ĐỀ TÀI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết Cơ học lượng tử lý thuyết Vật lý nghiên cứu vận động vật chất giới vi mô, hạt giới gọi vi hạt Vấn đề quy luật vận động vi hạt không tuân theo quy luật cổ điển Chỉ có học lượng tử giải cách sâu sắc quy luật xác tượng Tuy nhiên bên cạnh nội dung sở lý thuyết tập vận dụng Cơ học lượng tử tương đối phức tạp, có số toán có lời giải xác cho phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng, là: Bài toán hạt hố vuông góc, dao động tử điều hòa toán nguyên tử hiđrô (chuyển động hạt trường xuyên tâm) Nhưng Dao động tử điều hòa toán Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh nhất, có lời giải xác cổ điển mà học lượng tử toán giải xác học lượng tử Vì em chọn đề tài để nghiên cứu II PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong Cơ học lượng tử, kiến thức sở lý thuyết rộng phân bổ thành nhiều chương Nhưng ta xét phần “Dao động tử điều hòa” Cụ thể nghiên cứu lượng dao động tử điều hòa lượng tử chiều chiều dạng toán liên quan đến dao động tử điều hòa III MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Tìm hiểu Dao động tử điều hòa: khái niệm, loại Dao động tử điều hòa, ứng dụng giải tập III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Ở ta nghiên cứu lượng dao động tử điều hòa IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Thu thập thông tin, tài liệu từ nguồn: Internet, tài liệu khác - Phân tích tổng hợp tài liệu - Dựa kiến thức lĩnh hội trình học lý thuyết sẵn có - Đưa tập vận dụng B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 Khái niệm Dao động tử điều hòa Trong học cổ điển, dao động tử điều hòa hệ thống học thực dao động mà chuyển động mô tả hàm số điều hòa thời gian, mà cụ thể thường hàm sin cosin Năng lượng dao động tử điều hòa nhận giá trị liên tục tần số xạ trùng với tần số dao động học dao động tử điều hòa Ví dụ dao động lắc đơn, lắc lò xo quanh vị trí cân Trong học lượng tử, dao động điều hòa vi hạt thực dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân Năng lượng dao động tử điều hòa có giá SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) Ví dụ dao động nguyên tử phân tử, dao động ion xung quanh nút mạng tinh thể v.v… Chuyển động dao động tử điều hòa gọi dao động điều hòa Nó tượng quan trọng vật lý nói chung học lượng tử nói riêng I.2 Dao động tử điều hòa chiều Xét hạt có khối lượng m chuyển động trục x chịu tác dụng lực F tỉ lệ với x trái dấu với x: F = -kx  Theo học cổ điển: Hạt dao động quanh vi trí cân x = ta gọi dao động tử điều hòa Phương trình dao động tử điều hoà theo học cổ điển là: F = mx&& = m d 2x dt d2x k + x=0 dt m k số dương, ta đặt: m Nghiệm phương trình, có dạng: ω2 = k m x = A sin ωt + Bcosωt x = a cos(ωt + ϕ ) Động hạt tính công thức: mx& ma 2ω sin (ωt + ϕ ) T= = 2 Thế bằng: F = − ∂U dU =− cho hàm F tác dụng theo phương x ∂x dx x x 0 U = − ∫ Fdx = − ∫ (−kx)dx = k x ma 2ω cos (ωt + ϕ ) = 2 Năng lượng toàn phần hạt bằng: E = T + U = ma 2ω 2 Ứng với giá trị ω , lượng có giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với a  Theo học lượng tử: Ta có toán tử động năng: ∧ m  x' ÷ h2 d T ( xˆ ) =   = − 2m dx Nếu xét toán học lượng tử tức viết phương trình Schrodinger cho dao động tử ta phải viết toán tử dạng: SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh ∧ ∧ k x mω x mω x ˆ U ( x) = = = 2 ∧ toán tử x = x phép nhân bình thường Vậy phương trình Schrodinger có dạng:  h2 d mω 2  + x ÷un ( x) = Enun ( x) − 2  2m dx     h d  2 + ( m ω x )   un ( x) = En un ( x) 2m   i dx   Lưu ý ta dùng số n để kí hiệu thứ tự mức lượng (n số nguyên), u n(x) nghiệm ứng với mức lượng En Giải phương trình ta tìm thấy nghiệm un(x) dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi phải thỏa mãn số điều kiện Từ điều kiện suy giá trị lượng En Đế giải toán ta xem hai toán tử a+, a_ có dạng là: a± = h d  ± imω x   2m  i dx  Ta tính giao hoán tử hai toán tử cách dung hàm f(x): (a− a+ ) f ( x ) = h d  h d  − imω x   + imω x  f ( x)  2m  i dx   i dx  = h d   h df  − imω x   + imω xf ( x)   2m  i dx   i dx  =   d2 f d df −h + hmω ( x f ) − hmω x + (mω x) f ( x )   2m  dx dx dx      h d  = + ( m ω x ) + h m ω   f ( x ) = ( Hˆ + hω ) f ( x) ÷ ÷  2m   i dx   vậy: 1 (a− a+ ) = ( Hˆ + hω ) → Hˆ = (a− a+ ) − hω 2m (*) tương tự: 1 (a+ a− ) = ( Hˆ − hω ) → Hˆ = ( a+ a− ) + hω 2m (**) Lấy (*) – (**) ta được: 1 (a− a+ ) − (a+ a− ) = ( Hˆ + hω ) − ( Hˆ − hω ) = hω 2 Ta dùng phương trình (**) để viết lại phương trình Schrodinger: ˆ ( x) = (a a ) + hω  u ( x ) = E u ( x) Hu n + − n n n   SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh Đến ta chứng minh U(x) nghiệm riêng thỏa mãn phương trình Schrodinger với trị riêng E hàm a+U ( x ) thỏa mãn phương trình Schrodinger với lượng riêng E + hω  Xét:   Hˆ (a+U ) = ( a+ a− ) + hω  a+U = a+ a− a+U + hω (a+U )       = a+ ( a− a+ ) + hω U = a+ ( a− a+ ) − hω + hω U     = Hˆ (a U ) = a Hˆ + hω U = ( E + hω )(a U ) + + { } + Tương tự ta chứng minh U(x) nghiệm riêng thỏa mãn phương trình Schrodinger với trị riêng E hàm a−U ( x ) thỏa mãn phương trình Schrodinger với lượng riêng E − hω  Xét:   Hˆ (a−U ) = (a− a+ ) − hω  a−U = a− a+ a−U − hω (a−U )       = a− ( a+ a− ) − hω U = a− ( a+ a− ) + hω − hω U     = Hˆ (a U ) = a Hˆ − hω U = ( E − hω )(a U ) − − { } − Kết luận: Khi tác dụng toán tử a+ lên trạng thái uk(x) có mức lượng Ek ta trạng thái uk +1 ( x) có mức lượng Ek + hω tác dụng toán tử a− lên trạng thái uk(x) có mức lượng E k ta trạng thái uk −1 ( x) có mức lượng Ek - hω Các toán tử a+, a_ gọi toán tử tăng toán tử giảm Nếu tác dụng liên tục toán tử a - lên trạng thái trị riêng lượng giảm dần có lúc nhỏ không Như chắn có trạng thái thấp gọi trạng thái u0(x) cho: a_u0(x) = Dựa vào biểu thức a−u0 ( x) = → h d  − imω x  u0 ( x) =  2m  i dx  du0 ( x ) du ( x) mω mω =− x.u0 ( x) → ∫ =− x.dx dx h u0 ( x ) h ∫ → ln u0 ( x) = − mω  mω  x + const → u0 ( x) = A0 exp  − x ÷ 2h  2h  Để tìm trị riêng lượng trạng thái ta sử dụng (**) ˆ ( x) = ( a a ) + hω  u ( x ) = E u ( x) = hωu ( x ) Hu 0 0  + −  SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh Như vậy: E0 = hω Đây giá trị lượng mức Các mức lượng cao tìm thấy cách tác dụng toán tử tăng lên trạng thái liên tục trị riêng trạng thái cao (gọi trạng thái kích thích) Như lượng dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) có giá trị nhỏ Emin = hω lượng gọi   1 lượng không Các mức lượng kích thích là: Ek =  k + ÷hω (***)  k số nguyên dương không k = 0,1,2,3… Từ (***) dung điều kiện chuẩn hóa tính được: A0 =  mω ÷  hπ  Ta tìm biểu thức hàm song biểu diễn cho dao động tử điều hòa uk(x) ứng với mức lượng thứu k là:  mω   mω  u0 ( x ) =  x ÷ ÷ exp  −  hπ   2h   mω   mω  uk ( x) = (a+ ) u0 ( x ) = (a+ )  x ÷ ÷ exp  −  hπ   2h  K K Năng lượng liên quan chặt chẻ với dao động không dao động tử, nghĩa nhiệt độ T tiến không, dao động tử dao động với mức lượng Emin = hω Điều thực nghiệm xác nhận thí nghiệm tán xạ tia X qua tinh thể nhiệt độ thấp Tia X bị tán xạ dao động nguyên tử mạng tinh thể gây Theo học cổ điển, nhiệt độ giảm, biên độ dao động nguyên tử giảm dần đến 0, tán xạ ánh sang phải biến Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới giới hạn Điều có nghĩa là, nhiệt độ tiến không, tán xạ ánh sang xảy nguyên tử mạng tinh thể dao động, tương ứng với lượng E0 đó.Như thực nghiệm tán xạ tia X qua tinh thể nhiệt độ thấp chứng tỏ đắn học lượng tử Sự tồn “năng lượng không” phù hợp với hệ thức bất định Heisenberg Thực vậy, mức lượng thấp dao động 0, có nghĩa hạt đứng yên vận tốc tọa độ vi hạt xác định đồng thời (đều 0), điều mâu thuẫn với hệ thức bất định Sự tồn mức lượng SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh "không" dao động điều hòa biểu đặt trưng lưỡng tính sóng hạt vi hạt I.3 Dao động tử điều hòa lượng tử chiều 2 2 2 2 Ta năng: U ( x, y, z ) = mω x x + mω y y + mω z z Phương trình Schrodinger ba chiều: Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) Nghiệm phương trình là: ψ n n n ( x, y, z ) = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z ) x y z x y z 3 3   Enx ny nz =  nx + n y + nz + ÷hω =  n + ÷hω 2 2   II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho dao động tử điều hòa chiều a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức lượng thấp có dao động tử điều hòa b) Tính giá trị trung bình x, x dao động tử điều hòa trạng thái (trạng thái có mức lượng thấp nhất) ψ ( x ) a − ax mω ψ ( x) = e , a = π h SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử +∞ Cho ∫e − ax dx = −∞ GV: Lê Thị Hồng Thanh π a Bài giải ∧ 2 a) Ta có: Hˆ = p + mω x 2m Năng lượng trung bình dao động tử điều hòa xác định công thức:  ∧2  px mω 2 ÷ p mω 2  ˆ E = ∫ψ * Hψ dx = ∫ψ * + x ψ dx = + x (1)  2m ÷ 2m ÷   Theo hệ thức bất định ta có: ( ) ( )  p = p + ∆p    x = x + ∆x  Thay vào (1) ta được: ( ) ∆p + p E= E ≥ 2m mω  x + ∆x     ( ) h2 4∆x ta có: h2 mω 2 + ∆x 8m∆x 2 ( ) f ∆x = Emin =  + ∆p mω 2 + ∆x 2m 2 Áp dụng hệ thức bất định ∆px ≥ E≥ h2 8m∆x + f ( a) = h2 mω + a; 8ma f ' ( a) = −h2 mω + =0 8ma 2 mω 2 ∆x a = ∆x mω h2 2h2 h = a = →a=  2 2 8ma 8m ω 2mω 2  h  h ( 2mω ) mω h hω f = + =   2mω ÷ 8mh 2.2mω  Vậy mức lượng thấp có dao động tử điều hòa chiều là: hω Emin = SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh +∞ * n b) Ta có: x = ∫ ψ x ψ dx n = 1, 2, 3, n −∞ mω a − ax ψ ( x) = e ; a = h π +∞ * * x = ∫ ψ xˆψ dx −∞ = +∞ ∫ −∞ +∞ a − ax2 a − ax2 a − ax e x e dx = xe dx ∫ π π x −∞ +∞ ∫ xe Ta có hàm số f(x) = − ax dx hàm lẻ f(-x) = -f(x), mà cận chạy từ −∞ → +∞ −∞ cận đối xứng nên f(x) = x= a = x +∞ ∧ * x = ∫ ψ x ψ dx = * −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ a − ax2 a − ax2 a e x e dx = x 2e − ax dx ∫ π π x −∞ Cách 1: I1 = Ta có: +∞ − ax ∫ e dx = −∞ +∞ π ∂I1 π I = − = x e − ax dx = ; ∫ a ∂a −∞ a3 +∞ ∂I π I = − = ∫ x 4e − ax dx = ∂a −∞ a5 ⇒ x2 = a 1 h π = = π 2a 2mω a +∞ ∧ * * x = ∫ ψ x ψ dx = −∞ +∞ ∫ +∞ x3 −∞ a − ax a e dx = x 3e − ax dx = ∫ π x −∞ Vì hàm f ( x ) = x 3e − ax hàm lẻ cận đối xứng +∞ ∧ * x = ∫ ψ 0* x ψ dx = −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ x4 a − ax a a e dx = x 4e − ax dx = π ∫ π x −∞ π a5 = 3 h  =  ÷ 4a  mω  Cách 2: +∞ a − ax x * x = ∫ e dx x −∞ SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh u = x → du = dx  Đặt  e − ax − ax  dv = xe dx → v = −2 a  a  e − ax ⇒x =  x π  −2a +∞ −∞ +∞  a π h − ax + e dx = = = ∫ 2a −∞ π 2a a 2a 2mω  +∞ a x e − ax dx * x = ∫ x −∞ u = x → du = 3x dx  Đặt  e − ax − ax  dv = xe dx → v = −2 a  a ⇒x = π  e − ax x  −2a +∞ + −∞ +∞  3 3 h  − ax x e dx = =   ÷ ∫ 2a −∞  mω   4a Bài 2: Thế dao động tử điều hòa ba chiều có dạng: U ( x, y , z ) = 1 mω12 x + mω22 y + mω32 z 2 2 đó: m, ω1 , ω2 , ω3 số Tìm hàm sóng mức lượng dao động tử điều hòa ba chiều Bài giải Phương trình Schrodinger dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:  h2  ∂  ∂2 ∂2  m 2 Hˆ ψ ( x, y, z ) = − + + + ( ω1 x + ω22 y + ω32 z ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )  2 ÷  2m  ∂x ∂y ∂z   Đặt ψ ( x, y, z ) = ψ ( x ) ψ ( y ) ψ ( z ) thay vào phương trình chia hai vế phương trình vừa nhận cho ψ ( x ) ψ ( y ) ψ ( z ) ta có:    −h2 ∂ 2ψ ( x) 1  −h2 ∂ 2ψ ( y ) 2 + m ω x ψ ( x ) + + mω22 y 2ψ ( y )     2 ψ ( x)  2m ∂x 2  ψ ( y )  2m ∂y    −h2 ∂ 2ψ ( z ) + + mω32 z 2ψ ( z )  = E = const  ψ ( z )  2m ∂x  Ta suy ra: h2 ∂ ψ ( x ) + mω12 x 2ψ ( x ) = E1ψ ( x ) 2m ∂x 2 h ∂ ψ ( y) − + mω22 y 2ψ ( y ) = E2ψ ( y ) 2m ∂y 2 − h2 ∂ ψ ( z ) + mω32 z 2ψ ( z ) = E3ψ ( z ) 2m ∂z 2 − SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 10 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh với E1, E2, E3 const E = E1 + E2 + E3 Các hàm sóng ψ ( x ) ,ψ ( y ) ,ψ ( z ) phương trình dao động tử điều hòa chiều Đặt X = mω3 mω1 mω2 x, Y = y, Z = z ta có: h h h ψ n1 ( X ) = An1 e ψ n2 (Y ) = An2 e ψ n3 ( Z ) = An3 e − X2   1 H n ( X ) , En = hω1  n1 + ÷ 1  − Y2 1  H n2 (Y ) , En2 = hω2  n2 + ÷  − Z2 1  H n3 ( Z ) , En3 = hω3  n3 + ÷  với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3… An , An , An hệ số chuẩn hóa hàm sóng: 1  mω1  An1 =  ÷  hπ   mω2  An2 =  , ÷  hπ  2n1 n1 ! 1 2n2 n2 ! ,  mω3  An3 =  ÷  hπ  n3 n3 ! Hàm sóng lượng dao động tử điều hòa ba chiều xác định sau: ψ n n n ( x, y, z ) = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z ) 3 ω + ω2 + ω3   En1n2 n3 = En1 + En2 + En2 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3 n3 + ÷   với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3,… Hàm sóng lượng dao động tử điều hòa ba chiều xác định sau: ψ n1 , n2 , n3 ( x, y , z ) = ψ n1 ( x ) ψ n2 ( y ) ψ n ( z ) ω + ω + ω3   En1 , n2 , n3 = En1 + En2 + En3 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3n3 + ÷   với n1 , n2 , n3 = 0,1, 2,3 Bài 3: Viết toán tử Hamintơn dao động tử điều hòa chiều biểu diễn xung lượng.Tìm hàm riêng trị riêng biểu diễn xung lượng Bài giải ur Toán tử Hamintơn dao động tử điều hòa chiều p - biểu diễn có dạng: 2 p mω  ∂  p2 ∂2 mω ˆ H= + −h  ih ÷ = 2m  ∂p  2m ∂p Phương trình hàm riêng trị riêng Hˆ : Hˆ ϕ ( p ) = Eϕ ( p ) Đưa vào thông số không thứ nguyên ξ = SVTH: Nguyễn Văn Hòa p 2E đặt λ = , ta có: mhω hω Trang 11 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh d 2ϕ (ξ ) + ( λ −ξ ) ϕ (ξ ) = dξ ξ2 − Nghiệm ϕ ( ξ ) tìm dạng: ϕ ( ξ ) = e y ( ξ ) Khi hàm y ( ξ ) thỏa mãn phương trình: d2y dy − 2ξ + 2ny = , 2n = λ − dξ dξ n k Nghiệm y ( ξ ) tìm dạng: y ( ξ ) = ∑ ak ξ k =0 ak + = 2( n − k ) a , n = 0, 1, 2… ( k + 1) ( k + ) k 1  En = hω  n + ÷ 2  ξ2 Hàm ϕ ( ξ ) viết dạng: ϕn ( ξ ) = An e − H n ( ξ ) ( ) d n −ξ H n ( ξ ) = ( −1) e e , dξ n n ξ2  mω  An =  ÷  hπ  2n n ! Bài 4: Tìm hàm sóng hạt xung lượng biểu diễn dao động tử điều hòa trạng thái 1  2  −α x với α =  mω ÷ ψ ( x) = α ÷ e  2h   π Bài giải Hàm sóng biểu diễn xung lượng ϕ ( p ) xác định công thức: +∞ ϕ ( p ) = ∫ ψ ( x )ψ *p ( x )dx = −∞ +∞ i −α x + px A h e dx ∫ 2π h −∞ +∞ A −( α x + β ) + β ϕ ( p) = e dx ∫ 2π h −∞  2 Trong A =  α ÷ ;  π   mω  ; α = ÷  2h  β= ip 2hα Thực phép tính tích phân ta có: ϕ ( p) = SVTH: Nguyễn Văn Hòa α h 2π e − p2 h2α Trang 12 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh Bài 5: a) Tính vị trí toán tử xung lượng Xˆ H (t ) PˆH (t ) tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa chiều b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho Xˆ H (t ) PˆH (t ) Bài giải a) Hàm Hamilton dao động tử điều hòa có dạng ∧ ∧ p2 Hˆ = + mω X 2m Giao hoán tử  ∧2 ∧  ih ˆ  Hˆ , Xˆ  =   2m  P , X  = − m P   (1) ∧ ∧  Hˆ , pˆ  = mω  X , P  = ihmω Xˆ     (2) ˆ os(ωt ) + Pˆ sin(ωt ) Xˆ H (t ) = Xc mω ˆ ˆ PH (t ) = Pcos(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ) Ta tính được: b) Để tìm phương trình chuyển động Xˆ H (t ) PˆH (t ) ta sử dụng phương dAˆ H (t )  ˆ ˆ  =  AH , H  kết hợp với (1) (2) ta tính dt ih trình Heisenberg: ˆ ˆ ˆ ˆ dXˆ H (t ) ˆ itHh  ˆ ˆ  − itHh ih itHh ˆ − ihhH ˆ   =  X H (t ), H  = e  X , H  e = e Pe dt ih ih ih m ˆ ˆ ˆ itHˆ − dPˆH (t ) 1 itH (−ihmω ) itHh ˆ − ihhH =  pˆ H (t ), Hˆ  = e h  Pˆ , Hˆ  e h = e Xe dt ih ih ih Hay dXˆ H (t ) dPˆH (t ) = pˆ H (t ) ; = − mω Xˆ H (t ) dt m dt Bài 6: Cho Xˆ (t ) Pˆ (t ) , tính giao hoán tử cho dao động tử điều hòa sau H H  Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  ;    Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  ;    PˆH (t1 ), PˆH (t2 )    Bài giải ˆ os(ωt ) + Sử dụng: Xˆ H (t ) = Xc ˆ ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ) theo P sin(ωt ) PˆH (t ) = Pc mω hệ thức giao hoán  Xˆ , Pˆ  = ih  Xˆ , Xˆ  =  Pˆ , Pˆ  = , ta có   ˆ os(ωt ) +   Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  =  Xc SVTH: Nguyễn Văn Hòa ˆ ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt )  P sin(ωt1 ), Pc 2  mω  Trang 13 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh =  Xˆ , Pˆ  cos(ωt1 )cos(ωt2 ) −  Pˆ , Xˆ  sin(ωt1 )sin(ωt2 ) = ih[ cos(ωt1 )cos(ωt2 ) + sin(ωt1 )sin(ωt2 ) ] Hoặc  Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  = ihcos [ ω (t1 − t2 )]   Tương tự   ˆ os(ωt ) +   Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  =  Xc 1 ˆ ˆ os(ωt ) + Pˆ sin(ωt )  P sin(ωt1 ), Xc 2  mω mω   ˆ ˆ ˆ ˆ X , P  cos(ωt1 )sin(ωt2 ) + P, X  sin(ωt1 )cos(ωt2 )  mω mω  ih = [ cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − sin(ωt1 )cos(ωt2 ) ] mω = Hoặc ih  Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  = − sin [ ω (t1 − t2 ) ]   mω ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ), Pc ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt )    PˆH (t1 ), PˆH (t2 )  =  Pc 1 2  = −mω  Pˆ , Xˆ  cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − mω  Xˆ , Pˆ  sin(ωt1 )cos(ωt2 ) = −ihmω [ sin(ωt1 )cos(ωt2 ) − cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) ] Hoặc  PˆH (t1 ), PˆH (t2 )  = −ihmω sin [ ω (t1 − t2 ) ]   C KẾT LUẬN Qua trình tìm hiều, ta thấy dao động tử điều hòa mô tả lý thuyết lượng hạt toán có lời giải xác học lượng tử, trình tính toán tương đối phức tạp, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết phương trình Schrodinger Nếu vận dụng cách nhuần nhuyễn phương pháp để giải ta hiểu rõ tính chất hạt vị trí, lượng… Trong trình làm tiểu luận này, kiến thức hạn chế nên làm không tránh khỏi thiếu sót, mong cô có góp ý để đề tài hoàn thiện SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 14 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh D TÀI LIỆU THAM KHẢO http://vi.wikipedia.org/wiki/Dao_%C4%91%E1%BB%99ng_t%E1%BB%AD_ %C4%91i%E1%BB%81u_h%C3%B2a Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sư Phạm,2009 Nguyễn Duy Hưng, Giáo trình học lượng tử, 1998 Cơ học lượng tử nâng cao SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 15 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 16 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 17 [...]... những góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 14 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh D TÀI LIỆU THAM KHẢO http://vi.wikipedia.org/wiki/Dao_%C4%91%E1%BB%99ng_t%E1%BB%AD_ %C4%91i%E1%BB%81u_h%C3%B2a Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sư Phạm,2009 Nguyễn Duy Hưng, Giáo trình cơ học lượng tử, 1998 Cơ học lượng tử nâng cao SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 15 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị... 1 α h 2π e − p2 4 h2α 2 Trang 12 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh Bài 5: a) Tính vị trí và toán tử xung lượng Xˆ H (t ) và PˆH (t ) trong bức tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho Xˆ H (t ) và PˆH (t ) Bài giải a) Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng ∧ ∧ p2 1 Hˆ = + mω 2 X 2 2m 2 Giao hoán tử 1  ∧2 ∧  ih ˆ  Hˆ , Xˆ  = ... trình tìm hiều, ta thấy dao động tử điều hòa mô tả đúng lý thuyết năng lượng của hạt và bài toán có lời giải chính xác trong cơ học lượng tử, nhưng quá trình tính toán tương đối hơi phức tạp, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết của phương trình Schrodinger Nếu vận dụng một cách nhuần nhuyễn các phương pháp để giải ta sẽ hiểu rõ hơn về các tính chất của hạt như vị trí, năng lượng Trong quá trình làm tiểu... En1 , n2 , n3 = En1 + En2 + En3 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3n3 + 1 ÷ 2   với n1 , n2 , n3 = 0,1, 2,3 Bài 3: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu diễn xung lượng. Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng Bài giải ur Toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong p - biểu diễn có dạng: 2 2 p 2 mω 2  ∂  p2 ∂2 2 mω ˆ H= + −h  ih ÷ = 2m 2  ∂p .. .Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh với E1, E2, E3 bằng const và E = E1 + E2 + E3 Các hàm sóng ψ ( x ) ,ψ ( y ) ,ψ ( z ) là các phương trình dao động tử điều hòa một chiều Đặt X = mω3 mω1 mω2 x, Y = y, Z = z ta có: h h h ψ n1 ( X ) = An1 e ψ n2 (Y ) = An2 e ψ n3 ( Z ) = An3... n2 ! 1 ,  mω3  4 An3 =  ÷  hπ  1 n3 2 n3 ! Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như sau: ψ n n n ( x, y, z ) = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z ) 1 2 3 1 2 3 ω + ω2 + ω3   En1n2 n3 = En1 + En2 + En2 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3 n3 + 1 ÷ 2   với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3,… Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như sau: ψ n1 , n2 , n3 ( x, y... = ih và  Xˆ , Xˆ  =  Pˆ , Pˆ  = 0 , ta có   ˆ os(ωt ) +   Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  =  Xc 1 SVTH: Nguyễn Văn Hòa 1 ˆ ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt )  P sin(ωt1 ), Pc 2 2  mω  Trang 13 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh =  Xˆ , Pˆ  cos(ωt1 )cos(ωt2 ) −  Pˆ , Xˆ  sin(ωt1 )sin(ωt2 ) = ih[ cos(ωt1 )cos(ωt2 ) + sin(ωt1 )sin(ωt2 ) ] Hoặc  Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  = ihcos [ ω (t1 − t2... ih ÷ = 2m 2  ∂p  2m 2 ∂p 2 Phương trình hàm riêng và trị riêng của Hˆ : Hˆ ϕ ( p ) = Eϕ ( p ) Đưa vào thông số không thứ nguyên ξ = SVTH: Nguyễn Văn Hòa p 2E và đặt λ = , ta có: mhω hω Trang 11 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh d 2ϕ (ξ ) + ( λ −ξ 2 ) ϕ (ξ ) = 0 2 dξ ξ2 − Nghiệm ϕ ( ξ ) được tìm dưới dạng: ϕ ( ξ ) = e 2 y ( ξ ) Khi đó hàm y ( ξ ) thỏa mãn phương trình: d2y dy − 2ξ + 2ny = 0 , 2n... −ξ 2 H n ( ξ ) = ( −1) e e , dξ n n ξ2 1  mω  4 An =  ÷  hπ  1 2n n ! Bài 4: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản 1 1  2 2  2 −α 2 x 2 với α =  mω ÷ ψ ( x) = α ÷ e  2h   π Bài giải Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng ϕ ( p ) được xác định bằng công thức: +∞ ϕ ( p ) = ∫ ψ ( x )ψ *p ( x )dx = −∞ +∞ i −α x 2 + px A h e dx ∫ 2π... Hồng Thanh E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN SVTH: Nguyễn Văn Hòa Trang 16 Cơ Học Lượng Tử GV: Lê Thị Hồng Thanh ... Hồng Thanh =  Xˆ , Pˆ  cos(ωt1 )cos(ωt2 ) −  Pˆ , Xˆ  sin(ωt1 )sin(ωt2 ) = ih[ cos(ωt1 )cos(ωt2 ) + sin(ωt1 )sin(ωt2 ) ] Hoặc  Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  = ihcos [ ω (t1 − t2 )]   Tương... P sin(ωt1 ), Xc 2  mω mω   ˆ ˆ ˆ ˆ X , P  cos(ωt1 )sin(ωt2 ) + P, X  sin(ωt1 )cos(ωt2 )  mω mω  ih = [ cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − sin(ωt1 )cos(ωt2 ) ] mω = Hoặc ih  Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2... (t1 ), PˆH (t2 )  =  Pc 1 2  = −mω  Pˆ , Xˆ  cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − mω  Xˆ , Pˆ  sin(ωt1 )cos(ωt2 ) = −ihmω [ sin(ωt1 )cos(ωt2 ) − cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) ] Hoặc  PˆH (t1 ), PˆH (t2 ) 