Dạng song song tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN -            ĐẶNG THỊ HOA           DẠNG SONG TUYẾN TÍNH   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học                   HÀ NỘI – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN           ĐẶNG THỊ HOA           DẠNG SONG TUYẾN TÍNH     KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học     Người hướng dẫn khoa học THS ĐINH THỊ KIM THÚY         HÀ NỘI – 2012   LỜI CẢM ƠN   Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ  Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện  giúp đỡ em  hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.  Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Đinh Thị Kim Thúy, người  đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt  quá trình nghiên cứu khóa luận.  Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận  của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ  bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được  hoàn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!   Hà Nội, tháng 05 năm 2012 SINH VIÊN Đặng Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN   Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô  hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em  xin cam  đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên  cứu  cùng  với sự  giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có  sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.    Hà Nội, tháng 05 năm 2012 SINH VIÊN Đặng Thị Hoa MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1  NỘI DUNG 3  Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 3  1.1. Định nghĩa, ví dụ 3  1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên 5  1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính   6  1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính 8  1.5. Hạng của dạng song tuyến tính 10  1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai  cơ sở khác nhau 11  1.7. Dạng toàn phương  13  Bài tập chương 1 19  Chương 2. DẠNG HERMITE 26  2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp 26  2.1.1. Định nghĩa và ví dụ 26  2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp  27  2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp 29  2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp  đối với hai cơ sở khác nhau 29  2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp 30  2.2. Dạng Hermite 31  2.2.1. Định nghĩa và ví dụ 31  2.2.2. Sự xác định dạng Hermite 32  2.2.3. Ma trận của dạng Hermite 32  2.2.4. Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và  dạng  Hermite 34  2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite 34                     Bài tập chương 2 37                     KẾT LUẬN 41  TÀI LIỆU THAM KHẢO 42                         1    MỞ ĐẦU   Lý chọn đề tài Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán  nói  chung,  Đại  số  tuyến  tính  là  một  môn  khoa  học  quan  trọng  vì  nó  là  nền  tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi  phân   Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc  lập  tuyến  tính  và  phụ  thuộc  tuyến  tính,  tập  sinh,  hạng,  cơ  sở  và  tọa  độ,  không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này  chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như  độ  dài  vectơ  và  góc  giữa  hai  vectơ…Để  diễn  đạt  những  khái  niệm  này,  người ta  cần cấu  trúc  không  gian vectơ Euclid.  Chính vì thế  ta  cần  nghiên  cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài:  “Dạng song tuyến tính” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính.   Đối tượng phạm vi nghiên cứu       Đối tượng  nghiên  cứu là đại số tuyến  tính,  cụ  thể là  dạng  song tuyến  tính.  Phạm  vi  nghiên  cứu  là  tất  cả  tài  liệu  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính.  Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có  liên quan…    Nội dung khóa luận   Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau:        Chương 1. Dạng song tuyến tính        2              Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính:         Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan  đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng  ta đang nghiên cứu.        Định  nghĩa  dạng  toàn phương và các khái  niệm,  các  định  lí của dạng  toàn  phương,  phương  pháp  Lagrange  đưa  dạng  toàn  phương  về  dạng  chính  tắc.       Chương 2. Dạng Hermite       Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không  gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính:      Trình  bày  các  định  nghĩa,  định  lí  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính  liên hợp.      Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và  các khái niệm liên quan đến dạng Hermite.                                      3    NỘI DUNG Chương DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa, ví dụ Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường K Định nghĩa         Ánh xạ  f : V  W  K được gọi là  một dạng song tuyến tính trên  V  W   nếu  nó  thỏa  mãn  các  điều  kiện  sau  với  mọi  x, x  V , y, y  W và  ,  K :   (I) (II) f (x  x, y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y)   f (x, y  y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y) Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến  còn lại. Dạng song tuyến tính trên V  V còn được gọi là dạng song tuyến tính  trên V.  Ví dụ  a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên  W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi  x  V, y  W  là một dạng song tuyến tính  trên  V  W  Chẳng hạn khi  V  K  và  W  K , thì   f (x, y)  (x1  x )(y1  2y  3y3 )   là một dạng song tuyến tính trên  K  K   Thật vậy, đặt   g(x)  x1  x , x  x1, x   K                    h(y)  y1  2y2  3y3 , y  y1, y , y3   K   Vì  g(x) là một dạng tuyến tính trên  K nên  f (x, y) thỏa mãn (I)        4    Vì  h(y) là một dạng tuyến tính trên  K nên  f (x, y) thỏa mãn (II)  Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến tính.   Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K  K   b) Ánh xạ  f : K  K  K cho bởi  f (a,b,c,d)  a b    c d là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức).         Thật vậy, với bất kì  x  (a, b), y  (c,d), x  (a, b), y  (c,d) thuộc  K và  ,  K  ta có:  f (x  x, y)              f (x, y)  a b c f (x, y  y)                 f (x, y)  a  a b  b a b a  b  f (x, y)  f (x, y)     c d c d c d d  a b c d    f (x, y)   a b a b a b    f (x, y)  f (x, y)    c  c d  d c d c d a b a b   f (x, y)     c  d c d Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K   Ví dụ 3. Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng song  tuyến tính trên E. Thật vậy, Với  x, x1, x , y, y1, y  E và  ,          Theo định nghĩa tích vô hướng trên E ta có x1  x , y  x1, y  x , y    và  x, y   x, y   Lại có  x, y1  y  y1  y , x  y1, x  y , x  x, y1  x, y x,  y  y, x   y, x   x, y Vậy tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E.                        28    n   f (x, y)  f ( x i i ,  y j j )   x if  i ,  y j j   j1  i 1 j1 i 1   m m n n n   m n m n   x i  y jf (i ,  j )   x i y jf ( i ,  j )   a ijx i y j i 1 j1 i 1 j1 i 1 j1     Ngược lại, giả sử tồn tại mn phần tử  a ij | i  1,2, m, j  1,2, n sao cho  ánh xạ  f : V  W  m  thỏa mãn điều kiện trong định lí. Khi đó với bất kì  m n n x   x i i , x   xi i  V, y   y j j , y   yj j  W, ,  ta có  i 1 i 1 j1 j1 m n n m  m  f (x  x, y)  f   x i i   xi i ,  y j j   f   (x i  xi ) i ,  y j j   i 1   i 1  i 1 j1 j1     m n m n   (x i  xi )y jf (i ,  j )   (x i  xi )y ja ij i 1 j1 i 1 j1 m n m n   x i y ja ij   xi y ja ij  f (x, y)  f (x, y) i 1 j1 i 1 j1 n m  f  x, y   f (  x i i ,  y j j )  f   x i i ,  y j j   i 1  i 1 j1 j1   m n m n m n   x i y jf (i ,  j )    x i y ja ij  f (x, y) i 1 j1 i 1 j1 n n n m  m  f (x, y  y)  f   x i i ,  y j j   yj j   f   x i i ,  (y j  yj ) j   i 1   i 1  j1 j1 j1     m n m n   x i y j  yjf ( i ,  j )   x i y j  yja ij i 1 j1 m n i 1 j1 m n   x i y ja ij   x i y ja ij  f (x, y)  f (x, y) i 1 j1   i 1 j1       29    n n m  m     f  x,  y   f  x i i ,  y j j  f  x i i ,   y j j   i 1   i 1  j1 j1     m n m n   x i y jf ( i ,  j )   x i y jf (i ,  j ) i 1 j1                                i 1 j1 m n   x i y ja ij  f (x, y) i 1 j1  Do đó f là dạng song tuyến tính trên  V  W         Khi  x  i , y   j  thì  x i  1, x t   với  t  i , y j  1, yh   với  h  j  ta  có  g(i ,  j )  a ij  với mọi cặp (i, j).    Giả  sử  g  là  một  dạng  song  tuyến  tính  trên  V  thỏa  mãn  điều  kiện  g(i ,  j )  a ij   Khi  đó  với  hai  vectơ  bất  kì  x  x11   x m m ,  m n y  y11   y n n ta có  g(x, y)   a ijx i y j  f (x, y)   i 1 j1 Vậy f = g. Định lí được chứng minh.  2.1.3 Ma trận dạng song tuyến tính liên hợp   Định nghĩa  mn trong đó  a ij  f  i ,  j  ,i  1,2, m, j  1,2, n              Ma trận  A  a ij được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính liên hợp f trên  V  W   theo cặp cơ sở  (S,T)  Nếu f là dạng song tuyến tính liên hợp trên V, thì ma  trận của f theo cặp  (S,S)  được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S.  2.1.4 Liên hệ hai ma trận dạng song tuyến tính liên hợp hai sở khác nhau  Định lí 2.2. Nếu dạng song tuyến tính liên hợp f trên V có các ma trận biểu  diễn theo các cơ sở S và T lần lượt là A và B và P là ma trận chuyển từ S sang  T thì  B  P T AP   Chứng minh.        30     Kí hiệu  A  (a ij ) nn ,   B  (bij ) nn ,  P  (cij ) nn  ta có:  n n n b kl  f (k , l )  f ( cik i , c jl j )  i 1 i 1 n  cik c jlf (i ,  j )   cik a ij c jl   i, j1 i, j1 với  mọi  k,l  =  1, n,  b kl   chính  là  phần  tử  nằm  ở  dòng  k,  cột  l  của  ma  trận  P T AP  Điều này tương đương với  B  P T AP           2.1.5 Dạng toàn phương liên hợp Định nghĩa Cho f là một dạng song tuyến tính liên hợp trên V. Ta gọi ánh xạ xác  định bởi   (x)  f (x, x)   là dạng toàn phương liên hợp trên V sinh bởi f (hoặc liên kết với f).  Bổ đề 2.1.  Cho  S   là  cơ  sở  của  không  gian  vectơ  V   chiều  n.  Một  ánh  xạ   : V  £  là một dạng toàn phương liên hợp khi và chỉ khi nó được viết dưới  dạng   n n (x)   a ijx i x j   i 1 j1 trong đó  (x1, x , x n )  là tọa độ của x theo S và  a ij  £     Tương tự như dạng toàn phương nếu ta cố định một cơ sở S của không  gian vectơ, thì nhiều khi ta cũng nói  (x)  là dạng toàn phương liên hợp của  các biến (tọa độ)  x1, x , x n  Ngược lại, khi cho dạng toàn phương liên hợp  dưới dạng   n n (x)   a ijx i x j ,   i 1 j1 ta hiểu đó là dạng toàn phương liên  hợp  trên  £ n  và  (x1, x , x n )  là tọa độ  của x theo cơ sở tự nhiên.        31    Chứng minh.   Từ định lí 2.1 ta suy ra bổ đề 2.1.   Nhận xét. Dạng toàn phương không xác định dạng song tuyến tính sinh ra nó.  Tuy nhiên dạng toàn phương liên hợp thì khác Bổ đề 2.2 Giả sử f là dạng song tuyến tính liên hợp và   là dạng toàn phương  liên hợp tương ứng. Khi đó với mọi  x, y  V ta có:  f (x, y)  [(x+y)+i(x+y)  (x - y)  i(x - iy)]   Chứng minh. Dựa vào định nghĩa dạng toàn phương liên hợp  (z)  f (z,z)    và các tính chất của dạng song tuyến tính liên hợp ta có bổ đề 2.2  Tương ứng với dạng song tuyến tính đối xứng, ta có khái niệm  2.2 Dạng Hermite 2.2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa         Dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  f  trên  V  là  dạng Hermite,  nếu  với  mọi  x, y  V  ta có:   f (x, y)  f (y, x)   Ví dụ  Trên  n ,  f (x, y)  x1 y1   x n y n  là dạng Hermite   Thật vậy:  Trong ví dụ của mục 2.1.1 ta đã chứng minh được  f (x, y) là dạng song tuyến  tính liên hợp.   x, y  n ta có:  f (y, x)  y1 x1   y n x n  y1 x1   y n x n  y1x1   y n x n  x1 y1   x n y n    f (x, y) Vậy f là dạng Hermite trên    n        32    2.2.2 Sự xác định dạng Hermite Định lí 2.3   Cho  S  {e1, en } là một cơ sở tùy ý của V.  Dạng song tuyến tính liên  hợp f trên V là dạng Hermite khi và chỉ khi  f(ei ,e j ) = f(e j ,ei ) ,i, j  1,2, n   Chứng minh.    () f là dạng Hermite thì  f(ei ,e j ) = f(e j ,ei )  với  i, j  1,2, n   Chọn  x = ei ,y = e j ,i, j  1,2, n thì  f(x,y) = f(y,x) , x, y  V   () Dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  f  trên  V  thỏa  mãn  f(ei ,e j ) = f(e j ,ei )    ,i, j  1,2, n thì f là dạng Hermite.  n n Lấy  x   x iei , y   y je j  V ta có   i 1 j1 n  n  n n f (x, y)  f   x iei ,  y je j    x i y jf ei ,e j  i 1  i 1 j1 j1   n n   n n       x i y j f ei ,e j   y j x if e j ,ei i 1 j1   j1 i 1 n  n  n n f (y, x)  f   y je j ,  x iei    y j x if e j ,ei  f (x, y)  j1  i 1 j1 i 1     Định lí được chứng minh.  2.2.3 Ma trận dạng Hermite Định nghĩa        Ma  trận  A  (a ij ) nn trong  đó  a ij  f ei ,e j ,i, j  1, 2, n được  gọi  là  ma  trận biểu diễn dạng Hermite theo cơ sở  S  {e1, en }         33    Nhận xét.  Ma  trận  biểu  diễn  A  của  f  là  ma  trận  Hermite  nếu  A  A   với    A  A T  nn  với  a ij  là số phức liên hợp của  aij  Như vậy   Ma trận  A  a ij A  (a ij ) nn  là ma trận Hermite khi và chỉ khi  A  (A)T   Ví dụ. Cho các ma trận sau     1 i 3  i 1  i  ,  B   ,  C  1  i i    A    i   5  i   Xét xem ma trận nào là ma trận Hermite, ma trận nào không phải là ma trận  Hermite?    Trả lời.   i   - Vì  A   suy A  A  i 3 T    i    A     i   i nên  A    là ma trận Hermite   i  1  i  - Ma trận   C     không là ma trận Hermite vì     5 1  i  C nên C  C   5   T 1  i  1  i      C   5  5  1 i  - Vì  B  1  i i  suy B  B  i     T  1 i 3  1  i i   B    i    1 i 3 nên  B  1  i i   là ma trận Hermite.   i           34    2.2.4 Mối liên hệ dạng song tuyến tính liên hợp không gian unita dạng Hermite Định lí 2.4   Dạng song tuyến tính liên hợp f trên không gian unita E là một  dạng Hermite khi và chỉ khi tồn tại toán tử Hermite    sao cho  f (x, y)  (x), y , x, y  E   Chứng minh.   x, y  E  ta có  f (x, y)  (x), y  y, (x)  f (y, x)   nên f là dạng Hermite.    Điều ngược lại hiển nhiên đúng.  Định lí được chứng minh.  2.2.5 Giới thiệu dạng toàn phương Hermite Định nghĩa Cho f là một dạng Hermite trên V. Ta gọi ánh xạ xác định bởi   (x)  f (x, x)   là dạng toàn phương Hermite trên V sinh bởi f (hoặc liên kết với f).  Ví dụ  Trên  n ,  f (x, y)  x1 y1   x n y n  là dạng Hermite và   2 (x)  x1 x1   x n x n  x1   x n   là một dạng toàn phương Hermite.  Nhận xét: Cho E là không gian unita chiều n và    là một dạng toàn phương Hermite  trên E. Khi đó ta có thể tìm thấy một cơ sở trực chuẩn S của E sao cho   2 (x)  c1 x1   cn x n   với mọi  x  E , trong đó  x1, x n  là tọa độ của x theo S. Hơn nữa các hằng số  c1, c n   được xác định duy nhất (không kể thứ tự) và là nghiệm của đa  thức đặc trưng của một ma trận biểu diễn của    theo một cơ sở trực chuẩn.         35      Nghiệm  của  đa  thức  đặc  trưng  của  một  ma  trận  biểu  diễn  của   theo  một cơ sở trực chuẩn không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở, và cũng được gọi  là các giá trị riêng.  Định nghĩa.    Ta nói  dạng  toàn phương Hermite   xác  định  dương nếu  với  mọi  x  thì  (x)    Định lí 2.6. Giả sử A là ma trận của dạng toàn phương Hermite   trên không  gian n chiều V. Khi đó    là xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con  chính của A đều dương.  Chứng minh. Giả sử   là dạng toàn phương Hermite trên V và A là ma trận  của nó đối với cơ sở  ()  {1,  n }            Gọi  Vk  là không gian con của V, sinh bởi các vectơ  ()  {1,  n } với  k  1, 2, n  Khi đó thu hẹp của    trên  Vk , ký hiệu là   V là một dạng toàn  k  a11 a12 a a 22 phương với ma trận  D k   21    a k1 a k2 a1k  a 2k      a kk  ‘‘  ’’ Nếu   xác định dương thì   V cũng xác định dương. Do đó  D k  với  k mọi  k  1,2, n   ‘‘  ’’ Giả  sử  D k  với  mọi  k  1, 2,  Ta sẽ chứng  minh   là  dạng  toàn  phương bằng qui nạp theo n.  Với  n  1,D1  a11  , biểu thức của dạng toàn phương là  (x)  a11x12    Giả  sử  với  mọi  n  ,  điều  khẳng  định  đúng  với  n    Khi  đó  dạng  toàn  phương   n 1   V n 1 có  ma  trận  là  A n 1   Theo  giả  thiết,  các  định  thức  con  chính  của  A n 1   đều  dương.  Do  đó,  theo  giả  thiết  qui  nạp,   n 1 xác  định  dương. Vì thế có một cơ sở  {1, n 1} của  Vn 1 sao cho   n 1 có dạng chính        36    tắc, trong trường hợp này ta có   n 1()  k i  0,i  1,2, n  , khi đó đối với  cơ sở  {1, n 1} trong đó  bin  (i ,  n ) , với    là dạng song tuyến tính đối   k1  k2  xứng tương ứng của    thì    có ma trận   B     b  n1 b n2 n 1 n 1 n 1 i 1 i 1 i 1 0 k n 1 b nn b1n  b 2n      b n 1n  a nn  Với     yii  y n  n  suy ra  (x)   k i yi2   bin yi y n  a nn y 2n   bin   z i  yi  ki Bằng phép đổi tọa độ:     z  y n  n i  1,2, n   Tìm được cơ sở  {1, n }  của V, đối với nó ma trận của   có dạng:   k1   k2 C    0 0  k n 1 0  0     0 k n  Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở  () sang cơ sở  () ta có  C  T 1AT   Do đó:   k1, k n 1,k n  C  T 1 A T  A   Vì  A  theo  giả  thiết  và  k i  ,  với  i  1,2, n   nên  k n  A    k1k k n 1 n Như  vậy  đối  với  cơ  sở  (),    có  dạng  ({1, 2 , m })   k i zi2 ,  trong  đó  i 1 k i  với  mọi  i  1,2, n   Vậy     là  dạng  toàn  phương  Hermite  xác  định  dương.         37    BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Cho f là đa thức với hệ số thực và A là một ma trận Hermite. Chứng  tỏ  rằng f(A) lại là ma trận Hermite.  Bài Cho E là không gian unita .     Chứng  minh  rằng  ánh  xạ  f : E  là  một  dang  song  tuyến  tính  liên  hợp khi và chỉ khi tồn tại một toán tử tuyến tính    trên E sao cho   f (x, y)  x, (y)   với mọi  x, y  E  Hơn nữa, nếu A là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở trực  chuẩn S, thì  A  là ma trận biểu diễn của    theo S. Nói riêng    được biểu diễn  duy nhất theo f.  Bài Cho  f là  dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  trên  V   và     là  dạng  toàn  phương liên hợp tương ứng. Chứng minh rằng  f là dạng Hermite khi và chỉ  khi  (x)  với mọi  x  V   Bài Chứng  tỏ  rằng  tr(AB)   là  dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  trên  M(m,n; )  M(n,p; )   Bài Chứng  tỏ  rằng  có  những  dạng  toàn  phương  không  chéo  hóa  được,  nghĩa là không đưa được về dạng  c1y1 y1   cn y n y n bằng một phép đổi  biến không suy biến, trong đó  c1, ,c n      Bài  Cho A là ma trận Hermit. Chứng minh rằng với mọi số thực dương c  đủ lớn,  A  cI là ma trận Hermit xác định dương.  Bài Chứng tỏ rằng tập hợp các ma trận Hermite cấp n lập thành một không  gian vectơ E trên R và tr(AA) là một dạng toàn phương xác định dương.  Bài Cho A là ma trận vuông trên trường số phức. Chứng minh rằng A là  ma trận Hermite xác định dương khi và chỉ khi tồn tại ma trận không suy biến  C sao cho  A  CC         38    Bài Chứng minh rằng nếu A là ma trận Hermite xác định dương thì nó có  căn  bậc  hai,  tức  là  có  ma  trận  Hermite  xác  định  dương  B  sao  cho  A  B2   Hơn nữa, B như vậy được xác định duy nhất.    Bài 10 Chứng  minh  rằng  nếu  A  là  ma  trận  Hermite  thì  tồn  tại  hai  ma  trận  Hermite xác định dương P và Q sao cho  A  P  Q   HƯỚNG DẪN Bài Chỉ cần chứng tỏ  f (A)  f (A )  f (A)     Vì A là ma trận Hermite nên  A  A suy ra  f  A   f A      Theo tính chất của toán tử đa thức ta có  f A  f  A     Do đó  f (A)  f (A )  f (A)  Vậy  f  A  là ma trận Hermite.  Bài 2.  Kí hiệu  x s  là vectơ cột tọa độ của x theo một cơ sở trực chuẩn S nào  đó,    là toán tử tuyến tính của E nhận  A  làm ma trận biểu diễn theo cơ sở S.  Khi đó  f (x, y)  xST AyS  và   x, (y)  xST (AyS )  x ST AyS   Như vậy chỉ còn phải chứng tỏ    được xác định duy nhất.   Nếu có toán tử tuyến tính    thỏa mãn hệ thức đã cho thì với mọi  x, y   x, (y)  (y)    Chọn  x  (y)  (y)  ta suy ra       Bài 3. Nếu  f là một dạng Hermite thì  (x)  (x)  Ngược lại sử dụng bổ đề  2.2 ta dễ dàng chứng tỏ  f (x, y)  f (y, x)  với mọi  x, y  V Bài 4.   Sử dụng định nghĩa ta kiểm tra trực tiếp được  tr(AB) là dạng song  tuyến tính liên hợp trên  M(m,n; )  M(n,p; )   A,A  M(m,n; ), B,B  M(n,p; ) và  ,   ta có        39          tr  AB  tr  AB   tr  AB  B  tr  A B  B   tr  AB  AB  tr  AB  tr  AB tr  AB  tr  A  B   tr  AB  tr  AB tr (A  A)B  tr AB  tr AB Chú ý: Vết của một ma trận vuông A bậc  n  n  được xác định bằng tổng các  phần tử trên đường chéo chính và được kí hiệu là   n tr(A)  a11 +a 22   a nn   a ii   i 1 Bài Xét dạng song tuyến tính liên hợp    x1 x  2x1x  Giả sử nó chéo  a b hóa được. Khi đó tồn tại ma trận không suy biến  P    để   c d  2ac  ac 2bc  ad  0 1 PT  P       2ad  bc 2bd  bd  0   là ma trận đường chéo. Từ đó suy ra  bc  ad   Vì vậy  bc  ad   và  P  suy  biến. Vô lí Bài Gọi   là dạng toàn phương Hermite và nhận A là ma trận biểu diễn  n theo cơ sở tự nhiên của   Theo định lí 2.5 có một cơ sở trực chuẩn S sao  cho    có dạng biểu diễn   2 (y)  c1 y1   cn yn ,   trong đó  c1, c n   Lấy c  max  c1, , c n     Gọi    là dạng toàn phương Hermite nhận  A  cI làm ma trận biểu diễn  theo cơ sở tự nhiên.  Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở tự nhiên sang S. Khi đó   P T IP  P T P  I         40    Suy ra dạng biểu diễn của    theo  S  là  2 (y)   c  c1  y1    c  c n  y n , y    Bài Cho A là ma trận Hermite nên tồn tại ma trận unita P sao cho  P 1AP   là ma trận đường chéo  diag(c1, c n ) , với  c1, cn   Ta có     tr(AA)  tr(P 1AAP)  tr(P 1APP 1AP)  tr diag c12 , c 2n     Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi  c1   c n  , tức  A    Bài Nhận xét rằng nếu  A  A , thì tồn tại ma trận unita P sao cho  A  P T DP   trong đó D là ma trận đường chéo. A là xác định dương thì  D  B2 ,  trong đó  B là ma trận đường chéo với các số thực dương trên đường chéo. Khi đó   A  PT BP 1PBP  P T BP T   PBP  : CC   T  T trong đó  C  PT BP  ( chú ý rằng từ  PP  I ta suy ra  P 1  P )    T T Ngược  lại,  ta  có  x CC x   xC  xC  xC, xC  với  mọi  x  (vì  C  không suy biến).  Chú ý: Ma trận A là ma trận unita khi và chỉ khi A.A  A.A  I   Bài 9.  Chéo  hóa  bằng  ma  trận  unita,  ta  có  thể  giả  thiết  A  diag  c1, cn  ,  trong  đó  c1, cn    Bây  giờ  viết ci  pi  qi ,  trong  đó  pi ,qi   là  những  số  thực dương, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh.  Bài 10. Chéo hóa A, ta cũng đồng thời chéo hóa  I  iA và các ma trận này có  các phần tử trên đường chéo khác 0.              41    KẾT LUẬN     Khóa luận đã trình bày một số kiến thức liên quan đến dạng song tuyến  tính.  Chương một gồm các định nghĩa, các định lí về dạng song tuyến tính và  phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.  Chương  hai  gồm  các  định  nghĩa,  các  định  lí  về  dạng  song  tuyến  tính  liên hợp và dạng Hermite.  Quá trình tìm tòi để hoàn thành khóa luận em đã hiểu thêm được nhiều  kiến thức về dạng song tuyến tính.  Một lần nữa cho phép em bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới  các thầy cô trong tổ hình học, đặc biệt là Ths Đinh Thị Kim Thúy - người  đã giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.  Bước  đầu  làm  quen  với  nghiên  cứu  khoa  học,  chắc  chắn  luận  văn  không tránh  khỏi những thiếu sót.  Em  mong  rằng các thầy  cô  giáo,  các bạn  sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện tốt hơn và thực sự  trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và sinh viên.                            42    TÀI LIỆU THAM KHẢO    Phạm Khắc Ban, Hình học affin hình học Euclid, ĐHSPHN.  Văn Như Cương – Tạ Mân (1998), Hình học affin hình học Euclid,   ĐH Quốc Gia Hà Nội.  Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính ví dụ tập, ĐH Quốc  Gia Hà Nội.   Nguyễn  Hữu  Việt  Hưng  (2000),  Đại số tuyến tính,  ĐH  Quốc Gia  Hà  Nội.   Lương  Hữu  Thanh  (1989),  Hướng dẫn giải tập đại số tuyến tính  Đại học Giao Thông Vận Tải.   Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, ĐHSPHN.   Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, trường ĐHSP  Hà Nội 2.      [...]...  a) Nếu c = 0 thì dễ dạng kiểm tra được f thỏa mãn 4 điều kiện về dạng song tuyến tính nên f là dạng song tuyến tính.   Nếu c ≠ 0 thì ta thấy với nên f không là dạng song tuyến tính.         21    b) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (I)  c) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)  d) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)  e) f là dạng song tuyến tính vì f thỏa mãn các điều kiện của dạng song tuyến ...  x n yn  f (x, y) Vậy f là một dạng song tuyến tính liên hợp trên  n        Dạng song tuyến tính liên hợp cũng có các tính chất tương tự  như dạng song tuyến tính.   2.1.2 Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp Định lí 2.1        Cho  S={1,2 , m }  là cơ sở của V và  T={1, 2 , n }  là cơ sở của  W.  Ánh xạ   f : V  W    là  một dạng song tuyến tính liên  hợp khi và chỉ  khi tồn tại mn phần tử ... W         6      2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng  của  một  dạng song tuyến đối  xứng  và  một dạng song tuyến tính thay  phiên  trên V.  Thật vậy: với  x, y  V đặt   1 f (x, y)  f (y, x) 2   1 f 2 (x, y)  f (x, y)  f (y, x) 2 f1 (x, y)    Dễ dàng chứng minh được  f1 là dạng song tuyến tính đối xứng và  f 2 là  dạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn ... thứ nhất, còn khi cố định biến thứ nhất thì f là ‘‘nửa’’ tuyến tính đối với biến  thứ hai. Dạng song tuyến tính liên hợp trên  V  V còn được gọi là dạng song tuyến tính liên hợp trên V.  Ví dụ Tích  vô  hướng  trên  không  gian  unita  là  một  dạng song tuyến tính liên hợp. Nói riêng, trên  £ n f (x, y)  x1 y1   x n y n   trong đó  x  (x1, , x n ) , y  (y1, , y n )  là một dạng song tuyến tính liên hợp.  Thật vậy,  x,... ma trận của dạng song tuyến tính f trong  (e) là  A      0 3 Vì  1 0 0 3  3  0 nên  rankA  2   Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là  rankf  2   1.6 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sở  của  không  gian  vectơ.  Ta  hãy  xét  mối  liên  quan  giữa  hai  ma  trận  của  cùng  một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau... 2  x 2 y1   là  một  dạng song tuyến (i) tính đối xứng, còn   g(x, y)  x1y2  x 2 y1 vừa là một dạng song tuyến tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch.   Dạng song tuyến tính f (x, y)  x1y1  x 2 y 2   trên  K 2   là  đối  xứng,  (ii) nhưng không thay phiên (iii) Ánh xạ  f : R n  R n  R xác định bởi:  f (x, y)  x1y1  x 2 y 2   x n y n ,  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên  R... Chứng tỏ rằng f là dạng song tuyến tính trên  P2 (x)    Bài 3  Ánh xạ  f : K 2  K  cho bởi  f (x1, x 2 )  x1  x 2 có là dạng song tuyến tính trên K hay không?  Bài 4  Cho ánh xạ  f : M 2  M 2  R  xác định bởi:   x f  1   x3 x 2   y1 , x 4   y3 y2     x y  x 2 y 2  x 3 y3  x 4 y 4   y 4   1 1  Chứng minh rằng f là dạng song tuyến tính trên  M 2   Bài 5. Viết ma trận của dạng song tuyến tính f trên ...    5    1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên Định nghĩa   Dạng song tuyến tính f (x, y)  trên V gọi là đối xứng nếu      f (x, y)  f (y, x), x, y  V   Dạng song tuyến tính f (x, y)  trên V gọi là đối xứng lệch nếu      f (x, y)  f (y, x), x, y  V   Dạng song tuyến tính f (x, y)  trên V gọi là thay phiên nếu      f (x, x)... trận của dạng song tuyến tính  Định nghĩa Ma trận  A  (a ij ) mn  trong đó  a ij  f (i ,  j ),i  1,2, m, j  1, 2, n được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  trên  V  W theo cặp  cơ sở (S, T). Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn của f  theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S.  Ví dụ Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  với ... 1 j1 i 1        Vậy f đối xứng lệch    1.5 Hạng của dạng song tuyến tính Định nghĩa       Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu  diễn của nó và được kí hiệu là rank(f) .     Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu  rank(f )  dim V , và không  suy biến nếu  rank(f )  dim V   Ví dụ.      Dạng song tuyến tính f (x, y)  x1y1  3x 2 y 2   trên  K 2 có  hạng  rank(f) = 2.   ... Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến  còn lại. Dạng song tuyến tính trên V  V còn được gọi là dạng song tuyến tính trên V.  Ví dụ  a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên ... Vậy f là một dạng song tuyến tính liên hợp trên  n        Dạng song tuyến tính liên hợp cũng có các tính chất tương tự  như dạng song tuyến tính.   2.1.2 Sự xác định định dạng song tuyến tính liên... b) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (I)  c) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)  d) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)  e) f là dạng song tuyến tính vì f thỏa mãn các điều kiện của dạng song tuyến