Tái chuẩn hoá QED ở bậc một vòng

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Th.S Hà Thanh Hùng giảng viên khoa Vật lí, người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thiện khố luận Trong q trình nghiên cứu đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót mong góp ý thầy giáo bạn để đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Xuân Hoà, tháng năm 2012 Người thực Ngô Thị Loan LỜI CAM ĐOAN Đề tài: “Tái chuẩn hố QED bậc vòng” thực hướng dẫn trực tiếp Th.S Hà Thanh Hùng Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tôi, kết không trùng với kết tác giả cơng bố Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Xuân Hoà, tháng năm 2012 Người thực Ngô Thị Loan MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG .3 Chƣơng 1: Trƣờng spinor trƣờng điện từ 1.1 Trường spinor 1.1.1 Phương trình Euler-Lagrange 1.1.2 Phương trình Kleir-Gordon 1.1.3 Phương trình Dirac 1.1.4 Độ xoắn trường spinor 1.2 Trường điện từ .12 1.2.1 Phương trình Euler-Lagrange 12 1.2.2 Phương trình Dirac 13 1.2.3 Hàm truyền phôtôn Vector phân cực 14 1.2.4 Năng lượng E .20 1.3 Tương tác trường spinor trường điện từ 21 1.3.1 Tương tác không chứa đạo hàm 21 1.3.2 Tương tác chứa đạo hàm 22 Chƣơng 2: Tái chuẩn hoá QED bậc vòng 2.1 Tái chuẩn hố hàm sóng khối lượng trường spinor 25 2.2 Tái chuẩn hoá hàm sóng photon 30 2.3 Tái chuẩn hoá hàm đỉnh .32 Chƣơng III: Kết luận ứng dụng 34 Tán xạ e+ + e- + = m + m 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lí thuyết lượng tử cho tương tác điện tử proton (mở rộng lí thuyết điện động lực ) thành cơng tính tốn trình tán xạ lượng tử khác gần bậc thấp lí thuyết nhiễu loạn áp dụng cho s-matrận gần bậc cao đem lại kết phân kì Con đường để xử lí vấn đề phân kì việc tái chuẩn hóa Tái chuẩn hóa việc nhét phân kì vào tham số ban đầu (tham số trần) số tương tác, khối lượng, hàm sóng Ta hàm truyền với cực khối lượng trần Sau tính đến tương tác xuất phân kì vòng Việc thay đại lượng trần đại lượng cho ta hàm truyền có cực khối lượng vật lí Các đại lượng vật lí đo hữu hạn Việc làm xuất phát từ nhu cầu so sánh kết lí thuyết với thực nghiệm độ xác cao Như tái chuẩn hóa có vai trò quan trọng để loại bỏ phân kì tính đến bổ đính bậc cao Đặc biệt điện động lực học lượng tử spinor vòng (QED) ta tái chuẩn hóa lại (nhét phân kì vào đại lượng trần) hàm sóng khối lượng ta thu bổ đính hữu hạn cho lượng riêng electron, hàm sóng photon ta bổ đính vòng vào tốn tử phân cực chân khơng hữu hạn.Vì em chọn đề tài “Tái chuẩn hóa QED bậc vòng” nhằm hiểu rõ việc nhét phân kì vào đại lượng trần hàm sóng, khối lượng 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tái chuẩn hóa lại tham số ban đầu (tham số trần) để loại bỏ phân kì tính bổ đính bậc cao PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc, tra cứu tài liệu Phương pháp giải tích tốn học Các phương pháp khác vật lí lí thuyết ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Hàm sóng, khối lượng, hàm đỉnh CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Chương 1: Trường spinor trường điện từ Chương 2: Tái chuẩn hóa QED bậc vòng Chương 3: Ứng dụng kết luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG I: TRƢỜNG SPINOR VÀ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ 1.1 Trƣờng spinor 1.1.1 Phương trình Euler-Lagrange Xét trường mô tả hàm trường sau: y 1(x),y (x),K ,y n (x) Hàm Lagrange hay mật độ Lagrange hàm phụ thuộc vào hàm trường y (x)và đạo hàm bậc i Nếu coi y i (x) tọa độ suy rộng xung lượng suy rộng là: ∂µ( y i (x) ) =  x   i xµ Hàm tác dụng A A  d d x  Trong dx o dx xL(x)  Hàm tác dụng A bất biến phép biến đổi Lorentz A  d d L(x)  x  Với D( x)  D( x ) xo x o x1 x o x2 x o x3 x o D(x) D(x) L(x) x  x o x1 x1 x1 x o x  x xo x x1 x x x2 x x3 x 2 x  x  x1 x  x 3 x 2 x x1 gọi Jacobien phép biến đổi x x Mặt khác phép biến đổi Lorentz ta có: x   x    x  Phép biến đổi không  ta có:  x a x  x        D(x) x       x  D(x)  D(x)   det1 D(x) 1 Vậy A d 4xL(x) A Tác dụng A bất biến phép biến đổi Lorentz  Nguyên lí tác dụng tối thiểu A  L(x)d x 0  *Thiết lập phương trình E-L Ta có L(x)  L( L(x)    (x),  (x))i  (( x)  L L  ( (x))   i (x) (  i (x)    : biến thiên Lagrange thay đổi hàm trường gây nên ta đảo thứ tự  cho (i (x))  i ((x)) ((x ))  L(x)   L L   ( i (x))  i (x) Thêm bớt: L   (  i (x))  L (i L(x) (x)    (x)   ((x) i (i (x)) ( (x)) i (x )   L  L (x)  ( i (x))    i (i (x))  (x)   vào vế phải ta   L i  L      i i  (x) L L (    ((x) (x))  i i  L     i  (x)  i   i L (x) ( i (x))   i (i (x)) L  Thay vào biểu thức  Ld ( i (x)) x 0   L  d4 x      i (x) L  (x) ((x)  i (x)   i  i  4L   d x (x) 0  i  ( i (x)  Xét tích phân thứ hai Theo định lí Ơ-G ta có:    divAdv Ads Ta có  L d x    (x)  L d  n (x)     i (  (x)  i    (i (x) i  Giả thiết biến phân hàm trường triêt tiêu mặt biên tổng miền lấy tích phân tức : d  n   L ( i (x)) Trong -Õ (q )= e 2 (4p ) 8e m e ò 2 =- e ém - q x (1- (4p ) e2 íïï ì - g + ln 4p m - G( e ) dxx x ) (1- ë 6ò dxx (1- 12p ï e ïỵ x )ù û x )ln ém ë ùüï ) x ù ý ỷù ỵ ù q x (1- (2) Điều kiện tái chuẩn hoá cho ta e2 ( 2) d3 = Õ q {1 - g + ln 4pm = Õ (0) = 12p e ln m } () Do iÕ = - (q g n mn m ỗỗũ m n qỗỗ q ie2 ổ1 2ữ 2 ù é ) dxx (4) - x (1 -x) ln - (1 x - )ln m q ÷÷m ë û ÷ø 2p è Biểu thức hữu hạn Như vậy: Bằng việc tái chuẩn hoá lại (nhét phân kì) hàm sóng photon d3 , ta có bổ đính vòng vào tốn tử phân cực chân khơng hữu hạn 2.3 Tái chuẩn hoá hàm đỉnh Tại gần vòng có hai giản đồ cho đóng góp ỉ é mn ùư ÷ qn ú = u ỗỗ pÂờg mF (q )+ ữu F (q ) ( p) is 2m ỳỷữứ ỗ ố ờở Hình 2.4: Bổ đính bậc thấp cho phần đỉnh = + + m m m m ieG (p¢, p)= ie ég + dG (q )ù+ ieg d 1 ë û m Từ điều kiện ieG (p ¢- Như p= 0)= ém m ieg cho ta m ù m m ie ëg + dG1 (0)û+ ieg d1 = ieg d1 = - dG1 (0) (1) m Trong dG1 = Như m g dG1 Dựa vào đồng thức Ward ta thấy d1 = d2 (2 ) Z1 = Đồng thức Ward có dạng (3) Z2 - dF1 (0)=dS ( p ) dp m (4) Đồng thức Ward cho ta mối liên hệ số hạng phản hàm sóng eletron với số hạng phản số tương tác CHƢƠNG III: ỨNG DỤNG VÀ KẾT LUẬN Tán xạ e+ e- ® m+ mTrong phần ứng dụng cho tán xạ e+ e- ® m+ thay - m đại lượng trần đại lượng vật lí sau tái chuẩn hố Các kết tính tốn sau thực với khối lượng vật lí hàm sóng tái chuẩn hoá Các đại lượng tái chuẩn hoá đại lượng trần liên hệ với theo kết tính chương m = (d2 + 1)m0 - dm - y = Z2 y = (d + 1)- y Trong 2 e dm = - me {4m(g ln 4pm ) 4p e + 16p 2ù é x + 2m ò dx ê2ln m x + ú} êë e x úû ¶å d2 = d2 = - 2 p=m ¶p e {g - ln 4pm2 e + 16p e 16p + Ta xét tán xạ - , + (p ) ò dx[2(1- x)ln m x + - + e (p1,s ) + e (p2 ,s) ® m (k1 , s) + m 2(k , s ¢) 4(1- x2 ) ]} x (1) Trong khuôn khổ điện động lực học lượng tử - lý thuyết tương tác hạt mang điện với photon (QED), gần bậc thấp – gần (tree level), giản đồ Feynman cho lí thuyết nhiễu loạn QED tái chuẩn hố cho đóng góp hình sau: e- m- e+ m+ Để mơ tả q trình ta cần hai Lagrangian tương tác (x) (x)gn y (e)(x)+ y m(x)gn y (m) n e éy ( ) e (x)ùA êë úû Trong y tốn tử trường muon, tương (m) tán xạ tự Mfi = i v (g(e)m()p2 ,s) e2 a b y (e) cho electron Biên độ u(e)b (p1 ,s¢)g u(m) (k1,s ) mn d a q + ie e2 =i q i + e u(e) (p1,s¢)u( )(k1,s )n v( )(k ,s ¢) (2) g v(e)(p2 ,s)g n m m Trong q = p1 + p2 , hàm truyền photon chuẩn t’Hooft – Feynman ( x = 1) sử dụng Chú ý biên độ tán xạ số c Các yếu tố ma trận ứng với đường fermion (muon electron) biên độ tán xạ số, nên ta đường fermion Ta làm việc hệ khối tâm p1 + p2 = k1 + k2 = p = p1 = - p 2, k = k1 = - k2 Để tính M = M* M ta sử dụng công thức sau fi fi fi * é ù a p Ùb p ( ) ( )û b(p2 )Ùa(p1 ë ) Trong = a,b = u,v + Ù= g Ù g0 Dưới vài trường hợp cụ thể + m+ g =- g g = g g g = g q q Kq n m = q q q n (4) 1= g g =1 m (3) K g mg = g mg n- 1 Khi không quan tâm đến độ xoắn hạt trạng thái cuối, ta sử dụng công thức sau u( p (+p,s)u (p,s)b = b m) å a a s b å va (p,s)v(p,s) m) = (p + b a ( 5) s Nếu ta quan tâm đến độ xoắn trạng thái cuối, công thức (5) có dạng b é ù b = ê( p m) (1+ g5 s )ú ua (p,s)u(p,s) + úûa êë é b b = ê( p m) (1- g5 s ù va (6) )ú (p,s)v(p,s) úûa ëê Trong sm vector dạng khơng gian thoả mãn điều kiện tái chuẩn hoá sau m m s s = - 1, sp =0 m Trong hệ hạt đứng yên Khi e M 2= u m r sm = (0, s), rr s.s = p ,s ¢ g v p ,s v r k ,s ¢ g u å 4q 4 s,s¢,s ,s ¢ (k ,s )2 r (1e) (e) ( ) ) (m) ( m ( ) fi ´ v(e)(p ,s)g n u(e)(p1 ,s¢)u(m) (k1 ,s (k ,s (m) g ) ¢) e4 g ¢ ((ggmp ))a ¢v(e)g (p ,s)¢u(m)(k ,s ) (vp(e1)(,sp¢2 ),s´)(gm)a u(e)b (p1,s¢)u(e) = 4q (7) å a b d a d b s,s¢,s ,s ¢ g¢ s¢ ´ v(m)b¢(k ,s ¢)v(m) (k ,s ¢)(dg p ) u(m)g¢(k1 ,s ) e (gm)a (p1 m + ge ) b ) gv(e) g (p2 ,s)v(e)(p2 ,s)(gm)a ¢¢ ( = å a 4q4 s¢,s ¢ b a r ´ (k2 - d¢ g¢ b¢ d d a¢ mm) (g p ) u(m)g¢(k1 ,s )u(m) (k1,s ) b = e (gm)a (p1 + -me )d (gr )g ( p2 me )g (g )a ¢¢ b a b m b d 4q ´ (k2 - )d¢ )d¢g¢( k1 + mm ag¢¢ r m é=g e44 Trm ë 4q (p + b¢ me ) g m (p2 - émge )ùTr û r (k2 - ) (k1 + m )ù m g m r m m e êë úû g k - m2 g mg r ù p g p - m g g )ùé m ) Tr (g k m r e m r ú m úû 4q êë û ê ë 4e ép + p p - g (p + m )ù p p = 2p 1p 2m e úû mr q ëê = r éTr (g 1m éê 1m r2 kr km g mr (k k + ù ´ k k +mm úû 2 ë Hệ số (7) xuất) ta lấy trung bình theo trạng thái spin hai hạt trạng thái đầu Trong công thức m , m tương ứng khối lượng e m electron muon (p , k ) p0k0 - p k = E - pkcosq = 1 1 1 (p , k )= (p , k ), 1 (k1.k2 )= s = 2m + e (p , )= (p , k k ), s - 2m 2 m ,2 2(p p ) = (p1.k2 ) E2 + (- p , p )= 1 s 4E 2me pkcosq = 2 2m + 2(E + p ) = (8) e Trong E lượng electron ban đầu muon trạng thái cuối, pº p,k º k q góc tán xạ, góc p1 k1 Sử dụng 4m2 s e , 12 s p= 4m2 s m, 12 s k= Và đặt aº e2 4p 1- be º , 4m e s , bm º 4mm2 1- s Ta thu 1 é Mif = p a êê 1+ (1+ bebmcosq) ë( + 16 16 bebmcosq) Trong giới hạn lượng cao s ? m2 ,m ta có , e m M 2 (1+ cos q) 2 2 pa 16 M fi æds ÷ = if Sử dụng cơng thức m2mù e + úú s s û = p¢ S ç ÷cm 64p 2s p çèdWø÷ 1 çỉds÷ ữữ ố ứ = p a ỗdW 64p s 16 cm = m 10 s Trong dW= dj d(cosq), £ a (1+ cos2q) 0£ j 2p, với (S=1), ta có (1+ cos q) ( 9) £ q£ p ta ds dcosq = a 2p 29 s (1+ cos 2q) Ta có tiết diện tồn phần gần lượng cao pa Lấy tích phân theo j s= Tại lượng s= » 3.14 192s s = 100Gev , ta có - s mbar 10- GeV- 0.8710 ´ 0.3894 = 3.39 pbar (10) 1372 192 ´ Như việc sử dụng lí thuyết tái chuẩn hố khối lượng electron m muon m ta tính tiết diện tồn phần gần e m lượng cao biên độ tán xạ M if KẾT LUẬN Tái chuẩn hoá đề tài tương đối rộng, phạm vi nghiên cứu em xin dừng lại hàm sóng khối lượng Tái chuẩn hố việc nhét phân kì vào tham số ban đầu (tham sổ trần) Sau ta coi đại lượng tái chuẩn hố đại lượng vật lí (đo được) thơng qua điều kiện tái chuẩn hố Trong gần vòng ta cần tái chuẩn hoá tất tham số như: hàm sóng electron, photon, khối lượng số tương tác trần Lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hố có yếu tố gắn liền với số hạng phản Trong QED ta gặp hai loại phân kì: phân kì UV phân kì IR liên quan tới khối lượng photon không Đồng thức Ward cho ta mối liên hệ toán tử lượng riêng electron số tương tác, tiện lợi cho tính tốn Q trình tái chuẩn hố tóm tắt lại sau Trần i p - m0 + ie Tương tác ® Mặc áo å (p) ® iZy p - mp + ie Tái chuẩn hố ® i p - mp + ie Xuất phát từ đại lượng trần (hằng số tương tác, khối lượng, hàm sóng) ta có hàm truyền với cực khối lượng trần Sau tính đến tương tác xuất phân kì vòng Việc thay đại lượng trần đại lượng tái chuẩn hoá cho ta hàm truyền có cực khối lượng vật lý Các đại lượng vật lý đo hữu hạn Phải nhấn mạnh rằng: việc làm xuất phát từ nhu cầu so sánh kết lí thuyết với thực nghiệmở độ xác cao Trong gần (kết mang tính định tính chủ yếu) tất đại lượng trần, tái chuẩn hoá vật lý giống TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Quang Bửu (1987), Hạt bản, NXB giáo dục [2] Đặng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lí hạt nhân hạt bản, NXB giáo dục [3] Hà Thanh Hùng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Hoàng Ngọc Long(2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB thống kê Hà Nội [5] Đặng Văn Soa, Giáo trình cấu trúc hạt nhân hạt bản, NXB Đại học sư phạm [6] Phạm Thúc Tuyền, Lí thuyết hạt bản, NXB Đại học quốc gia [7] Sweinberg (1995), The quantum theory of fields, voil.1, cambridge university press [8] K.Fujikawa, B.W.Lee, and A.I.Sanda (1972), Phys, Rev, D6 ... hàm 22 Chƣơng 2: Tái chuẩn hoá QED bậc vòng 2.1 Tái chuẩn hố hàm sóng khối lượng trường spinor 25 2.2 Tái chuẩn hố hàm sóng photon 30 2.3 Tái chuẩn hoá hàm đỉnh .32 Chƣơng... đính vòng vào tốn tử phân cực chân khơng hữu hạn.Vì em chọn đề tài Tái chuẩn hóa QED bậc vòng nhằm hiểu rõ việc nhét phân kì vào đại lượng trần hàm sóng, khối lượng 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tái chuẩn. .. thực nghiệm độ xác cao Như tái chuẩn hóa có vai trò quan trọng để loại bỏ phân kì tính đến bổ đính bậc cao Đặc biệt điện động lực học lượng tử spinor vòng (QED) ta tái chuẩn hóa lại (nhét phân