một số hàm số học

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HƢỜNG MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS DƢƠNG THỊ LUYẾN HÀ NỘI - 2011 Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Mục lục Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu Phần Kiến thức Tính chia hết vành số nguyên Ƣớc chung lớn Bội chung nhỏ Số nguyên tố Đồng dƣ .10 Hệ nhị phân 13 Phần Một vài hàm số học 14 Hàm số học 14 Hàm phần nguyên y=[x] 15 Hàm tổng ƣớc 42 Hàm số ƣớc 49 Hàm Ơle m .57 Một số hàm khác 68 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận đƣợc hoàn thành cố gắng, nỗ lực thân,cùng với bảo tận tình giúp đỡ cô giáo Dương Thị Luyến Khóa luận không trùng với kết tác giả khác.Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hƣờng Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Lời cảm ơn Trƣớc tiên với biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Dương Thị Luyến hƣớng dẫn bảo tận tình cho em suốt thời gian học tập hoàn thành khóa luận Em chân thành cảm ơn thầy cô giáo trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô khoa toán dày công truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt trình học tập rèn luyện trƣờng Cuối xin gửi lời cảm ơn tới tất bạn bè, ngƣời giúp đỡ động viên trình hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hƣờng Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Lời nói đầu Lý chọn đề tài Số học môn toán học đời từ sớm kể từ đến đƣợc nhà toán học quan tâm nghiên cứu, lẽ không bí ẩn số mà có ứng dụng quan trọng hệ thống toán học, nhƣ cho cách mạng khoa học kỹ thuật nhƣ lý thuyết mật mã, kỹ thuật số,…Đặc biệt ứng dụng thông qua hàm số học Ngày kiến thức số học ngày đƣợc phổ biến rộng rãi nƣớc ta, đặc biệt chƣơng trình giảng dạy môn toán nhà trƣờng phổ thông Hàm số học khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm khoa học toán học Đảm bảo vị trí trung tâm khái niệm hàm số tăng cƣờng tính thống môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo phân môn môn toán, phần khác chƣơng trình Bản thân muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu hàm số học chọn đề tài cho luận văn Mục đích, yêu cầu đề tài Đề tài nhằm hệ thống lại số hàm số học thông dụng: kiến thức liên quan tập áp dụng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Hàm số học Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế mặt thời gian nhƣ lực thân nên khóa luận dừng lại nghiên cứu số hàm số học thông dụng Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề: Phần Kiến thức Phần Một số hàm số học Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu, phân tích tài liệu Hệ thống khái quát vấn đề Sƣu tầm giải toán Tổng kết kinh nghiệm Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Phần Kiến thức Tính chia hết vành số nguyên 1.1 Định nghĩa Cho hai số nguyên a, b Nếu có số nguyên c cho a = b.c ta nói b chia hết a ( b ƣớc a) kí hiệu b\a Khi đó, ta nói a chia hết cho b (a bội b) kí hiệu aMb 1.2 Các tính chất tính chia hết i, a\0 a ii, a\a a iii, 1\a a iv, a\b b\c a\c Nếu a\b b\c a, b hai số đối a = v, Nếu a\ bi, i = 1, n a\ b n ¢, bi xi , xi i = 1, n i Ƣớc chung lớn (ƢCLN) bội chung nhỏ (BCNN) 2.1 Ƣớc chung lớn a Định nghĩa Định nghĩa Cho n số nguyên a1, a2, …, an Một số nguyên c đƣợc gọi ƣớc chung số nguyên a1, a2, …, an, c ƣớc số Định nghĩa Một ƣớc chung d số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc gọi UCLN ƣớc chung chúng ƣớc d, tức số nguyên d gọi UCLN a1, a2, …, an thoả mãn điều kiện sau: i, Md, Nguyễn Thị Hường i = 1, n K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến ii, Nếu d’ số nguyên mà Md’, i = 1, n d Md’ Nếu d UCLN số nguyên a1, a2, …, an, d UCLN chúng Nên vành số nguyên ¢ ta quy ƣớc lấy số dƣơng số d làm UCLN Kí hiệu: d = (a1, a2, …, an) Định nghĩa Các số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc gọi nguyên tố chúng nhận làm UCLN Nếu số nguyên a1, a2, …, an, đôi nguyên tố chúng đƣợc gọi số nguyên tố đôi hay nguyên tố sánh đôi b Tính chất ƢCLN i, d UCLN a1, a2, …, an, ¢ , i 1, n cho d = xi n xi i ii, a1, a2, …, an, nguyên tố xi ¢ , i 1, n cho n 1= xi i iii, d = (a1, a2, …, an) 1= a a1 a2 , , , n d d d iv, (m.a1, m.a2, …, m.an) = m(a1, a2, …, an), m a a1 a2 , , , n c c c = (a1 , a , , an ) c v, Nếu a\(b.c) (a,b) = a\c vi, Nếu số nguyên a1, a2, …, an, nguyên tố với số b1, b2, …,bn (a1, a2, …, an, b1, b2, …,bn ) = 2.2 Bội chung nhỏ a Định nghĩa Định nghĩa Một số nguyên c đƣợc gọi bội chung số a1, a2, …, an, c bội số Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Định nghĩa Một bội chung m số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc gọi BCNN bội chung chúng bội m Nếu m BCNN số nguyên a1, a2, …, an, m BCNN chúng Nên vành số nguyên ¢ ta quy ƣớc lấy số dƣơng số m làm BCNN Kí hiệu: m = a1 , a2 , , an b Tính chất BCNN i, m = a1 , a2 , , an m m m , , , a1 a2 am = ii, m.a1 , m.a2 , , mam = m a1 , a2 , , an , m Z a , a , , an a a1 a2 , , , n = , c\ a1 , a2 , , an c c c c iii, (a,b).[a,b] = a.b Số nguyên tố 3.1 Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ƣớc số Tập số nguyên tố kí hiệu: 3.2 Định lý * Định lý Euclid Tập số nguyên tố vô hạn Chứng minh Giả sử hữu hạn số nguyên tố p1, p2, , pn Khi xét số N = p1.p2 pn + có hai khả xảy Nếu N số nguyên tố N khác số nguyên tố p1, p2, , pn Nếu N hợp số N có ƣớc nguyên tố p Số nguyên tố khác số nguyên tố p1, p2, , pn chia n cho p1, p2, , pn dƣ Nguyễn Thị Hường K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Nhƣ vậy, ta tồn số nguyên tố khác với n số nguyên tố cho Vậy giả sử có hữu hạn số nguyên tố sai Tức có vô số số nguyên tố * Định lý Mọi số tự nhiên lớn phân tích đƣợc thành tích thừa số nguyên tố phân tích không kể thứ tự thừa số Chứng minh a) Phân tích Giả sử a số tự nhiên lớn a có ƣớc nguyên tố p1: a = p1.a + Nếu a1 = a = p1 phân tích a + Nếu a1 > a1 có ƣớc nguyên tố p2: a1 = p2.a2 - Nếu a2 = a = p1.p2 phân tích a - Nếu a2 > a2 lại có ƣớc nguyên tố p3: a2 = p3.a3 Ta lại tiếp tục xét với a3,… Vì ta có dãy a, a1, a2, …, giảm dần nên sau hữu hạn bƣớc ta gặp an = ta đƣợc a = p1, p2, , pn phân tích a b) Tính Giả sử a phân tích đƣợc thành a = q1.q2…qm, qi , i = 1, n Khi ta có p1.p2 pn = q1.q2…qm p1\(q1.q2…qm) Suy p1 trùng với thừa số qi, ta giả sử q1 Ta có p1 = q1 giản ƣớc p1, p2…pn = q2…qm Tiếp tục trình giản ƣớc hết thừa số vế Vì không xảy đẳng thức = qn+1…qm (m > n) với pm+1…pn (m < n) pi, qj (i = 1, n , j = 1, n ) nên m = n pi = qi, Nguyễn Thị Hường i 10 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến n 2.n n Khi dấu xảy ra? Lời giải Giả sử n có khai triển thừa số nguyên tố n p1 p2 pk Ta có n n 1 p1 p2 Theo tính chất hàm n (1) n ta có p1 p12 p1 p2 p22 p2 pk pk2 pk k p1 1 p1 p2 pk n Hay pk k p2 p1 p1 p2 pk k n p1 1 p1 p2 pk k p2 p2 pk k pk pk (2) Dấu xảy (2) k Từ (1) (2) suy n n n 1 1 p1 p2 pk 1 1 p1 p2 pk (3) Ta sử dụng bất đẳng thức sau 1 p1 p2 pk 1 p1 p2 pk (4) Dấu (4) xảy k = Từ (3) (4) ta đƣợc: n n (5) Dấu (5) xảy i 1, i 1, k k Nguyễn Thị Hường 62 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến p ( p số nguyên tố) n Vậy dấu xảy n số nguyên tố Bài Tính 21000000(mod 77) Lời giải Trƣớc hết ta đƣa phƣơng pháp chung để giải toán tính đồng dƣ lũy thừa lớn Chẳng hạn ta cần tính an(mod k), n số nguyên lớn (a,k) = Giả sử ta có biểu diễn k p1 p2 ps s Do pi nguyên tố (a,k) = 1suy (a, pi ) = 1, i 1, s i pi i Theo định lý Ơle a 1(mod pi i ) (1) Giả sử N BCNN pi i , từ (1) suy a N 1(mod k ) Biểu diễn n dƣới dạng n = N.q r, r n, nên có a n a N q a r suy a n a r (mod k ) +) Quay lại toán cho ta có 77 = 11.7 Mặt khác 11 10, 6, 10, 30 Theo lập luận tổng quát suy 230 1(mod 77) Ta có 1000000 = 30.33333 10 nên 21000000 210 (mod 77) 1024(mod 77) Hay 21000000 23(mod 77) Bài Tìm số dƣ phép chia số 17761492! Cho 2000 Lời giải Ta có 125 = 53, suy theo công thức hàm Ơle ta có Nguyễn Thị Hường 63 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp 125 125 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến 100 Giả sử a số nguyên dƣơng mà (a,125) = nên theo định lý Ơle a 125 1(mod 125) tức a100 1(mod 125) (1) Do 1776 M16 nên dĩ nhiên 17761492! 0(mod 16) Dễ thấy (125, 1776) = từ (1) ta có 1776100 (2) 1(mod 125) 1492!M100 17761492! (1776100)k 1k 1(mod 125) 1492! k.100 Vậy 17761492! 1(mod 125) (3) Từ (2) (3) ta có hệ phƣơng trình đồng dƣ sau: n 1(mod125) n 0(mod126) Số nguyên dƣơng nhỏ thỏa mãn hệ 1376 Vậy ta có 17761492! 1376(mod 2000), 2000 = 125.16 Kết luận số dƣ phép chia số 17761492! Cho 2000 1376 Cách Ta có 17761 1776(mod 2000) 17762 176(mod 2000) 17763 576(mod 2000) 17764 890(mod 2000) 17765 1376(mod 2000) 17766 1776(mod 2000) Từ suy 1776m 1776m-5(mod 2000), m Vì 1492! M5 nên 17761492! 17765(mod 2000) 1376(mod 2000) Bài Cho dãy số un xác định nhƣ sau: u1 un 2un , n 1, 2, Chứng minh với n ta có un un (mod m) , với m n Nguyễn Thị Hường 64 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Lời giải Ta chứng minh quy nạp theo n +) với n = ta có u1 = 2; u2 = u1 = 22 = m 1; Hiển nhiên (mod 1); 2(mod 2) m Vậy kết luận n = +) Giả sử kết luận với k n +) Ta chứng minh kết luận với k n , tức un un (mod m), m n Đặt m 2s.(2.r 1) Theo định lý Ơle: ta có 2.r Theo công thức hàm Ơle Từ Vì un 2.r 2.r un n mod 2.r un n n Rõ ràng 2s , 2.r un mod 2.r 1 pk n hay un un M 2.r 2un mod 2.r n (2) 2un mod s (3) nên từ (2) (3) suy 2un mod s 2.r , tức 2un 2un 1 p2 2.r m n Vì 2u M2u ; 2u M2s 2u n p1 n n nên theo giả thiết quy nạp ta có Từ suy 2u n (1) 1(mod 2.r 1) 2un mod m , m n Bài Chứng minh m, n m, n m n Lời giải Với số nguyên tố p ƣớc đồng thời m n ứng chứa thừa số , p Nguyễn Thị Hường m 65 n chứa thừa số p m.n tƣơng K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến 1 nên điều kiện p Vì Đặc biệt m m.n m n m2 Đẳng thức xảy m=1 Bài Tìm m biết dạng phân tích tiêu chuẩn giá trị a) m , 600 m b) m p, m là: 180 m Lời giải a) Ta có (m) 1.5 1 1 1.5 1.2.4 600 75 3.52 1 2 Vậy m 32.52 1125 b) Ta có ( m) 1.3 1.2.( p 1) 180 1.3 ( p 1) 90 1 p p 1 p 10 p 11 1 p 30 p 31 2.5.32 m m 2.33.11 594 m 2.32.31 558 Vậy m=594 558 Nguyễn Thị Hường 66 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Bài Tìm số tự nhiên m thoả mãn (m) Lời giải Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn là: m k pi i i Do (m) nên suy pi 8( i 1, 2, , k ) suy pi Nếu 2,3,5 m 1.3 ,( pi 2 ( m) M nhƣng theo giả thiết ( m) M 5 nên suy vô lý Vậy Ta có 0) i (m) (2 ) (m) không chia hết cho 1 1 Từ xét trƣờng hợp sau TH1: 3 3 TH2: 1 m 24.3.5 m 24.3 ( m) 16 m 24.5 ( m) 32 0 m 24 ( m) 64 ( m) + + Nguyễn Thị Hường 1 m 24.3.5 m 23.3 ( m) 64 (m) 32 67 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp 3 TH3: 3 3 23.5 0 m 23 1 m 22.3.5 m 22.3 ( m) m 22.5 ( m) 0 m 22 ( m) 16 ( m) ( m) 16 ( m) 1 m 21.3.5 m 21.3 ( m) m 21.5 ( m) 0 m 21 1 m 3.5 ( m) m (m) m ( m) 0 m (m) 3 m TH5: 2 TH4: GVHD: Th.s Dương Thị Luyến ( m) ( m) 3 3 Nguyễn Thị Hường 68 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Vậy giá trị m thoả mãn đề là:16;24;20;30;15 Nhận xét : Việc tìm giá trị m biết giá trị (m) mà chƣa biết dạng phân tích tiêu chuẩn phức tạp giá trị m tìm đƣợc không Nếu giá trị (m) lớn việc giải toán khó khăn Mốt số hàm số khác 6.1 Hàm S(n) 6.1.1 Định nghĩa: Giả sử n số tự nhiên.Ta định nghĩa S(n) tổng chữ số n biễu diễn hệ thập phân Tức n có dạng n = , S (n) a1 a2 ak k 6.1.2 Tính chất hàm S(n) Cho n số tự nhiên i) S (n) n(mod9) ii) S (n) n iii) S (n) n n iv) S (m n) S (m) S (n) với m,n nguyên dƣơng với m,n nguyên dƣơng v) S (m.n) S (m).S (n) Chứng minh i) Giả sử biểu diễn thập phân số nguyên dƣơng n có dạng n n n Khi n S ( n) k 10k k 1 Vì n S (n) .10k 1 99 k 101 k 99 { k k (1) k Nguyễn Thị Hường 69 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Từ (1) suy n S (n) M9 n S (n)(mod9) S n n mod9 (điều phải chứng minh) ii iii) Ta có n n n Vì n>0 nên k>0, 0,1, 2, ,9 , i 1, k i Từ S (n) k k 1 suy S(n)>0 Lại thấy từ (1) S (n) n S ( n) n 0 k 1, 2, ,9 Đó điều phải chứng minh iv) Giả sử hệ thập phân n m lần lƣợt có dạng n n n ,m n n Không giảm tổng quát cho n m k s Ta viết lại m dƣới dạng sau đây: m 00 { s s k s Đặt , i 0,1, 2, , s 0, i s 1, , k i ' i Vì luôn cho n m có loại biểu diễn sau: n m Trong k k k k , i , với i i 0, k , i , i nguyên Ta chứng minh bất đẳng thức S ( m) S ( n ) , S ( m n) Với m,n nguyên dƣơng phép quy nạp theo k Nếu k=0 , n ,m S (m) S (n) Ta có m n Nguyễn Thị Hường , suy ra: 0 , 70 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Chú ý ( 0 9 0 9;0 0 , 10) 1, S ( m n) 0 9 nên 0 18 , suy : (khi 0 ) Tóm lại, ta chứng minh đƣợc S (m n) S (m) S (n) , trƣờng hợp k=0 Vậy điều khẳng định k=0 Giả sử điều khẳng định đến k-1, tức với biểu diễn hệ thập phân: n k m k k k (trong hai số k , k phải > 0), ta có: S (m n) S (m) S (n) Xét trƣờng hợp với k, tức m n biểu diễn nhƣ sau: n k k ;m k k k k , hai số k , k phải lớn không Ta viết lại n 10 Vì 10 k k k k ; m 10 k k k nên suy S (10n' ) S (n' ) , n' S (10' )m S (m' ) , m' k S n ' S m k Tƣơng tự k Rõ ràng ta có S n S m' Áp dụng giả thiết quy nạp, ta thấy S m' n' S m' Mặt khác, ta có m n 10 m' n' Nguyễn Thị Hường S n' 0 71 , nên K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến S m' n ' S m n 0 , Suy S m' S m n S n' S m S n Vậy điều khẳng định đến k Từ suy điều phải chứng minh Chú ý Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh đƣợc Nếu a1 , a2 , , ak số nguyên dƣơng k S S a1 a2 ak i v) Giả sử B có biểu diễn dƣới dạng thập phân B b1b2 bk Khi B bk 10bk 102 bk 10k b Trƣớc hết ta có nhận xét sau Nếu N số tự nhiên với số p nguyên dƣơng, ta có: S 10 p N S N (nhận xét hiển nhiên dựa vào trực tiếp từ định nghĩa hàm S(n)) Ta có AB Abk 10Abk 102 Abk 10k Ab1 Theo phần 4) vừa chứng minh suy S AB S Abk 10Abk 10k Ab1 S Abk S 10Ab k S 10k Ab1 Lại theo phần 4) ta có S Abk S A A A 4 4 S A S A S A 4 4 4 43 bk S A bk Tƣơng tự, ta có S 10 Abk Nguyễn Thị Hường bk 1S 10A bk 1S A ; 72 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp S 102 Abk GVHD: Th.s Dương Thị Luyến bk S 102 A bk S A ; S 10k Ab1 b1S 10k A b1S A ; Vì thay vào (*), ta có S A S B ( điều phải chứng minh) S AB Chú ý Theo nguyên lý quy nạp, ta suy kết sau: Nếu A1 , A2 , , An số nguyên dƣơng S A1 S A2 S An S A1 A2 An 6.2 Cho n số nguyên dƣơng Ta gọi g(n) tổng chữ số biểu diễn hệ nhị phân n Ví dụ g (13) 13 11012 6.3 Cho n số nguyên dƣơng Ta gọi f (n) số nguyên k không âm lớn cho n chia hết cho 2k Ví dụ f (32) 32M25 6.4 Cho n số nguyên dƣơng Hàm k n (tổng lũy từa bậc k ƣớc số n) đƣợc xác dịnh nhƣ sau: k n d1k d 2k d kj , d1 , d2 , , d j tất ƣớc dƣơng n Ví dụ k p p k , với p số nguyên tố 6.5 Cho k số nguyên dƣơng Ta kí hiệu f1 k bình phƣơng tổng chữ số Chú ý Nếu f1 k bình phƣơng tổng chữ số Nguyễn Thị Hường 73 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp f2 k Ví dụ f1 123 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến f1 f1 k ; f3 k 62 Nguyễn Thị Hường 36; f 123 f1 f k ; ; f n f1 36 k f1 f n k 81 74 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Kết luận Khóa luận trình bày số vấn đề hàm số học, số hàm số học vừa có nhiều ứng dụng môn số luận vừa đối tƣợng nghiên cứu môn với tính chất toán điển hình Khóa luận đƣợc thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu số học nói chung hàm số học nói riêng Dù cố gắng song trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên nhiều vấn đề hàm số học chƣa đƣợc đề cập tới nhƣ hàm số đối số nguyên ứng dụng hàm số học Chắc chắn khóa luận không thiếu khỏi thiếu sót Em mong nhân đƣợc góp ý quý thầy cô bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Hƣờng Nguyễn Thị Hường 75 K33 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Tài liệu tham khảo Lại Đức Thịnh (1977) Số học NXB giáo dục Ngô Thúc Lanh(1986) Đại số số học tập 1, tập 2, NXB Giáo dục Nguyễn Hữu Việt Hƣng(1999) Đại số đại cƣơng, NXB Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải Các chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi toán trung học, chuyên đề 4: toán hàm số học,NXB Giáo dục Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu loan(1985) Bài tập đại số số học tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thị Hường 76 K33 – CN Toán