng

LI CM N Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Vt lớ trng i hc s phm H Ni ó to iu kin cho tụi hon thnh lun tt nghip ny c bit tụi xin chõn thnh cm n thy Th.S H Thanh Hựng ging viờn khoa Vt lớ, ngi ó trc tip hng dn tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thin khoỏ lun Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti khụng trỏnh nhng thiu sút rt mong c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn ti c hon chnh hn Tụi xin chõn thnh cm n! Xuõn Ho, thỏng nm 2012 Ngi thc hin Ngụ Th Loan LI CAM OAN ti: Tỏi chun hoỏ QED bc mt vũng c thc hin di s hng dn trc tip ca Th.S H Thanh Hựng Tụi xin cam oan õy l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi, kt qu ny khụng trựng vi kt qu ca bt c tỏc gi no ó c cụng b Nu sai tụi xin hon ton chu trỏch nhim Xuõn Ho, thỏng nm 2012 Ngi thc hin Ngụ Th Loan MC LC LI CM N LI CAM OAN MC LC M U 1 Lớ chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu NI DUNG Chng 1: Trng spinor v trng in t 1.1 Trng spinor 1.1.1 Phng trỡnh Euler-Lagrange 1.1.2 Phng trỡnh Kleir-Gordon 1.1.3 Phng trỡnh Dirac 1.1.4 xon ca trng spinor 1.2 Trng in t 12 1.2.1 Phng trỡnh Euler-Lagrange 12 1.2.2 Phng trỡnh Dirac 13 1.2.3 Hm truyn ca phụtụn Vector phõn cc 14 1.2.4 Nng lng E 20 1.3 Tng tỏc gia trng spinor v trng in t 21 1.3.1 Tng tỏc khụng cha o hm 21 1.3.2 Tng tỏc cha o hm 22 Chng 2: Tỏi chun hoỏ QED bc mt vũng 2.1 Tỏi chun hoỏ hm súng v lng ca trng spinor 25 2.2 Tỏi chun hoỏ hm súng ca photon 30 2.3 Tỏi chun hoỏ hm nh 32 Chng III: Kt lun v ng dng 34 Tỏn x e+ + e- = m+ + m- 34 KT LUN 39 TI LIU THAM KHO 40 PHN I: M U I L DO CHN TI Lớ thuyt lng t cho tng tỏc gia in t v proton (m rng lớ thuyt in ng lc ) ó rt thnh cụng tớnh toỏn cỏc quỏ trỡnh tỏn x lng t khỏc gn ỳng bc thp nht ca lớ thuyt nhiu lon nhng ỏp dng cho s-matrn gn ỳng bc cao u em li kt qu phõn kỡ Con ng x lớ phõn kỡ ny l vic tỏi chun húa Tỏi chun húa l vic nhột cỏc phõn kỡ vo cỏc tham s ban u (tham s trn) nh hng s tng tỏc, lng, hm súng Ta s c hm truyn vi cc ti lng trn Sau tớnh n tng tỏc s xut hin phõn kỡ ca cỏc vũng Vic thay cỏc i lng trn bng cỏc i lng s cho ta hm truyn cú cc ti lng vt lớ Cỏc i lng vt lớ o c s hu hn Vic lm trờn xut phỏt t nhu cu so sỏnh cỏc kt qu lớ thuyt vi thc nghim chớnh xỏc cao hn Nh vy tỏi chun húa cú vai trũ quan trng loi b c phõn kỡ tớnh n b ớnh bc cao c bit in ng lc hc lng t spinor mt vũng (QED) ta tỏi chun húa li (nhột phõn kỡ vo cỏc i lng trn) hm súng v lng ta ó thu c b ớnh hu hn cho nng lng riờng ca electron, cũn i vi hm súng ca photon thỡ ta s c b ớnh mt vũng vo toỏn t phõn cc chõn khụng hu hn.Vỡ vy em chn ti Tỏi chun húa QED bc mt vũng nhm hiu rừ hn v vic nhột phõn kỡ vo cỏc i lng trn nh hm súng, lng 2.MC CH NGHIấN CU Tỏi chun húa li cỏc tham s ban u (tham s trn) loi b phõn kỡ tớnh cỏc b ớnh bc cao PHNG PHP NGHIấN CU c, tra cu ti liu Phng phỏp gii tớch toỏn hc Cỏc phng phỏp khỏc ca vt lớ lớ thuyt I TNG NGHIấN CU Hm súng, lng, hm nh CU TRC TI Chng 1: Trng spinor v trng in t Chng 2: Tỏi chun húa QED bc mt vũng Chng 3: ng dng v kt lun PHN II: NI DUNG CHNG I: TRNG SPINOR V TRNG IN T 1.1 Trng spinor 1.1.1 Phng trỡnh Euler-Lagrange Xột trng c mụ t bi cỏc hm trng sau: y (x), y (x),K , y n (x) Hm Lagrange hay mt Lagrange l hm ph thuc vo cỏc hm trng y i (x) v o hm bc nht ca nú Nu coi y i (x) l cỏc ta suy rng thỡ xung lng suy rng l: à( y i (x) ) = i àx x Hm tỏc dng A A Trong ú d x dx o dx d xL(x) Hm tỏc dng A bt bin i vi phộp bin i Lorentz A d xL(x) Vi D(x ) D(x ) d x o x o x o x1 x1 x o x x o x x o x1 x1 x x1 x x1 x D(x) L(x) D(x) x o x x x x x x x x o x x1 x x x x x gi l Jacobien ca phộp bin i x x Mt khỏc i vi phộp bin i Lorentz thun nht ta cú: x x x Phộp bin i khụng thun nht ta cú: x x x a x x D( x) D( x) D( x) det D( x) Vy A d xL(x) A Tỏc dng A bt bin i vi phộp bin i Lorentz Nguyờn lớ tỏc dng ti thiu A L(x)d x *Thit lp phng trỡnh E-L Ta cú L(x) L( (x), i (x)) L L L(x) ((x) ( i (x)) ( i (x) i (x) : ch s bin thiờn ca Lagrange s thay i ca hm trng gõy nờn ta cú th o th t v cho c ( i (x)) ( i (x)) L L L(x) ((x)) ( i (x) ( i (x)) i (x) Thờm bt: L i ( i (x)) vo v phi ta c L L L(x) (i (x) ( i (x)) ( i (x)) i (x) L L i (x) i (x) ( i (x)) ( i (x)) L L L i ( x) ( i ( x)) ( i ( x) i ( x) L L i (x) i (x) ( (x)) ( (x)) i i L i (x) ( i (x)) Thay vo biu thc Ld x c L L d4x i (x) (x) ( (x) i i L d x i (x) ( i (x) Xột tớch phõn th hai Theo nh lớ ễ-G ta cú: divAdv Ads Ta cú L d x (x) i ( (x) i dn L i (x) ( i (x) Gi thit bin phõn ca hm trng triờt tiờu ti mt biờn tng ca ly tớch phõn tc l : dn L i (x)) ( i (x)) L L d4x i (x) ( i (x)) i (x) Vỡ ly tớch phõn tựy ý nờn : L L i (x) ( i (x)) õy l phng trỡnh Euler-Lagrange 1.1.2 Phng trỡnh Klein-Gordon Lagrange ca trng vụ hng trung hũa t l L L((x)(x) ) (x) (x) m22(x) 2 (1) Trong ú m l lng ca ht Phng trỡnh Euler-Lagrange : L L x ( ) L g ( ) ( ) 1 g g 2 2 Thay (1) vo phng trỡnh Euler-Lagrange ta c : ( m2 )( x) (2) Trong ú: g g x Phng trỡnh (2) c gi l phng trỡnh Klein-Gordon 1.1.3 Phng trỡnh Dirac Lagrangian t ca trng spinor vi lng m cú dng: LD0 = iộ y (x)gmả my (x)- ả my (x )g my (x )ự ỳ ỷ- my (x)y (x) Trong ú y (x) y + (x)g gi l liờn hp Dirac Trong thc t, ngi ta thng s dng Lagrangian t sau b LD0 = iy a (x)(gm)a ả my b (x )- my a (x )y a (x ) = iy (x )g mả my (x )- my (x )y (x ) Trong ú ta ó lu ý n vic cỏc trng spinor cú ch s Dirac Phng trỡnh Dirac cú dng ổ m ả ỗig - mữ ữ m ữy (x ) = ỗ ố ứ ảx Hỡnh 2.1: Cỏc yu t ca lớ thuyt nhiu lon QED ó tỏi chun hoỏ i ( p d2 - dm) Ba yu t u tiờn l ca QED nhiu lon trn Nh thng l ta kớ hiu gin ti gin (liờn kt mnh) mt ht (1PI) ca electron qua - iS ( p) = - iS ( p) = + + Hm truyn ton phn l tng ca cỏc gin liờn kt yu m mi phn t li l hm mt ht electron ti gin (1PI) S ( p) C th = = i ( p + m) p - m + ie + i ( p + m) p - m + ie (- iS (p)) ũ d x < Ty (x)y (0) i ( p + m) p - m + ie > eipx +K ổ S (p) ổ S (p) i i i ữ ữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ = + + +K ữ ữ ỗ ỗ ữ p - m + i e ố p - m + ie ứ ữ p - m + ie p - m + i e ố p - m + ie ứ = i p - m - S (p)+ ie (6) Chn - igmn (7) q2 T (6) v t (7) ta cú iu kin tỏi chun hoỏ nh sau ( p = m) = (8) d (p ) p= m = dp ế (q = 0)= (9) (10) ieGm(pÂ- p = 0)= ieg m 27 (11) Xột QED ti vũng: Trong bc vũng úng gúp vo hm mt im ti gin ca in t (1PI) hỡnh 2.2 = - i ( p) = Z 2e + Hỡnh 2.2: B ớnh bc thp nht cho 1PI Ta cú - ie ie2 - p + 4m)- p + 4m)+ - i (p) = { ( (- g + ln 4pm )( 16 ế e 16 ế 2 + 2ũ dx ộởp (1- x)- 2mự ỷln (m x - p x (1- x))} + i ( pd2 - dm) T (8) ta cú - i e2 (m)+ i (md2 - dm)= Do vy dm - md2 = - e2 (m) T (9) ta cú id2 = i Suy : d2 = ảồ e ảồ e (p ) ảp p= m (p ) ảp p= m 28 (12) Sau vi tớnh toỏn ta cú e2 e2 d2 = + {g - ln 4pm2 + 2 16p e 16p ũ dx[2(10 - px (1- x ) + ộở2 p (1- x )- 4mự ]} ỷm x - p x ( ) 1- x e2 e2 =+ {g - ln 4pm2 + 2 16p e 16p 2 x )ln {m x - p x (1- x )} p= m ũ dx[2(1- x )ln m x + 4(1- x ) ]} (13) x S hng cui cựng (13) phõn kỡ hng ngoi Ta cú ỹ ùù 3me2 e2 ớùù 2ự ộ ) = + 3m 2,m dx ( ) ( ) ln m x g + ln pm ỡ m + x ũ ỷý ùù 16p 2e 16p ùùợ ỵ e 2( dm = md2 - e2 (m) ộ me2 e2 1- x ự 2 =+ {4m + 2m dx ( ) g ln pm ũ ờở2ln m x + x ỳỳỷ} (14) 4p 2e 16p Vy ta cú biu thc cui cựng ộ me2 e2 1- x ự 2 dm = + {4m + 2m dx ( ) g ln pm ũ ởờ2ln m x + x ỳỷỳ} (15) 4p 2e 16p Hm cn tớnh cú dng = - i ( p) - ie2 ie2 - p + 4m)- p + 4m)+ - i (p) = { ( (- g + ln 4pm )( 16 ế e 16 ế 2 + 2ũ dx ộởp (1- x )- 2mự ỷln (m x - p x (1- x ))} ùớù 4(1- x ) e2 e2 2 ( ) + ip ỡ + { g ln pm + dx[2 ln m x + ]} 1- x ũ ùù 16p 2e 16p x ợ ớù me2 ỹ 2ự ùù ộ e2 x ù 2 ỳ - iỡ + {4m + 2m dx } ( ) g ln pm ý 2ln m x + ũ ờở ùù 4p 2e 16p ùù ỳ x ỷ ợ ỵ 29 ùỹ ùý ùù ỵ - ie 1- x 2 = dx{(2m - p (1- x ))ln m x + (m - p ) 8p ũ0 2 ộ ự + ộởp (1- x )- 2mự ỷln ởm x - p x (1- x )ỷ} (16) õy l biu thc hu hn t ngoi (UV finite) nhng cú phõn kỡ hng ngoi (IR) Ta kh phõnkỡ hng ngoi bng cỏch cho photon cú lng [...]... ie ũ d x ộ ờ ở SSQED = 4 SQED ( int 4 x) m j * (x )j (x )- j * (x )ả mj Â(x )ự ỳ ỷA (x ) (6) m Chuyn sang khụng gian xung lng ta cú (x ) = ieN j2 N A ũ d 4 xd 4 p1d 4 p 2d 4q SSQED int e- ix ( p1 + q- p 2 ) ộip 2mj ờ ở * m (p 2 )j (p1 )+ ip1mj * (p 2 )j (p1 )ự ỳA (q) ỷ N j2 N A ũ d 4 p1d 4 p 2d 4qLSQED (p1 , p 2 , q ) int (7) Trong ú 4 ộ * ự m LQED int (p1 ,p 2 ,q )= - e(p1 + p 2 )m ởj (p 2 )j (p1... (37) ( ( ) ( ) ờ ỳ 2x ở 4 ỷ a 2 ả mA na ả mA na = - A anả mả mA na = - g mndab A m ả A nb a n m b ả mA na ả n A ma = - A anả mả n A ma = - A m ả ả A ndab a n a m n ả mA m ả A na = - A m ả ả A nbdab Do vy ộ1 mn 1 a n m b 1 a m n b ự a 2 b 4 ờ g d A ả A A ả ả A d + Amả ả A ndab ỳ d x ab m n m n ab ũ ở2 ỳ 2 2x ỷ 1 a mn b = ũ d 4 x Am k ab A n 2 Sem 0 [A ]= ộ mn W mn k = Trong ú ab ờg ờ ở ự ổ 1ữ ử ỗỗ1- ữả... hm theo Am (k ) ả 3LSQED (p1, p 2 , k ) int ả A m(k )ả j (p)ả j * (pÂ) = - e(p + pÂ) n g mnd4 (k - q)d4 (p + q - pÂ) = - e(p + pÂ)md4 (p + k - pÂ) (11) Túm li: tng tỏc photon vụ hng - vụ hng ng vi phn nh à P p Trong ú ta ngm hiu hm delta ca xung lng 4 chiu mi nh, cũn i nh ó núi trờn xut hin t biu thc ca S ma trn Do lý thuyt nh x ta cú s bo ton nng xung lng ti mi nh SQED = 4 QED ũ d xLint (x ) =... cỏc s hng phn m sau ny s cha phõn k T (5) ta cú quy tc Feynman cho lý thuyt nhiu lon QED ó tỏi chun hoỏ - igmn (Chun t Hooft-Feynman) q 2 + ie m n i ( p + m) p 2 - m 2 + ie m ieg m m n - i( g mn q 2 - qmqn )d3 q ieg md1 26 Hỡnh 2.1: Cỏc yu t ca lớ thuyt nhiu lon QED ó tỏi chun hoỏ i ( p d2 - dm) Ba yu t u tiờn l ca QED nhiu lon trn Nh thng l ta kớ hiu gin ti gin (liờn kt mnh) mt ht (1PI) ca electron... me2 e2 1- x 2 ự 2 2 2 ờ =+ {4m + 2m dx ( ) g ln 4 pm ũ ở2 ln m x + x ỳỳỷ} (14) 4p 2e 16p 2 0 Vy ta cú biu thc cui cựng 1 ộ me2 e2 1- x 2 ự 2 2 2 ờ dm = + {4m + 2m dx ( ) g ln 4 pm ũ ở 2ln m x + x ỳỷỳ} (15) 4p 2e 16p 2 0 Hm cn tớnh cú dng = - i ồ 2 ( p) - ie2 ie2 2 - p + 4m)- p + 4m)+ - i ồ 2 (p) = { 2 ( 2 (- g + ln 4pm )( 16 ế e 16 ế 1 2 2 + 2ũ dx ộởp (1- x )- 2mự ỷln (m x - p x (1- x ))} 0 1 ùớù 4(1-... m x + ]} 1- x ũ ùù 16p 2e 16p 2 x 0 ợ 1 ớù me2 ỹ 2ự ùù ộ e2 1 x ù 2 2 2 ờ ỳ - iỡ + {4m + 2m dx } ( ) g ln 4 pm ý 2ln m x + ũ ở ùù 4p 2e 16p 2 ùù ỳ x ỷ 0 ợ ỵ 29 ùỹ ùý ùù ỵ 1 - ie 2 1- x 2 2 2 = dx{(2m - p (1- x ))ln m x + (m - 2 p ) 8p 2 ũ0 2 2 ộ 2 ự + ộởp (1- x )- 2mự ỷln ởm x - p x (1- x )ỷ} (16) õy l biu thc hu hn t ngoi (UV finite) nhng cú phõn kỡ hng ngoi (IR) Ta kh phõnkỡ hng ngoi bng cỏch cho... qs )ế (q 2 )ự - igs n + K ỷq 2 + ie q + ie q + ie ở - ig - ig - ig = 2 mn + 2 mr D rn ế (q 2 )+ 2 mr D sr ế 2 (q 2 )+ K q + ie q + ie q + ie = 2 + 2 ử - igmn ổ qr qn ữ r ỗ ộế (q 2 )+ ế 2 (q 2 )+ K ự = 2 + 2 ữ ỗỗg n 2 ữ ỷ q + ie q + ie ố q ữ ở - igmn = ổ ử - igmn ổqmq n ửữ -i ỗỗg - qmq n ữ ỗỗ ữ+ 2 ữ (*) 2 ữ 2 2 ựỗ mn ữ ữ ộ q ứ q + ie ốỗ q 2 ứữ (q + ie )ở1 - ế (q )ỷố thu c (*) ta ó s dng 30 qr qn D =g... 8e2m2e 2 (4p ) 1 e (4p ) ũ dxx (10 x) G(e) e ộm 2 - q 2 x (1- x)ự ở ỷ 1 ùỹ e2 ùớù 1 2 ù 2 2 ộ ự ( ) =g + ln 4 pm 6 dxx ln ( ) m q x ỡ 1- x ở 1- x ỷý 2 ũ ù ùù 12p ợù e 0 ỵ (2) iu kin tỏi chun hoỏ cho ta e2 1 d3 = ế 2 (q )= ế 2 (0) = - g + ln 4pm2 - ln m 2 2 12p e { 2 } (3) Do vy 1 ử ie2 ổ 2ữ ỗ ữ (4) i ế = (q g - q q ) 2 ỗỗũ dxx (1- x)ln ộởm 2 - q 2 x (1- x)ự ln m ữ ỷ ữ 2p ỗố 0 ứ mn 2 2 mn m n Biu thc... meipx y (q)A meikx 4 d x 4 (2p ) eix (q+ k- p) y (p)g my (q)A m(k ) = ed4 (q + k - p)y (p)g my (q)A m(k ) 24 CHNG II: TI CHUN HO QED BC MT VềNG 2.1 Tỏi chun hoỏ hm súng v khi lng ca trng spinor Bõy gi ta xột in ng lc hc lng t spinor mt vũng vi Lagrangian ton phn nh sau: 2 1 1 LQED F0 F0 0 (i m 0 )0 e00 0A0 A0 4 20 (1) Trong ú 0 ch cỏc i lng trn.Vic tớnh b ớnh cho hm truyn dn n = iZ2 p - m... húa li hm súng 0 Z21/2r , 0 Z21/2r , A0 Z31/2Ar 2 Khi ú (1) tr thnh 1 Z3 LQED Z3Fr Fr Z2 r (i m0 ) r e0 Z2 Z1/2 ( A r ) 2 3 r r A r 4 20 Ta nh ngha tip e Z11Z2 Z1/2 3 e0 , 3 Z3 1 , 0 / Z3 , m Z2 m0 m v 25 3 e 1 Z1 1 0 e 1/2 Z2 Z3 1 4 Trong ú e,m l in tớch v khi lng vt lớ (o c) Khi ú L QED 2 1 1 Fr Fr r i m r e r r A r A r 4 2 1 3Fr Fr r i 2 m ... d xL = ie ũ d x ộ ở SSQED = SQED ( int x) m j * (x )j (x )- j * (x )ả mj Â(x )ự ỳ ỷA (x ) (6) m Chuyn sang khụng gian xung lng ta cú (x ) = ieN j2 N A ũ d xd p1d p 2d 4q SSQED int e- ix ( p1... ip1mj * (p )j (p1 )ự ỳA (q) ỷ N j2 N A ũ d p1d p 2d 4qLSQED (p1 , p , q ) int (7) Trong ú ộ * ự m LQED int (p1 ,p ,q )= - e(p1 + p )m ởj (p )j (p1 )ỷA (q)d (p1 + q - p ) (8) Exponent (7) cho... nh SQED = QED ũ d xLint (x ) = e ũ = eũ d4x (2p ) y (p)e- ipx g meipx y (q)A meikx d x (2p ) eix (q+ k- p) y (p)g my (q)A m(k ) = ed4 (q + k - p)y (p)g my (q)A m(k ) 24 CHNG II: TI CHUN HO QED