Quy hoạch toàn phương trên hình cầu

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Topo không gian ¡ n 1.2 Đạo hàm không gian ¡ n 1.3 Điều kiện cực trị 1.3.1 Cực trị không ràng buộc 1.3.2 Cực trị ràng buộc 11 1.4 Hàm lồi 14 CHƯƠNG CỰC TIỂU HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN HÌNH CẦU 16 2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương hình cầu 16 2.2 Tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục 17 2.3 Tính chất điểm KKT 37 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán quy hoạch toàn phương hình cầu, hay gần gọi tên toán miền tin cậy, đóng vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu giải tích số Người ta gặp toán áp dụng phương pháp miền tin cậy để giải toán tìm cực tiểu không ràng buộc hàm  : ¡ n  ¡ thuộc lớp C Khi có xấp xỉ x k bước k phương pháp miền tin cậy, để tìm xấp xỉ x k 1 tốt cho nghiệm toàn cục, người ta tìm cực tiểu hàm  hình cầu tâm x k với bán kính phụ thuộc vào tỉ số xác định phép tính toán hàm  , điểm x k 1 , x k dãy lặp Nếu thay  khai triển Taylor bậc hai quanh điểm x k , toán xuất hiện, x k 1 nghiệm toàn cục Các điểm cực trị điểm dừng toán có tính chất thú vị bất ngờ Việc nghiên cứu tính chất không giúp ta hiểu sâu sắc cấu trúc toán mà cung cấp công cụ quan trọng việc cải tiến thuật toán giải toán thực tế Với mong muốn hiểu sâu nội dung tầm quan trọng toán với hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn nên em định chọn đề tài “ QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG TRÊN HÌNH CẦU ” Mục đích nghiên cứu - Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu cấu trúc toán quy hoạch toàn phương hình cầu Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất điểm cực tiểu địa phương, cực tiểu toàn cục điểm KKT toán quy hoạch toàn phương hình cầu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán quy hoạch toàn phương hình cầu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng lý luận, công cụ toán học phương pháp nghiên cứu lý thuyết tối ưu Cấu trúc khoá luận Ngoài phần lời nói đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận em gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Cực tiểu hàm toàn phương hình cầu Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tôpô không gian ¡ n Giả sử chuẩn ¡ n , S tập ¡ n Ta định nghĩa hình cầu mở tâm x  S , bán kính  tập O  x    y : y  x    Tập S gọi mở ¡ n với x  S , có vô hướng   x   cho O  x   S Cả hai tập  ¡ n mở ¡ n , tích Đecac khoảng mở  , bi  cầu mở Giao số hữu hạn tập mở tập mở, hợp số tuỳ ý tập mở tập mở Một tập S gọi đóng ¡ nữa, hai tập  ¡ n n ¡ n \ S mở Vì vậy, lần tập đóng ¡ n Hình cầu đóng tâm x  S , bán kính  B  x    y : y  x    tập đóng Tích Đecac khoảng đóng  , bi  tập đóng Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng, giao số tuỳ ý tập đóng tập đóng Một tập S bị chặn có số  cho P x  y P  , x, y  S Một tập S  ¡ n tập mà bị chặn đóng gọi compact Lợi ích tính compact dãy không gian compact phải có dãy hội tụ hàm liên tục đạt giá trị nhỏ giá trị lớn tập compact Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Tập S không tập mở không tập đóng Khi đó, ta xem xét tập đóng nhỏ mà chứa S tập mở lớn mà chứa S Chúng tương ứng gọi bao đóng phần S , định nghĩa cl S   x :   0, S  B ( x)   int S   x  S :  :O  x   S  Có vấn đề với định nghĩa này, số chiều S nhỏ số chiều không gian phần tập rỗng Để giải vấn đề đó, ta đưa khái niệm phần tương đối S Nhưng trước hết, ta cần định nghĩa bao affine tập hợp Một tập affine tập A ¡ n cho x    y  x   A với x, y  A vô hướng  Siêu phẳng, tập hợp điểm  x | a, x  b với vector a cho vô hướng b , đường thẳng, điểm đơn tập affine Bao affine tập S , aff S  , giao tất tập affine chứa S Phần tương đối S tập hợp ri  S    x  S |   cho y  O  x   aff  S  y  S  def Ta có ta định nghĩa biên tương đối S S  cl  S \ ri  S  Ta ý S1  S , cl  S1 Ø cl  S2  không suy g 0  Chẳng hạn, S1 cạnh hình vuông S2 ¡ , ri S1 Ø ri S2  Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán 1.2 Đạo hàm không gian ¡ n Đạo hàm thuộc tính hữu ích mà ta mong muốn hàm số có toán tối ưu Có thể tin hàm số có đạo hàm cấp cao, toán dễ giải Cho f  x  hàm từ ¡ n vào ¡ Ta nói f thuộc lớp C k có đạo hàm riêng liên tục cấp k Nếu f khả vi liên tục  f  C1  , ta định nghĩa gradient f  x  hàm vector  x f  x  , mà thành phần thứ i f  x  Nếu, thêm nữa, f khả vi liên tục cấp  f  C  , ta định nghĩa ma xi trận Hessian ( Hessian cho ngắn gọn ) f hàm giá trị ma trận cấp 2 f  x Khi đạo hàm liên tục, Hessian n  n ,  xx f  x  , mà phần tử  i, j  xi x j đối xứng Nếu c  x   C1 hàm giá trị vector từ ¡ n vào ¡ m , ta định nghĩa ma trận Jacobian ( Jacobian cho ngắn gọn ) hàm giá trị ma trận cấp m  n ,  x c  x  , mà phần tử vị trí  i, j  ci  x  , kí hiệu ma trận x j T  x c  x     x c1  x   x cm  x   Chú ý Hessian f  x  Jacobian  x f  x  Định lý Taylor cung cấp cho ta mối quan hệ quan trọng giá trị hàm khả vi liên tục đánh giá điểm Mặc dù định lý phát biểu tổng quát hơn, ta đưa biến thể mà phục vụ cho mục đích Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Định lý 1.1 Cho S tập mở ¡ n , giả sử f : S  ¡ khả vi liên tục S Khi đó, đoạn x   s  S với    0,1 , f  x  s  f  x  x f  x   s, s với    0,1 Định lí 1.2 Cho S tập mở ¡ n , giả sử f : S  ¡ khả vi liên tục cấp hai S Khi đó, đoạn x   s  S với   [0,1] , f ( x  s)  f ( x)   x f ( x), s  s,  xx f ( x   s) s với    0,1 Sau là phiên Định lý 1.1 áp dụng cho hàm giá trị vector Định lí 1.3 (Định lý giá trị trung bình tích phân) Cho S tập mở ¡ n , giả sử F : S  ¡ m khả vi liên tục S Nếu đoạn x   s  S với    0,1 , F  x  s   F  x     x F  x   s sd Lưu ý trường hợp này, không giồng Định lý 1.1 ta kết luận có    0,1 cho F  x  s  F  x    x F  x   s  s trùng 1.3 Điều kiện cực trị 1.3.1 Cực trị không ràng buộc Trong đoạn ta xét tối ưu dạng f  x  , x f hàm giá trị thực  cho trước tập E n (0.1) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Định nghĩa 1 Điểm x*   gọi điểm cực tiểu địa phương f  tồn   cho f  x   f  x*  , x    O  x*  Nếu f  x   f  x*  , x   O  x*  , x  x* x* gọi cực tiểu địa phương chặt f  Định nghĩa 1.2 Điểm x*   gọi điểm cực tiểu toàn cục f  f  x   f  x*  , x  Nếu f  x   f  x*  , x  , x  x* x* gọi cực tiểu toàn cục chặt f  Định lý 1.4 (Điều kiện cần bậc 1) Giả sử  tập E n f  C1 hàm  Nếu x* điểm cực tiểu địa phương f  với d  E n có phương cho trước x* , ta có f  x*  d  Chứng minh Cho  bất kì:     , điểm x    x*   d  với     xác định hàm g    f  x    g cực tiểu địa phương   Bằng tính toán thông thường ta có g     g    g         (0.2) Nếu g     với giá trị đủ nhỏ   vế phải (1.2) âm g    g    (mâu thuẫn với cực tiểu g   ) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Vì g     f  x*  d  W Trường hợp quan trọng x* thuộc phần  (chẳng hạn   E n ) Trong trường hợp này, có phương hữu hiệu theo phương bắt nguồn từ x* , f  x*  d  0, d  E n suy f  x*   Ta phát biểu kết quan trọng hệ Hệ 1.1 Cho  tập E n , f  C1 hàm  Nếu x* điểm cực tiểu địa phương f  x* điểm  f  x *   Định lý 1.5 (Điều kiện cần bậc 2) Giả sử  tập E n , f  C hàm  Nếu x* điểm cực tiểu địa phương f  với d  E n bất kì, điểm mà có phương cho trước x* , ta có i) ii) f  x *  d  (0.3) Nếu f  x*  d  d T  f  x*  d  (0.4) Chứng minh Điều kiện hoàn toàn Định lý 1.1 tương ứng thứ hai f ( x* )d  Trong trường hợp này, đưa vào điểm x    x*   d g    f  x    , giống trước ta xét g    g    g    g      o   Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Nếu g     vế phải phương trình âm với  đủ nhỏ, điều mâu thuẫn với cực tiểu địa phương g   Vì g     d T  f  x*  d  W Hệ 1.2 Cho x* điểm tập  giả sử x* điểm cực tiểu địa phương  hàm f  C Khi đó, ta có i) f  x*   (0.5) ii)  f  x*  nửa xác định dương (0.6) Định lý 1.6 Cho f  C hàm xác định miền mà điểm x* điểm Thêm nữa, giả sử i) f  x*   (0.7) ii)  f  x*  xác định dương (0.8) Thế x* cực tiểu địa phương chặt f Chứng minh Vì  f  x*  xác định dương, có a0 d : d T  f  x*  d  a d Thật theo định lý Taylor, f  x*  d   f  x*   d T  f  x*  d  o d    a 2 d o d   với d nhỏ, kéo theo hai vế duơng với d nhỏ 10 cho Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Suy ra,                     Điều mâu thuẫn với giả thiết cực tiểu địa phương  Mâu thuẫn đến từ giả sử ban đầu x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (II) với  *  2 Nếu x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (I) ta phải có P x* P r (2.1) với  *   2 , 1  Nếu  *  2 , chứng minh chứng tỏ x* không cực tiểu địa phương toán (II) Vì vậy, x* không cực tiểu địa phương toán (I) W Bây giờ, ta chuẩn bị phát biểu Định lý quan trọng chương Định lý trước cho thấy x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (I) toán (II), P x* P r ,  A   * I  x*  b  *   2 , 1  Vì A   I không suy biến    2 , 1  , ta có 1 x*    A   * I  b 1 P  A   * I  b P r Ta đặt 1     P  A   I  b P2 , (2.22) với    2 , 1  Theo (2.4), ta có ci2 n     i 1  i    n       2 , ci2 i 1  i    ci2 n       6 i 1  i    với    2 , 1  , c  QT b 29 , , (2.23) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Nếu tồn cực tiểu địa phương không toàn cục c1  1  2 Do đó, trường hợp theo (2.23),  hàm lồi chặt  2 , 1  Hơn nữa, lim         1 (2.24) Do đó, phương trình      r có nhiều hai nghiệm  2 , 1  Định lý sau nghiệm lớn phương trình tương ứng với cực tiểu địa phương toán (I) toán (II) Hệ kiện cực tiểu địa phương không toàn cục Định lý 2.8 i) Nếu x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (I) toán (II), (2.1) với  *   2 , 1      *   Nếu x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (I)  *  ii) Tồn nhiều cực tiểu địa phương không toàn cục toán (I) toán (II) iii) Nếu P x* P r (2.1) với số  *   2 , 1      *   x* cực tiểu địa phương chặt toán (II) Nếu, thêm  *  thi x* cực tiểu địa phương chặt toán (I) Chứng minh Giả sử ta chứng minh (i) Cho x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (II) từ Định lý trước ta có (2.1) với số  *   2 , 1  Thế A   * I không suy biến từ (2.4) 30 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán n 1 x*    A   * I  b    i 1 Định nghĩa W     ¡ n n 1 ci v i   * i (2.25)  c2  c1 c c c c W   v1  v2 , v1  v3 , , n v1   1   3   1   n   1     2    c2      c1      v1 , ,   0   M    c3 3   cn  n       M  ,    2 , 1  ,   M  c1   1    L L c1 1   L M L L (2.26) Từ Định lý 2.6, c1  v1T b  nên rank  W      n  1, (2.27) với    2 , 1  Hơn nữa, * T x   n ci vi  W   *  e j     *       i 1  i  T  c j 1  c1 v  v  * * j 1   1     j 1    c1c j 1       * j 1   *    c1c j 1 * * j 1    1    0 (2.28) với j  1,2, , n  Từ (2.27) (2.28), cột W   *  từ sở siêu phẳng trực giao với x* Đặt T B   W   A  I  W  với    2 , 1  Khi 31 (2.29) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán B    c22  1    c12  2      2      1      c2c3  1       2     3     M   c2cn  1       2     n      c12  2       1             c2 c3  1     2     3    c32  1     3     L c12  3     1    L M K c3cn  1     3    n    L         uuT ,   c1  n      1     c2cn  1     2     n        c3cn  1      3    n      M   cn2  1    c12  n      2     1      n  c12  3     1    O  c2        u   M  ,   1    c   n   n    (2.30) (2.31) Hơn nữa,   1 B     Bˆ    I   Bˆ    uu T , với 32 (2.32) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán  c12  2       1    Bˆ      O          c12  n       1     (2.33) Vì   1  det  B      det Bˆ      uT  Bˆ     u (2.34) Bây giờ, n 2 c det Bˆ        2     n    , n 2  1    (2.35)   1    c2   2  c1  2     1  c c     u T  Bˆ     u    1     , , n   M  n     2        2 c  n   2  c1  n     1 c22  1    c12  2      cn2  1    c12  n    (2.36) Do đó, từ (2.30)-(2.36) det  B       c12 n2  2     n     1     1    n 2   c22 c22     3 3 c12  n       1    c1  2     c12 n 4  2     n     c12 cn2    n 5 3              n     33 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán c12 n 4  2     n     2c12 2cn2      n 5 3  1     n       1    (2.37) Vì vậy, từ (2.37) (2.23) det  B      c12 n 4  2     n     1    n 5    , (2.38) với    2 , 1  Nhưng c1  ta có c12 n4  2     n     1    n 5  ,    2 , 1  (2.39)   Từ (2.29) (2.2) ta có B   *  nửa xác định dương Vì vậy, det B   *   Do đó, từ (2.38) (2.39),     *   Từ Định lý 2.1, x* cực tiểu địa phương toán (I)  *  Ta chứng minh i) Phần ii) định lý kéo theo phân tích hàm  cho (2.23) Từ phân tích i) suy nghiệm lớn      r thuộc  2 , 1  xác định cực tiểu địa phương không toàn cục Chứng minh iii) Giả sử x* thoả mãn (2.1) với số  *   2 , 1  , P x* P r     *   Vì   tăng chặt  2 , 1  nên ta có       ,     * , 1  (2.40) Giả sử x* không cực tiểu địa phương chặt toán (II) Định nghĩa W    (2.26) B    (2.29) Vì (2.38) (2.39) với     * , 1  Bây giờ, từ (2.30), tất giá trị riêng B    dương chặt  *   2 , 1  đủ đóng với 1 Nếu x* không cực tiểu địa phương chặt 34 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán toán (II), ta kết luận i) B   *  có số giá trị riêng nhỏ Do đó, tồn %   * , 1  cho B  % suy biến.Vì  det  B  %   c12 n4  2  %  n  %  1  % n 5    % (2.41) Phương trình (2.41) kéo theo    %  (mâu thuẫn với 2,40) Vậy (2.1) với P x* P r ,  *   2 , 1      *   kéo theo x* cực tiểu địa phương không toàn cục toán (II) Nếu, thêm  *  x* cực tiểu địa phương chặt toán (I) (điều kiện tối ưu toán không tuyến tính )(xem Luenberger 1984, pp.316  317 ) W Ta hoàn thành chứng minh Định lý, Định lý mà giúp ta hiểu cấu trúc cực tiểu địa phương không toàn cục Định lý 2.9 Xét toán (II) với A, D Q thoả mãn (2.4), c  QT b, 1  2 c1  Thì tồn V0  cho (II) công nhận cực tiểu địa phương không toàn cục với r V0 Gọi sG  r  cực tiểu toàn cục toán (II), sL  r  cực tiểu địa phương không toàn cục toán (II), với r V0 ta có lim sG  r  c  v1 r  r c1 (2.42) sL  r  c  v1 r  r c1 (2.43) lim 35 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Chứng minh Từ (2.23) (2.24), phương trình      r có nghiệm r      2 , 1  cho      r    , r đủ lớn Hơn lim   r   1 (2.44) r  Bây giờ, từ (2.1) 1 sL  r     A    r  I  b      r     Q  O     n ci   vi i 1  i    r      c    n    r    (2.45) Vì 1    r   0,  lim sL  r  r r   ci / r   lim    r     r     i 1   i  n  c1 / r r      r  1   lim Do đó, từ (2.45) (2.46) n sL  r   c / r  vi  lim  c1 / r  v1   lim  i r  r  r  r 1    r  i 1 i    r  lim  lim r    c1 c1 / r  v1 c1  1    r   Vậy (2.43) chứng minh 36  c1 v1 c1 (2.46) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Tương tự, sử dụng điều kiện 1   *  trường hợp cực tiểu toàn cục, ta chứng minh (2.42) W 2.3 Tính chất điểm KKT Định nghĩa 2.2 Điểm x  gọi điểm Karush-Kuhn-Tucker ( viết tắt KKT ) toán (I) tồn   cho  A   I  x  b,    x  r2  (2.47) Khi ta nói  x,   cặp KKT,  gọi nhân tử Lagrange Nhận xét: Nếu x* điểm cực tiểu địa phương (I) điểm KKT Định lý 2.10 Giả sử  xˆ ,    x ,   cặp KKT toán (I) với nhân tử Lagrange Thế f  xˆ   f  x  Chứng minh Vì  xˆ ,   cặp KKT nên  A   I  xˆ  b Suy Axˆ  ( xˆ  b) Do , f  xˆ    T xˆ Axˆ  bT xˆ   xˆ T   xˆ  b   bT x 2  bT xˆ   P xˆ P2  lại có  x  r  , suy  P xˆ P2   r Tương tự, f  x   bT x   x 2  P x P2   r Khi đó, 1 f  xˆ   bT xˆ   xˆ   x T  A   I  xˆ   r  bT x   x 2 37  f x W Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Định lý 2.11 Tồn tai nhiều 2m  2,2n  1 điểm KKT ứng với nhân tử Lagrange phân biệt  , m số giá trị riêng phân biệt âm A Chứng minh Đầu tiên ý cặp KKT  x,   cho x  r giá trị hàm mục tiêu f  x  không đổi điều suy từ Định lý 2.10 với   Bây ta xét giá trị hàm f  x  tất điểm cho x  r Vì A đối xứng nên tồn ma trận trực giao V cho V T AV  diagi 1, ,n  i  , với 1     n giá trị riêng A Từ việc xét phép biến đổi x  V  ta viết lại phương trình đầu điều kiện KKT (2.47) sau  diag i 1, , n i    I     , với   V T b Vì vậy, nhớ lại x  V   r , nên nhân tử KKT phải thoả mãn hệ g    r2, (2.48)   0, n g     i 1 i  i    Hàm g    có điểm cực  (2.49)  1 lồi đoạn   ,  i  i 1 i  Do tồn nhiều hai nghiệm g     r khoảng nhỏ Hơn g        , phương trình g     r có nghiệm khoảng, với đầu mút   Nếu tất giá trị riêng i dương tồn nhiều nghiệm không âm; tất giá trị riêng âm có nhiều 2n nghiệm không âm; 38 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán m  n giá trị riêng âm có nhiều 2m  nghiệm không âm Do số nghiệm hệ (2.48) nhiều 2m  1,2n Từ hai trường hợp trên, ta suy rằng: số nhân tử KKT khác bị chặn 2m  1,2n  , hay 2m  2,2n  1 W Nhớ lại Định lý 2.11 ta thu hệ sau cách trực tiếp Hệ 2.2 Số giá trị khác hàm mục tiêu f  x  điểm KKT bị chặn 2m  2,2n  1 Định lý 2.12 Cho  x ,   điểm KKT toán (I) Giả sử ta xác định điểm xˆ trường hợp sau a) Nếu bT x  xˆ   x b) Nếu bT x  vector z  ¡ i) n cho tồn z T  A   I  z  , Nếu x  r xˆ  x   z với   z x   z x   r  x    z T T T ii) Nếu x  r x z  xˆ  x  iii) Nếu x  r x T z  xˆ  x  r2 r2   z 2 xT z z 2 z z  x   z ; bT z  [(bT z )  (bT x )( z T ( A   I ) z )]2 với   zT ( A   I ) z 39 ; 2   ; Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Thì ta có f  xˆ   f  x  xˆ  r Chứng minh Trong trường hợp a, Điểm xˆ chấp nhận f  xˆ   T xˆ Axˆ  bT xˆ  x T Ax  bT x  f  x   bT x  f  x  2 Xét trường hợp b Trong trường hợp i), ta có điều kiện KKT   z vector độ cong âm f  x  Do đó, với   , điểm xˆ  x   z thoả mãn bất đẳng thức f  x   z   f  x    z T Az  f  x  Đặc biệt, lấy   % với 2 2  z x   z T x   x  r z    , % z T ta có xˆ  r Xét trường hợp ii) giả sử xˆ xác định sau xˆ  x  xT z z z , xét hàm toàn phương Lˆ  x,    xT  A   I  x  bT x 2 (2.50) Ta ý xˆ  r z hướng độ cong âm hàm toàn phương Lˆ  x,   Bằng tính toán đơn giản, lấy  A   I  x  b ta Lˆ  xˆ ,    Lˆ  x ,    40 xT z z 2 zT  A   I  z, Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Lˆ  xˆ ,    Lˆ  x ,   Vì vậy, từ biểu thức (2.50) ta viết f  xˆ   f  x    x  xˆ    f x Do đó, ta thu kết cho trường hợp ii) Xét trường hợp iii) đặt s  x   z với   Ta tìm đuợc giá trị  cho s hướng độ cong âm hàm Lˆ  x,   s T x  , ta tiến hành trường hợp ii) Thật vậy, tính toán đơn giản ta có T s T x   x   z x  xT x  r2 , việc sử dụng điều kiện KKT ta s T  A   I  s  x T  A   I  x   z T  A   I  z  2 x T  A   I  z   z T  A   I  z  2 bT z  bT x Bằng cách giải phương trình toàn phương  ta giả sử s T  A   I  s  0,    với 2 b z   bT z   bT x z T  A   I  z     zT  A   I  z T Hơn nữa, giống tiến trình trường hợp ii) ta kết cách đưa vào điểm xˆ  x  xT  x   z T  x   z  x   z  x   z với    W Chú thích: Điểm cực tiểu địa phương không toàn cục tương ứng với trường hợp (a) với x  r trường hợp (b) ii) 41 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán KẾT LUẬN Khoá luận trình bày cách có hệ thống tính chất, đặc điểm điểm cực tiểu địa phương, cực tiểu toàn cục điểm Karush-Kuhn-Tucker (điểm KKT ) toán quy hoạch toàn phương hình cầu Quy hoạch toàn phương hình cầu toán đặc biệt quan tâm tối ưu hoá toán ứng dụng Nó đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu phương pháp giải toán tối ưu, chắn ứng dụng tính chất phong phú cần quan tâm nghiên cứu tương lai Với lực hạn chế, thời gian có hạn lần sâu nghiên cứu đề tài khoa học nên khoá luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý thêm để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 42 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học xã hội [2] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [1] Conn, A.R., Gould, N.I.M., Toint, P.L.: Trust-Region Methods, MPS-SIAM Series on Optimization, Philiadelphia (2000) [2] D G Luenberger [1984], Linear and Nonlinear Programming, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, MA [3] Lucidi, S., Palagi, L., Roma, M.: On some properties of quadratic programs with a convex quadratic constraint SIAM J Optim 8, 105 – 122 (1998) [4] Martinez, J M.: Local minimiziers of quadratic functions on Euclidean balls and spheres, SIAM J Optim 4, 159 – 176 (1994) 43 [...]... lồi trên tập lồi  Thế thì mọi điểm cực tiểu địa phương của f đều là cực tiểu toàn cục Định lý 1.14 Cho f  C 1 là lồi trên tập  Nếu có một điểm x*   sao cho, y   , f  x*  y  x*   0 , thì x* là một điểm cực tiểu toàn cục của f trên  15 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán CHƯƠNG 2 CỰC TIỂU HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN HÌNH CẦU 2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương trên hình cầu Định... hàm toàn phương tuyến tính là ma trận đối xứng Không gian của ma trận đối xứng cấp n  n sẽ được kí hiệu bởi ¡ 16 nn S Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hồng Trang - K34 Toán Ta xét hai bài toán:  2  (I)  2  (II) min f  x  : x  r 2 và min f  x  : x  r 2 , ở đó, r là số thực dương Bài toán (I) là bài toán quy hoạch toàn phương trên hình cầu, còn bài toán (II) là bài toán quy hoạch toàn phương trên. .. tiểu địa phương của  Mâu thuẫn đến từ giả sử ban đầu rằng x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (II) với  *  2 Nếu x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I) ta phải có P x* P r và (2.1) luôn đúng với  *   2 , 1  Nếu  *  2 , chứng minh ở trên chứng tỏ rằng x* không là cực tiểu địa phương của bài toán (II) Vì vậy, x* không là cực tiểu địa phương của... Hệ quả của sự kiện này là cực tiểu địa phương không toàn cục là duy nhất Định lý 2.8 i) Nếu x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I) hoặc bài toán (II), thì (2.1) luôn đúng với  *   2 , 1  và     *   0 Nếu x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I) thì  *  0 ii) Tồn tại nhiều hơn một cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I) hoặc bài toán... K34 Toán Nếu tồn tại cực tiểu địa phương không toàn cục thì c1  0 và 1  2 Do đó, trong trường hợp này theo (2.23),  là hàm lồi chặt trên  2 , 1  Hơn nữa, lim         1 (2.24) Do đó, phương trình      r 2 có nhiều nhất hai nghiệm trong  2 , 1  Định lý sau sẽ chỉ ra rằng nghiệm lớn nhất của phương trình trên tương ứng với cực tiểu địa phương của bài toán (I) hoặc bài... định dương, bài toán (I) là lồi và vì vậy không có cực tiểu địa phương không toàn W cục Không giống như cực tiểu toàn cục, cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I) hoặc bài toán (II) không phải luôn tồn tại Ta có thể nhìn thấy trong trường hợp 1  2 Định lý sau sẽ mô tả trường hợp mà ở đó không có cực tiểu địa phương không toàn cục Định lý 2.6 Nếu b là trực giao với các vectơ riêng liên... Định lý mà giúp ta hiểu được cấu trúc của cực tiểu địa phương không toàn cục Định lý 2.9 Xét bài toán (II) với A, D và Q thoả mãn (2.4), c  QT b, 1  2 và c1  0 Thì tồn tại V0  0 sao cho (II) công nhận một cực tiểu địa phương không toàn cục với mọi r V0 Gọi sG  r  là cực tiểu toàn cục của bài toán (II), sL  r  là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (II), với r V0 ta có lim sG ... là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (II) Theo Định lý 2.4, (2.1) luôn đúng với  *  2 Nhưng, vì x* không là cực tiểu toàn cục của bài toán (II), nên theo Hệ quả 2.1 ii) ta có  *  1 Bây giờ giả sử x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (I), (2.1) luôn đúng với  *  2 Giả sử  *  1 Nếu 1  0 , theo Hệ quả 2.1 iii) ta có x* là cực tiểu toàn cục của bài... toán quy hoạch toàn phương trên mặt cầu Mặc dù nội dung chính của khoá luận là nghiên cứu bài toán (I) nói trên, nhưng vì tính chất nghiệm của bài toán (I) có liên hệ chặt chẽ với bài toán (II) nên trong chương này ta sẽ xét đồng thời cả hai bài toán 2.2 Tính chất điểm cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục Trong đoạn này ta tìm hiểu về cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục của bài toán (I) và bài... sai Từ đó có điều phải chứng minh W Ta đã biết cực tiểu địa phương của bài toán (II) phải thoả mãn (2.1) với  *  2 Định lý sau chứng tỏ rằng  *   2 , 1  khi x* là cực tiểu địa phương nhưng không là cực tiểu toàn cục Sau đó, ta sẽ chứng minh trong trường hợp  *   2 , 1  Định lý 2.5 Nếu x* là cực tiểu địa phương không toàn cục của bài toán (II) hoặc bài toán (I) thì (2.1) luôn đúng ... tính chất điểm cực tiểu địa phương, cực tiểu toàn cục điểm KKT toán quy hoạch toàn phương hình cầu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán quy hoạch toàn phương hình cầu Phương pháp nghiên cứu Sử... chất, đặc điểm điểm cực tiểu địa phương, cực tiểu toàn cục điểm Karush-Kuhn-Tucker (điểm KKT ) toán quy hoạch toàn phương hình cầu Quy hoạch toàn phương hình cầu toán đặc biệt quan tâm tối ưu... Toán CHƯƠNG CỰC TIỂU HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN HÌNH CẦU 2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương hình cầu Định nghĩa 2.1 Ta nói f : ¡ trận A  ¡ n n , vector b  ¡ n n  ¡ hàm toàn phương tồn ma cho f  x