chương 6 ĐỊNH đề của cơ học LƯỢNG tử

ĐỊNH ĐỀ VÀ ĐỊNH LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 6-1 Giới thiệu Phần sách luận giải số hệ quan điểm vật lý, sử dụng trực giác nhiều tốt Bây giờ, trang bị khái niệm có sẵn, người đọc phải vị trí cao để hiểu tảng đắn mô tả chương này.Nền tảng trình bày tập hợp định đề Từ thử nghiệm kèm theo định lý khác Thử nghiệm cuối tính hợp lệ định đề đến so sánh dự đoán lý thuyết với liệu thực nghiệm Cần có thêm nỗ lực để nắm vững định đề định lý tìm cách giải vấn đề liên quan đến hóa học 6-2 Định đề hàm sóng: Chúng mô tả hầu hết yêu cầu mà hàm sóng phải đáp ứng: ψ phải chấp nhận (ví dụ đơn trị, hữu hạn, liên tục khoảng, khả vi) Đối với trạng thái liên kết (tức là, trạng thái hạt không đủ lượng để tách ra), yêu cầu ψ khả tích bình phương Vì vậy, đến xem xét trường hợp trạng thái hệ thống không thay đổi theo thời gian Đối với nhiều hóa học lượng tử, trường hợp quan tâm, nói chung, trạng thái thay đổi theo thời gian, ψ hàm số t theo biến đổi hệ Tổng hợp tất điều lại với nhau, đến: Định đề I: Bất kỳ trạng thái liên kết chuyển động n hạt mô tả cách đầy đủ hàm khả tích bình phương Ψ (q1, q2, q3n, ω1, ω2, , ωn, t), q’s tọa độ không gian, ω’s tọa độ spin, t thời gian Ψ*Ψ dτ xác suất mà tọa độ spin không gian nằm thể tích dτ (≡ dτ1dτ2… dτn) thời điểm t, hàm Ψ chuẩn hóa Ví dụ, giả sử có hệ hai electron trạng thái phụ thuộc thời gian mô tả hàm sóng Ψ (x1, y1, z1, ω1, x2, y2, z2, ω2, t) Tọa độ spin ω tổ hợp hàm spin α β Nếu ta tích phân Ψ*Ψ tọa độ spin hai điện tử Gọi ρ (x1, y1, z1, x2, y2, z2, t) ≡ ρ (v1, v2, t) Ta giải thích ρ (v1, v2, t) dv1 dv2 xác suất mà điện tử dv1 (ví dụ, x1 x1 + dx, y1 y1 +dy, z1 z1 + dz) điện tử dv2 thời điểm t Nếu ta lấy tích phân tọa độ điện tử 2, ta có hàm mật độ mới, ρ’ (v1, t), mô tả xác suất tìm thấy electron thể tích khác vào thời điểm khác mà không phụ thuộc vào vị trí điện tử 6-3 Định đề cho việc xây dựng toán tử: Phần lớn nội dung tiên đề thứ hai quen thuộc Trước ta sử dụng lập luận dựa sóng de Broglie để xây dựng toán tử Hamilton Sau ta nhận thấy phần động toán tử xác định với thuật ngữ cổ điển px/2m thông qua mối quan hệ px ↔ (h/i)∂/∂ x Tuy nhiên, lượng toán tử Hamilton hoàn toàn cổ điển Do đó, xây dựng Hamilton học lượng tử cách viết biểu thức lượng cổ điển động lượng vị trí, sau thay động lượng toán tử thích hợp Đây ví dụ việc sử dụng phần c: Định đề II: Biến động lực M gán toán tử tuyến tính hermit Ta bắt đầu cách viết biểu thức cổ điển đầy đủ động lượng vị trí, sau đó: a) Nếu M q t, q t (q t tọa độ không gian thời gian.) b) Nếu M động lượng, p j, cho hạt thứ j, toán tử (h/i)∂/∂q j, qj liên hợp với pj (ví dụ, xj liên hợp với pxj) c) Nếu M q’s, p’s t, biểu thức M tìm thấy thay toán tử toán tử Hermit trị riêng toán tử Hermit phải số thực Ta thảo luận sau điều khía cạnh khác toán tử (bao gồm định nghĩa nó) chương Cho ví dụ cụ thể điều này, ta xem xét lại nguyên tử hydro Giả sử hạt nhân cố định, khái niệm cổ điển cho tổng lượng hệ Eclassical = (1/2me)(px2 + py2 + pz2) − e2/4π (x2 + y2 + z2)1/2 Trong đó, số hạng động electron hạng thứ hai Gốc tọa độ hạt nhân Áp dụng định đề II, ta có biến x, y, z biểu thức không thay đổi, px thay (h/i)∂/∂x, … Do đó, ta có: tự chuyển đổi đến hệ tọa độ khác (như r, θ, φ) muốn 6-4 Định đề phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian: Ta thảo luận trường hợp Hamilton ψ không phụ thuộc thời gian Trong trường hợp ta yêu cầu ψ hàm riêng Trong trường hợp tổng quát hơn, Ψ phụ thuộc thời gian, yêu cầu khác đặt bởi: Định đề III Các hàm số trạng thái (hoặc hàm sóng) thỏa mãn phương trình Trong toán tử Hamilton hệ Ta nên kiểm tra xem điều phù hợp với phương trình Schrodinger độc lập thời gian mà ta sử dụng trước Giả sử toán tử Hamilton độc lập với thời gian Ta xem xét, lời giải phương trình (6-1) tồn hàm Ψ (q, t) tách thành hàm phụ thuộc vào không gian thời gian: Ψ (q, t) = ψ(q)f (t) Thay vào phương trình (6-1) ta (6.2) Chia vế cho ta : (6.3) Từ bên phương trình (6-3) phụ thuộc vào biến khác nhau, hai bên phải số giống nhau, mà gọi E Điều đưa Và Phương trình phương trình Schrodinger độc lập thời gian mà dùng Phương trình thứ hai có kết f(t) = A exp (-iEt /h) Do đó, f*f số, Ψ*Ψ = ψ*ψf * f α ψ* ψ Vì f không ảnh hưởng đến lượng phân bố hạt, ta bỏ qua xét đến trạng thái dừng Cũng tương tự trường hợp sóng đứng thảo luận Chương Lưu ý ta lời giải tồn hàm sóng Ψ tách ra, điều nghĩa tất lời giải phương trình (6-1) với = khác biệt (tức đứng yên) Chúng ta tưởng tượng trường hợp mà hệ trạng thái dừng bị xáo trộn để tạo Hamilton độc lập với thời gian Ψ thay đổi hệ thay đổi, cho trường hợp Hamilton độc lập với thời gian (ít sau xáo trộn) Ψ hàm trạng thái dừng Cách biến đổi Ψ theo thời gian quy định phương trình (6-1) Ví dụ 6-1 Chỉ lượng trung bình cho trạng thái không ổn định nguyên tử hydro bảo toàn hệ có liên quan, LỜI GIẢI Chúng chọn ví dụ đơn giản: không phụ thuộc thời gian hàm mũ exp (-iEt/h) Sau + Tương tự 2s2s số hạng + 1s2s 2s1s Vì không tác động vào hàm thời gian t, hàm mũ hai tích phân kết hợp với nhau, dẫn đến exp(0)=1 Vì vậy, phụ thuộc thời gian biến từ hai tích phân đầu tiên, chúng tương ứng – 1/2 a.u., – 1/8 a.u Sự phụ thuộc vào thời gian không biến khỏi tích phân chéo hạn, điều không quan trọng tích phân không gian trường hợp, trực giao orbitan Do mà phụ thuộc thời gian 6-5 Các Định đề liên quan đến trị riêng Định đề thứ hai tất biến hệ (chẳng hạn vị trí, động lượng, vận tốc, lượng, moment lưỡng cực) liên quan đến toán tử Hermitian Mối liên hệ giá trị quan sát biến toán tử cho Định đề IV: Bất kỳ kết phép đo biến động lực trị riêng toán tử tương ứng Bất kỳ phép đo cho số thực, định đề đòi hỏi trị riêng toán tử thích hợp phải số thực Sau ta chứng minh toán tử Hermite thoả mãn điều Nếu đo lượng điện tử nguyên tử hydro (ngược dấu với lượng ion hóa), ta nhận trị riêng cho phép (-1/2n a.u.) giá trị trung gian Nếu thay vào đó, đo khoảng cách electron từ hạt nhân Theo định đề II, toán tử cho tính chất biến r Đó là, = r Do đó, cần phải xem xét trị riêng r phương trình r δ(r, θ, φ) = λ δ(r, θ, φ) (6-6) δ hàm riêng λ số thực (tương ứng với khoảng cách electron đến hạt nhân) Chúng ta viết lại phương trình sau (r − λ)δ(r, θ, φ) = (6-7) Công thức cho thấy hàm δ phải biến tất điểm không gian ngoại trừ nơi r = λ Nhưng λ trị riêng r kết có phép đo Vì vậy, thấy định đề IV ngụ ý số mối liên hệ phép đo, r = a.u hàm riêng r xác định r = a.u Ta biểu diễn cho hàm riêng δ(r - au), “hàm delta” không đối số số không Nếu đo vị trí điện tử r = 5.3a.u., hàm riêng tương ứng δ(r - 5.3 au) - hàm không điểm ngoại trừ lớp vỏ dày vô r = 5.3 a.u Nếu thay vào ta đo điểm không gian điện tử, không khoảng cách từ hạt nhân, tìm thấy r 0, θ0, φ0, sau hàm riêng tương ứng toán tử vị trí δ (r - r 0) δ (θ - θ0) δ (φ - φ0) Hàm biến ngoại trừ r0, θ0, φ0 Rõ ràng giá trị λ từ số không đến vô phương trình (6-7) lựa chọn mà không làm khả hàm δ hàm riêng r Điều có nghĩa rằng, không giống đo lường lượng, đo khoảng cách điện tử từ nhân có giá trị Các hàm riêng toán tử vị trí gọi hàm delta Dirac Chúng hàm "spike" có chiều rộng vô Chúng chuẩn hóa thông qua phương trình (6-8) phạm vi tích phân bao gồm Có vẻ hàm đặc biệt mặt toán học, chúng có ý nghĩa vật lý theo cách sau Ta giải thích phép đo thực tế vị trí trình mà bắt buộc hạt có vị trí định số thời điểm Vào lúc đó, ψ cho hệ (bây bị xáo trộn trình đo) phải cho đơn vị xác suất để tìm thấy hạt thời điểm (nơi mà chắn có) xác suất nơi khác, điều hàm Dirac delta làm Định đề IV phù hợp với hình ảnh trình đo lường buộc hệ đo vào trạng thái riêng cho toán tử thích hợp, dẫn đến trị riêng tương ứng đo lường Định nghĩa "đo lường" có phần hạn chế bị nhầm lẫn Thường nhà khoa học đề cập đến phép đo có giá trị trung bình trị riêng Điểm thảo luận 6-6 Các Định đề cho giá trị trung bình Giả sử cách chuẩn bị số lượng lớn nguyên tử hydro, để tất chúng giống nhau, xác định, trạng thái dừng Sau ta đo khoảng cách điện tử tính từ hạt nhân nguyên tử tính trung bình phép đo để có giá trị trung bình Chúng giá trị trung bình đưa tổng tất giá trị r, lại nhân lên cho tần số xuất hiện, mà đưa ψ 2dv ψ chuẩn hóa Khi r biến liên tục, tổng trở thành tích phân Đây nội dung Định đề V: Khi số lượng lớn hệ giống hệt có hàm trạng thái ψ, giá trị trung bình dự kiến phép đo biến M (một phép đo cho hệ) cho công thức: (6-9) Mẫu số đơn vị ψ chuẩn hóa Điều quan trọng phải hiểu khác biệt giá trị trung bình giá trị riêng chúng có liên quan đến phép đo Một ví dụ momen lưỡng cực Toán tử mô men lưỡng cực cho hệ n hạt mang điện zi điện tích hạt thứ i r i vectơ vị trí với gốc tùy ý (Ta có điều cách viết công thức cổ điển nhận xét điều kiện momen không xuất Do đó, toán tử học lượng tử giống biểu thức cổ điển.) Điều đặt vấn đề hàm riêng trị riêng nào? Điện tích zi số, ri toán tử vị trí, hàm Direc delta hàm riêng Đối với nguyên tử hydro, hàm riêng r i hàm Delta r = au, θ = 0, φ = Trị riêng tương ứng cho momen lưỡng cực thu khoảng cách proton electron a.u., số hữu hạn Nhưng ta biết nguyên tử không thay đổi trạng thái dừng có momen lưỡng cực Những khó khăn giải nhận phép đo biến định đề IV V có nghĩa đo giá trị biến thời điểm định Do đó, phải phân biệt momen lưỡng cực tức thời nguyên tử, có giá trị số trị riêng momen lưỡng cực trung bình Trong thảo luận khoa học hàng ngày, thuật ngữ "momen lưỡng cực " thường hiểu đề cập đến moment lưỡng cực trung bình Thật vậy, phép đo thông thường momen lưỡng cực phép đo trung bình nhiều phân tử thời gian dài (đối với nguyên tử) hai 6-7 toán tử Hermitian Cho có miền ψ hàm khả tích bình phương toán tử, tất định nghĩa Hermitian (6-10) Việc tích phân toàn phạm vi tọa độ không gian.Nhớ dấu có nghĩa đảo ngược dấu hiệu i số phức số ảo Thuộc tính Hermite có kết quan trọng hóa học lượng tử Một ví dụ toán tử phương trình (6-10), lấy ψ hàm khả tích bình phương x là i (d / dx) Sau phía bên trái phương trình (6-10) trở nên, tích phân phần Vì ψ khả tích bình phương, chúng (và tích chúng) phải biến vô cho kết không phương trình (6-11) Bây ta viết vế bên phải phương trình (6-10): (6-12) dấu trừ có từ việc tiến hành tác động dấu hoa thị Phương trình (6-12) phương trình (6-11), toán tử i(d/dx) Hermitian Vì i cần thiết cho việc đổi dấu, nên rõ ràng không d/dx Như vậy, toán tử Hermitian liên quan đến đạo hàm cấp tọa độ Decac phải có yếu tố i Các toán tử cho momen tuyến tính (Chương 2) ví dụ điều Điều quan trọng nhận phương trình(6-10) nghĩa Một ví dụ đơn giản làm rõ điều Cho hydro , toán tử Hamitonian nguyên tử hàm riêng 1s: không hàm riêng Như vậy,lấy Sau đó, Từ (6-13) Nhưng (6-14) (6-15) Vì không phụ thuộc thành phần qua phương trình (6.14) Ở đây, có hai hàm bỏ Chúng hoàn toàn khác Tuy nhiên, từ phương trình (6-14), tích phân chúng Hermit 6-8 Chứng minh trị riêng toán tử Hermitian số thực Cho toán tử Hermitian với hàm riêng khả tích bình phương Khi (6-16) Mỗi bên phương trình (6-16) phải trình bày phần thực phần ảo Các phần thực phải phần ảo Liên hợp phức phương trình (6-16) gây phần ảo để đảo dấu, chúng Vì vậy, viết (6-17) Chúng ta nhân phương trình (6-16) bên trái với ψ * lấy tích phân tất biến không gian: (6-18) Tương tự vậy, nhân phương trình (6-17) bên trái với ψ lấy tích phân: (6.19) Vì Hermitian, vế trái phương trình (6-18) (6-19) theo định nghĩa (phương trình 6-10) Do đó, vế phải nhau, hiệu chúng không: (6-20) Vì ψ khả tích bình phương nên tích phân không Do đó, a-a* không, số thực 6-9 Chứng minh hàm riêng không suy biến toán tử Hermit tạo thành hệ trực giao Cho ψ hai hàm riêng khả tích bình phương toán tử Hermit (6-21) (6-22) Nhân phương trình (6-21) vế trái với * phương trình (6-22) vế trái với ψ, tích phân ta (6-23) (6-24) Phía trái phương trình (6-23) (6-24) theo (6-10), (6-25) Nếu a1 = a2, tích phân không Điều chứng tỏ hàm riêng không suy biến trực giao Ví dụ 6-2 : Như trình bày phần 6-7, toán tử i(d/dx) toán tử Hermit Biết có hàm riêng exp( ikx) với trị riêng có hàm riêng exp( kx) với trị riêng k số thực Tuy nhiên, ik số ảo Điều trái ngược với phần chứng minh trị riêng toán tử Hermit số thực Giải thích hàm riêng không bao hàm phần (6-8) Lời giải: Các thử nghiệm cho Hermit yêu cầu Nếu ψ , ψ khả tích bình phương, điều kiện thỏa mãn, ψ ψ * biến ± ∞ , cho 0-0 = Nhưng hàm mũ khả tích bình phương: Cả hai không ± ∞ , hai không nằm chứng đưa Mặc dù vậy, exp(± ikx ) có trị riêng thực, dẫn đến phải xem xét kỹ Đó có phải trường hợp cho hàm này, chúng không biến vô cùng? Thực là, ψ*ψ = coi i - i = cho số hạng Như thấy yêu cầu ψ khả tích bình phương hạn chế hơn, cụ thể Lưu ý thiết lập khác hàm mũ, exp ( ± kx) , dẫn đến iψ*ψ = i exp(±2kx), mà không tạo giá trị giá trị x = ∞ x = - ∞ loại trừ Cũng lưu ý hàm exp (± ikx) trực giao cho giá trị k khác nhau, exp (± kx) không Mục đích ví dụ chứng trị riêng hàm riêng toán yêu cầu tử Hermit quy vào trường hợp hàm riêng đáp ứng Khả tích bình phương đảm bảo điều này, số hàm không khả tích bình phương thỏa mãn Một toán tử Hermit có hàm riêng liên quan đến số phức thực, điều phải xuất phát từ hàm riêng không đáp ứng yêu cầu 6-10 Tất hàm riêng toán tử Hermit biểu diễn trực chuẩn 10 N hưng giả định {µ} trực chuẩn, vậy: Biểu thức có ý nghĩa gì? Mỗi phép đo tính chất tương ứng với cho trị riêng mi (định đề IV) trung bình nhiều phép đo phải Mav Phương trình (6-33) có nghĩa phép đo riêng biệt phải thống kê tính toán để tính trung bình, ci*ci phép đo tần số tương đối cho quan sát mi tương ứng Theo cách khác, bình phương tuyệt đối hệ số phương trình(6-30) cho ta xác suất mà phép đo biến M cung cấp cho trị riêng tương ứng Ví dụ, ψ với (1/2) μ1 + (1/2) μ3, sau đó: Mav = (1/2) m1 + (1/2) m3 Ví dụ 6-4: Giá trị trung bình cho z-thành phần quỹ đạo góc cho hàm số chuẩn hóa φ = (1/ ) (ψ2s + ψ2p+1) gì? Lời giải: Chúng ta biết 2s 2p+1 hàm riêng có z- thành phần momen góc +1 tương ứng, nói pz = + = 0,8 a.u 6-13 Nguyên lý biến phân Nhiều số tính toán hóa học lượng tử dựa nguyên tắc biến phân Rayleigh-Ritz nêu: Đối với hàm chuẩn hóa chấp nhận , Trong E0 trị riêng thấp Như phần trước, điều dẫn đến Bây ci*ci không âm, phương trình (6-36) giá trị trung bình trị riêng Ei Như giá trị trung bình không thấp so với thành phần đóng góp thấp nguyên lý chứng minh 15 Nguyên lý biến phân nói cách tương đương giá trị trung bình φ an upper bound cho trị riêng thấp Tiếp theo, giống ví dụ cuối phần trên, ɸ cho nguyên tử hydro xảy hàm , lượng trung bình cho ɸ (1/2) E1s + (1/2) E2s, mà rõ ràng nằm trị riêng thấp E1s 6-14 Nguyên lý loại trừ Pauli Chúng ta thảo luận nguyên tắc loại trừ Pauli Chương Trong hầu hết hình thức phổ biến nó, là: Định đề VII: ψ phải phản đối xứng (đối xứng) để việc trao đổi hạt fermion (hay hạt boson) giống hệt 6-15 Đo lường, giao hoán bất định Nếu đo xác vị trí electron nguyên tử hydro, gắn vào hàm Dirac delta hàm sóng Bởi hàm hàm riêng cho toán tử moment lưỡng cực, từ biết momen lưỡng cực (tức thời) cho nguyên tử lúc Trong thực tế, đo vị trí momen lưỡng cực hàm Delta hàm riêng cho toán tử Hamilton nguyên tử, không đồng thời đo lượng điện tử nguyên tử Chúng sớm thấy hàm riêng cho toán tử phục vụ hàm riêng cho toán tử khác toán tử giao hoán với Trong ví dụ trên, toán tử vị trí momen lưỡng cực giao hoán với với toán tử Hamilton Điều giúp nhận đồng thời đo giá trị cho hai biến toán tử chúng giao hoán với Chúng ta xem xét tình sâu sắc cách tưởng tượng hai lần đo liên tiếp nguyên tử hydro, lần sau tiến hành sau lần đầu Nếu đo vị trí tìm r = 2.0 a.u, sau đo moment lưỡng cực, có giá trị (μ = 2.0 au) tương ứng với electron r = 2.0 a.u Đó nơi mà tìm thấy phép đo đầu tiên, thời gian để di chuyển nơi khác trước tới lần đo thứ hai Nếu theo dõi thêm lần đo vị trí, điện tử tìm thấy r = a.u (Chúng tưởng tượng thời gian trôi qua hai lần đo, giới hạn thực đạt Trong trường hợp này, nhiên, đo r đo μ , hai 16 phép đo thực lúc, điều thực vấn đề) Do đó, có lý nói biết hai giá trị "Cùng lúc" Tuy nhiên, đo vị trí sau đo lượng, thấy vài điểm khác Giả sử tìm thấy r = a.u sau đó, lần đo tiếp theo, E = -1/2 a.u (sau cùng, E phải trị riêng , theo định đề IV ) Chúng ta biết hàm riêng trình đo δ (r – a.u.), trình đo thứ hai số 1s AO Nếu tiến hành thêm lần đo vị trí, tìm thấy giá trị r ( với xác suất 4π r2 ψ21s dr ) Các trình đo vị trí lượng không phù hợp nghĩa hàm đơn lẻ mô tả trạng thái tồn hai phép đo Quá trình đo lượng minh họa tái thiết bắt buộc hàm sóng cách mà không tương ứng với vị trí cụ thể, việc đo lường vị trí lực lượng hàm cho thấy không tương ứng với lượng cụ thể (Trong trường hợp này, phép đo riêng biệt thực cần thiết, thực phép đo thứ hai sau làm lần phải công nhận Thật vậy, ta bắt buộc phải cho phép thực tế việc tìm kiếm điện tử nơi sau số nơi khác phải bao gồm việc thời gian cho phép để điện tử chuyển động.) Độc giả nghi ngờ có số liên hệ việc đảo chiều nguyên lý bất định, điều thực trường hợp đáng xem xét Có thể thấy độ rộng kết phép đo đồng thời (tức là, không chắn giá trị chúng) hai biến đáp ứng mối quan hệ Trong ψ chuẩn hóa, giá trị tuyệt đối |X| định nghĩa giá trị dương bình phương X*X Nếu A B biến liên hợp, chẳng hạn vị trí lực, Phương trình (6-37) trở thành ∆a•∆b ≥ ħ/2, mối quan hệ bất định Heisenberg Nếu giao hoán, vế phải phương trình (6-37) biến mất, giá trị hai biến có thể, theo lý thuyết, đồng thời biết cách xác Trong số thuộc tính quan tâm lớn học lượng tử phân tử lượng, đối xứng, xung lượng quỹ đạo góc điện tử vì, nhiều phân tử, số toán tử đảo mạch Vì vậy, biết oxy phân tử trạng 17 thái điện tử không suy biến đứng yên, biết mô tả trạng thái giá trị định xung lượng góc quỹ đạo trục liên hạt nhân Ngoài ra, biết hàm sóng phải đối xứng phản đối xứng cho nghịch đảo qua trung điểm phân tử 6-16 Các trạng thái phụ thuộc thời gian Nhiều hóa học lượng tử có liên quan với trạng thái tĩnh, kết số hạng không gian ψ (một hàm riêng ) yếu tố phụ thuộc thời gian exp(- iEt/ħ), mà thường bỏ qua không ảnh hưởng đến khả phân phối hạt điện tử Tuy nhiên, trở nên cần thiết để xem xét trạng thái phụ thuộc thời gian Trong phần minh họa điều diễn Có hai loại trạng thái để phân biệt Một trạng thái nơi mà thay đổi hàm thời gian, toán tử Hamilton phụ thuộc thời gian Một ví dụ, phân tử nguyên tử trường điện từ thời gian khác Trạng thái khác nơi mà toán tử Hamilton không thay đổi theo thời gian, nhiên hạt trạng thái chuyển động Một ví dụ hạt điện tử bị buộc vào trạng thái động phép đo vị trí Chúng ta giải với thể loại thứ hai Như ví dụ chúng ta, xem xét hạt điện tử hộp chiều với tường vô hạn Giả sử đo vị trí hạt điện tử tìm thấy phía bên trái hộp (ví dụ, x = L/2, vắn tắt cụ thể hơn) số thời điểm mà lấy t = Chúng ta muốn biết điều hàm ý phép đo vị trí hạt tương lai Chúng biết hạt điện tử phía bên trái t = có nghĩa hàm sóng cho trạng thái tập hợp hàm riêng độc lập thời gian thấy Chương 2, tất dự đoán có xác suất cho việc tìm kiếm hạt điện từ hai bên tập Nếu hàm trạng thái cố định, phải phụ thuộc thời gian, phải đáp ứng phương trình phụ thuộc thời gian Schr¨odinger (6-1) Chúng ta có hàm trạng thái phụ thuộc thời gian, ψ*ψ ≡ |ψ|2 không nơi bên phải tập t = (Chúng chưa thể mô ta cụ thể |ψ|2 chi tiết phía bên trái tập.) Phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger (6-1) phương trình trị riêng Tuy nhiên, phương trình (6-2) cho thấy phương trình phụ thuộc thời gian 18 Schr ¨odinger thỏa mãn với hàm riêng phụ thuộc thời gian chúng nhân với yếu tố phụ thuộc thời gian chúng f(t) = exp (-iEt/ ) Hơn nữa, phương trình (6-2) tiếp tục thỏa mãn thuật ngữ ψ (q) f (t) thay tổng số hạng (Xem phần 6-9.) Điều có nghĩa tìm cách diễn tả hàm trạng thái phụ thuộc thời gian, ψ(x, t), tập tổng hàm riêng phụ thuộc thời gian miễn đơn vị kèm với nhân tố thời gian chúng f(t) Khi t = 0, tất nhân tố f(t) thống nhau, đó, thời điểm trở nên giống tổng tập hợp hàm riêng mà không cần yếu tố thời gian chúng Kế hoạch tìm thấy tổ hợp tuyến tính tập hợp hàm riêng độc lập thời gian, ψn, cho thấy ψ t = Điều dễ dàng để làm yếu tố thời gian bình đẳng với thống Một tìm thấy hỗn hợp thích hợp ψn, nhân chúng với yếu tố thời gian sau quan sát phản ứng |ψ|2 t tăng Trong trường hợp, ta ví dụ hạt hộp, bắt đầu với khoảng nhỏ để ψ t = cách lấy hỗn hợp 50 – 50 ψ1 ψ2: Ψ (x,t) = (1/) [ψ1 exp(- iE1t/ħ) + ψ2 exp(- iE2t/ħ)] (6-38) Hình 6-1: Trạng thái ổn định hàm riêng (n=1,2) cho phân tử hộp tổng hợp bình thường chúng 19 Chúng ta tính hàm f(t), chúng hợp t = 0, chúng ψ (x, t) giải pháp cần thiết cho phương trình Schrodinger (6-1) chúng cho biết chất ψ sau Chúng ta đôi hàm vì, t = 0, hai dương vế trái, chúng khác dấu bên phải, hủy bỏ (Xem hình 6-1.) Rõ ràng, không thành công việc mô tả hàm mà mật độ xác xuất bên phải, có cân định theo hướng (không khó để thấy vài ψ3 với hệ số tích cực giúp loại bỏ nhiều mật độ xác suất lại bên phải.) Bây đặt vị trí kiểm tra phát triển |ψ|2 theo thời gian-tăng dần theo thời gian hình vuông gói sóng mô tả phân bố xác suất cho hạt điện tử mà biết nằm nửa bên trái hộp t = Điều đơn giản lập luận toán học (vấn đề 6-20) dẫn đến phân bố xác suất phác thảo Hình.6-2 sau bước thời gian t Con số cho thấy gợi ý thay đổi phân phối hạt điện tử phát triển trở lại lại hộp với chu kỳ thời gian t Không khó để hiểu lý điều lại xảy ψ1 ψ2 có khác "yếu tố tần số" exp (-iEnt/ħ), đó, chúng phản ứng hai sóng dao động tần số khác Vì E2 = 4E1 (nhớ lại E α n2 hộp), ψ2 dao động nhanh so với ψ1 bốn lần Điều có nghĩa rằng, thời gian ψ1 thực nửa chu kỳ (và -1 lần tọa độ bắt đầu nó), ψ2 thực hai chu kỳ t = Dễ dàng nhìn thấy từ Hình.6-1 điều cung cấp cho sai lệch bên phải, dẫn đến phân bố Hình.6-2 (e) (Điều cho phép kết luận 4∆t 1/2 chu kỳ thời gian ψ1 Xem phần 6-21) Nếu muốn trình bày có khởi đầu xác cho hạt điện tử cụ thể, phải kết hợp số lượng lớn hàm số sóng trạng thái cố định Để định cần thiết, phải có định nghĩa mô tả tốt ψ t = 20 Hình 6-2: |ψ(X, t)|2 từ biểu thức (6-38) xuất vào thời điểm khác Hình 6-3: Một nửa sóng sin chuẩn hóa nửa bên trái "hộp." Những số bên trái giá trị của, không E Giả sử, ví dụ, chọn để mô tả hàm sóng khởi đầu ψ(x,0) bình thường nửa sóng sin phía bên trái hộp không bên phải (Hình 6-3) Sau tính toán số lượng (cn) hàm trạng thái ψn trình bày hàm sau: (6-39) Này sau từ đầy đủ10 trực giao {ψn} (Xem vấn đề 6-4.) Đánh giá phương trình (6-39) cho vài điều kiện (vấn đề 6-22) (x, t) = 0.600ψ1 + 0.707ψ2 + 0.360ψ3 + 0.000ψ4 + 0.086ψ5 + · · · (6-40) Này sửa đổi chút kết hợp thông thường trước xác minh chúng trước, chọn từ ψ3 lần hệ số tích cực có lợi Ví dụ minh họa cách tiếp cận cho vấn đề như: Tìm thấy hàm đại diện cho phân bố hạt ban đầu ψ(x, 0) Mở rộng hàm loạt hàm riêng cho Hamilton, bao gồm yếu tố phụ thuộc thời gian cho số hạng Đánh giá phân bố xác suất thời điểm khác t cách kiểm tra |ψ(x,t)|2 21 Một ví dụ thứ hai, giả sử xem xét biểu trạng thái điện tử sau nguyên tử triti phát hạt beta để trở thành ion Helium: Một phân tích dầu thô tưởng tượng hạt nhân phí thay đổi 1đến a.u, electron quay xung quanh (không hạt beta) thấy tình trạng (trạng thái 1s ban đầu) mà hàm riêng cho Hamilton Chúng thiết lập cho phù hợp 1s AO hydro mở rộng hàm riêng He+ Chỉ có AOS đóng góp đối xứng Các hệ số đưa bởi: hàm sóng phụ thuộc thời gian (trong a.u.) Hàm số đánh giá thời điểm khác t tìm thấy để cung cấp cho dao động phân phối hình cầu, đám mây điện tử thu hẹp lại, sau hồi phục với khoảng cách ban đầu nó, sau thu hẹp lại, v.v… Ví dụ có lẽ quan trọng nhất: Nó hạt ban đầu lân cận số khu vực không gian, nói cách đo vị trí nó, tự di chuyển nơi sau Lấy trường hợp chiều, tưởng tượng hạt phát xung quanh x = t = (đo lường gây "không tự do" chốc lát) Chúng cho trung bình hạt số không Chúng tìm kiếm để biết làm hàm phân bố xác suất cho hạt phát triển thời gian Như trước đây, cần mô tả hàm hàm sóng t = 0, ψ(x, 0) Sau mở rộng mà hàm riêng tự hạt hamiltonian Như thấy mục 2-5, hàm riêng hạt viết exp (± i), E số không âm Đây hàm riêng cho toán tử động lượng, với giá trị riêng Hàm thường lựa chọn để mô tả ψ(x, 0) hàm gaussian: Các α liên tục ảnh hưởng đến chiều rộng gaussian phản ánh mức độ chắn kiến thức vị trí Α lớn cho chức chặt chẽ không chắn nhỏ x Mối quan hệ hàm gaussian x hệ 22 số giá trị hệ số mô tả hàm gaussian (trong / ) Hơn nữa, chặt chẽ hàm gaussian x, rộng hàm tương ứng gaussian Hình 6-4 (a, c) gói sóng Gaussian mô tả hạt tìm x = với khác mức độ chắn (b d) Giá trị ck (k = / ) cho hàm riêng động lượng kết hợp để thể gói sóng gaussian bên trái họ (a, b) tương ứng với tương đối định vị trí lực tương đối chắn, (c, d) tương ứng với tình hình ngược lại / (vấn đề 6-24) Có nghĩa là, cần phải kết hợp hàm riêng hạt tự đóng góp phạm vi rộng xung để tạo chức vị trí chặt chẽ có nghĩa chắn vị trí với không chắn lớn động lượng, phù hợp với nguyên lý bất định Một có hỗn hợp thích hợp hàm riêng, hạn phụ thuộc thời gian, theo thời gian phát triển gói sóng hạt Chúng thấy gói lây lan nhiều nhiều x = thời gian trôi qua, mà có nghĩa 23 kiến thức vị trí giảm dần theo thời gian Mặc dù vị trí trung bình không thay đổi, xác suất cho việc tìm kiếm hạt khoảng cách từ x = ngày tăng Chúng ta giải thích điều cách ghi nhớ bình phương hàm sóng dự đoán kết nhiều thí nghiệm Trong phép đo nhiều vị trí tìm kiếm hạt gần x = 0, thấy giảm momen động lựơng cho hạt Sau đó, phép đo thứ hai, thấy số hạt di chuyển khỏi x = Chúng ta chờ đợi trước phép đo thứ hai, lớn lây lan x giá trị (Giả định số lượng momen động lượng trung bình nói độ lệch lớn không động lượng có khả cho chuyển động phía x = +∞ 6-17 Tóm tắt Một số định đề chứng mô tả chương quan trọng sách này, chúng điểm ψ mô tả trạng thái hoàn toàn phải đáp ứng số yêu cầu toán học (duy có giá trị, vv.) ψ * ψ hàm phân bố mật độ xác suất cho hệ Đối với biến quan sát được, có toán tử (Hermitian) xây dựng từ biểu thức cổ điển theo công thức đơn giản (toán tử liên quan tới "spin" ngoại lệ tương tự cổ điển không tồn tại) Các trị riêng cho toán tử giá trị đo số lượng Việc đo lường số lượng bắt buộc hệ vào trạng thái mô tả hàm riêng toán tử Một trạng thái, ta biết giá trị xác cho số lượng khác toán tử giao hoán với toán tử liên quan đến đo lường ta Nếu toán tử Hamilton cho hệ thời gian độc lập, hàm riêng cố định tồn hình thức ψ (q, ω) exp (-iEt / h) Hàm mũ phụ thuộc thời gian không ảnh hưởng đến đặc tính đo lường hệ trạng thái luôn hoàn toàn bỏ qua vấn đề thời gian độc lập Công thức cho giá trị trung bình học lượng tử [phương trình (6-9)] tương đương với mức trung bình cộng tất giá trị đo có lần sở hữu tần số chúng xảy [phương trình (6-33)] Điều có nghĩa đưa hàm đáp ứng điều kiện chung ψ dẫn đến lượng trung bình thấp so với giá trị riêng thấp 24 Các hàm riêng khả tích bình phương cho toán tử tương ứng với số lượng quan sát hình thành hoàn chỉnh, giả định trực giao Các giá trị riêng tất có thực Một phép tính không thay đổi giao hoán với Hàm sóng mô tả trạng thái phụ thuộc thời gian lời cho phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian Bình phương tuyệt đối hàm sóng cho hàm phân phối hạt mà phụ thuộc vào thời gian Thời gian phát triển hàm phân phối hạt tương đương với học lượng tử khái niệm cổ điển quỹ đạo Nó thường thuận tiện để thể gói sóng phụ thuộc thời gian tổ hợp tuyến tính hàm riêng Hamilton độc lập thời gian nhân tố pha phụ thuộc thời gian 17.A Các vấn đề 6-1 Chứng minh d2/dx2 Hermitian 6-2.Tích phân biểu thức phương trình (6-13) (6-15) cho thấy tích phân chúng 6-3 Chứng minh rằng, hàm chuẩn hóa khai triển tập hàm trực giao, tổng bình phương tuyệt đối hệ số mở rộng thống 6-4.Cho thấy ck hệ số cụ thể phương trình (6-30) cho ck = μ * kψ dv 6.5 Một hạt vòng trạng thái với hàm sóng a) Tính giá trị trung bình cho xung lượng góc cách đánh giá , (Sử dụng đối số đối xứng để đánh giá tích phân) b) Thể ψ kết hợp tuyến tính hàm mũ đánh giá trung bình giá trị xung lượng góc cách sử dụng công thức Lzi giá trị riêng cho hàm theo cấp số nhân thứ i 6.6 Sử dụng phương trình (6-37) cho thấy 6.7 Điều kiện cần phải có để hàm φ đáp ứng cho phần ≥ giữ phương trình (6-34)? 6.8 Giả sử bạn có toán tử tập hợp hàm riêng cho mà có liên quan đến giá trị riêng thực Liệu thiết phải theo toán tử 25 Hermitian theo quy định phương trình (6-10)? [Gợi ý: Xem xét d/dr tập tất hàm exp (-ar), a có thật dương xác định] 6.9 a) Chỉ trạng thái có hàm sóng bất tĩnh giải pháp cho thời gian phụ thuộc phương trình Schrodinger (hoa) độc lập thời gian nguyên tử hydro Sử dụng đơn vị nguyên tử (ví dụ,ħ= 1) b) Trạng thái phụ thuộc thời gian lưỡng cực dao động với tần số ν đặc trưng Cho thấy đáp ứng ν mối quan hệ E2 - E1 ≡ E = 2π ν au (Các lưỡng cực dao động tần số ánh sáng yêu cầu chuyển 1s ← → 2p trình chuyển đổi Đây trung tâm đến chủ đề quang phổ.) 6-10 Từ định nghĩa ɸ’ = ɸ - Sψ [xem thảo luận sau phương trình (6-26)], đánh giá liên tục bình thường cho ɸ’, giả định ɸ ψ bình thường 6-11 Hàm nằm không gian chức kéo dài hai hàm, bình thường 6-12 Nếu nguyên tử hydro 1s AO mở rộng điều khoản He+ AOs, hệ số (a) He + 1s AO? (b) He + 2p0 AO? 6-13 Các hàm riêng thấp lượng cho dao động điều hòa chiều ψn = = (β / π) 1/4 exp (-βx2 / 2) a) Chứng minh có hay không lực số chuyển động (ví dụ, "Sắc nét" số lượng) cho trạng thái b) Tính toán động lực trung bình cho trạng thái 6-14 Chứng minh liệu x2d/dx xd2/dx2 lại Những xd / dx x2d2/dx2? 6-15 Đánh giá tích sau tất không gian Trong trường hợp bạn nên cần để làm điều sức mạnh a) (3dxy)Lˆ 2(3dxy) dv b) 3dxy Lˆ z(3dxy) dv 26 6-16 Các nhà khai thác lượng xung lượng góc cho electron hạn chế đến di chuyển vòng liên tục tiềm năng, tương ứng, au - (1/2) d2/dφ2 (1 / i) d / dφ a) Thảo luận có hay phải tập hợp chức đồng thời hàm số eigen cho nhà khai thác b) Thảo luận có hay tập hợp chức cho hàm số eigen nhà khai thác khác c) Thảo luận cho dù hợp lý để mong đợi hai đại lượng vật lý xác biết đồng thời hay nguyên lý bất định làm cho 6-17 Giả sử trạng thái nguyên tử hydro xấp xỉ hàm φ = (1/3) 1s + (1/3) 2s + (1/3) 3s, nơi 1s, 2s, 3s hàm số eigen bình thường cho hydro nguyên tử Hamilton Điều giá trị trung bình lượng kết hợp với chức này, a.u.? 6-18 Một hàm f định nghĩa sau: f = 0.1 • 1s + 0.2 • 2p1 + 0.3 • 3d2 , nơi 1s hàm riêng bình thường cho nhà nước 1s nguyên tử hydro, v.v… Đánh giá giá trị trung bình thành phần z momen động lượng au cho chức 6-19 Mà không cần nhìn lại văn bản, chứng minh (a) giá trị riêng nhà khai thác Hermitian thực, (b) hàm riêng không suy biến nhà khai thác Hermitian trực giao,(c) hàm riêng không suy biến A phải giá hàm riêng B A B làm 6-20 Sử dụng phương trình ( 6-38 ) , có biểu thức | | hàm x t 6-21 Đánh giá t hình 6-2 m , h, L 6-22 Xác minh giá trị hệ số phương trình ( 6-40 ) Làm bạn nói từ đơn giản kiểm tra (a) c2 lớn tích cực , (b) c4 không, (c) ci có xu hướng giá trị nhỏ lớn? 6-23 a) Đánh giá hai hệ số phương trình ( 6-42 ) b) Điều khác biệt chất lượng bạn mong chờ phương trình ( 6-42 ) có tài khoản rõ ràng kết tiềm thay đổi phiên beta hạt di chuyển khỏi hạt nhân? 6-24 Hiển thị cách lập luận định tính dựa chức toán học lý hệ số ck nên thả nhanh chóng với k gói sóng vị trí rộng lớn ck = 2α / π exp (- αx2 ) exp ( ikx ) dx 6-25 a) Chứng minh rằng, V có thật ( x , y, z , t) 27 thỏa mãn Schr ¨odinger phụ thuộc thời gian phương trình , sau (x, y , z, t ) * giải pháp (Điều gọi " bất biến theo thời gian đảo ngược " ) b) Chứng minh , cho trạng thái tĩnh , bất biến theo thời gian đảo ngược có nghĩa H ψ * = Eψ * H ψ = Eψ V có thật c) Hiện từ (b) hàm riêng nondegenerate H ( với V thực ) phải thực Phần 6-17 Tóm tắt 189 d ) Điều trở thành chất độc da cam 2p -1 ( với thời gian phụ thuộc bao gồm) phức tạp liên hợp thời gian đảo ngược? 2p0 AO? e) tuyên bố (c) reworded để nói tất thoái hóa eigenfunctions H ( với V thực ) phải phức tạp? Những câu hỏi nhiều lựa chọn Phát biểu phát biểu sau hàm riêng toán tử Hamilton không phụ thuộc thời gian? a) Bất kỳ tổ hợp tuyến tính hàm riêng hàm riêng cho H^ b) Các hàm trạng thái cho hệ phải hàm riêng c) Các giá trị riêng liên kết với hàm riêng tất phải số thực d) Những hàm riêng phải trực giao với e) Các hàm riêng không phụ thuộc thời gian Một nguyên tử hydro trạng thái bất tĩnh có hàm sóng 12 { ψ1sexp ( it/2h ) + ψ2s exp ( it/8h ) + ψ2p0 exp ( it/8h ) + ψ2p exp ( it/8h ) } Mà tuyên bố thật lúc t ? a) Đo lượng có thay đổi 25% cho -0.5 au b) Giá trị trung bình thành phần z momen động lượng 0,5 au c) Năng lượng trung bình - 78 a.u d) Việc đo tổng momen góc thay đổi 75% có a.u e) Không có trạng thái Hàm rexp ( - 0.3r2 ) cos θ mở rộng hàm sóng nguyên tử hydro Những điều có đóng góp hữu hạn từ trạng thái liên kết hàm riêng a) b) c) d) e) tất loại : s , px , py , pz ,dxy, dyz , vv tất loại trừ s loại px , py , pz loại pz loại pz dz2 Tài liệu tham khảo [1] EC Kemble, Các nguyên tắc Cơ học lượng tử với Elementary Ứng dụng sung Dover , New York, năm 1958 28 [2] E Merzbacher , Cơ học lượng tử , lần Wiley , New York, năm 1998 [3] L I Schiff , Cơ học lượng tử , lần McGraw-Hill , New York, năm 1968 [4] J J Tanner , J Chem Ed , 67 , 917 ( 1990) 29 [...]... nhánh của tính đối xứng trong hóa học lượng tử ở Chương 13 Sự tồn tại của hàm riêng đồng thời cho các toán tử khác nhau có hệ quả quan trọng để đo lường các đặc tính của hệ Điều này này được thảo luận trong Phần 6- 15 6- 12 Bộ hàm riêng của toán tử Hermitian Trong chương 3, chúng tôi đã thảo luận về khái niệm của sự đầy đủ với sự mở rộng năng lượng của một hàm Trong một thời gian ngắn, một loạt các hàm6... sóng sin ở phía bên trái của hộp và không ở bên phải (Hình 6- 3) Sau đó chúng ta có thể tính toán số lượng (cn) của từng hàm trạng thái ψn trình bày trong hàm này như sau: (6- 39) Này sau từ đầy đủ10 và trực giao của {ψn} (Xem vấn đề 6- 4.) Đánh giá của phương trình (6- 39) cho vài điều kiện đầu tiên (vấn đề 6- 22) (x, t) = 0 .60 0ψ1 + 0.707ψ2 + 0. 360 ψ3 + 0.000ψ4 + 0.0 86 5 + · · · (6- 40) Này sửa đổi một chút... ,dxy, dyz , vv của tất cả các loại trừ s các loại px , py , pz chỉ loại pz chỉ các loại pz và chỉ dz2 Tài liệu tham khảo [1] EC Kemble, Các nguyên tắc cơ bản của Cơ học lượng tử với Elementary Ứng dụng sung Dover , New York, năm 1958 28 [2] E Merzbacher , Cơ học lượng tử , lần 3 Wiley , New York, năm 1998 [3] L I Schiff , Cơ học lượng tử , lần 3 McGraw-Hill , New York, năm 1 968 [4] J J Tanner... bất định Heisenberg Nếu và giao hoán, vế phải của phương trình (6- 37) biến mất, và các giá trị của cả hai biến có thể, theo lý thuyết, đồng thời được biết một cách chính xác Trong số các thuộc tính quan tâm lớn nhất trong cơ học lượng tử phân tử là năng lượng, đối xứng, và xung lượng quỹ đạo góc điện tử bởi vì, đối với nhiều phân tử, một số các toán tử đảo mạch Vì vậy, nếu chúng ta biết một oxy phân tử. .. thiệu Định đề VI: Hàm riêng cho bất kỳ toán tử cơ học lượng tử tương ứng để một biến quan sát tạo thành một bộ hoàn chỉnh (Hơn nữa, chúng ta đã thấy tại mục 6- 10 ta có thể giả định rằng bộ này đã được thực hiện trực chuẩn.) Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng tính chất này để nghiên cứu thêm về bản chất của giá trị trung bình của một toán tử Cho hệ ở trong trạng thái ψ (chuẩn hóa), không phải là hàm riêng của. .. riêng cho hàm theo cấp số nhân thứ i 6. 6 Sử dụng phương trình (6- 37) cho thấy 6. 7 Điều kiện gì cần phải có để hàm φ đáp ứng cho phần bằng của ≥ giữ trong phương trình (6- 34)? 6. 8 Giả sử bạn có một toán tử và một tập hợp các hàm riêng cho nó mà có liên quan đến giá trị riêng thực sự Liệu nó nhất thiết phải theo các toán tử là 25 Hermitian theo quy định của phương trình (6- 10)? [Gợi ý: Xem xét d/dr và tập... đến chủ đề của quang phổ.) 6- 10 Từ định nghĩa rằng ɸ’ = ɸ - Sψ [xem các cuộc thảo luận sau đây phương trình (6- 26) ], đánh giá liên tục bình thường cho ɸ’, giả định rằng ɸ và ψ là bình thường 6- 11 Hàm và nằm trong không gian chức năng kéo dài bởi hai hàm, và là bình thường 6- 12 Nếu nguyên tử hydro 1s AO được mở rộng trong điều khoản của He+ AOs, là những gì hệ số (a) He + 1s AO? (b) He + 2p0 AO? 6- 13 Các... tính của hàm riêng của Hamilton độc lập thời gian bởi nhân tố pha phụ thuộc thời gian 6 17.A Các vấn đề 6- 1 Chứng minh rằng d2/dx2 là Hermitian 6- 2.Tích phân các biểu thức trong phương trình (6- 13) và (6- 15) cho thấy rằng tích phân của chúng bằng nhau 6- 3 Chứng minh rằng, nếu hàm chuẩn hóa được khai triển về một tập các hàm trực giao, tổng các bình phương tuyệt đối của các hệ số mở rộng sự thống nhất 6- 4.Cho... 17 thái điện tử không suy biến đứng yên, chúng ta biết rằng nó có thể mô tả trạng thái đó bằng một giá trị nhất định của xung lượng góc quỹ đạo cùng trục liên hạt nhân Ngoài ra, chúng ta biết rằng hàm sóng phải đối xứng hoặc phản đối xứng cho sự nghịch đảo qua trung điểm phân tử 6- 16 Các trạng thái phụ thuộc thời gian Nhiều hóa học lượng tử có liên quan với trạng thái tĩnh, một kết quả của một số hạng... nước 1s của nguyên tử hydro, v.v… Đánh giá giá trị trung bình của các thành phần z của momen động lượng trong au cho chức năng này 6- 19 Mà không cần nhìn lại các văn bản, chứng minh rằng (a) giá trị riêng của các nhà khai thác Hermitian đang thực, (b) hàm riêng không suy biến của các nhà khai thác Hermitian là trực giao,(c) hàm riêng không suy biến của A phải giá hàm riêng của B nếu A và B đi làm 6- 20 ... nguyên tắc Cơ học lượng tử với Elementary Ứng dụng sung Dover , New York, năm 1958 28 [2] E Merzbacher , Cơ học lượng tử , lần Wiley , New York, năm 1998 [3] L I Schiff , Cơ học lượng tử , lần... sau: (6- 39) Này sau từ đầy đủ10 trực giao {ψn} (Xem vấn đề 6- 4.) Đánh giá phương trình (6- 39) cho vài điều kiện (vấn đề 6- 22) (x, t) = 0 .60 0ψ1 + 0.707ψ2 + 0. 360 ψ3 + 0.000ψ4 + 0.0 86 5 + · · · (6- 40)... (h/i)∂/∂ x Tuy nhiên, lượng toán tử Hamilton hoàn toàn cổ điển Do đó, xây dựng Hamilton học lượng tử cách viết biểu thức lượng cổ điển động lượng vị trí, sau thay động lượng toán tử thích hợp Đây