Chỉ số Fredholm (515.7)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn TS.Tạ Ngọc Trí, thầy tận tình nghiêm khắc hướng dẫn em để em hồn thành khóa luận Trong q trình học tập, trưởng thành đặc biệt giai đoạn thực khóa luận, em nhận dạy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy cô Qua cho em bày tỏ biết ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai Trần Thị Mai Toán Lớp K34CSP LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài đúng, xác, khách quan, trung thực với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai BẢNG KÝ HIỆU Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn Khơng gian tốn tử Compact Khơng gian tốn tử Fredholm Trong không gian Banach không gian Hilbert MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Banach .2 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Không gian thương 1.1.5 Không gian liên hợp 1.2 Không gian Hilbert .4 1.3 Tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn 1.3.1 Các định nghĩa 1.3.2 Định lý 1.4 Toán tử Compact 1.5 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn CHƯƠNG CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm 2.2 Chỉ số Fredholm 12 2.3 Mệnh đề 18 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích ngành tốn học mang tính trừu tượng hóa cao Trong q trình phát triển giải tích tích lũy nội dung phong phú đa dạng Sau năm đại học, mơn giải tích khơng dễ tiếp cận lại thực hút em Nhờ mơn giải tích em làm quen với nhiều khái niệm tốn tử tuyến tính, tốn tử tuyến tính bị chặn, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert,…Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn với giúp đỡ thầy giáo Tạ Ngọc Trí em xin trình bày hiểu biết đề tài: Chỉ số Fredholm Thông qua đề tài em sâu nghiên cứu toán tử Fredholm, định lý Atkinson đặc biệt nghiên cứu số tính chất số tốn tử Fredholm Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu mơn giải tích đặc biệt số Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số Fredholm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Chỉ số Fredholm NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho □ tập tùy ý khác rỗng trường với hai phép toán “ + ” “.” Giả sử có hai phép tốn □: (i)x (ii) Ta gọi trường x ; với hai phép toán (i) (ii) không gian vectơ tiên đề sau thỏa mãn: T1:  : ; T2:  T3: Trong T4:  có □ để:  để thỏa mãn: ; T5: ; ta có: ;  T6: ; ta có:   T7:  ta có:  T8: :  Các phần tử gọi vectơ, phần tử tích vơ hướng Khơng gian vectơ vectơ trường gọi gọi không gian Khi , ta gọi không gian vectơ không gian vectơ thực Khi , ta gọi không gian vectơ không gian vectơ phức 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính trường ( trường số thực □ trường số phức □ ) với ánh xạ từ vào tập số thực □, ký hiệu ||.|| đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1) ( ) || || , || ||  (ký hiệu phần tử không ); 2) ( ) ( ) || 3) ( ) || || = | | || ||; || ≤ || || + || || Số || || gọi chuẩn vectơ Ta ký hiệu không gian định chuẩn Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( n) không gian định chuẩn gọi hội tụ tới điểm , Ký hiệu: hay n  Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm ( n) không gian định chuẩn lim x  n n  x m  m   0 1.1.3 Không gian Banach gọi dãy bản, Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn gọi không gian Banach dãy hội tụ 1.1.4 Không gian thương Cho khơng gian định chuẩn Vì khơng gian định chuẩn đóng khơng gian tuyến tính khơng gian tuyến tính , nên thành lập khơng gian tuyến tính thương gian tuyến tính Mỗi phần tử  theo khơng có dạng: tập đóng 1.1.5 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian định chuẩn trường trường số phức □) Ta gọi không gian I( liên tục không gian không gian ( trường số thực □ ) phiếm hàm tuyến tính khơng gian liên hợp( hay không gian đối ngẫu) ký hiệu * ( thay cho ký hiệu I( )) Định nghĩa 1.1.7 Không gian định chuẩn gọi không gian phản xạ, ** Định nghĩa 1.1.8 Không gian định chuẩn gọi không gian tự liên hợp, * 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính trường ( trường số thực □ trường số phức □ ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian ánh xạ từ tích Descartes x vào trường , ký hiệu ( , ), thỏa mãn tiên đề: 1) ( 2) (  3) (  4) (  Các phần tử ) ; ) ) ; ) ( ; ) , (□ ký hiệu phần tử không), , … gọi nhân tử tích vơ hướng, số gọi tích vơ hướng hai nhân tử , tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với ta đặt || || = (x, x) Khi  ta có bất đẳng thức Schwarz | | ≤ || || || || Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi tập gồm phần tử không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1) H khơng gian tuyến tính trường ; 2) H trang bị tích vơ hướng ( , ); 3) H không gian Banach với chuẩn , H Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H Ví dụ: Giả sử ( toán tử bị chặn từ đến ) nghịch đảo , Ta có: Lấy , , ta thấy công thức (2.1.1) thỏa mãn Chú ý Chứng minh định lý Atkinson chứng tỏ phần khẳng định sau: Cho toán tử bị chặn Khi ba điều kiện sau tương đương: (1) tốn tử Fredholm (2) Có tốn tử ( ) mà (3) Có tốn tử ( ) mà Compact toán tử hạng hữu hạn 2.2 Chỉ số Fredholm Định nghĩa 2.2.1 Giả sử toán tử Fredholm không gian Banach hai không gian vectơ Ker chiều, số ={ : } coker = Cả hữu hạn định nghĩa hiệu số: ind = dim Ker – dim coker Ví dụ1: Định lý thay Fredholm (Định lý 3.2.2 trang 87- A short course on spectral theory) trở thành khẳng định tốn tử có dạng Compact , với số khác khơng tốn tử Fredholm Ví dụ 2: Tốn tử nâng tốn tử Fredholm với ind Ta có chiều coker liên hợp , đó: chiều Ker ,  ( ) ind = dim Ker – dim Ker  Cơng thức có ích cho tốn tử khơng gian Hilbert, ta có * thể thay với khơng gian Hilbert liên hợp Định lý Atkinson có nghĩa tích hai toán tử Fredholm ( ) tốn tử Fredholm Tính chất quan trọng số loga cộng tính ind = ind + ind (2.2.1) Công thức (2.2.1) kết đại số tuyến tính vơ hạn chiều Chúng ta ý đến rời chỗ xa từ phạm trù khơng gian Banach với tốn tử tuyến tính bị chặn tới phạm trù khơng gian vectơ phức với phép biến đổi tuyến tính ánh xạ Giả sử tốn tử khơng gian vectơ phức Một đơn giản phép ánh xạ tuyến tính hợp tất ký hiệu ) Mọi tốn tử , tập có hai khơng gian vectơ kết hợp với nó, gọi hạt nhân đối hạch Ker = } , coker gọi toán tử Fredholm hai khơng gian vectơ có chiều hữu hạn Tập hợp toán tử Fredholm ký hiệu Mọi tốn tử □( ) có số, cụ thể: ind = dim ker – dim coker Định lý 2.2.1 (Công thức cộng) Giả sử không gian vectơ phức giả sử Fredholm Khi tốn tử tốn tử Fredholm ind = ind + ind Chúng ta suy định lý 2.2.1 từ hai công thức xác hơn, hai số khuyết: dim ker dim coker + dim ker + dim coker – dim ker – dim coker tính rõ ràng Bổ đề 2.2.1 không gian vectơ giả sử □( ) Khi đó: Giả sử dim ker + dim ker = dim ker + dim(ker /( ker )) (2.2.2) Chứng minh Ker Ta có Ker Ta cần có: dim( ker ker ) = dim( ker Chứng minh điều này, xét tốn tử tuyến tính ) (2.2.3) từ Ker lên ker hạt nhân ker Nó định nghĩa : , ) Rõ ràng ( ker ker toàn ánh ker ker với mà ker , Do ker Bây ta cộng dim ker B + dim( ker A/(BV∩ ker A)) vào hai vế (2.2.3) Từ dim( ker = dim ker dim ker ker ) + dim ker , vế trái trở thành: + dim( ker ( ker )), tương tự vế phải trở thành: dim ker + dim ker Từ cơng thức (2.2.2) chứng minh Bổ đề 2.2.2 Giả sử không gian vectơ giả sử □( ) Khi đó: dim coker Chứng minh + dim coker = dim coker + dim(( +ker ) ) (2.2.4) Trước hết thiết lập công thức Nếu không gian hữu hạn chiều, đó: dim( ) = dim( ) + dim(( +ker ) ) Để chứng minh, xét toán tử tuyến tính (2.2.5) định nghĩa Phạm vi ta cần ker = ( +ker ) Thật vậy, lớp thuộc hạt nhân  Tức +ker Công thức (2.2.5) theo sau dạng đồng thông thường đại số tuyến tính hữu hạn chiều: dim domain Lấy = dim ran + dim ker (2.2.5) ta được: dim ( Nếu ta cộng dim( dim coker ) = dim ( ) + dim(( +ker ) ) vào hai vế, vế trái trở thành: + dim coker vế phải trở thành: dim ( Từ ) + dim ( ) + dim(( ker , tổng hai số hạng đầu dim( ) = dim coker Vậy công thức (2.2.4) chứng minh Chứng minh Sự thay đổi chứng minh định lý 2.2.1, bổ đề 2.2.1 có nghĩa rằng: dim ker dim ker + dim ker , bổ đề 2.2.2 có nghĩa: dim coker Trần Thị Mai Toán dim coker + dim coker 20 Lớp K34CSP Thật : □( )  □( ) Từ hai không gian tuyến tính từ khơng gian vectơ có ánh xạ lên với hạt nhân Do Nó theo sau rằng: ker Ker +ker , đặc dim (ker ker ) = dim (( +ker Ta suy luận từ bổ đề 2.2.1 bổ đề 2.2.2 rằng: dim ker + dim ker – dim ker dim coker Và cần tìm cơng thức ind = + dim coker = ind + ind – dim coker (2.2.6) , sau xếp lại số hạng (2.2.6) Bây quay lại với không gian Banach vô hạn chiều, thu kết bản: Hệ Cho hai toán tử Fredholm Khi tích Fredholm ind = ind ind Hệ (Sự ổn định số) Cho toán tử Fredholm  ) tốn tử Compact đó: ind( ) = ind Khi toán tử Chứng minh Áp dụng định lý Atkinson, tồn toán tử Fredholm với ( ) mà ( )  với Ta có ) ind ( ind Do ind = ind Sử dụng hệ ta có: ind + ind = ind = ind hay ind ind ind ind Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý Cho toán tử Fredholm toán tử hạng hữu hạn số nguyên , ta tìm thấy mà dim ker , dim coker Đặc biệt, hai dim ker đường không xác định dim coker dao động thay đổi toán tử hạng hữu hạn Hệ (Tính liên tục số) Cho toán tử Fredholm tử bị chặn hội tụ Giả sử 1, 2,…, n , lim A  0 Có số n cho với A 0, n toán tử Fredholm với ind n dãy toán n = ind Chứng minh Do định lý Atkinson, Khi tồn toán tử Fredholm mở nên mà n với , với đủ lớn Compact Ta viết n= n với || n|| → Khi  cho với Do n + ind Mặt khác: ind Do ind || n khả nghịch Với n ind 0: n = ind + ind + ind hay ind || đó, ta có: ind n ind n ind = ind n ind = ind Cuối ta xét trường hợp toán tử Fredholm xác định không gian Hilbert Đặc điểm không gian Hilbert * tồn tốn tử liên hợp Ta khơng thể đồng * * , chuyển ( ) vào với khơng gian Banach liên hợp  ( ) tốn tử phản tuyến tính ( gọi tốn tử phản tuyến tính [ phức liên hợp c), đó, cho tốn tử với số không gian Banach,  tốn tử tuyến tính Đó đồng với xác định bổ đề Riesz không tốn tử tuyến tính tốn tử phản tuyến tính Trong khơng gian Hilbert thường sử dụng * thích  Thật vậy: cho tốn tử Fredholm Hilbert, ta có Do dim coker ind ker * = dim ker dim ker xác định không gian * dim ker * 2.3 Mệnh đề Giả sử T toán tử Fredholm xác định khơng gian Hilbert Khi đó: (a) Ind □ , chứng minh □ khơng thể phân tích □=□+□, tốn tử compact toán tử chuẩn tắc Chứng minh: Giả sử □ toán tử chuẩn tắc xác định khơng gian Hilbert Khi □ tốn tử Fredholm ind □ =0 Chúng ta sử dụng tính chất ind (□+□) = ind □ = với □ tốn tử Compact vơ lý ind □ (b) Kết luận toán tử nâng ( the unilateral shift ) không nhiễu Compact toán tử unita mở rộng Toeplitz không cắt đoạn Chứng minh: Chúng ta ý toán tử nâng □ toán tử Fredholm ta có ind □ Hơn nữa, tốn tử unita toán tử chuẩn tắc Bởi vậy, kết luận theo sau dạng a) Ngược lại, giả thiết mở rộng Toeplitz cắt đoạn Bằng phương pháp tồn đồng cấu Φ: ○ Φ ánh xạ đồng Φ(1) Với  với tính chất , có: Φ Giả thiết Φ( ) = □g + □□, g  □ Compact Khi có: Φ (□g + □) = g Bởi có Φ( ) = □ + □ với Chúng ta ý Φ giả định  đồng cấu, ) ) * (□) * (□) Φ(□) □ Φ(□) toán tử unita Tuy nhiên, Φ(□) = □□ + □, □ Compact Cho nên □□ nhiễu toán tử unita (Φ(□)) Điều mâu thuẫn với kết kéo theo Vì vậy, mở rộng Toeplitz không cắt đoạn KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận: Chỉ số Fredholm Qua q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận hướng dẫn thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em nghiên cứu cách khái quát số Fredholm Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục William Arveson (2001), A short course on spectral theory, Berkeley, California N Dunford and J Schwartz (1958), Linear operators, volume I, Interscience, New York ... Compact 1.5 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn CHƯƠNG CHỈ SỐ FREDHOLM 2.1 Toán tử Fredholm 2.2 Chỉ số Fredholm 12 2.3 Mệnh đề 18 KẾT LUẬN ... xin trình bày hiểu biết đề tài: Chỉ số Fredholm Thơng qua đề tài em sâu nghiên cứu toán tử Fredholm, định lý Atkinson đặc biệt nghiên cứu số tính chất số tốn tử Fredholm Mục đích nghiên cứu Bước... Fredholm (2) Có tốn tử ( ) mà (3) Có tốn tử ( ) mà Compact toán tử hạng hữu hạn 2.2 Chỉ số Fredholm Định nghĩa 2.2.1 Giả sử tốn tử Fredholm khơng gian Banach hai không gian vectơ Ker chiều, số