nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

TR TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN-TIN HỌC - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM Giáo viên hướng dẫn ThS Nguyễn Hoàng Xinh Cần Thơ, 2013 Sinh viên thực Trần Kim Cƣơng MSSV: 1090076 Lớp: SP Toán-tin học K35 Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm LỜI CẢM ƠN Trước tiên, muốn gởi lời cám ơn sâu sắc đến Ths.Nguyễn Hoàng Xinh, người Thầy truyền đạt tri thức quý báu tận tình hướng dẫn cho suốt trình làm luận văn Đó khích lệ to lớn để hoàn thành luận văn Tiếp đến, chân thành cảm ơn tất Thầy hội đồng bảo vệ luận văn đọc thảo cho nhận xét bổ ích để luận văn hoàn chỉnh Bên cạnh đó, xin cảm ơn quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ tận tình giảng dạy cho suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến cha mẹ bạn bè động viên giúp đỡ để hoàn thành tốt luân văn Xin chân thành cám ơn ! Cần Thơ, ngày 25 tháng 04 năm 2013 Sinh viên thực hiên đề tài Trần Kim Cương SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN………………………………………………………………………1 MỤC LỤC………………………………………………………………………… DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU………………………………….3 PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG……………………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị………………………………………………7 Chương Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm……………………….12 2.1 Nhóm chuẩn tắc…………………………………………………12 2.2 Đồng cấu nhóm…………………………………………………… 21 Chương Bài tập………………………………………………………….41 PHẦN KẾT LUẬN……………………………………………………………… 60 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….61 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Định nghĩa Kí hiệu Tập hơp số tự nhiên Tập hơp số nguyên Tập hơp số hữu tỉ Tập hơp số thực Tập hơp số phức H  X,H  X H tập hợp tập hợp X A B Hợp hai tập hợp A B A B Giao hai tập hợp A B  Tập hợp rỗng A B Tích Đề-các hai tập hợp A B  hi iI Họ phần tử số hóa tập I  Ai iI Họ tập hợp số hóa tập I H Tích Đề-các họ tập hợp H i iI i f : X Y Tương ứng f từ X đến Y H Nhóm sinh tập hợp H x Nhóm xyclic sinh phần tử x Sn Nhóm phép bậc n P(X) Tập hợp phận tập hợp X C(X) Tâm nhóm X A B Hai nhóm A B đẳng cấu với Imf Ảnh đồng cấu f Kerf Hạt nhân đồng cấu f X Nhóm thương nhóm X nhóm chuẩn tắc H H HX H nhóm X SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp H Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm H nhóm chuẩn tắc X X |A| Cấp nhóm A X  X tập hữu hạn e (hoặc 1) Phần tử đơn vị nhóm x 1 Phần tử nghịch đảo x X : H Chỉ số H X Aut(X) Nhóm tự đẳng cấu X Nhóm tự đằng cấu X Inn(X) GL  n,  Tập ma trận thực không suy biến cấp n SL  n,  Tập ma trận thực có định thức 1X , id X Ánh xạ đồng tập X SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình học, em học môn “Đại Số Đại Cương” Nhưng thời gian lớp có hạn nên học phần chúng em nghiên cứu mức độ đại cương Đối với em, “Đại Số Đại Cương” môn học hay tạo cho em nhiều hứng thú học, điều gợi cho em muốn học hỏi để hiểu biết nhiều hơn, đặc biệt nhóm Được gợi ý giáo viên hướng dẫn, em mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm” với mong muốn tìm hiểu rõ nhóm Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “ Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm” , em hướng đến mục đích rèn luyện kỹ tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu số vấn đề toán học mẻ thân Đây dịp để em nhìn lại tổng quan kiến thức đại số mà đặc biệt nhóm – chủ đề lớn lĩnh vực đại số nói riêng toán học nói chung Việc nghiên cứu giúp em bổ sung thêm kiến thức thân để chuẩn bị cho nghiên cứu sau Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu : tổng hợp, phân tích, khái quát hóa Tổng hợp kiến thức từ nguồn khác nhau, từ phân tích chọn lọc nội dung liên quan Nội dung luận văn Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương II Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Chương III Bài tập SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm PHẦN NỘI DUNG SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa - Cho X tập khác rỗng Khi ánh xạ  : X  X gọi phép toán hai X 1.2 Định nghĩa Phép toán hai X gọi vị nhóm thỏa : i a, b, c  X : a bc    ab  c ii e phần tử đơn vị ea  ae  a 1.3 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z Khi ánh xạ h : X  Z biến x thành g  f  x   gọi hợp thành (hay tích ) f g, kí hiệu g f đơn giản gf Như :  g f  x   g  f  x  , x  X 1.4 Định nghĩa Nhóm tập hợp X khác rỗng với phép toán nhân X thỏa điều kiện sau : i Với x, y, z  X , ta có  xy  z  x  yz  ii Tồn phần tử e  X cho ex  xe  x iii.Mọi phần tử x  X tồn x 1 cho xx1  x1 x  e 1.5 Định nghĩa Phép toán nhóm X có tính chất giao hoán nhóm X gọi nhóm giao hoán nhóm Abel Nếu nhóm X có hữu hạn phần tử X gọi nhóm hữu hạn Ngược lại X gọi nhóm vô hạn 1.6 Định nghĩa SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Cho X nhóm, n  Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm  Khi lũy thừa n phần tử x  X xác định sau : i xn  xxx x (n phần tử x ) ii x0  e iii x  n   x 1  n 1.7 Mệnh đề Cho X nhóm phần tử x, y, z  X Khi với m, n số nguyên, ta có : i  xy  1  y 1 x 1 ii xm xn  xmn  x m   x mn n iii.Nếu X nhóm giao hoán  xy   x n y n n iv Luật giản ước : xy  xz  yx  zx   y  z 1.8 Định nghĩa Cho X nhóm H tập khác rỗng ổn định phép toán X Khi H gọi nhóm X H với phép toán cảm sinh H lập thành nhóm, kí hiệu H  X 1.9 Định lí Cho H tập khác rỗng nhóm X Khi phát biểu sau tương đương : i H nhóm X ii Với x, y  X ta có xy  H x1  H iii.Với x, y  X ta có xy 1  H 1.10 Hệ Cho X nhóm Khi : i Nếu H  K , K  X H  X ii Nếu H,K nhóm X H  K  H  K 1.11 Mệnh đề SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Giao họ tùy ý, khác rỗng nhóm X nhóm X 1.12 Định nghĩa Cho S tập nhóm X Khi S chứa nhóm X, chẳng hạn S  X Theo Mệnh đề 1.11 tập H giao tất nhóm X chứa S nhóm X Nhóm H gọi nhóm sinh tập S, kí hiệu S 1.13 Định lí Giả sử S tập X, : i Nếu S   S  e ii Nếu S   S  x1n , x2n , , xnn | xi  S , ni   1.14 Hệ Giả sử X nhóm, : i Nếu H  X H  H ii Nếu S  x  X S  x  x k | k   1.15 Định nghĩa Nhóm H nhóm X gọi nhóm xyclic tồn phần tử x  X cho x  H Nhóm X gọi nhóm xyclic tồn x  X cho x  X Lúc phần tử x gọi phần tử sinh X 1.16 Định nghĩa Cho X nhóm, A   ,A  X, : C  A  x  X | xa  ax, a  A gọi tâm giao hoán tập A Đặc biệt : + Nếu A={a} ta kí hiệu Ca gọi tâm giao hoán a + Nếu A=X CX gọi tâm giao hoán X thường kí hiệu Z(X) 1.17 Định nghĩa SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm f    0, f    3, f    f    9, f    12, f    15 c Theo câu b ta có đồng cấu từ 18 đến , đồng cấu f    0, f    2, f    f    4, f    5, f    Bài 11 : Tìm tất đồng cấu từ : a C3 vào C4 b vào c vào D4 Giải a f : C3  C4 xác định f  x r   e b f :  xác định f 1  04 f 1  14 f 1   24 f 1  34 Khi với x  : f  x   xf 1 c Ta có D4  e, g , g , g , h, gh, g h, g 3h Do f :  D4 xác định f 1  a, a  D4 Khi với x  : f  x   xf 1 Bài 12 : Chứng minh : a Aut  b Aut   ,   ,   c    Giải a Mỗi tự đồng cấu nhóm nên 6  hoàn toàn xác định f    có tự đồng cấu Dể chứng minh số có hai tự đồng cấu xác định f 1  1, f 1  đẳng cấu Do Aut  Vậy Aut    gồm có hai phần tử 47 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm hoàn toàn xác định f 1 b Mỗi tự đồng cấu nhóm f  n   nf 1 với n  Nếu f  Aut  f    f 1 f  n   n với n    ,      f  n   n với n  Hay nói cách khác, Aut  gồm hai phần tử , 1 ,nghĩa Aut   f 1  1 f 1  1 trái giả thiết f toàn ánh Bởi f  Aut   c Dễ thấy    ,  nhóm xyclic cấp sinh phần tử nên ,  Bài 13 : Chứng minh : a End   b End   Giải a Ta có ánh xạ F : End  f   F  f   f 1 Là đẳng cấu Thật vậy, với f g thuộc End   ta có : F  f  g    f  g 1  f 1  g 1  F  f   F  g  Nếu F  f   F  g  f 1  g 1 Từ với n  ta có : f  n   nf 1  ng 1  g  n  , nghĩa f=g nên F đơn cấu Với n  , ánh xạ  f: a Là tự đồng cấu End  na F  f   f 1  n nên F toàn cấu Vậy  48 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm b Tương tự câu b, ánh xạ : F : End  f   f 1 Là đẳng cấu Bài 14 : Chứng minh ảnh toàn cấu nhóm xyclic xyclic Giải Giả sử X nhóm xyclic sinh phần tử a f : X  H đồng cấu  Khi ta có : f  a   Im f Im f   f  a   f  a n  | n  n  nhóm xyclic sinh f(a) Bài 15 : Chứng minh nhóm xyclic vô hạn có hai tự đẳng cấu Giải Giả sử X nhóm xyclic vô hạn nên X có hai phần tử sinh a a-1 Khi tự đẳng cấu X ánh xạ biến a thành phần tử sinh a a-1 Tương ứng ta có hai tự đẳng cấu X, phép đồng a a 1 Bài 16 : Cho H nhóm xyclic cấp nguyên tố p Chứng minh phần tử X, khác đơn vị, phần tử sinh X ánh xạ k : X  X x xk tự đẳng cấu X, với k số nguyên dương thỏa mãn  k  p Giải Giả sử a phần tử tùy ý khác đơn vị X có cấp n >1 Khi nhóm xyclic A sinh a có cấp n n ước cấp p H Do p nguyên tố nên n=p Nghĩa A=H Dễ chứng minh  k tự đồng câu nhóm Ta có với xi  X k  xi   xik 49 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Giả sử k  xi   k  x j  , nghĩa xik  x jk  xi  j k  e , i  j  k p  i  j  np Vậy xi  x j hay  k đơn cấu Giả sử x n  X phần tử tùy ý Do  k , p   nên tồn a, b  cho   ka  pb   kna  pnb  n nên xn  xk  qp i   xki Vậy k xi  x ki  xn ,  k toàn cấu Bài 17 : Giả sử A nhóm chuẩn tắc nhóm X cho X A  ,A Chứng minh X  10 Giải Giả sử A ={e,a} X A   A, bA, b2 A, b3 A, b4 A Ta có X sinh hai phần tử a b Mặt khác, A nhóm chuẩn tắc nên bA=Ab Như b, ba  b, ab  ab  ba Do X  a, b nhóm aben Theo Định lí Lagrange, cấp X 2.5=10 Do cấp b 10 Nếu cấp b 10 X  b nhóm xyclic sinh b Nếu cấp b cấp ab 10 Do X  ab Như X nhóm xyclic cấp 10 X  10 Bài 18 : Chứng minh có đồng cấu từ nhóm cộng số hữu tỷ đến nhóm cộng số nguyên Giải Giả sử f :  đồng cấu Nếu f không đồng cấu không tồn r s số hữu tỷ q  cho f  q   Giả sử q   ; r , s  , s  Khi r  qs f  r   f  qs   sf  q   Mặt khác, f  r   f  r.1  rf 1 nên f 1  a  Bây với n  số nguyên ta có :  1 1 f 1  f  n   nf    n n 50 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Như vậy, n ước f(1)=a Điều vô lý Vậy có đồng cấu đồng cấu không từ Bài 19 : Chứng minh n < m GL  n, GL  m, đến  đẳng cấu với nhóm  Giải : Bằng phương pháp quy nạp ta cần chứng minh trường hợp m=n+1 Ánh xạ f : GL  n,   GL  n  1,  A A  a11 a1n  a11 a1n      Trong A=   A   a ann n1  an1 ann    0   0  1 Là đơn cấu nhóm Dể thấy f toàn cấu nên f đẳng cấu Bài 20 : Cho T  2,  a b    | ad  0  GL  2,  d      Chứng minh f : T  2,    GL  2,  toàn cấu a b   0 d  a Giải Ánh xạ f toàn ánh Hơn :  a b  a ' b '     aa ' ab ' bd '  f    f    aa '    d '  dd '    0 d     a b    a ' b '    f   f      d     d '  Vậy f toàn cấu Bài 21 : Chứng minh : GL  n,  SL  n,    51 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp (  Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm : nhóm nhân số thực khác không ) Giải Ánh xạ f : GL  n, A   det A Là toàn cấu nhóm : Với a   A  GL  n, Và Kerf   A  GL  n,  : det A  a  | f  A  det A  1  SL  n,  Theo hệ định lí đồng cấu nhóm ta có : GL  n,  SL  n,    Bài 22 : Cho tập hợp A   x, y   , x  0 với tập hợp số thực Trên tập A xác định phép toán hai sau :  x, y  u, v    xu, yu  v  i Chứng minh tập hợp H  1, y  | y   nhóm chuẩn tắc A ii Ánh xạ f: A    x, y  x đồng cấu nhóm Kerf   ,   Giải 52 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm i Dễ thấy phép toán A có tính chất kết hợp A có phần tử đơn vị (1,0) phần tử nghịch đảo phần tử  x, y  phần tử  x 1 ,  yx 1  Do A nhóm Mặt khác, với  u, v   A 1, y   H ta có : u, v 1, y u, v  1         u, v 1, y  u 1, vu 1  uu 1, vu 1  yu 1  vu 1  1, yu 1  H Vậy H nhóm chuẩn tắc A ii Ta có f   x, y u, v    f  xu, yu  v   xu  f  x, y  f u, v  Vậy f đồng cấu nhóm Kerf  1, y  | y   Ánh xạ :  : Kerf   ,   1, y  y Là đẳng cấu nhóm Thật vậy, hiển nhiên  song ánh   1, y 1, z     1, y  z   y  z   1, y    1, z  Vậy  đẳng cấu nhóm Bài 23 : Cho vị nhóm cộng Nếu A nhóm f : , nhóm cộng phép nhúng tự nhiên i :   A đồng cấu vị nhóm tồn đồng cấu nhóm f ' :  A cho f  f ' i Giải Ta xem A nhóm với phép toán cộng Khi tương ứng : f ': n  A  f  n  , n    f  n  , n  Trong –f(-n) phần tử nghịch đảo f(-n) nhóm A, đồng cấu nhóm 53 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Khi với n  Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm ta có : f ' i  n   f '  i  n    f  n  hay f ' i f Giả sử ta có đồng cấu nhóm  :  A cho  i  f Khi với n ta có : Nếu n  f '  n   f '  i  n    f  n    i  n      n  Nếu n  f '  n    f  n    i  n      n     n  Tóm lại f '   Vậy f ' xác định Bài 24 : Chứng minh phần tử x nhóm X, tương ứng n đồng cấu nhóm từ  X đồng cấu với x n x Giải Dễ thấy f :  X đồng cấu nhóm Bây ta chứng minh tính f Giả sử  :  X đồng cấu nhóm thỏa mãn  1  x Khi với n  ta có :   n    1    1   1  x n  f  n     f n Vậy f Bài 25 : Cho  a b  G p    M2   c d   p  | ad  bc  1  Nếu p số nguyên tố, chứng minh G p nhóm có cấp p  p  1 tìm nhóm đẳng cấu với G2 Giải Dễ thấy tích hai ma trận có định thức ma trận có định thức Ma trận A  G p có det A   nên có ma trận nghịch đảo ma trận 54 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm  0  phần tử đơn vị   nghịch đảo có định thức Ngoài ra, ma trận  G p Vậy G p nhóm p có p phần tử Từ đẳng thức ad-bc=1 suy a lấy p giá trị Tương tự, b c nhận p giá trị p p Do chọn a,b,c từ đẳng thức ad-bc=1 suy d nhận giá trị Vậy theo quy tắc nhân ta có p.p.p.1 giá trị a,b,c,d thỏa mãn ad-bc=1 Nhưng có p cặp giá trị b c trùng nên thực ta có p3  p  p  p  1 giá trị a,b,c,d Vậy G p có cấp p  p  1 Và G2  S3 Bài 26 : Cho X nhóm aben hữu hạn p số nguyên tố cho x p  e với x  X , chứng minh X đẳng cấu với n p với n số nguyên Giải Do x p  e với x  X p số nguyên tố nên phần tử X có cấp p Trong e phần tử có cấp 1, lại phần tử khác X có cấp p Chọn phần tử x1 , x2 , xn  X cho xi  e xi viết dạng tích lũy thừa x1 , , xi 1 Hơn nữa, chọn n số lón thõa mãn điều kiện Vì vậy, phần tử X biểu diễn qua lũy thừa phần tử xi Có thể thấy ánh xạ n p f:  z1 , , zn  f  X đẳng cấu Thật vậy, x1z1 xnzn  z , , z  y , , y   f  z n n  y1 , , zn  yn   x1z1  y1 .xnzn  yn  x1z1 xnzn x1y1 .xnyn  f  z1 , , zn  f  y1 , , yn  55 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Vậy f đông cấu nhóm Giả sử  z1 , , zn   Kerf zi số cuối bé p ( nghĩa zi 1 , , zn p ) Khi x1z xiz  e i Nhân hai vế đẳng thức với xip  z ta xip z  x1z xiz11 Điều mâu i i i thuẫn với cách chọn xi Vậy zi  p với i =1,….n hay f đơn ánh Tính toàn ánh f suy từ cách chọn phần tử xi Vậy f đẳng cấu ta có X  n p Bài 27 : Cho X Y hai nhóm xyclic có phần tử sinh theo theo thứ tự x, y có cấp s,t n k a Chứng minh quy tắc  ứng với phần tử x  X , phần tử  y   Y n với k số tự nhiên khác cho trước, đồng cấu sk bội t b Chứng minh sk=mt  đẳng cấu (s,m) = Giải a Giả sử :X  Y xn y  k n đồng cấu với x phần tử sinh X có cấp s y phần tử sinh Y có cấp t Như vậy, ta phải có   x n x m     x n   x m  hay  y k  nm   y   yk n k m   eX     x s    y k   y ks  eY Do ks phải chia hết cho t ( cấp Y) Đảo s n m mn x lại, ks phải chia hết cho t ks=tr Giả sử x  x x  e hay m-n=su Khi k  mn  n kn m n km  kn m km  y ksu  y tru  eY   x   y   x   y    x    x   y y  y 1 m n Do   x     x  nên  ánh xạ Hơn :   xm xn     x mn   y k  mn  y km y kn    x m   x n  Vậy  đồng cấu 56 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm b Nếu  đẳng cấu sk=mt X Y hữu hạn nên s = t suy m = k Mặt khác  đẳng cấu nên yk phải phần tử sinh Y  k t nguyên tố hay k s nguyên tố Bài 28 : Cho X  nhóm xác định sau :  k1 , k2 , k3 l1 , l2 , l3    k1   1 k3 l1 , k2  l2 , k3  l3  a Chứng minh nhóm A sinh phần tử (1,0,0) chuẩn tắc b Chứng minh nhóm thương X A đẳng cấu với nhóm cộng số phức dạng a+bi với a, b  Giải a Nhóm A xác định sau : 1, 0, 0  1, 0,  , 1, 0,    2, 0,  Bằng phương pháp quy nạp ta có với n  1, 0, 0 n   n, 0,  1, 0,  Vậy A   k ,0,0  | k  n   n, 0,    n, 0,  1  Giả sử    k1 , k2 , k3   X a   k , 0,   A  Khi  1a   1 k3 1  , k2 , k3  k , 0,  k1 , k2 , k3    k , 0,   A Vậy A nhóm chuẩn tắc X b Xét ánh xạ  : X  k1 , k2 , k3   i  k2  k3i Ta có  toàn cấu nhóm Với Ker  A nên ta có X A  i   a  bi | a, b   ,đồng thời i  Bài 29 : Cho X1, X2 nhóm với đơn vị theo thứ tự e1,e2 X  X1  X tích X1 X2 A  X1  e2  , B  e1  X Xét ánh xạ : f1 : X  X  x1 , x2  x1 f2 : X  X  x1 , x2  x2 57 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp g1 : X  X x1  x1 , e2  Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm g2 : X x2  X  e1 , x2  a Chứng minh f1 , f toàn cấu Xác định Kerf1 , Kerf b Chứng minh g1 , g đơn cấu Xác định Im g1 , Im g2 Từ suy X1  A, X  B c Chứng minh A,B nhóm chuẩn tắc AB=BA=X Giải a Dễ thấy f1 , f toàn cấu Thật vậy, x1  X1 ,  x1 , x2   X : f1  x1 , x2   x1 Vậy f1 toàn cấu Tương tự f toàn cấu Ta có Kerf1   e1 , x2  | x2  X   B Thật vậy,  x1, x2   Kerf1  f1  x1 , x2   e1  x1  e1   x1 , x2    e1 , x2    e1 , x2   B Tương tự Kerf  A b Dễ thấy g1 , g đơn cấu Im g1  A theo định nghĩa g1 Im g2  B theo định nghĩa g Vì g1 đơn cấu Im g1  A nên X1  A g đơn cấu Im g2  B nên X  B c Vì A,B hạt nhân f f1 nên chúng nhóm chuẩn tắc Hơn nữa, với  x1 , x2   X ta có :  x1 , x2    x1 , e2  e1 , x2   AB nên X  AB Vậy AB=BA=X ( ta có BA=X ) Bài 30 : Chứng minh A nhóm chuẩn tắc tối đại nhóm X nhóm thương X A nhóm đơn Giải 58 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm    Giả sử A nhóm chuẩn tắc tối đại X Khi đó, A X có hai nhóm chuẩn tắc A X Do nhóm thương X A có hai nhóm chuẩn tắc Vậy X A nhóm đơn    Nếu X A nhóm đơn A X không nhóm chuẩn tắc khác Như A nhóm chuẩn tắc tối đại X 59 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm PHẦN KẾT LUẬN Qua nội dung trình bài, luận văn làm rõ vấn đề nêu phần mở đầu Cụ thể luận văn trình bày số tính chất nhóm chuẩn tắc, tính chất đồng cấu nhóm số tập tham khảo Bên cạnh luận văn mối liên hệ nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Trong trình thực luận văn em tích lũy nhiều kinh nghiệm đặc biệt cách tiếp cận giải vấn đề Cũng trình giúp em mở rộng vốn kiến thức thân, làm tảng cho việc nghiên cứu sau Do hạn chế thời gian, khả thân, nguồn tài liệu…nên phạm vi nghiên cứu luận văn dừng lại mức độ định Em mong đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn để luận văn hoàn thiện 60 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Huy Hiền (2011), Bài Tập Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Mỵ Vinh Quang (1999), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục [3] Mỵ Vinh Quang (1998), Bài Tập Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Hoàng Xinh (2010), Đại Số Đại Cương, Đại học Cần Thơ [5] Nguyễn Tiến Quang, Phạm Thị Cúc, Đặng Đình Hanh (2009), Hướng dẫn giải tập Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục 61 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh [...]... Cho X là nhóm, khi đó X được gọi là nhóm đơn nếu X chỉ có hai nhóm con là e và X 1.25 Định lí Lagrange Giả sử X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X Khi đó H là ước của X và X : H  X H 11 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm Chương 2 NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM 2.1 NHÓM CON CHUẨN TẮC 2.1.1 Lớp ghép Cho H là nhóm con của... Các ví dụ i Với X là nhóm, ta có các nhóm con {e} và X là nhóm con chuẩn tắc của X ii Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc Thật vậy, cho X là nhóm abel, H là nhóm con của X h  H , x  X ta có : xhx1  hxx1  h  H  H X iii Nhóm con xyclic {(1), (123),(132)} có là chuẩn tắc trong S4 không ? Nhóm con xyclic A  1 , 123 , 132  không là nhóm con chuẩn tắc trong S4 Vì : 14... tính chuẩn tắc Với x  X, a  Z(X) ta có : x -1(a x )= x -1( x a) = a  Z(X) hay x -1a x  Z(X) Vậy Z(X)  X 2.1.9 Định lí Cho X là nhóm và A,B là nhóm con chuẩn tắc của X 16 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm Khi đó AB  ab | a  A, b  B là nhóm con chuẩn tắc của X và AB=BA Chứng minh + Chứng minh AB là nhóm con chuẩn tắc của... ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm Vậy Kerf={e} nên h là đơn cấu c Cho h là toàn cấu Vì f là toàn cấu nên g=hf là toàn cấu Ngược lại, cho g là toàn cấu, khi đó hf là toàn cấu nên h là toàn cấu 2.2.9 Định lí Cho H là nhóm con chuẩn tắc của X Khi đó với mỗi đồng cấu nhóm f : X  Y thỏa mãn H  Kerf đều tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm g:X H  Y làm cho biểu đồ sau... đối với nhóm con H : Hx  hx | h  H  2.1.2 Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc Cho X là một nhóm và H X hay là ước chuẩn của X nếu X Khi đó H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của x X ta có H x = x H Kí hiệu H  X 2.1.3 Định lí 12 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm Cho X là một nhóm ,H ( tức là x h x -1 H, h X Khi đó H  X khi và chỉ... nhóm con chuẩn tắc của Aut(X) 2.1.19 Mệnh đề Nhóm thay phiên bậc n ( nhóm An ) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm đối xứng bậc n ( nhóm Sn ) Chứng minh Ta có f , g  Sn : sign  g 1 fg   sign g 1.sign f sign g  sign f Bởi vậy nếu f  An thì g 1 fg  An , g  Sn Do đó An là nhóm con chuẩn tắc của Sn 20 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng. .. f là đơn cấu nếu f là đơn ánh ii f là toàn cấu nếu f là toàn ánh iii f là đẳng cấu nếu f là song ánh  Nhận xét : - f là đẳng cấu khi và chỉ khi f vừa là đơn cấu, f vừa là toàn cấu Khi đó ta nói X đẳng cấu với Y Kí hiệu : X Y - Nếu các ánh xạ f : X  Y và g : Y  Z là đồng cấu nhóm thì ánh xạ tích gf : X  Z cũng là đồng cấu nhóm Đặc biệt tích của hai đơn cấu nhóm (toàn cấu nhóm, đẳng cấu nhóm) là... X  X là đẳng cấu nhóm Đây chính là đẳng cấu đồng nhất, 22 SVTH: Trần Kim Cương GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm thường kí hiệu idX hoặc 1X c Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X, xét ánh xạ : :X X H x xH Với x, y  X ,   xy   xyH  xH yH    x    y  Khi đó ánh xạ  là một toàn cấu nhóm Nó được gọi là toàn cấu chính tắc d Cho  :... của đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh ii Ảnh của đồng cấu của nhóm xyclic là nhóm xyclic 2.2.7 Định lí Cho f : X Y là đồng cấu nhóm Khi đó : i f là đơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf ={e} ii f là toàn cấu nếu và chỉ nếu Imf =Y Vậy f đẳng cấu nếu và chỉ nếu Kerf ={e} và Imf =Y Chứng minh i  Nếu f là đơn cấu và a  Kerf thì f(a) = e = f(e) do đó a = e Vì vậy Kerf ={e}  Kerf={e} và f(a)=f(b),... Số các lớp ghép trái của X theo nhóm con H được gọi là chỉ số của H trong X, và kí hiệu bởi [ X:H ] 1.22 Định nghĩa Cho X là một nhóm Khi đó : - Đồng cấu f : X  X được gọi là tự đồng cấu Tập hợp các tự đồng cấu của nhóm X được kí hiệu là End X - Tự đồng cấu được gọi là tự đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) Đặc biệt các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là Aut X 1.23 ... Hoàng Xinh Luận văn tốt nghiệp Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Chương NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM 2.1 NHÓM CON CHUẨN TẮC 2.1.1 Lớp ghép Cho H nhóm X Trong nhóm X ta định nghĩa quan hệ sau... Chứng minh A nhóm chuẩn tắc nhóm X tồn song ánh từ tập hợp nhóm chuẩn tắc X chứa A lên tập hợp nhóm chuẩn tắc X A Giải Nếu f : X  Y toàn cấu nhóm A nhóm chuẩn tắc X f (A) nhóm chuẩn tắc Y Bây... Nhóm chuẩn tắc đồng cấu nhóm Vậy Kerf={e} nên h đơn cấu c Cho h toàn cấu Vì f toàn cấu nên g=hf toàn cấu Ngược lại, cho g toàn cấu, hf toàn cấu nên h toàn cấu 2.2.9 Định lí Cho H nhóm chuẩn tắc