Chỉ số fredholm

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn TS.Tạ Ngọc Trí, thầy tận tình nghiêm khắc hướng dẫn em để em hoàn thành khóa luận Trong trình học tập, trưởng thành đặc biệt giai đoạn thực khóa luận, em nhận dạy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy cô Qua cho em bày tỏ biết ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài đúng, xác, khách quan, trung thực với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội BẢNG KÝ HIỆU Không gian toán tử tuyến tính bị chặn Không gian toán tử Compact Không gian toán tử Fredholm Trong không gian Banach không gian Hilbert Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Không gian thương 1.1.5 Không gian liên hợp 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.3.1 Các định nghĩa 1.3.2 Định lý 1.4 Toán tử Compact 1.5 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn CHƯƠNG CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm 2.2 Chỉ số Fredholm 12 2.3 Mệnh đề 18 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích ngành toán học mang tính trừu tượng hóa cao Trong trình phát triển giải tích tích lũy nội dung phong phú đa dạng Sau năm đại học, môn giải tích không dễ tiếp cận lại thực hút em Nhờ môn giải tích em làm quen với nhiều khái niệm toán tử tuyến tính, toán tử tuyến tính bị chặn, không gian Banach, không gian Hilbert,…Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn với giúp đỡ thầy giáo Tạ Ngọc Trí em xin trình bày hiểu biết đề tài: Chỉ số Fredholm Thông qua đề tài em sâu nghiên cứu toán tử Fredholm, định lý Atkinson đặc biệt nghiên cứu số tính chất số toán tử Fredholm Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu môn giải tích đặc biệt số Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số Fredholm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Chỉ số Fredholm Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho tập tùy ý khác rỗng trường “.” Giả sử có hai phép toán (i) (ii) : x Ta gọi trường với hai phép toán “ + ” x ; với hai phép toán (i) (ii) không gian vectơ tiên đề sau thỏa mãn: T1:  : ; T2:  T3: Trong có T4:   T5:  ; để: để thỏa mãn: ta có: T6:  ; ta có: T7:   ta có: T8:  Các phần tử : ; ; gọi vectơ, phần tử tích vô hướng Không gian vectơ trường gọi gọi không gian vectơ Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Khi , ta gọi không gian vectơ không gian vectơ thực Khi , ta gọi không gian vectơ không gian vectơ phức 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính số phức trường ( ) với ánh xạ từ trường số thực vào tập số thực trường , ký hiệu ||.|| đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1) ( ) || || , || || (ký hiệu phần tử không  ); 2) ( 3) ( ) ( ) || ) || || = | | || ||; || ≤ || || + || || Số || || gọi chuẩn vectơ Ta ký hiệu không gian định chuẩn Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( n) không gian định chuẩn gọi hội tụ tới điểm , Ký hiệu: hay n  Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm ( n) không gian định chuẩn gọi dãy bản, lim xn  xm  n m 1.1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Không gian định chuẩn gọi không gian Banach dãy hội tụ 1.1.4 Không gian thương Cho không gian định chuẩn Vì không gian định chuẩn đóng không gian tuyến tính không gian tuyến tính , nên thành lập không gian tuyến tính thương tuyến tính Mỗi phần tử  tập đóng theo không gian có dạng: 1.1.5 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian định chuẩn trường số phức ) Ta gọi không gian I( liên tục không gian không gian trường ( trường số thực ) phiếm hàm tuyến tính không gian liên hợp( hay không gian đối ngẫu) ký hiệu * ( thay cho ký hiệu I( )) Định nghĩa 1.1.7 Không gian định chuẩn gọi không gian phản xạ, ** Định nghĩa 1.1.8 Không gian định chuẩn * gọi không gian tự liên hợp, 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính trường số phức Trần Thị Mai Toán trường ( trường số thực ) Ta gọi tích vô hướng không gian ánh Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp xạ từ tích Descartes Trường ĐHSP Hà Nội x vào trường , ký hiệu ( , ), thỏa mãn tiên đề: 1) ( ) ; 2) ( ) 3) ( ) ( 4) ( ; ) ) ; , ( ký hiệu phần tử không), , Các phần tử … gọi nhân tử tích vô hướng, số tích vô hướng hai nhân tử gọi , tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vô hướng Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với ta đặt || || = ( x, x) Khi  ta có bất đẳng thức Schwarz | | ≤ || || || || Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi tập gồm phần tử không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1) H không gian tuyến tính trường ; 2) H trang bị tích vô hướng ( , ); 3) H không gian Banach với chuẩn , H Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H Ví dụ: Trần Thị Mai Toán Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Ký hiệu Trường ĐHSP Hà Nội không gian vectơ thực n chiều Với ta đặt , Hệ thức thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh tích vô hướng là: , Chuẩn trùng với chuẩn không gian chuẩn), nên không gian vectơ thực ( không gian định với tích vô hướng không gian Hilbert Định lý 1.2.1 ( Định lý Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H biểu diễn dạng: ( ) = ( ,a) , H phần tử a H xác định phiếm hàm || ||=||a|| Nhận xét: Nhờ định lý Riesz phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H tương ứng đối với phần tử a H Hiển nhiên tương ứng vừa tuyến tính vừa đẳng cự Vì ta đồng phiếm hàm H* với phần tử a H nghĩa * Nói cách khác không gian Hilbert không gian tự liên hợp 1.3 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Trần Thị Mai Toán 10 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.4 Toán tử Compact Định nghĩa 1.4.1 Toán tử tuyến tính định chuẩn ánh xạ không gian định chuẩn gọi toán tử Compact, toán tử không gian vào không gian ánh xạ tập bị chặn thành tập Compact tương đối không gian Toán tử Compact gọi toán tử hoàn toàn liên tục Ví dụ: Nếu toán tử ánh xạ không gian định chuẩn chuẩn hữu hạn chiều toán tử tuyến tính vào không gian định toán tử hữu hạn chiều Mọi toán tử tuyến tính bị chặn hữu hạn chiều toán tử Compact Thật vậy, giả sử tập bị chặn không gian tập bị chặn không gian hữu hạn chiều Nhưng tập bị chặn không gian hữu hạn chiều tập Compact tương đối, nên toán tử Compact 1.5 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.5.1 Số  gọi giá trị quy (hay điểm quy) toán tử , tồn toán tử R ( với R = toán tử giải toán tử A) xác định bị chặn toàn không gian Số gọi giá trị phổ (hay điểm phổ) toán tử A, số không giá trị quy toán tử Định nghĩa 1.5.2 Tập hợp tất giá trị phổ toán tử Trần Thị Mai Toán 13 gọi phổ toán tử Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm Định nghĩa 2.1.1 Một toán tử bị chặn Fredholm Ker không gian Banach hữu hạn chiều gọi toán tử không gian đóng hữu hạn chiều không gian Định lý 2.1.1 (Định lý Atkinson) Một toán tử bị chặn toán tử Fredholm khả nghịch Trước chứng minh định lý này, thu thập số hệ trực tiếp Giả sử tập tất toán tử Fredholm Hệ Một toán tử bị chặn ( ) cho thuộc và có toán tử Compact Chứng minh Hệ Giả sử toán tử khả nghịch ( ) phần tử có dạng với ( ) Khi nghịch đảo ( ) Và toán tử phải toán tử Compact chúng ánh xạ vào thương đại số Rõ ràng ta giả sử phản chứng nhận mâu thuẫn với kết định lý Atkinson Hệ Trần Thị Mai Toán 14 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Tập Trường ĐHSP Hà Nội ( ) toán tử Fredholm mở tôpô định chuẩn ( ), ổn định Compact thay đổi, chứa tất toán tử khả nghịch ( ) đóng phép nhân toán tử Chứng minh Hệ Định lý Atkinson có nghĩa tuyến tính tổng quát + ( ) ( ) ảnh nghịch đảo nhóm ( ) phép đồng cấu liên tục ( ), khẳng định từ tất dẫn chứng tập hợp phần tử khả nghịch đại số Banach dạng nhóm mở tôpô định chuẩn Thực chất phổ hình ảnh e( ) toán tử ( )/ ( ) e( ( ) định nghĩa phổ ) tập Compact Kết theo sau có nghĩa điểm phổ cách thay đổi ( ) bỏ với toán tử Compact Hệ Giả sử toán tử bị chặn không gian Banach vô hạn chiều Khi e( e( ) ) { ( ): ( ) } Có lẽ cần thiết đưa hệ hệ định lý Atkinson, từ suy dễ dàng Chứng minh Định lý 2.1.1 Giả sử toán tử cho khả nghịch toán tử ( ) toán tử -1 Trần Thị Mai Toán 15 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Từ công thức Compact 1, 2 hữu hạn không gian đóng hữu hạn chiều 1, Ker  Ker Ta có Ker ( 1) Ker ( 2) 1)  { }  Ker ( : Từ Từ ( toán tử Fredholm ta chứng minh Ker Thật vậy, ta có: Xét , theo sau có toán tử cho: Để chứng minh chiều và 1) hữu hạn chiều ta có 2) không gian đóng hữu hạn chiều Sử dụng đại số tuyến tính ta tìm tập hữu hạn vectơ 1, , r cho: 2) r , không gian đóng hữu hạn chiều Ngược lại, giả sử toán tử Fredholm Khi Ker hữu hạn chiều không gian đóng hữu hạn chiều, có toán tử bị chặn cho: ý toán tử bị chặn , , Ker Chú lũy đẳng hạng hữu hạn, đủ chứng tỏ có cho: (2.1.1) Công thức (2.1.1) có nghĩa ( ) ( ) Khi toán tử đạt Giả sử Sự hạn chế ( từ đến toán tử với hạt nhân tầm thường ánh xạ vào = 0) Bằng nguyên lý đồ thị đóng Trần Thị Mai Toán toán tử khả nghịch 16 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Giả sử Trường ĐHSP Hà Nội ( toán tử bị chặn từ đến ) nghịch đảo Ta có: , Lấy , , ta thấy công thức (2.1.1) thỏa mãn Chú ý Chứng minh định lý Atkinson chứng tỏ phần khẳng định sau: Cho toán tử bị chặn Khi ba điều kiện sau tương đương: (1) toán tử Fredholm (2) Có toán tử ( ) mà (3) Có toán tử ( ) mà Compact toán tử hạng hữu hạn 2.2 Chỉ số Fredholm Định nghĩa 2.2.1 Giả sử toán tử Fredholm không gian Banach Cả hai không gian vectơ Ker chiều, số ={ : } coker = hữu hạn định nghĩa hiệu số: ind = dim Ker – dim coker Ví dụ1: Định lý thay Fredholm (Định lý 3.2.2 trang 87- A short course on spectral theory) trở thành khẳng định toán tử có dạng Compact , với số khác không toán tử Fredholm Ví dụ 2: Toán tử nâng toán tử Fredholm với ind Ta có chiều coker chiều Ker ,  ( ) liên hợp , đó: Trần Thị Mai Toán 17 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ind = dim Ker – dim Ker  Công thức có ích cho toán tử không gian Hilbert, ta thay  với không gian Hilbert liên hợp Định lý Atkinson có nghĩa tích * hai toán tử Fredholm ( ) toán tử Fredholm Tính chất quan trọng số loga cộng tính ind = ind + ind (2.2.1) Công thức (2.2.1) kết đại số tuyến tính vô hạn chiều Chúng ta ý đến rời chỗ xa từ phạm trù không gian Banach với toán tử tuyến tính bị chặn tới phạm trù không gian vectơ phức với phép biến đổi tuyến tính ánh xạ Giả sử toán tử không gian vectơ phức Một đơn giản phép ánh xạ tuyến tính hợp tất ký hiệu ) Mọi toán tử , tập có hai không gian vectơ kết hợp với nó, gọi hạt nhân đối hạch Ker = } , coker gọi toán tử Fredholm hai không gian vectơ có chiều hữu hạn Tập hợp toán tử Fredholm ký hiệu Mọi toán tử ( ) có số, cụ thể: ind = dim ker – dim coker Định lý 2.2.1 (Công thức cộng) Giả sử không gian vectơ phức giả sử Fredholm Khi toán tử toán tử Fredholm ind = ind + ind Chúng ta suy định lý 2.2.1 từ hai công thức xác hơn, hai số khuyết: Trần Thị Mai Toán 18 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội dim ker dim coker + dim ker + dim coker – dim ker – dim coker tính rõ ràng Bổ đề 2.2.1 Giả sử không gian vectơ giả sử dim ker + dim ker = dim ker  ( ) Khi đó: + dim(ker /( ker )) (2.2.2) Chứng minh Ta có Ker  Ker Ta cần có: dim( ker ker ) = dim( ker ) (2.2.3) Chứng minh điều này, xét toán tử tuyến tính từ Ker lên hạt nhân ker Nó định nghĩa : , ker Rõ ràng ( ker ) toàn ánh Do ker ker ker với ker mà ker , Bây ta cộng dim ker B + dim( ker A/(BV∩ ker A)) vào hai vế (2.2.3) Từ dim( ker dim ker ker ) + dim ker + dim( ker ( = dim ker , vế trái trở thành: ker )), tương tự vế phải trở thành: dim ker + dim ker Từ công thức (2.2.2) chứng minh Bổ đề 2.2.2 Giả sử dim coker không gian vectơ giả sử + dim coker = dim coker + dim((  ( ) Khi đó: +ker ) ) (2.2.4) Chứng minh Trần Thị Mai Toán 19 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Trước hết thiết lập công thức Nếu không gian hữu hạn chiều, đó: dim( ) = dim( ) + dim(( +ker ) ) Để chứng minh, xét toán tử tuyến tính (2.2.5) định nghĩa Phạm vi ta cần ker = ( +ker ) Thật vậy, lớp thuộc hạt nhân 0 Tức +ker Công thức (2.2.5) theo sau dạng đồng thông thường đại số tuyến tính hữu hạn chiều: dim domain Lấy = dim ran + dim ker (2.2.5) ta được: dim ( ) = dim ( Nếu ta cộng dim( ) + dim(( +ker ) ) vào hai vế, vế trái trở thành: dim coker + dim coker vế phải trở thành: dim ( Từ ) + dim ( ) + dim(( ker , tổng hai số hạng đầu dim( ) = dim coker Vậy công thức (2.2.4) chứng minh Chứng minh Sự thay đổi chứng minh định lý 2.2.1, bổ đề 2.2.1 có nghĩa rằng: dim ker dim ker + dim ker , bổ đề 2.2.2 có nghĩa: dim coker Trần Thị Mai Toán dim coker + dim coker 20 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Thật : Trường ĐHSP Hà Nội ( ) ( ) Từ hai không gian tuyến tính từ không gian vectơ có ánh xạ lên với hạt nhân Do Nó theo sau rằng: Ker ker ( +ker , đặc dim (ker ker ) = dim (( +ker Ta suy luận từ bổ đề 2.2.1 bổ đề 2.2.2 rằng: dim ker + dim ker – dim ker dim coker Và cần tìm công thức ind = + dim coker = ind – dim coker (2.2.6) + ind , sau xếp lại số hạng (2.2.6) Bây quay lại với không gian Banach vô hạn chiều, thu kết bản: Hệ Cho hai toán tử Fredholm Khi tích toán tử Fredholm ind = ind ind Hệ (Sự ổn định số) Cho toán tử Fredholm ind(  ) toán tử Compact Khi đó: ) = ind Chứng minh Trần Thị Mai Toán 21 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Áp dụng định lý Atkinson, tồn toán tử Fredholm với ( ) mà ( ) Ta có  với ind ( ) ind Do ind = ind Sử dụng hệ ta có: ind + ind = ind = ind hay ind ind ind ind Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý Cho toán tử Fredholm toán tử hạng hữu hạn số nguyên , ta tìm thấy  mà dim ker , dim coker Đặc biệt, hai dim ker đường không xác định dim coker dao động thay đổi toán tử hạng hữu hạn Hệ (Tính liên tục số) Cho toán tử Fredholm Giả sử 1, 2,…, tử bị chặn hội tụ , lim An  A  Có số n toán tử Fredholm với ind n n dãy toán cho với 0, n = ind Chứng minh Do định lý Atkinson, Khi tồn toán tử Fredholm Ta viết n= Trần Thị Mai Toán n mở nên mà n với , với đủ lớn Compact với || n|| → 22 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Khi  cho với Do n + ind Mặt khác: ind Do ind 0: || || n khả nghịch Với n ind Trường ĐHSP Hà Nội n = ind + ind + ind đó, ta có: ind n ind n n ind = ind hay ind ind = ind Cuối ta xét trường hợp toán tử Fredholm xác định không gian Hilbert Đặc điểm không gian Hilbert * tồn toán tử liên hợp Ta đồng * , chuyển ( ) vào * với không gian Banach liên hợp  ( ) toán tử phản tuyến tính ( gọi toán tử phản tuyến tính [ với phức liên hợp c), đó, cho toán tử không gian Banach, số  toán tử tuyến tính Đó đồng  với xác định bổ đề Riesz không toán tử tuyến tính toán tử phản tuyến tính Trong không gian Hilbert thường sử dụng * thích  Thật vậy: cho toán tử Fredholm Hilbert, ta có Do dim coker ind ker * = dim ker dim ker xác định không gian * dim ker * 2.3 Mệnh đề Giả sử T toán tử Fredholm xác định không gian Hilbert Khi đó: Trần Thị Mai Toán 23 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp (a) Ind Trường ĐHSP Hà Nội , chứng minh toán tử compact phân tích = + , toán tử chuẩn tắc Chứng minh: Giả sử Hilbert Khi toán tử chuẩn tắc xác định không gian toán tử Fredholm ind Chúng ta sử dụng tính chất ind ( + ) = ind Compact vô lý ind =0 = với toán tử (b) Kết luận toán tử nâng ( the unilateral shift ) không nhiễu Compact toán tử unita mở rộng Toeplitz không cắt đoạn Chứng minh: Chúng ta ý toán tử nâng toán tử Fredholm ta có ind Hơn nữa, toán tử unita toán tử chuẩn tắc Bởi vậy, kết luận theo sau dạng a) Ngược lại, giả thiết mở rộng Toeplitz cắt đoạn Bằng phương pháp tồn  Φ ánh xạ đồng Với  đồng cấu Φ: với tính chất Φ(1) , có: Φ Giả thiết Φ( ) = g+  , g  Compact Khi có: Φ Bởi có Φ( ) = ( g+ ) = g + với  Chúng ta ý Φ giả định ) Trần Thị Mai Toán đồng cấu, ) 24 * ( ) Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội * ( ) Φ( ) Φ( ) toán tử unita Tuy nhiên, Φ( ) = Cho nên + , Compact nhiễu toán tử unita (Φ( )) Điều mâu thuẫn với kết kéo theo Vì vậy, mở rộng Toeplitz không cắt đoạn Trần Thị Mai Toán 25 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: Chỉ số Fredholm Qua trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận hướng dẫn thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em nghiên cứu cách khái quát số Fredholm Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai Trần Thị Mai Toán 26 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục William Arveson (2001), A short course on spectral theory, Berkeley, California N Dunford and J Schwartz (1958), Linear operators, volume I, Interscience, New York Trần Thị Mai Toán 27 Lớp K34C-SP [...]... đương: (1) là một toán tử Fredholm (2) Có một toán tử ( ) mà và (3) Có một toán tử ( ) mà là Compact và là các toán tử hạng hữu hạn 2.2 Chỉ số Fredholm Định nghĩa 2.2.1 Giả sử là một toán tử Fredholm trên một không gian Banach Cả hai không gian vectơ Ker chiều, và chỉ số của ={ : } và coker = hữu hạn được định nghĩa là hiệu số: ind = dim Ker – dim coker Ví dụ1: Định lý thay thế Fredholm (Định lý 3.2.2... 2 CHƯƠNG 2 CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm Định nghĩa 2.1.1 Một toán tử bị chặn Fredholm nếu Ker trên một không gian Banach hữu hạn chiều và gọi là toán tử là không gian con đóng hữu hạn chiều trong không gian Định lý 2.1.1 (Định lý Atkinson) Một toán tử bị chặn trên là một toán tử Fredholm nếu và chỉ nếu là khả nghịch trong Trước khi chứng minh định lý này, chúng tôi thu thập một số hệ quả trực... và đối hạch của nó Ker = } , coker gọi là toán tử Fredholm nếu cả hai không gian vectơ này có chiều hữu hạn Tập hợp các toán tử Fredholm trên được ký hiệu là Mọi toán tử ( ) có một chỉ số, cụ thể: ind = dim ker – dim coker Định lý 2.2.1 (Công thức cộng) Giả sử là một không gian vectơ phức và giả sử Fredholm trên Khi đó là các toán tử là một toán tử Fredholm và ind = ind + ind Chúng ta có thể suy... = + dim coker = ind – dim coker (2.2.6) + ind , sau đó sắp xếp lại các số hạng trong (2.2.6) Bây giờ quay lại với là một không gian Banach vô hạn chiều, tôi thu được các kết quả cơ bản: Hệ quả 1 Cho hai toán tử Fredholm bất kỳ trên Khi đó tích là toán tử Fredholm và ind = ind ind Hệ quả 2 (Sự ổn định của chỉ số) Cho toán tử Fredholm ind(  ) và toán tử Compact Khi đó: ) = ind Chứng minh Trần Thị... động trong một thay đổi trên các toán tử hạng hữu hạn Hệ quả 3 (Tính liên tục của chỉ số) Cho một toán tử Fredholm Giả sử 1, 2,…, tử bị chặn hội tụ về , lim An  A  0 Có một số n một toán tử Fredholm với ind n 0 n là một dãy các toán sao cho với 0, n là = ind Chứng minh Do định lý Atkinson, Khi đó tồn tại toán tử Fredholm Ta viết n= Trần Thị Mai Toán n là mở nên mà n với , với đủ lớn Compact với... 25 Lớp K34C-SP Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận: Chỉ số Fredholm Qua quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em đã nghiên cứu được một cách khái quát và cơ bản về chỉ số Fredholm Mặc dù có nhiều cố gắng song còn hạn chế vì thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những... ở đó ta có thể thay thế  với không gian Hilbert liên hợp Định lý Atkinson có nghĩa rằng tích * của hai toán tử Fredholm ( ) là một toán tử Fredholm Tính chất quan trọng nhất của chỉ số là loga cộng tính của nó ind = ind + ind (2.2.1) Công thức (2.2.1) là một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính vô hạn chiều Chúng ta chú ý đến sự rời chỗ xa từ phạm trù của không gian Banach với các toán tử tuyến... Trường ĐHSP Hà Nội 2 Cho hai không gian tuyến tính số thực gian hoặc trường số phức trên cùng trường ) Ánh xạ gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ 1) ( và từ không gian là trường vào không thỏa mãn các điều kiện: ) 2) ( ( ; ) ( ) Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì gọi là toán tử cộng tính Khi toán tử chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì gọi là toán tử thuần... là toán tử Fredholm thì ta chứng minh Ker Thật vậy, ta có: Xét , nó theo sau rằng có các toán tử sao cho: 1 Để chứng minh chiều và và 1) hữu hạn chiều ta có 2) là một không gian con đóng hữu hạn chiều trong Sử dụng đại số tuyến tính cơ bản ta có thể tìm một tập hữu hạn các vectơ 1, , r sao cho: 2) 1 r , là một không gian con đóng hữu hạn chiều trong Ngược lại, giả sử rằng là một toán tử Fredholm trên... thuộc hạt nhân của khi và chỉ khi 0 Tức là +ker Công thức (2.2.5) theo sau một dạng đồng nhất thông thường của đại số tuyến tính hữu hạn chiều: dim domain Lấy = dim ran + dim ker trong (2.2.5) ta được: dim ( ) = dim ( Nếu ta cộng dim( ) + dim(( +ker ) ) vào cả hai vế, vế trái trở thành: dim coker + dim coker vế phải trở thành: dim ( Từ đó ) + dim ( ) + dim(( ker , tổng hai số hạng đầu bằng dim( ) ... Compact 1.5 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn CHƯƠNG CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm 2.2 Chỉ số Fredholm 12 2.3 Mệnh đề 18 KẾT LUẬN ... xin trình bày hiểu biết đề tài: Chỉ số Fredholm Thông qua đề tài em sâu nghiên cứu toán tử Fredholm, định lý Atkinson đặc biệt nghiên cứu số tính chất số toán tử Fredholm Mục đích nghiên cứu Bước... giải tích đặc biệt số Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số Fredholm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn