Đề tài: Tìm đường đi trong mê cung và ứng dụng

Lý thuyết đồ thị được dùng để giải quyết nhiều bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau chẳng hạn như: dùng mô hình đồ thị để xác định xem hai máy tính trong một mạng máy tính có trao đổi

Lời nói đầu.

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học có từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Những ý tưởng ban đầu của nó được đưa ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ là Leonhard Euler

Lý thuyết đồ thị được dùng để giải quyết nhiều bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau chẳng hạn như: dùng mô hình đồ thị để xác định xem hai máy tính trong một mạng máy tính có trao đổi thông tin với nhau được không?.Đồ thị với các trọng số được gắn cho các cạnh có thể dùng để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong một mạng lướigiao thông Chúng ta có thể phân biệt các hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử

nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ vào đồ thị

Vấn đề tìm đường đi, đặc biệt là bài toán tìm đường đi trong mê cung là một chủ đề khá thú vị, mang tính chất trò chơi gắn liền với câu chuyện thần thoại Hi Lạp nhưng lại có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống Ngày này nhiều người đã thiết kế ra các mê cung nhằm phục vụ nhu cầu giải trí tham gia trò chơi mở mang trí lực…

Do là lí do chúng em chọn đề tài “ Bài toán tìm đường đi trong mê cung và ứng

dụng”

Chúng em xin chân thành cảm ơn Thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến đã giúp chúng

em có kiến thức và càng hiểu rõ vấn đề này

Phân công công việc

1 Trương Hoài Bão Tìm hiểu đại cương về lý thuyết đồ thị

2 Lê Thị Hạnh Vân Tìm hiểu thuật toán, viết chương trình

3 Đỗ Xuân Tìm hiểu bài toán tìm đường đi trong mê cung và ƯD

4 Nguyễn Thị Yến Tìm hiểu thuật toán, viết chương trình

Phần 1:

Đại cương về lý thuyết đồ thị.

Lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách là một ngành Toán học bằng bài báo nổi tiếng củanhà toán học Euler năm 1736 về những cây cầu ở Konigsberg Mãi hơn 100 năm sau tức là vào giữa thế kỉ 19, người ta mới chú ý đến các vấn đề của Lý thuyết đồ thị đặc biệt là ở nướcAnh

Bài toán nổi tiếng nhất là : “ Giả thiết bốn màu” do DeMorgan đưa ra lần đầu tiên năm

1850 Đây là bài toán có rất nhiều đóng góp cho Lý thuyết đồ thị

Ngày này Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành một nghành Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng

I Đại cương về đồ thị.

Đồ thị vô hướng G=(V,E) là một tập V các đỉnh và tập E các cạnh

Đồ thị có hướng G=(V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi làcung

Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G= (V,E)

Nếu cạnh e liên kết đỉnh v,w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v,w, các đỉnh w,v liên thuộc cạnh e, các đỉnh v,w gọi là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề đỉnh w

Nếu có nhiều cạnh liên kết cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song song.Cạnh có hai đỉnh liên kết không trùng nhau gọi là khuyên

Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập

Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị thì gọi là cỡcủa đồ thị

Đồ thị hữu hạn là đồ thị có cỡ và bậc hữu hạn

Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song

Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau

nửa bậc ra của đỉnh v kí hiệu là: dego(v), là số cung đi ra từ đỉnh vnửa bậc vào của đỉnh v kí hiệu là: deg1(v) là số cung đi tới đỉnh v.

Bổ đề bắt tay- Hand Shaking Lemma

Cho đồ thị G=(V,E) Khi đó:

i Tổng bậc các đỉnh đồ thị là bậc chẵn và

) ( 2 ) deg(

V v

E card

Chú ý: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn

Đồ thị Km.n là đồ thị lưỡng phân G=({V1,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1 được nối với mỗi đỉnh của V2 bằng một cạnh duy nhất.

Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km.n= G=({V1,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong V2 có bậc là m và Km.n có m.n cạnh

• Cho đồ thị đơn G vecto bậc d(G) của đồ thị G là dãy các bậc của tất cả các đỉnh của G sắp xếp giảm dần

Véc tơ v gồm các số tự nhiên gọi là vecto đồ thị nếu tồn tại đơn đồ thị có vecto bậc là v

3 Đường đi, chu trình, tính liên thông

Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w là tập hợp các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v kết

thúc tại đỉnh w Số cạnh trên dây µ gọi là độ dài của dây µ.

Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài k được biểu diễn như sau

µ= (v,e1,e2,e3,v2,….,vk-1,ek,w)

Trong đó vi (i= 1,…,k-1) là các đỉnh trên dây và ei( i=1,…,k-1)là các cạnh trên dây

Đường đi sơ cấp là đường đi không qua đỉnh quá một lần

Vòng là dây có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau

Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau

Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá một lần

Đồ thị vô hướng gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng lại vớinhau

Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng lại với nhau

Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu nếu đồ thị lót của nó liên thông

Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao giờ cũng tồn tại đường

đi có hướng từ u đến v hoặc v đến u

• Trọng đồ (có hướng) là đồ thị ( có hướng) mà mỗi cạnh( cung) của nó đều gắn một số

Phần 2:

Bài Toán Tìm Đường Đi Trong Mê Cung.

Bài toán tìm đường đi trong mê cung đố vui đồ thị lâu đời nhất Trong văn học Hi Lạpcâu chuyện dũng sĩ Theseus đi cứu công chúa Ariadne bị con nhân mã Minotaur giam giữ trong mê cung

Ở đảo Crete có một con quái vật đầu bò, mình người tên là Minotaur chuyên ăn thịt người và súc vật Nhà vua sai kiến trúc sư nổi tiếng Daedalus xây dựng một cung điện lớn gồm nhiều hành lang, khó có thể đi ra ngoài được để nhốt Minotaur ở đó Hằng năm các nước chư hầu phải đưa người đến nộp cho quái vật Chàng dũng sĩ Theseus muốn tiêu diệt quái thú trừ họa cho muôn dân và chàng gặp được công chúa Ariadne, công chúa đem lòng yêu Theseus nên đã tìm Daedalus hỏi kế giúp chàng khỏi lạc trong cung điện Theo lời của Daedalus, Ariadne đã đưa cho chàng dũng sĩ cuộn chỉ Nhờ vậy sau khi giết xong quái thú anh ra ngoài mà không bị lạc đường

Ngày nay vẫn còn rất nhiều mê cung trên thế giới như:

Mê cung Reignac-sur-Indre ở Pháp Đây là mê cung cây cối lớn nhất trên thế giới.

Mê cung Hampton Court ở Anh Đây là mê cung rào có tuổi thị cao nhất ở Anh.

Mê cung Imprint ở Gloucester.

Trang trại Pisaniở Italia Đây là mê cung phức tạp nhất trên thế giới.

Mê cung cây dứa ở Hawaii Đây là mê cung dài nhất trên thế giới

Mê cung là một hệ thống gồm nhiều hành lang nối với nhau Bài toán tìm đường đi trong mê cung là đứng từ vị trí S( bên trong mê cung hoặc cửa vào) Tìm đường đi đến vị trí E( cửa ra hoặc bên trong mê cung).

Nếu biểu diễn mê cung bằng đồ thị trong đó các hành lang là cạnh, còn giao điểm của chúng là đỉnh thì ta có bài toán tìm đường đi trong đồ thị Lưu ý rằng ta không biết sơ đồ của

mê cung

D G

1 Một vài thuật toán tìm đường đi trong mê cung.

Cho đồ thị G= (V,E) và đỉnh s,e thuộc V.Tìm đường đi từ s đến e

a Thuật toán Wiener:

Xuất phát từ đỉnh s đi theo cạnh của đồ thị theo nguyên tắc sau:

• Tại mỗi đỉnh chọn cạnh chưa đi qua trước đó

• Nếu tại đỉnh nào đó mọi cạnh liên thuộc nó đã đi qua thì quay ngược lạicho đến khi gặp đỉnh có cạnh chưa qua

Hiển nhiên là bằng cách này đi qua tất cả các cạnh của đồ thị Tuy nhiên để thực hiện thuật toán này cần phải nhớ thứ tự các cạnh đã đi qua phải có phương tiện nhớ giống như “ cuộn chỉ Ariadne”

b Thuật toán Tarri

Xuất phát từ đỉnh s đi theo cạnh của đồ thị theo nguyên tắc sau:

• Đánh dấu hướng đã đi qua của cạnh

• Với mỗi đỉnh bậc lớn hơn bằng 3 của đồ thị, cạnh dẫn đến nó lần đầu tiên được đánh dấu đặc biệt

• Tại mỗi đỉnh chọn cạnh chưa đi qua trước đó Trường hợp các cạnh đã

đi qua thì chọn cạnh đi theo hướng ngược lại Cạnh đánh dấu đặc biệt làphương án cuối cùng nếu không có cách nào khác

Bằng cách này ta đi qua tất cả các cạnh của đồ thị Như vậy nếu đồ thị liên thông thì lúc nào đó ta sẽ đến đỉnh e

c Tìm đường đi trong mê cung

Mê cung là một đồ thị vô hướng gồm N đỉnh được mã số từ 1 đến N, với các cạnh, mỗi cạnh nối 2 đỉnh nào đó với nhau.Cho 2 đỉnh S và T trong mê cung tìm đường đi

từ S tới T

 Dữ liệu vào: file MECUNG.INP với cấu trúc như sau:

• Dòng đầu tiên, được gọi là dòng 0, chứa 3 số tự nhiên N,S,Tghi cách nhau bởi dấu cách, trong đó n là số lượng đỉnh của mê cung, S là đỉnh xuất phát, T là đỉnh kết thúc.

• Dòng thứ i ,i= 1…n-1 cho biết có hay không cạnh nối đỉnh i với j, j= i+1 n

- Dòng 8: 1 nghĩa là đỉnh 8 nối với đỉnh 9

Vì đồ thị vô hướng nên cạnh nối đỉnh x với đỉnh y cũng giống cạnh nối

Thông tin vê đỉnh n không cần thông báo vì mỗi đỉnh i ta chỉ cần liệt kê các đỉnh j>i tạo thành cạnh (i,j).

Kết quả được lưu vào file MECUNG.OUT

- Dòng đầu tiên ghi số tự nhiên k là số đỉnh trên đường đi từ S đến T nếu không tìm được đường đi ghi số 0

- Từ dòng tiếp theo ghi lần lượt các đỉnh có trên đường đi

Với ví dụ trên có kết quả là:

Từ đỉnh 6 có thể đến được đỉnh 7 qua 5 đỉnh như sau:

Thuật toán:

Xuất phát từ đỉnh v[1] = s, mỗi bước lặp i ta thực hiện các bước kiểm tra sau Gọi k là số đỉnh đã đi qua và được tích lũy trong trong mảng giải trình đường đi v Cụ thể xuất phát từ đỉnh v[1] =s, sau một số lần duyệt ta quyết định chọn đường đi qua các đỉnh v[1],v[2],v[3],….,v[k] Có thể gặp các tình huống sau:

a (Đến đích) nếu v[k]= t, tức là đã đến được đỉnh t: thông báo kết quả dừng thuật toán, ngược lại sang bước b

b (Thất bại) k=0: nếu đã quay lại vị trí xuất phát v[i]=s mà từ đó không còn đường đi nào khác phải lùi một bước, do đó k= 0.Trường hợp này chứng tỏ bài toán vô nghiệm, tức là do đồ thị không liên thông nên không có đường đi từ đỉnh s đến đỉnh t Ta thông báo vô nghiệm và dừng thuật toán

c (Đi tiếp) Nếu từ đỉnh v[k] tìm được một cạnh chưa đi qua và dẫn đến một đỉnh i nào đó thì tiến theo đường đó nếu không thực hiện bước d

d (Lùi một bước) bỏ đỉnh v[k] lùi lại đỉnh v[k-1]

Thuật toán trên có tên là sợi chỉ Arian

Chương trình.

(* Pascal *) (* - MECUNG.PAS Tim duong trong me cung -*)

{$B-}

uses crt;

const

MN = 100; {So dinh toi da }

fn = 'MECUNG.INP'; {input file }

nl = #13#10; {xuong dong moi }

bl = #32; {dau cach } type

MB1 = array[0 MN] of byte;

MB2 = array[0 MN] of MB1;

var a: MB2; {ma tran ke, doi xung } v: MB1; {vet tim kiem }

d: MB1; {danh dau dinh da chon } n: byte; {so dinh }

s: byte; {dinh xuat phat } t: byte; {dinh ket thuc } k: byte; {buoc duyet } f,g: text; {f: input file; g: output file}

(* - Doc du lieu

-*) procedure Doc;

var i,j: byte;

beginassign(f,fn);

var i,j: byte;

begin write(nl,n,bl,s,bl,t,nl);

for i := 1 to n do begin

k = 0: vo nghiem

k > 0: co duong tu s den t gom k canh

procedure Ket(k: byte);

var i: byte;

begin assign(g,gn); rewrite(g);

write(g,k,nl);

if k > 0 then begin

Tu dinh v[k] tim duoc mot buoc di den dinh i

d[i] = 0 - dinh i chua xuat hien trong lich trinh v

d[i] = 1 - dinh i da xuat hien trong lich trinh v, -*) function Tim: byte;

var i: byte;

begin Tim := 0;

for i := 1 to n do

if d[i] = 0 then {dinh i chua tham }

if a[v[k],i] = 1 {co duong tu v[k] den i } then

begin inc(k);

v[k] := i; {tien them 1 buoc } d[i] := 1; {danh dau dinh da qua } end;

(* - Lui 1 buoc vi tu dinh v[k] khong co kha nang nao dan den ket qua

-*) procedure CuonChi;

begin dec(k);

end;

(* - Tim duong trong me cung

s: dinh xuat phat t: dinh ket

-*) (* -

MC - Tim duong trong me cung (Thuat toan Arian)

s: dinh xuat phat t: dinh ket

-*) procedure MC;

var i: byte;

begin Doc; {doc du lieu}

{ - khoi tao mang d,

danh dau cac dinh da tham:

d[i] = 1: dinh da tham d[i] = 0: dinh chua tham -}

BEGIN MC; write(nl,'fini');

END

Phần 3:

Một vài bài toán ứng dụng

Một người nông dân chở dê, sói và cải qua sông bằng một con thuyền nhỏ Mỗi lần chỉ chở được một thứ hoặc sói hoặc dê hoặc cải và không được để sói đứng với dê hoặc cải đứng với dê mà không có người trông coi Hãy chỉ cách chở

Ta kí hiệu n( người), s( sói), d(dê) và c( cải) Ta lập đồ thị biểu diễn khả năng chuyển đổi trạng thái người, sói, dê, và cải ở bên bờ sông xuất phát Mỗi nút trạng thái là một tập con của (nsdc) trừ các tập (sd),(nc),(dc),(ns) Sau đó áp dụng thuật toán trên tìm đường đi từ (nsdc) đến nút ø

Sau đây là hai phương pháp giải :

nsdc sc nsc c ndc d nd øvà

nsdc sc nsc s nsd d nd ø

Có ba cặp vợ chồng qua sông bằng 1 chiếc thuyền nhỏ Mỗi thuyền chở được nhiều nhất 2 người và ai cũng biết bơi thuyền Các ông chồng mắc bệnh ghen nặng nên không cho

vợ đứng cạnh người đàn ông khác khi không có mình Hãy tìm phương pháp chở tất cả sang sông

Ký hiệu các cặp vợ chồng là Aa, Bb, Cc Ta lập đồ thị, biễu diễn khả năng chuyển đổi trạng thái các cặp vợ chồng ở bên bờ sông xuất phát Mỗi nút trạng thái là tập con cuả

(AaBbCc) trừ các tập dạng:

{S| ((aB))⊂ S or (aC) ⊂S) and A∉ S}

{S| ((bA))⊂S or (bC)⊂ S and B ∉ S}

{S| ((cA)) ⊂S or (cB)⊂ S) and C ∉S}

Và các tập bù của chúng.

Sau đó áp dụng thuật toán trên để tìm đường đi từ nút AaBbCc đến nút ø

Sau đây là một phương pháp giải bài toán

AaCc ac abc c Cc ø

Ba thầy tu và ba con quỷ sang sông bằng một thuyền nhỏ.Mỗi lần thuyền chỉ chở đượcnhiều nhất hai người và ai cũng có khả năng bơi thuyền Hãy tìm phương án sang sông sao cho nếu có thầy tu và quỷ trên bờ thì số thầy tu không được ít hơn số quỷ ( nếu ngược lại thầy tu sẽ bị ăn thịt)

Kí hiệu nút trạng thái ở bờ sông là (m,n) trong đó n là số thầy tu, m là số quỷ Cặp (m,n) thỏa mãn( 0≤n,m≤3) và [(n=0) or (n≥m)]

Ta lập đồ thị biểu diễn khả năng chuyển đổi trạng thái các thầy tu và quỷ ở bên bờ sông xuất phát

Sau đó áp dụng thuật toán trên để tìm đường đi từ nút (3,3) đến (0,0)

Sau đây là một phương án giải bài toán:

(3,3) (2,2) (3,2) (3,0) (3, 1) (1,1) (2,2) (0,2) (0,3) (0,1) (1,1) (0,0)

Tài liệu tham khảo.

1 Giáo trình Lý Thuyết Đồ Thị Và Ứng Dụng

Tác giả: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

2 Bài giảng Lý Thuyết Đồ Thị Và Ứng Dụng

Tác giả: PGS Hoàng Chí Thành và PGS Lê Trọng Vĩnh

3 Và tham khảo trên một vài trang web

http://tailieu.vnhttp://ebook.edu.vn