Dạng song song tuyến tính

Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp đối với hai cơ sở khác nhau.. Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan đến dạng song tu

ĐẶNG THỊ HOA

    

     

HÀ NỘI – 2012

  

ĐẶNG THỊ HOA

   

 

 

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

 

 

Người hướng dẫn khoa học

THS ĐINH THỊ KIM THÚY

    

HÀ NỘI – 2012

 

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Đinh Thị Kim Thúy, người 

đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền  đạt kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận. 

Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. 

Em xin chân thành cảm ơn!

 

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa

Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em xin  cam  đoan  bài  khóa  luận trên  là  do bản  thân  em  nghiên  cứu  cùng  với  sự giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 

 

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa

Trang

MỞ ĐẦU 1 

NỘI DUNG 3 

Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 3 

1.1. Định nghĩa, ví dụ 3 

1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên 5 

1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính   6 

1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính 8 

1.5. Hạng của dạng song tuyến tính 10 

1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai  cơ sở khác nhau 11 

1.7. Dạng toàn phương  13 

Bài tập chương 1 19 

Chương 2. DẠNG HERMITE 26 

2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp 26 

2.1.1. Định nghĩa và ví dụ 26 

2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp  27 

2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp 29 

2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp  đối với hai cơ sở khác nhau 29 

2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp 30 

2.2. Dạng Hermite 31 

2.2.1. Định nghĩa và ví dụ 31 

2.2.2. Sự xác định dạng Hermite 32 

2.2.3. Ma trận của dạng Hermite 32 

2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite 34       

Bài tập chương 2 37       

KẾT LUẬN 41 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42      

MỞ ĐẦU

 

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán nói  chung,  Đại  số  tuyến  tính  là  một  môn  khoa  học  quan  trọng  vì  nó  là  nền tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi phân  

Cấu  trúc  không gian vectơ cho phép diễn  đạt các khái  niệm  như  độc lập  tuyến  tính  và  phụ  thuộc  tuyến  tính,  tập  sinh,  hạng,  cơ  sở  và  tọa  độ, không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như 

độ  dài  vectơ  và  góc  giữa  hai  vectơ…Để  diễn  đạt  những  khái  niệm  này, người  ta  cần  cấu  trúc  không  gian  vectơ  Euclid.  Chính  vì  thế  ta  cần  nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài: 

“Dạng song tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính.  

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

      Đối  tượng  nghiên  cứu  là  đại  số  tuyến  tính,  cụ  thể  là  dạng  song  tuyến tính. 

Phạm  vi  nghiên  cứu  là  tất  cả  tài  liệu  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến tính. 

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có liên quan…   

5 Nội dung của khóa luận

  Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau: 

      Chương 1. Dạng song tuyến tính 

       Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng 

ta đang nghiên cứu. 

      Định  nghĩa  dạng  toàn  phương  và  các  khái  niệm,  các  định  lí  của  dạng toàn  phương,  phương  pháp  Lagrange  đưa  dạng  toàn  phương  về  dạng  chính tắc. 

     Chương 2. Dạng Hermite 

     Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính: 

    Trình  bày  các  định  nghĩa,  định  lí  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính liên hợp. 

    Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và các khái niệm liên quan đến dạng Hermite. 

NỘI DUNG Chương 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

Ví dụ 1

 a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên 

W, thì f(x,  y) = g(x).h(y) với mọi  xV , yW là một dạng song tuyến tính trên V W. Chẳng hạn khi VK2 và WK3, thì  

Vì  g(x) là một dạng tuyến tính trên K2nên  f (x, y) thỏa mãn (I) 

Vì  h(y) là một dạng tuyến tính trên K nên  f (x, y) thỏa mãn (II) 3

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên

Định nghĩa  

    Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng nếu 

f (x, y)f (y, x), x, yV     Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng lệch nếu 

f (x, y) f (y, x), x, yV     Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là thay phiên nếu 

f (x, x)0 , x V 

Ví dụ:

(i) Cho VK2.  Khi  đó f (x, y)x y1 2x y2 1  là  một  dạng  song  tuyến 

tính đối xứng, còn  g(x, y)x y1 2x y2 1vừa là một dạng song tuyến tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch.  

(ii) Dạng  song  tuyến  tính  f (x, y)x y1 1x y2 2  trên  K2  là  đối  xứng, 

  2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng của  một  dạng  song  tuyến  đối  xứng  và  một  dạng  song  tuyến  tính  thay  phiên trên V. 

1.3 Sự xác định dạng song tuyến tính   

      Cho S={ 1, 2, m} là cơ sở của V và T={ 1, 2, n} là cơ sở của 

W.  Khi  đó, tương  tự  như  ánh xạ  tuyến  tính, dạng  song tuyến  tính  được xác định duy nhất qua các giá trị của nó trên S T  

Định lí 1.1 Ánh xạ  f : V W K là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại mn phần tử aijK,i 1, 2, m, j 1, 2, n  sao cho 

 Khi  đó  với  hai  vectơ  bất  kìxx1 1  xm m , yy1 1  yn  n

Ví dụ Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  với 

i) Dạng song tuyến tính f trên K2K3được cho bởi  

f (x , x ; y , y , y )(x x )(y 2y y ) ii) Dạng song tuyến tính trên R , x2 (x , x ), y1 2 (y , y )1 2 cho bởi 

Nhận xét:

1. Một dạng song tuyến tính f hoàn toàn được xác định nếu biết ma trận của nó đối với một cơ sở nào đó. 

2. Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch. Thật vậy: 

  f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng. 

         Rõ ràng, nếu f đối xứng thì aijf ( ,  i j) f (  j, i) ajivới mọi  i, j nên 

A đối xứng. 

        Ngược  lại, nếu A  đối xứng,  tức  là aija , i,jji  thì  với 

  Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu  rank(f )dim V, và không suy biến nếu  rank(f )dim V. 

Ví dụ.      Dạng  song  tuyến  tính f (x, y)x y1 13x y2 2  trên K có  hạng 2rank(f) = 2.  

Thật vậy, chọn cơ sở của K là 2 (e)e =(1,0),e1 2(0,1)ta có 

một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau

Định lí 1.2 Giả  sử  trong  không  gian  tuyến  tính  V,  cho  hai  cơ  sở 

 S   { ,1 2, n}  và (T) {  1, 2, n}.  A  và  B là  hai  ma  trận  tương  ứng của  cùng  một  dạng  song  tuyến  tính  f (x, y) trong S và T , P là  ma  trận chuyển từ cơ sở  S sang cơ sở  T  Khi đó ta có  

T

BP AP trong đó PT là ma trận chuyển vị của ma trận  P  

2 Như đã biết,  một  vectơ  ej của  hệ  cơ sở  (e)  =  {e1,  e2, en}có  tọa  độ trong  hệ  cơ  sở  (e)  là  ej =  (0,0,…0,1,0,…0)  và  một  vectơ  x  có  biểu  diễn  

x(x , x , x )  trong  cơ  sở  (e)   Do  đó  nếu  không  nói  gì  thêm,  thì  ta  luôn hiểu hệ  (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói chox(x , x , x )1 2 n thì hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc. 

3 Hai  ma trận  A và  B như trên được gọi là tương đẳng. Như vậy hai 

Cách 2. Trong cơ sở  (e) , f có ma trận     

là dạng toàn phương trên  V sinh bởi  f (hoặc liên kết với f). 

Ví dụ.  Với  mọi  vectơ  x(x , x ), y1 2 (y , y )1 2 ,  dạng  song  tuyến  tính 

f (x, y)3x y x y , sinh ra dạng toàn phương (x)2x x 1 2   

Nhận xét Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn 

phương. Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, ta đặt g(y, x)f (x, y), x, y Vthì các dạng song tuyến tính f và g trên V cùng sinh 

ra một dạng toàn phương nhưng  f   g

   Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát của dạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai). 

Bổ đề 1.1 Cho S  là  cơ  sở  của  không  gian  vectơ  V   chiều  n.  Một  ánh  xạ : V K

1h(x,y) [ ( ) ( ) (y)]

với mọi  x,yV. Hơn nữa, nếu   trong cơ sở S được viết dưới dạng  

có thể thấy ngay  h  là dạng song tuyến tính đối xứng  V sinh ra    

 Giả sử  k cũng là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V sinh ra    Khi đó  x, y Vta có: 

( , )

f x y d x y1 1 1 d x yn n n       (x) d x1 12 d xn 2n 

  Dạng này được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương. Nói cách khác mọi dạng toàn phương đều có thể đưa về dạng chính tắc.   

Chứng minh.   Giả sử   là một dạng toàn phương trên không gian vectơ V. Dễ dàng chứng minh được định lí bằng qui nạp theo số chiều n của V.        

        Việc tìm ma trận biểu diễn dạng chính tắc của dạng song tuyến tính đối xứng tương đương với việc tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sinh bởi 

nó. Điều đó được thực hiện bằng thuật toán sau: 

Thuật toàn Lagrange

      Thuật  toán  này  được  thực  hiện  theo  cách  giảm  dần  số  biến.  Cho  ma trận đối xứng A = (g )  là ma trận biểu diễn của    ij

1 Nếu gij  với mọi i thì chọn hệ số 0 gij  Khi đó  i0   Thực hiện jphép biến đổi biến 

số biến ít hơn. Cụ thể khi đó (y , y )1 n d yi i2 (y , , y , y )1 i n  

3. Lặp lại các bước trên đối với    và cứ thế tiếp tục cho đến khi đạt được  dạng  chính  tắc (z)d z1 12 d z n n2  trong  đó  z , z1 nlà  tập  biến  ở bước cuối cùng. 

4 Biểu diễn x , x qua 1 n z , z  ta được ma trận chuyển cơ  sở P gồm 1 ncác dòng là các vectơ hệ số của x (biểu diễn qua i z , z  ). Khi đó 1 n

1 2 T

Bài 3  Ánh xạ f : K2K cho bởi f (x , x )1 2 x1x2có là dạng song tuyến tính trên K hay không? 

Bài 4  Cho ánh xạ f : M2M2R xác định bởi: 

Bài 7.  Tìm ma trận của dạng song tuyến tính f trên K trong cơ sở tự nhiên: 3

f (x, y)2x y 3x y 7x y 9x y x y 4x y x y x y  trong đó xx , x , x1 2 3, yy , y , y1 2 3 

HƯỚNG DẪN Bài 1  a) Nếu c = 0 thì dễ dạng kiểm tra được f thỏa mãn 4 điều kiện về dạng 

song tuyến tính nên f là dạng song tuyến tính. 

Nếu c ≠ 0 thì ta thấy với nên f không là dạng song tuyến tính. 

c) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II) 

d) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II) 

e) f là dạng song tuyến tính vì f thỏa mãn các điều kiện của dạng song tuyến tính. 

  Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ S  sang 1 S , Q là ma trận chuyển từ 21

T sang T  2

  A là ma trận biểu diễn của f theo (S ,T ) , 1 1

  B là ma trận biểu diễn của f theo (S ,T )  2 2

  Khi đó  BP AQT  trong đó  P,Q khả nghịch. Vậy  rank Brank A.  

Bài 12 Giả sử  dim E  Xét ma trận đối xứng A của dạng song tuyến tính nđối  xứng  f  trên  E  trong  một  cơ  sở  trực  chuẩn  nào  đó (e) {e , ,e } 1 n của  E. Gọi ( ) { , ,  1 n}là  một  cơ  sở  trực  chuẩn  của  E  gồm  toàn  những  vectơ riêng của A, thì C là ma trận chuyển từ cơ sở  (e) sang  ( ) , ta có C là một ma trận trực giao. Gọi B là ma trận của f đối với cơ sở  ( )  của E thì ta có  

T

BC AC Hơn nữa khi đó B là một ma trận chéo có dạng: 

1 2

n

0 0

B

Chương 2 DẠNG HERMITE

2.1 Dạng song tuyến tính liên hợp

Ví dụ Tích  vô  hướng  trên  không  gian  unita  là  một  dạng  song  tuyến 

tính liên hợp. Nói riêng, trên £n

f (x, y)x y  x y  trong đó x(x , , x )1 n , y(y , , y )1 n  là một dạng song tuyến tính liên hợp. Thật vậy, x, x , y, y  nvà  , ta có   

       Cho S={ 1, 2, m} là cơ sở của V và T={ 1, 2, n} là cơ sở của 

W.  Ánh xạ    f : V W    là  một  dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  khi  và  chỉ khi tồn tại mn phần tử aij ,i 1, 2, m, j 1, 2, n  sao cho 

  Giả sử f là dạng song tuyến tính tùy ý trên V W  Với mỗi cặp (i, j) trong trong đó  i 1, 2, m, j 1, 2, n   ta đặt f ( ,  i j) aij. Khi đó, với bất kì 

xx   x  V, yy  y  W ta có: 

theo cặp cơ sở  (S,T)  Nếu f là dạng song tuyến tính liên hợp trên V, thì ma 

trận của f theo cặp  (S,S)  được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S. 

2.1.4 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên

hợp đối với hai cơ sở khác nhau 

Định lí 2.2. Nếu dạng song tuyến tính liên hợp f trên V có các ma trận biểu 

diễn theo các cơ sở S và T lần lượt là A và B và P là ma trận chuyển từ S sang 

T thì BP AP.T  

Chứng minh. 

  ( f là dạng Hermite thì ) f(e ,e ) = f(e ,e )  với  i, j 1, 2, ni j j i   

Chọn x = e ,y = e ,i, j 1, 2, ni j  thì 

f(x,y) = f(y,x) , x, y V ( Dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  f  trên  V  thỏa  mãn ) f(e ,e ) = f(e ,e )   i j j i,i, j 1, 2, n thì f là dạng Hermite. 

Nhận xét.  Ma  trận  biểu  diễn  A  của  f  là  ma  trận  Hermite  nếu  AA  với 

2.2.4 Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và dạng Hermite

Định lí 2.4   Dạng song tuyến tính liên hợp f trên không gian unita E là một 

dạng Hermite khi và chỉ khi tồn tại toán tử Hermite    sao cho 

f (x, y) (x), y , x, y   EChứng minh.   x, y   ta có  f (x, y)E  (x), y  y, (x) f (y, x) 

  Nghiệm  của  đa  thức  đặc  trưng  của  một  ma  trận  biểu  diễn  của   theo một cơ sở trực chuẩn không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở, và cũng được gọi 

Chứng minh. Giả sử   là dạng toàn phương Hermite trên V và A là ma trận của nó đối với cơ sở ( ) { , }  1 n  

         Gọi Vk là không gian con của V, sinh bởi các vectơ ( ) { , }  1 n với 

k 1, 2, n  Khi đó thu hẹp của    trên Vk, ký hiệu là 

‘‘  ’’  Giả  sử Dk 0với  mọi  k 1, 2, 3   Ta  sẽ  chứng  minh   là  dạng  toàn phương bằng qui nạp theo n. 

Với n1, D1a11 , biểu thức của dạng toàn phương là 0 (x)a x11 12   0Giả  sử  với  mọi  n1,  điều  khẳng  định  đúng  với  n 1   Khi  đó  dạng  toàn phương 

tắc, trong trường hợp này ta có n 1 ( ) ki 0,i 1, 2, n 1  , khi đó đối với 

cơ sở { , 1 n 1 }trong đó bin    ( ,i n), với    là dạng song tuyến tính đối 

k 0với  mọi  i 1, 2, n   Vậy     là  dạng  toàn  phương  Hermite  xác  định dương.  

Bài 3 Cho f là  dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  trên  V   và     là  dạng  toàn phương liên hợp tương ứng.  Chứng  minh rằng  f là  dạng  Hermite  khi và chỉ khi  (x)  với mọi  xV. 

Bài 4 Chứng  tỏ  rằng  tr(AB)   là  dạng  song  tuyến  tính  liên  hợp  trên 

M(m, n; ) M(n, p; )  

Bài 5 Chứng  tỏ  rằng  có  những  dạng  toàn  phương  không  chéo  hóa  được, 

nghĩa là không đưa được về dạng c y y1 1 1 c y y n n nbằng một phép đổi biến không suy biến, trong đó c , ,c1 n