Bước đầu tìm hiểu về đường cong trong E

A – MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học nói chung môn học trừu tượng học sinh, sinh viên, đẹp riêng với bề dày phát triển hàng nghìn năm Trước đây, chương trình cấp biết đến nhiều khái niệm hình học góc nhìn (quan điểm hình học) Ơclit Những hình ảnh đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hình nhau… tìm hiểu kĩ góc nhìn hình học giải tích Hình học thực phát triển rực rỡ lên tới đỉnh cao với chuyên ngành hình học vi phân Nơi hội tụ nhiều tinh hoa, thủ thuật, phương pháp tính toán hình học Có nhiều kiến thức trình bày tỉ mỉ, rõ nét hình ảnh vật thể hình học Lí thuyết đường cong phần Những kiến thức từ sở đến nâng cao đường cong tổng hợp, phân tích đầy đủ giúp thấy rõ hình ảnh, tính chất ý nghĩa hình học Thế lí thuyết đường cong xa lạ, gây nhiều khó khăn cho bạn học sinh, sinh viên tìm hiểu Học phần thuộc hình học cao cấp mang nhiều sắc thái chuyên môn nhiều vấn đề sâu sắc khiến người đọc khó hiểu Làm để viết vấn đề sâu sắc đường cong ngôn từ đơn giản để người đọc hiểu hình dung nó? Làm cho hình học phát triển toàn diện tất khía cạnh dấu hỏi lớn mà nhiều nhà toán học tìm câu trả lời Là sinh viên toán người yêu toán Với lòng ham muốn học hỏi tìm hiểu vẻ đẹp đường cong không gian Cũng để phần giúp hình học trở nên gần gũi dễ hiểu với người đọc định nghiên cứu đề tài “ Bước đầu tìm hiểu đường cong En ” Do khuôn khổ kiến thức hạn chế tài liệu đề tài hệ thống sơ lí thuyết đường En vấn đề liên quan Đi với phân dạng số tập phương pháp giải chúng Trong trình thực đề tài, cố gắng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô, bạn đọc để đề tài hoàn thiện Mục đích nghiên cứu Hệ thống lí thuyết, tìm hiểu, phân dạng tập đưa phương pháp giải cho số dạng toán đường cong En Đối tượng nghiên cứu Lí thuyết đường cong số vấn đề liên quan Giả thuyết khoa học Nếu hệ thống đầy đủ lí thuyết đường cong, (cung) En đặc trưng toán cung tham số hóa, cung song quy… phân loại tập rõ ràng giúp học sinh giải nhiều tập phần cung En Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lí thuyết 1.1 Đường tham số 1.2 Đường tham số E2 1.3 Định lí lí thuyết đường E3 Chương 2: Một số toán đường cong En 2.1 Các toán cung quy 2.2 Cung song quy 2.3 Cung E2 2.4 Định lí lí thuyết đường B – NỘI DUNG Chương – CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Đường tham số 1.1.1 Định nghĩa đường tham số Định nghĩa 1: Cho ánh xạ r : I → R n với I ⊂ ⊂ R khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường r thẳng thực toàn đường thẳng thực ) Gọi C = r(I) ⊂ R n , ảnh toàn tập I Khi (C, r ) gọi đường tham số (parametrized curve) với tham số hóa c tham số t C gọi vết đường tham số Nếu r hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ tương ứng ta nói C đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ r Giả sử r(t) = (x1 (t), x (t), , x n (t)) , r khả vi lớp Ck, (k = 0, 1, 2,… ) có nghĩa hàm thành phần: x i : I → R khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ) Nếu r ur khả vi vectơ r '(t) = (x '1 (t), x '2 (t), , x 'n (t)) ∈R n , gọi vectơ tiếp xúc hay r vectơ vận tốc C r(t) (hay r t ) (*) Khái niệm đường cong: Giả sử X hàm vectơ biến liên tục từ đoạn khoảng I ⊆ R vào R n Khi tập ảnh: C = {X(t) : t ∈ I} gọi đường cong C R n Phương trình X = X(t), t ∈ I gọi phương trình tham số đường cong C t tham số Vì lý ứng dụng Vật lý, Cơ học, hai trường hợp quan tâm nhiều n = n = Người ta nói đường cong phẳng đường cong không gian để đường cong tương ứng hai trường hợp 1.1.2 Đường tham số quy Độ dài đường cong (cung) ur r Định nghĩa 2: Cho đường tham số r : I → R n Nếu r '(t) ≠ t (hay r(t) ur ) gọi điểm quy điểm mà r '(t) = gọi điểm kỳ dị Với ur r t ∈ I mà r '(t) ≠ , gọi đường thẳng qua r(t) với vectơ phương ur r '(t) tiếp tuyến c t Đường tham số r : I → R n gọi đường tham số quy điểm ur điểm qui, tức r '(t) ≠ với t ∈ I Định nghĩa 3: Độ dài cung đường tham số quy r : I → R n từ điểm t0 đến t, với t0 , t ∈ I, định nghĩa số: s(t) = t ∫ ur r '(t) dt t0 ur ur ds = r '(t) Do r '(t) ≠ nên độ dài cung hàm khả vi t dt Định nghĩa 4: Đường tham số qui r : I → R n , (n = 2, 3) với ur r '(t) = ∀t gọi đường tham số với tham số độ dài cung, hay với vectơ vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên Tham số độ dài cung thường ký hiệu s ur Nếu ta có r '(t) = ∀t , t ∫ dt = t − t t0 Do độ dài cung c số đo từ tham số Trong trường hợp t0 = 0, s(t) = t Điều giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung r r Định nghĩa 5: Cho I; r(t) ; J; ρ(s) hai đường tham số Ta nói ( ( ) ( ) r r I; r(t) J; ρ(s) hai đường tham số tương đương tồn vi phôi ) ( ) r r r r λ : I → J biến t a s = λ(t) cho r = ρ o λ tức là: r = ρ(λ(t)), ∀t ∈ I 1.1.3 Tiếp tuyến pháp tuyến đường cong r r Định nghĩa 6: Cho đường tham số I; r = r(t) ur Ta gọi r '(t) vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc đường cong điểm t0 r ur Nếu t0 điểm qui đường thẳng qua điểm r(t ) có phương r '(t ) r gọi tiếp tuyến đường cong điểm r(t ) hay điểm t0 Phương ur r ur trình vectơ tiếp tuyến điểm t0 là: R(τ) = r(t ) + τr '(t ) r r Định nghĩa 7: Cho r = r(t) đường tham số t ∈ I r r r Mặt phẳng pháp tuyến điểm r(t ) đường cong r = r(t) mặt r r phẳng qua điểm r(t ) vuông góc với tiếp tuyến đường cong r(t ) r r Khi r = r(t) đường cong phẳng, ta gọi đường thẳng pháp tuyến với r r đường cong r(t ) đường thẳng qua r(t ) vuông góc với tiếp tuyến r đường cong r(t ) ( ) Chú ý: Đường cong có biểu diễn dạng tham số r ( I , r (t )) với r r(t) = (x(t); y(t); z(t)) thì: r Phương trình tiếp tuyến r(t ) là: X(τ) = x(t ) + τx '(t ) X−x Y−y Z−z  = = Y(τ) = z(t ) + τy '(t ) hay x ' y ' z'  Z(τ) = z(t ) + τz '(t )  0 Phương trình mặt phẳng pháp tuyến là: (X – x)x’ + (Y – y)y’ + (Z – z)z’ = r Khi đường cong đường cong phẳng có tham số r(t) = (x(t); y(t)) : r Phương trình tiếp tuyến r(t ) là: X(τ) = x(t ) + τx '(t ) X−x Y−y hay =  Y( τ ) = z(t ) + τ y '(t ) x ' y' 0  r Phương trình pháp tuyến r(t ) là: (X – x)x’ + (Y – y)y’ = 1.1.4 Cung song quy E3 độ cong, độ xoắn r r I, r = r(t) Định nghĩa 8: Trong không gian Euclide E , đường tham số ( ) được gọi là: ur ur - Ssong chính quy tại điểm t0 nếu r '(t ) và r ''(t ) không cùng phương hay ur ur r r '(t ) × r ''(t ) ≠ - sSong chính quy I nếu nó song chính quy tại mọi điểm thuộc I Ghi chú: Khái niệm song chính quy không phụ thuộc vào tham số tức là một điểm là song chính quy với một đường cong tham số cho trước thì nó cũng là song chính quy tại điểm tương ứng qua phép biến đổi tham số r r I, r = r(t) t0 ∈ I điểm song Định nghĩa 9: Cho đường tham số ( ) quy r r Mặt phẳng mật tiếp của đường cong r(t) tại t là mặt phẳng qua r(t ) với ur ur r không gian vectơ phương < r '(t ); r ''(t ) > Nếu r(t) = (x(t); y(t)) thì phương trình mặt phẳng mật tiếp tại điểm song chính quy t0 ∈ I của đường cong: r ur r ur ur r(t) : (R − r(t ); r '(t); r ''(t)) = hay X − x(t ) Y − y(t ) Z − z(t ) x ′(t ) y′(t ) z′(t ) = x ′′(t ) y′′(t ) z′′(t ) đó (X, Y, Z) là tọa độ của điểm thay đổi E3 Định nghĩa 10: Độ cong Γ điểm s tham số hóa tự nhiên s a r(s) k(s) = DT Dr ' (s) = (s) Vậy ta hàm độ cong (hay ds ds gọi tắt độ cong) k dọc k = DT ds Định nghĩa 11: Cho cung song quy định hướng Γ E3 có hướng, có trường mục tiêu trực chuẩn thuận {T, N, B} dọc Γ gọi trường mục tiêu Frenet dọc Γ Hàm số τ dọc Γ để DB = − τN gọi hàm độ xoắn ds Γ - Công thức Frenet {T, N, B} dọc Γ gọi trường mục tiêu dọc cung song quy định hướng Γ E3 (có hướng) Ta có công thức sau:  DT  ds =   DN = − kT  ds   DB  ds = kN + τB − τN Với k, τ theo thứ tự hàm độ cong, độ xoắn Γ 1.2 Đường tham số R2 Định nghĩa 12: Nếu chọn hệ tọa thích hợp đường tham số phẳng xem đường tham số R2 Chính mục xét đường ham số dạng r: I → R Giả sử r: I → R đường tham số qui với ham số độ dài cung R2 với định hướng tắc Ta đặt: (s) = r’(s) chọn N(s ) cho {T(s ), N(s )} hệ trực chuẩn với định thức dương Ta gọi {T, N} trường mục tiêu Frenet r Khi ta có: N(s)=k(s)r’’(s) ∀s ∈ I Ta gọi k (s ) độ cong đại số r s ( hay C = r(I)) r(s )) Công thức Frenet E2: DT = + kN ds DN = − kT ds Định lí 1: Với hàm khả vi k : I → R có đường tham số r: I → R với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai đường tham số sai khác phép dời thuận Định nghĩa 13: Cho hai đường tham số qui α, β : I → R Ta nói α đường túc bế β β đường thân khai α với t ∈ I, tiếp tuyến α t pháp tuyến β t (đường thẳng qua β(t) với vectơ phương n) *) Cho đường tham số r: I → R với tham số độ dài cung Đường tròn mật tiếp s ∈ I , với k(s ) ≠ , r đường tròn tâm r(s ) + kính N(s ) , bán k(s0 ) Tâm tròn mật tiếp s0 r gọi tâm cong hay khúc k(s0 ) tâm s0 r 1.3 Định lí lí thuyết đường E3 Định lý 2: Với hàm khả vi k (s ) > τ(s), s ∈ I cho trước, tồn đường tham số song qui r : I → R cho s độ dài cung, k hàm độ cong τ hàm độ xoắn r Hơn hai đường tham số song qui sai khác với phép dời thuận Định nghĩa 14: Các phương trình k = k(s), τ = τ(s), s a k(s) , τ a τ(s) hai hàm số (khả vi lớp Cl, l ≥ ) cho trước khoảng J ⊂ R gọi phương trình tự hàm cung song quy định hướng E3 với độ cong k, độ xoắn τ xác định hàm số tham số hóa tự nhiên Chương – MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG CONG TRONG En 2.1 Các toán cung quy 2.1.1 Tham số hóa cung Ví dụBài toán 1: Tìm biểu diễn tham số đường cong sau: 2 2  x = 3a y  x + y + z = 4a (a ≠ 0) (1) a)  b) Đường Viviani:  2 2 2xz = a (x − a) + y = a   Giải: a) Bằng cách đặt x = t, ta có biểu diễn tham số đường cong C1 là:  x = t  t3  y =  3a   a2 z =  2t  2 2 F(x, y, z) = x + y + z − 4a b) Đặt  2 G(x, y, z) = (x − a) + y − a  Fx' Ta có:  ' G  x Vì x x−a Fy' G 'y Fz'   2x 2y 2z  ÷ =  ÷= 2(x − a) 2y G 'z ÷     x 2 x − a y z (2) y ÷ y x z y z = ay, = z(x − a), = yz nên điểm làm y x−a y y =  (3) cho ma trận (2) có hạng nhỏ thỏa mãn:  yz = (x − a) =  Điểm thỏa mãn (1) (3) (2a; 0; 0) Vậy phương trình (3) xác định cho ta đường cong quy nơi ngoại trừ điểm (2a; 0; 0) Ta gọi đường xác định hệ (3) đường Viviani (1) phương trình dạng ẩn r Mặt khác xét đường tham số (I, r(t)) đây: 10 Giải: a) Giả sử (C) có tham số tự nhiên (I; ρ : ρ(s)) có mặt phẳng mật tiếp (π) ur vuông góc với phương cố định m ur ur Khi B m hai vectơ phương ur ur r uur ur ur uur r uur ur r Suy B × m = ⇒ B' × m + B × m ' = ⇒ B' × m = r ur r r ur ⇒ − τv × m = ⇒ − τ(v × m) = r ur r ur Do v m không phương nên v × m ≠ Do τ = Vậy (C) cung phẳng b) Giả sử (C) có tham số tự nhiên (I; ρ : ρ(s)) có mặt phẳng mật tiếp (π) ur song song với vectơ tiếp tuyến m = const ur r ur Khi B β m hai vectơ vuông góc: ur ur uur ur ur uur uur ur r ur ⇒ ⇒ B.m = ⇒ B'.m + B.m ' = ⇒ B'.m = − τv.m = r r ur ur Do τ m không phương nên m không vuông góc với v r ur Do v.m ≠ nên τ = Vậy (C) cung phẳng Ví dụ Bài toán 3: Cho đường cong qui ( C ) với mục tiêu Frenet ur ur ur {T; B; N} Tìm trường vectơ X thỏa mãn: ur ur dT  X × T = T  ur ur dN  X × N = N  ur ur dB  X × B = N  Giải: ur ur ur Trong mục tiêu Frenet ta có X = mT + nN + pB Ta có 33 ur ur dT ur ur ur ur uur X×T = ⇔ mT + nN + pB × T = T ' T ur ur ur ur ur ur ur ⇔ m(T × T ) + n(N × T ) + p(B × T ) = kN ur ur ur ⇔ − nB + pN = kN ⇒ n = 0; p = k ( ) Và ur ur dN ur ur ur ur uur X×N = ⇔ mT + nN + pB × N = N ' N ur ur ur ur ur ur ur ur ⇔ m(T × N) + n(N × N) + p(B × N) = − kT + τB ur ur ur ur ⇔ mB − pT = − kT + τB ⇒ m = τ; p = k ur ur Như ta có X = τT + kB ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur dB Thử lại X × B = τT + kB × B = τ T × B + k B × B = − τ N = B ur ur Suy X = τT + kB trường vectơ cần tìm ( ( ) ) ( ) ( ) Ví dụ Bài toán 4: a) Chứng minh độ xoắn cung song quy định hướng Γ E3 (có hướng) xác định tham số hóa t → ρ(t) = r r r r ur = a ∫ e(t) × e '(t)dt (trong e(t) = 1.e(t) ≠ với t) hàm b) Ngược lại cung song quy định hướng Γ E3 (có hướng) mà độ xoắn hàm có tham số hóa tự nhiên dạng Giải: ur r ur r a) Theo giả thiết ρ ' = ae × e ', e = r ur r uur r uur r ur r uur e × e ' ≠ 0; ρ '' = ae × e '' ⇒ e.ρ ' = e.ρ '' = ur r Vậy B o λ = εe (1) (B trường vectơ trùng pháp tuyến ε = ± , λ : t a s phép đổi tham số, s độ dài cung) ur ur r ρ ' ur T o λ = , B o λ = ε e uu r Suy cho nên: ρ '' r r ur ur ur ur e × (e × e ') N o λ = (B o λ) × (T o λ) = εa = −ε uur ρ '' 34 ur ae ' uur ρ '' Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: ur ur ur ur ur  DB  λ ' o λ ÷ = εe ' ⇒ ρ ' = − (τ o λ )N o λ = εe '  ds  ur ur a ur ρ ' ( − ( τ o λ )( − ε ))e ' = ε e ' Suy ρ' Vậy a(τ o λ) = ⇒ τ = a b) Ngược lại, độ xoắn τ = (hằng số) thì: a ur ur ur ur  ur DB   ur ur  T(s) = N(s) × B(s) =  ( τ N × B)  (s) =  (B × )  (s) τ ds τ    ur ur ur DB Vậy ρ(s) = + ∫ T(s)ds = + a ∫ B × ds ds Bài tập tương tự: 1) Cho cung định hướng Γ E3 xác định tham số hóa t a ρ(t) = (x(t); y(t); z(t)) hệ tọa độ Đềcác vuông góc thuận đó: x(t) = a ∫ sinϕ(t)dt, y(t) = a ∫ cosϕ(t)dt, z(t) = bt Chứng minh ϕ '(t) ≠ với t, Γ cung song quy tính tỉ số độ xoắn độ cong Γ 2) Chứng minh đường cong sau có độ cong độ xoắn : r 3 a r ( t ) = a ( 3t − t ) ,3at ,a ( 3t + t ) ( ) r  t2 t3 b r ( t ) =  t, ,  2a 6a  ÷  3) Cho mặt cầu đơn vị có kinh tuyến ϕ đối vĩ tuyến θ Tìm độ cong độ xoắn đường ϕ = θ 4) Cho k(s) hàm khả vi ∀ s ∈I , chứng tỏ đường tham số phẳng nhận k(s) làm hàm độ cong cho tham số: α ( s) = ( ∫ cos θ ( s ) ds + a, ∫ sin θ ( s ) ds + b ) 35 Với θ(s) = ∫ k(s)ds + ϕ đường cong xác định sai khác r phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) phép quay góc ϕ 2.3 Cung E2 Ví dụ Bài toán 1: Cho đường tham số hóa C(t) = (ϕ(t); tϕ(t)) Hãy tìm ϕ(t) để C cung phẳng Giải: Ta có C '(t) = (ϕ '(t); ϕ(t) + tϕ '(t) C ''(t) = (ϕ ''(t); 2ϕ '(t) + tϕ ''(t) (C) cung phẳng k = Điều tương đương với: ϕ '(t)(2ϕ '(t) + tϕ ''(t)) − ϕ ''(t)( ϕ(t) + tϕ '(t)) = ⇔ 2ϕ '(t) + tϕ '(t)ϕ ''(t) − ϕ ''(t)ϕ(t) − tϕ ''(t)ϕ '(t) = ⇔ 2ϕ '2 (t) − ϕ ''(t)ϕ(t) = Nếu tồn t ∈ I cho ϕ(t ) = C quy t0 Do ta có: n    ϕ '(t)  − ϕ2 (t).ϕ ''(t) + 2ϕ(t)ϕ '2 (t)  ϕ(t) ÷ =  − ϕ2 (t) ÷' = ϕ4 (t)     − ϕ(t).ϕ ''(t) + 2ϕ '2 (t) = =0 ϕ3 (t) Suy = at + b; a, b ∈ R, a + b ≠ ϕ(t) Vậy ϕ(t) cần tìm ϕ(t) = ; a, b ∈ R, a + b ≠ at + b Ví dụBài toán 2: Một đĩa tròn bán kính mặt phẳng Oxy lăn không trượt dọc theo trục Ox Khi điểm nằm biên đĩa vạch đường cong gọi đường Cycloid a) Tìm tham số hóa đường Cycloid xác định điểm kì dị b) Tính độ dài nhịp đường Cycloid (Ứng với vòng quay đĩa) Giải: 36 Theo hình ta có: y IH = IK − IH = − cosθ IM cosθ = ⇒ MH = cosθ OK = l(KM) = IKθ = θ x = OB = OK − MH = θ − sin θ I M ⇒ c(θ) = (θ − sinθ; − cosθ) Suy ra: O c '(θ) = (1 − cos θ) + sin θ H A B K x = − cos θ + cos θ + sin θ = 2(1 − cosθ) c '(θ) = ⇔ − cosθ = ⇔ cos θ = ⇔ θ = k2π; k ∈ Z Do C(k2π) = (k2π; 0) b) Độ dài nhịp đường Cycloid: l= 2π ∫ 2(1 − cos θ)dθ = 2π ∫ 2π θ = ∫ sin dθ θ 4sin dθ = = − 8cos θπ 20 2π θ sin dθ ∫0 = Ví dụ Bài toán 3: Cho cung quy Γ E3 Cung quy γ gọi cung túc bế Γ có thám số hóa tự nhiên s a r(s) Γ tham số hóa s a ρ(s) γ s pháp tuyến Γ s (với s) Chứng minh đó: ρ(s) = r(s) +   ur ur N(s) +  tan( ∫ − τ(s)ds ÷B(s) Trong k(s)  k(s)  N, B theo thứ tự trường vectơ pháp tuyến trùng pháp tuyến Γ; k, τ theo thứ tự độ cong độ xoắn Γ Khi Γ cung phẳng mà độ cong k không đạt cực trị ( k '(s) ≠ với s) Chứng minh cung túc bế cung đinh ốc (tổng quát) có quỹ đạo tâm khúc cung phẳng Γ Giải: 37 Theo định nghĩa, tham số hóa cung γ (túc bế Γ ) có dạng: ur ur ρ : s a ρ(s) = r(s) + α(s).N(s) + β(s).B(s) N, B trường vectơ pháp tuyến trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ Vectơ tiếp tuyến γ là: ur uur ur uur ρ '(s) = r ' + α ' N + α N ' + β 'B + βB ρ '(s) = (1 − αk)T + ( α ' − βτ)N + (ατ + β ')B (1) (T trường vectơ tiếp tuyến đơn vị dọc Γ , k τ độ cong độ xoắn Γ ) Từ điều kiên tiếp tuyến γ phải pháp tuyến Γ điểm tương ứng (s): (ρ '(s) song song với αN + β B ) Dựa vào (1) ta có: (1 − αk) =  β(α ' − βτ) − α(ατ + β ') = Từ (2) suy α = (2) (3) (k ≠ 0) (4) k βα ' − αβ ' βα ' − αβ ' α2 = τ ⇒ =τ Từ (3) suy ra: β α + β2 1+ ( ) β ( )' β α = τ ⇒ (arc cot g ) ' = τ − β α + ( )2 α Suy β = cot g( ∫ τds + c); c = const, β = cot g( ∫ τds + c) α k Vậy ρ(s) = r(s) +   ur ur N(s) +  tan( ∫ τ(s) + c) ÷B(s) k(s)  k(s)  Khi Γ cung phẳng, τ = với s./ Từ (3) ta suy βα ' − αβ ' = α' β' = → ln α = ln cβ , c = const, α = cβ α β 38 Tiếp tuyến Γ moi điểm s làm với B góc không đổi θ cot gθ = β = (c = const) α c Vậy túc bế Γ cung đinh ốc Ví dụ Bài toán 4: Giả sử P điểm nằm đường tròn C có bán kính a > có tâm điểm (O; a) hệ tọa độ Oxy Đường thẳng qua P gốc tọa độ cắt đường thẳng y = 2a Q, đường thẳng qua P song song với trục x cắt đường thẳng qua Q song song với trục y R Khi P chạy quanh C quỹ tích R đường cong, gọi ma thuật Agnesi Đối với đường cong : a) Tìm tham số hóa b) Tìm phương trình hệ tọa độ Decartes Giải: Q I P H ϕ O 39 R a) Gọi ϕ góc tạo OP Ox Kẻ IH ⊥ OP  x R = 2a cot ϕ Ta có   y R = y P = OP sin ϕ = 2OH sin ϕ = 2OIsin ϕ sin ϕ = 2a sin ϕ Một tham số hóa theo ϕ ρ(ϕ) = ( 2a cos ϕ; 2a sin ϕ ) b) Ta có x 2R = 4a cot ϕ = 4a = 4a 2 + sin ϕ 1 = 8a y 2a + y R 1+ R 2a ⇔ x 2R (2a + y R ) = 8a Phương trình hệ tọa độ Decartes là: x (2a + y) = 8a Bài tập tương tự: 1) Trong R chứng minh tiếp tuyến cung song quy (Γ) song song với mặt phẳng cố định (Γ) cung phẳng Trong R cho cung (Γ) có tham số hóa: ρ(t) = (at − 2t + 1; t + 2t + 2; bt + 4t); a, b ∈ R 2) Tìm điều kiện a b để (Γ) cung phẳng điều kiện viết phương trình tổng quát mặt phẳng chứa (Γ) 3) Cho α : (0; π) → R xác định tham số: t   α(t) =  sin t; cos t + ln(tan ) ÷   Với t góc trục Oy với vectơ α '(t) Vết α gọi đường tractrix Chứng minh : a α quy ngoại trừ t = π b Khoảng cách từ tiếp điểm đến giao điểm tiếp tuyến với trục Oy 4) Cho đường tham số α(t) = (ae bt cos t; ae bt sin t), t ∈ R , a, b = const, a > 0, b < 40 a) Hãy chứng tỏ t → ∞ , α(t) tiến dần tới gốc O xoắn quanh gốc O, vết gọi đường xoắn logarithm t1 α '(t) dt hữu b) Hãy chứng tỏ α '(t) → (0; 0) t → ∞ tlim →∞∫ t0 hạn;, nghĩa α có độ dài hữu hạn đoạn [t ; ∞) 2.4 Định lí lí thuyết đường r r ur ur Ví dụ Bài toán 1: Cho (I, r = r(t)) (I, r1 = r1 (t)) hai đường tham số ur uur k 1(t) = k(t) song quy Nếu  r '(t) = r1 '(t) , ∀ t ∈ I Thì tồn τ1 (t) = τ(t) ur r phép dời hình D R3 cho r1 = D o r Chứng minh: Cho t điểm D phép dời hình R3 biến mục tiêu r uur uuur uur ur uur uur uur r (r(t ); T0 ; N ; B0 ) đường cong r t0 thành mục tiêu (r1 (t ); T1 ; N1 ; B1 ) ur r1 ( Rõ ràng phép dời hình D tồn ) ur ur r r Gọi (I, r2 = r2 (t) = D o r(t)) ảnh r qua D k , τ2 độ cong độ xoắn tương ứng đường tham số Khi : uur uur k (t) = k(t) = k1 (t) r '(t) = r  '(t) , ∀ t ∈ I τ (t) = τ (t) = τ (t)  uur uur uur uur uuur uur Như hàm vectơ (T1 (t); N1 (t); B1 (t)) (T2 (t); N (t); B2 (t)) cho mục tiêu Frenet nghiệm hệ phương trình Frenet uur uur ur T ' = r1 ' k1 N  uur uur ur uur ur  N ' = − r  ' k1 T + r1 ' τ1 B  uur uur ur B' = − r1 ' τ1 N  Tại t = t0 nghiệm trùng nhau, nên theo định lý nghiệm toán Cauchy chúng trùng với t 41 uur Đặc biệt T1 (t) uur r1 '(t) = Hay uur r1 '(t) uur ur uur = T2 (t) τ (t ) = τ (t ) uur r2 '(t) uur r2 '(t) uur uur r uur uur uuuuur ⇒ r1 '(t) − r2 '(t) = ⇒ r1 '(t) − r2 '(t) = const uur uur uur uur ⇒ r1 '(t) − r2 '(t) = r1 '(t) − r2 '(t ) uur uur uur uur Mà t = t0, r1 '(t) − r2 '(t ) = nên r1 '(t) − r2 '(t) = uur uur r r '(t) = r '(t) = D o r(t) Hay Bài toán 2: Viết phương trình tự hàm cung: a) ρ : t a ρ(t) = (acht; asht; at) b) ρ : t a ρ(t) = (ct; ln; ct −1 ) Giải: a) Ví dụ Bài toán 32: Giải phương trình tự hàm: a) k(s) = a ; s + a2 b) k(s) = as Giải: a) ∫ k(s)ds = ∫ s2 a s ds = arctan +C a + a2 s s Lấy c = 0, x(s) = ∫ cos(arctan )ds; y(s) = ∫ sin(arctan )ds a a s s Sau đặt t = arctan ; = tan t ta lại có: a a x(s(t)) = a + sin t a ln ; y(s(t)) = − sin t cos t x Ảnh đường dây xích y = ach b) ∫ k(s)ds = 1 ds = ln s + C ∫ a s a 42 1 Lấy c = 0, x(s) = ∫ cos( ln s)ds; y(s) = ∫ sin( ln s)ds a a Sau đặt s = eat ta có:   x(s(t)) =    y(s(t)) =  aeat (a cos t + sin t) a2 + aeat (a sin t − cos t) a2 + Ảnh cung đường xoắn ốc logarit Ví dụ Bài toán 43: Không dùng định lí lí thuyết đường.Xét cung xác định tham số hóa t a ρ(t) = (aect cos t; ae ct sin t; be ct ) tọa độ Đềcác vuông góc thuận Oxyz a, b, c số khác không 1) Chứng tỏ cung đinh ốc (tổng quát) có ảnh nằm mặt nón tròn xoay tiếp tuyến cắt đường sinh thẳng mặt nón góc không đổi 2) Hãy tính độ cong độ xoắn 3) Từ giải phương trình tự hàm k = C1 C ; τ = (C1, C2 = const C1 > 0) s s Giải: uuur uur Ta viết Oρ(t) = e ct Or(t) Ở r : J → E , t a r(t) = (a cos t; s int; b) (1) suy ra: ur r ur ρ ' = ect (cr + r ') uur r ur ur ρ '' = ect (c2 r + 2cr ' + r '') uur r ur ur uur uur ur ρ ''' = ect (c3 r + 3c r ' + 3cr '' + r ''') Thay r ''' = − r ' uur r ur ur ct ρ ''' = e (c r + (3c − 1)r ' + 3cr '') Từ suy ra: ur2 r ur2 ρ ' = e 2ct (c r + r ' ) = e 2ct [c (a + b ) + a ] ur ρ ' = ect A (đặt A = [c2 (a + b ) + a ]); s = 43 t ct cu Ae du = e A ∫ c −∞ ur uur r ur r ur ur ur ρ ' × ρ '' = e2ct (c r × r ' + cr × r '' + r ' × r '') ur uur ρ ' × ρ '' = a e 4ct A (c2 + 1) ur uur ρ ' × ρ '' a c2 + a c2 + k = = = Suy ur ct A e cA.s ρ' ur uur uur [ρ '; ρ ''; ρ '''] b.c b τ = = = ur uu r 2 ct Độ xoắn Ae As ρ ' × ρ '' τ bc = = const Vậy Γ cung đinh ốc Phương trình tự hàm k a c2 + b k(s) = a c + ; τ(s) = As cA.s Ảnh Γ nằm mặt nón tròn xoay có phương trình: X + Y Z2 − =0 a2 b Giả sử ϕ góc tạo đường sinh thẳng mặt nón qua điểm ρ(t) r ur tiếp tuyến Γ điểm ϕ góc hai vectơ ρ(t) ρ '(t) Ta có r r ur r(cr + r ') c(a + b ) c (a + b ) cosϕ = r r ur = = c (a + b ) + a r cr + r ' a + b2 c (a + b ) + a không đổi với t Bài tập tương tự: 1) Viết phương trình tự hàm cung: a) ρ : t a ρ(t) = (acht; asht; at) b) ρ : t a ρ(t) = (ct; ln; ct −1 ) 2) Không dùng định lí lí thuyết đường, chứng minh cung song quy định hướng E3 mà độ cong số dương độ xoắn triệt tiêu có ảnh nằm đường tròn độ cong độ xoắn số khác không có ảnh nằm đường đinh ốc 44 KẾT LUẬN Với nỗ lực cá nhân hướng dẫn nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, đề tài đạt số thành công định Đề tài hệ thống cách ngắn gọn sở lí thuyết quan trọng đường cong En Vận dụng lí thuyết để áp dụng vào làm tập tham số đường cong, cung song quy đặc trưng Đề tài sâu vào số mảng mang tính ứng dụng cao tính độ dài, độ cong, độ xoắn cung, xác định trường mục tiêu Frenet… Qua cách nhìn nhận đề tài vấn đề đường cong hiểu cách đơn giản Tuy vậy, với khối lượng kiến thức to lớn phần đường cong phần tập phong phú đa dạng đề tài tránh khỏi thiếu sót Đề tài tập trung nghiên cứu đường cong E 2, E3, với kiến thức sơ khai, Phần hệ thống tập bỏ sót nhiều phân dạng mang tính chủ quan Dẫu biết kiến thức toán học biển tri thức hiểu biết giọt nước nhỏ Nhưng qua trình tìm hiểu đề tài (đường cong) hi vọng giọt nước tri thức lớn cảm thấy may mắn hiểu nhiều vẻ đẹp, sức quyến rũ toán học Hi vọng đề tài giúp ích phần cho muốn tìm hiểu lĩnh vực này, mong bạn trẻ yêu toán tiếp tục sâu tìm hiểu vấn đề để toán học dần vào sống, gần gũi đẹp đẽ Cuối xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo ThS Nguyễn Thị Sửu, người nhiệt tình hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quan trọng trình hoàn thành đề tài Hà Tĩnh, ngày tháng năm 2012 Người làm đề tài Nguyễn Cao Thiện Bùi Thị Thảo 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học vi phân – Đoàn Quỳnh – Nhà xuất Đại học Sư phạm (1989) Bài tập hình học vi phân – Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang – Nhà xuất Giáo dục (1993) Cơ sở hình học vi phân – Phó Đức Tài (2007) Giáo trình hình học vi phân – Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chính Hình học vi phân – Nguyễn Thúc Hào, NXB Giáo dục, 1968 Internet https://sites.google.com/site/dthehieuvn/giaotrinh, www.vnmath.com 46 MỤC LỤC A – MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………… Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… Giả thuyết khoa học……………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………… Cấu trúc đề tài.…………………………………………………… B – NỘI DUNG Chương – CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Đường tham số………………………………………………… 1.2 Đường tham số R2.………………………………………… 1.3 Định lí lí thuyết đường E3…………………… Chương – MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG CONG TRONG En 2.1 Các toán cung quy………………………………… 2.1.1 Tham số hóa cung…………………………………… 2.1.2 Chứng minh cung cung quy…………………… 2.1.3 Tiếp tuyến, pháp tuyến đường cong……………………… 2.1.4 Tính độ dài cung quy…………………………………… 2.2 Cung song quy …………………………………………… 2.2.1 Mặt phẳng mật tiếp…………………………………………… 2.2.2 Độ cong độ xoắn trường mục tiêu Frenet…………………… 2.3 Cung E2…………………………………………………… 2.4 Định lí lí thuyết đường.……………………………… KÊT LUẬN………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 47 1 2 2 3 9 12 14 17 25 25 29 34 39 43 44 [...]... r a) Theo giả thiết ρ ' = ae × e ', e = 1 r ur r uur r uur r ur r uur e × e ' ≠ 0; ρ '' = ae × e '' ⇒ e. ρ ' = 0 và e. ρ '' = 0 ur r Vậy B o λ = e (1) (B là trường vectơ trùng pháp tuyến ε = ± 1 , λ : t a s là phép đổi tham số, s là độ dài cung) ur ur r ρ ' ur T o λ = , B o λ = ε e uu r Suy ra cho nên: ρ '' r r ur ur ur ur e × (e × e ') N o λ = (B o λ) × (T o λ) = εa = −ε uur ρ '' 34 ur ae ' uur... giá của đường tham số trên chính là đường Viviani và điểm (2a; 0; 0) không phải là điểm kì dị của nó mà chỉ là điểm tự cắt mà thôi r r Ví dụBài toán 2: Cho đường tham số (R; r = r(t)) với r r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t ) Tìm đường tham số tương đương với nó.(Tham số hóa tự nhiên) Giải: r r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t ) ur Suy ra r '(t) = (e t cos t − e t sin t; e t sin t + e t cos; e t ) ur... t; e t sin t + e t cos; e t ) ur ⇒ r '(t) = (e t cos t − e t sin t) 2 + (e t sin t + e t cos t) 2 + e 2t ur ⇒ r '(t) = (e 2t cos 2 t + e 2t sin 2 t) + (e 2t sin 2 t + e 2t cos 2 t) + e 2 t ur ⇒ r '(t) = 3e t t Suy ra s(t) = ∫ 0 ur r '(t) dt = t ∫ 3e t dt = 3 (e t − 1) ⇒ t = ln( 0 s 3 + 1) r Thay t vào r(t) ta được đường tham số tự nhiên tương đương với đường r r r r s  p(s) = r  ln( + 1÷ tham số...  tan  4    2 4  r Ví dụ Bài toán 2: Tìm độ dài cung r(t) = (3ch2t; 3sh2t; 6t) với t ∈ [0; π] 1 11 + tan 2 Giải: Ta có: ch2t = e 2t + e − 2t e 2t − e − 2t và sh2t = 2 2 19 e 2t − e − 2t (ch2t) ' = 2 = 2sh2t 2 e2 t + e 2t (sh2t) ' = 2 = 2ch2t 2 ur ⇒ r '(t) = (6sh2t; 6ch2t; 6) ur ⇒ r '(t) = 36sh 2 2t + 36ch 2 2t + 36 (e 2t + e − 2t ) 2 − (e 2t − e − 2t ) 2 Mặt khác ta có: ch 2t − sh 2t = =... mặt phẳng 2.2.2 Độ cong độ xoắn và trường mục tiêu Frenet Phương pháp giải: Những bài tập về phần này chủ yếu để giải thì ta cần nhớ các công thức của độ cong và độ xoắn trong các trường hợp tham số tự nhiên hay tham số bất kì Chú ý kĩ năng tính toán nhanh, chính xác là rất cần trong mục này cũng như trong các mục còn lại Ví dụ Bài toán 1: Xác định trường mục tiêu Frenet và tìm độ cong, độ xoắn tại... θ Tìm độ cong và độ xoắn của đường ϕ = θ 4) Cho k(s) là một hàm khả vi ∀ s ∈I , hãy chứng tỏ rằng đường tham số phẳng nhận k(s) làm hàm độ cong được cho bởi tham số: α ( s) = ( ∫ cos θ ( s ) ds + a, ∫ sin θ ( s ) ds + b ) 35 Với θ(s) = ∫ k(s)ds + ϕ và các đường cong đó được xác định sai khác một r phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) và một phép quay góc ϕ 2.3 Cung trong E2 Ví dụ Bài toán 1: Cho đường. .. τ N = B ur ur Suy ra X = τT + kB là trường vectơ cần tìm ( ( ) ) ( ) ( ) Ví dụ Bài toán 4: a) Chứng minh rằng độ xoắn của cung song chính quy định hướng Γ trong E3 (có hướng) xác định bởi tham số hóa t → ρ(t) = r r r r ur = a ∫ e( t) × e '(t)dt (trong đó e( t) = 1 .e( t) ≠ 0 với mọi t) là một hàm hằng b) Ngược lại mọi cung song chính quy định hướng Γ trong E3 (có hướng) mà độ xoắn là hàm hằng thì có tham... minh rằng: MT = y y 1 + y '2 ; MN = y 1 + y '2 , PT = , PN = yy ' y' y' b) Tìm đường cong lần lượtlựơt có MT = k, MN = l, PT = m, PN = n 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm chỉ ra sau đây: r π a) r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t ), t = 4 r t π b) r(t) = (a(t − sin t); a(1 − cos t); 4a sin ), t = (a ≠ 0) Tìm góc tạo bởi 2 2 tiếp tuyến với trục Oz r c) r(t) = (3t – t2; 3t; 3t + t3),... b ∈ R, a 2 + b 2 ≠ 0 ϕ(t) Vậy ϕ(t) cần tìm là ϕ(t) = 1 ; a, b ∈ R, a 2 + b 2 ≠ 0 at + b Ví dụBài toán 2: Một đĩa tròn bán kính 1 trong mặt phẳng Oxy lăn không trượt dọc theo trục Ox Khi đó một điểm nằm trên biên của đĩa vạch ra một đường cong gọi là đường Cycloid a) Tìm một tham số hóa của đường Cycloid và hãy xác định các điểm kì dị b) Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid (Ứng với một vòng quay của... đương: 11 r ρ : [0; + ∞) → R 3 r t a ρ(t) = (e t sin t; e t cos t; e t ) r r : [1; + ∞) → R 3 r s a r(s) = (s sin(ln s); s cos(ln s); s) Giải: r r ρ và r là hai đường tham số tương đương khi tồn tại ánh xạ λ sao cho: ρ(t) = (r o λ)(t) = r(λ(t)) = r(s) e t sin t = λ(t)sin ln λ(t)  t Suy ra e cos t = λ(t) cos ln λ(t) e t = λ(t)  ⇒ λ : [0; + ∞) → [1; + ∞) t a et Rõ ràng ánh xạ λ khả vi trên [0; + ∞) ... R cho s độ dài cung, k h m độ cong τ h m độ xoắn r H n hai đường tham s song qui sai khác với phép dời thuận Định nghĩa 14: Các phương trình k = k (s) , τ = τ (s) , s a k (s) , τ a τ (s) hai h m s ... Cao Thiện Bùi Thị Thảo 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO H nh h c vi phân – Đoàn Quỳnh – Nhà xuất Đại h c S phạm (1989) Bài tập h nh h c vi phân – Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn H u... ''(t ) ≠ - sSong chính quy I nếu nó song chính quy tại mọi điểm thuộc I Ghi chú: Khái niệm song chính quy không phụ thuộc vào tham s ́ tức là một điểm là song chính quy với