THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ PHÂN CHIA MỘT SỐ DẠNG TỒN THCS GIẢI TRÊN MÁY TÍNH CASIO I ĐẶT VẤN ĐỀ Thực tế cho thấy Tốn học tảng cho ngành khoa học, khơng mà Tốn Học đóng vai trò quan trọng sống người Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trò vơ quan trọng, giáo viên dạy tốn niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để dạy tốn học tốn tốt Thày Trò khơng ngừng rèn luyện đầu tư trí - lực vào nghiên cứu học hỏi Để nâng cao chất lượng dạy học tồn ngành giáo dục hưởng ứng nhiều vận động phương pháp đổi , đổi kiểm tra đánh giá dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng, đổi cách nhìn nhận vấn đề việc sở, tảng có thực Thực nhiệm vụ năm học phân cơng lãnh đạo trường THCS Sơng Đốc, qua q trình bồi dưỡng học sinh giỏi vài năm gần thân tơi thấy việc sử dụng máy tính để thực hành giải tốn cơng cụ cần thiết , học sinh có hứng thú học ,vì kết xác ,nhanh điều cho thấy học học sinh có nhiều thời gian vào học thực hành , thực hành giải tốn lớp giúp học sinh chủ động , tự giác tham gia vào việc học giáo viên hồn tồn chủ động thời gian kiến thức đóng vai trò chủ động đạo dạy học, nghiên cứu thực q trình dạy học việc ơn luyện học sinh giỏi tốn giải MT Casio cấp, phần đơng giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi q trình dạy tốn khơng phân chia dạng tốn rõ ràng dẫn đến việc học sinh khó nhớ có nhớ nhớ khơng lâu, vấn đề thời gian lớp hạn chế, q trình dạy phụ đạo tốn dạy học sinh giỏi tốn máy tính Casio cần thiết, gọi q trình tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức sau chương trình học, nhằm giúp học sinh có tư cao, dễ nhớ dạng tốn nhớ lâu, nhiên trợ giúp máy tính Casio cần thiết.bản thân tơi tổng hợp, tích lũy số kinh nghiệm đặc biệt việc phân chia dạng tốn để vận dụng: “ Phân chia số dạng tồn THCS giải MT Casio ” Trang II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NỘI DUNG THỰC HIỆN – PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TỐN MỘT SỐ DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TỐN THỰC HÀNH u cầu: Học sinh phải nắm kỹ thao tác phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, thức, phép tốn lượng giác, thời gian Có kỹ vận dụng hợp lý, xác biến nhớ máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số sử dụng biến nhớ 1.1 kĩ tính tốn Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: 2 a A = ( 649 +13.1802 ) − 13 ( 2.649.180 ) ( 1986 b B = − 1992 ) ( 1986 + 3972 − ) 1987 1983.1985.1988.1989 Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị x từ phương trình sau: 4 4 1 0,5 − ÷.x − 1,25.1,8 : + ÷ 3 = 5,2 : 2,5 − ÷ a 4 15,2.3,15 − : + 1,5.0,8 ÷ ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2 ) + ÷ = : ( 1,2 + 3,15) b 12 12,5 − : ( 0,5 − 0,3.7, 75 ) : 17 Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị) b a + biết: 1 : − 0,09 : 0,15 : ÷ 2 a= 0,32.6 + 0,03 − ( 5,3 − 3,88 ) + 0,67 a Tìm 12% ( 2,1 − 1,965) : ( 1,2.0,045 ) − 1: 0,25 0,00325 : 0,013 1,6.0,625 5 85 − 83 ÷: 18 b Tính 2,5% 30 0,004 b= Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a A = 3 − − − 20 + 25 b B = 200 + 126 + 54 18 +3 − 63 3 1+ 1+ Bài 5: (Thi khu vực 2001) a Hãy xếp số sau theo 17 a= 26 45 245 , b = 16 ,c = 10 ÷ ,d = 125 46 247 Trang thứ tự tăng dần: 33 ÷− ÷: 25 b Tính giá trị biểu thức sau: [ 0,(5).0,(2)] : : c Tính giá trị biểu thức sau: + 3 + 4 + + 8 + 9 Nhận xét: Dạng kiểm tra kỹ tính tốn thực hành dạng tốn nhất, tham gia vào đội tuyển bắt buộc học sinh phải tự trang bị cho khả giải dạng tốn Trong kỳ thi đa số thí sinh làm tốt dạng này, nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần cách tùy tiện Để tránh vấn đề u cầu trước dùng máy tính để tính cần xem kỹ biến đổi khơng, sử dụng biến nhớ cần chia cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ, gán biến nhớ thường xun q trình xử lý máy làm tròn lưu vào biến nhớ phép tính dài mà khơng sử dụng quy trình bấm phím liên tục dễ xảy chuyện sai số làm tròn Ví dụ: Tính T = 16 + 9999999996 + 0,9999999996 Dùng máy tính trực tiếp cho kết là: 9,999999971 x 1026 - Biến đổi: T= ( 16 + 9999999996 + 0,999999999 ) , Dùng máy tính tính 16 + 9999999996 + 0,9999999996 =999 999 999 Vậy T = 9999999996 = 9999999993 Như thay kết qủa nhận số ngun trực tiếp vào máy tính ta nhận kết số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số a) Trong dạng học sinh cần lưu ý: số thập phân vơ hạn tuần hồn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi số sang số thập phân làm việc với số Với dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn chuyển phân số cần hướng dấn cho học sinh cách nhớ: ví dụ: 0.1(24) chuyển phân số ta khơng cần sử dụng máy tính mà thực xác nhanh Ta thực sau: ta giữ ngun 0124 trừ 01 lại 123 lấy số chia cho 900 rút phân số tới tối giản ta thu phân số cần thực Với dạng tốn thầy nên đưa cơng thức chung là: giữ ngun số chữ số trừ số chữ số đứng trước chu kì chia cho (đứng trước chu kì sau dấu phẩy chữ số có nhiêu số 9, chu kì chữ số nhiêu số 0) sau rút phân số tới tối giản thu kết Có thể viết dạng kí hiệu 1.2 Tìm số dư phép chia số A cho số B Số dư số A chia cho số B Ví dụ: Tìm số dư phép chia 9124565217 cho 123456 Ta bấm: 9124565217÷123456 = máy thương số 73909,45128 đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 9124565217- 123456 x73909 ấn => kết quả; số dư r=55713 Lưu ý : Lưu ý cho học sinh số có số bị chia tối đa 10 chữ số số bị chia có nhiều 10 chữ số ta phải tách chúng thành nhóm chữ số (kể từ bên trái qua) Sau ta tìm số dư số bị chia có tối Trang đa 10 chữ số sau viết tiếp sau số dư lại tối đa chữ số tìm số dư lần hai Nếu ta tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm phép chia 234567890 cho 4567 kết 2203, tìm tiếp số dư 22031234 cho 4567 Kết cuối 26 1.3 Tốn đồng dư thức Khi tìm số bị chia cho lũy thừa q lớn ta dùng phép đồng dư thức theo cơng thức: Một số tính chất đồng dư thức Với a, b, c thuộc Z+ a ≡ a (mod m) a ≡ b(mod m) ⇔ b ≡ a (mod m) a ≡ b(mod m); b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c(mod m) a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± d (mod m) a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒⇒ ac ≡ bd (mod m) a ≡ b(mod m) ⇔ a n ≡ b n (mod m) Bài tập 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 122 = 144 ≡ 11(mod19) ( ) 126 = 122 ≡ 113 ≡ 1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 Bài tập 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: 20042 ≡ 841(mod1975) 20044 ≡ 8412 ≡ 231(mod1975) 200412 ≡ 2313 ≡ 416(mod1975) 200448 ≡ 4164 ≡ 536(mod1975) Vậy 200460 ≡ 416.536 ≡ 1776(mod1975) 200462 ≡ 1776.841 ≡ 516(mod1975) 200462.3 ≡ 5133 ≡ 1171(mod1975) 200462.6 ≡ 11712 ≡ 591(mod1975) 200462.6+ ≡ 591.231 ≡ 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 246 Lưu ý : Dạng tốn đồng dư thức khơng dùng để áp dụng tìm số dư phém chia mà áp dụng để tìm chữ số tận cùng, chữ số hàng trăm, hàng chục Trang Ví dụ: Bài 3: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 ( đề thi học sinh giỏi TP HCM năm 2004) Giải: 17 ≡ 9(mod10) ( 17 ) 1000 = 17 2000 ≡ 91000 (mod10) 92 ≡ 1(mod10) 91000 ≡ 1(mod10) 17 2000 ≡ 1(mod10) Vậy 17 2000.17 ≡ 1.9(mod10) Chữ số tận 172002 Dạng 2: LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) cơng cụ tốn học hữu hiệu nhà tốn học sử dụng để giải nhiều tốn khó Bài tốn: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật tốn Ơclit chia a cho b, b a = a0 + = a0 + a b b phân số viết dạng: b b b0 Vì b0 phần dư a chia cho b nên b > b Lại tiếp tục biểu diễn phân số b b = a1 + = a1 + b0 b0 b0 b1 Cứ tiếp tục q trình kết thúc sau n bước ta được: b a = a0 + = a0 + b b a1 + 1 .an −2 + Cách biểu diễn gọi cách biểu diễn số hữu tỉ an dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số, viết gọn [ a0 ,a1 , ,an ] Số vơ tỉ biểu diễn dạng liên phân số vơ hạn cách xấp xỉ dạng gần số thập phân hữu hạn biểu diễn số thập phân hữu hạn qua liên phân số a0 + Vấn đề đặt ra: biểu diễn liên phân số a1 + a dạng b Dạng an −1 + an tốn gọi tính giá trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn an −1 + ab / c an = an −2 + ab / c Ans = a0 + a b / c Ans = Ví dụ 1: (Vơ địch tốn New York, 1985) Biết 15 = 17 + dương Tính a,b? Giải -Trang a+ a b số b 15 1 1 = = = = 17 17 + + 1 + Ta có: 15 Vậy a = 7, b = 15 15 7+ 2 A = 1+ 2+ Ví dụ 2: Tính giá trị 3+ Giải Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 23 16 Ấn phím: + ab / c = + ab/ c Ans = + a b/ c Ans = SHIFT ab / c ( ) Nhận xét: Dạng tốn tính giá trị liên phân số thường xuất nhiều kỳ thi thuộc dạng tốn kiểm tra kỹ tính tốn thực hành Trong kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đơi chút ví dụ như: A = 2,35 + 8,2 6,21 2+ 0,32 với dạng lại thuộc dạng tính tốn giá trị biểu 3,12 + thức Do cách tính máy tính liên phân số (tính từ lên, có sử dụng biến nhớ Ans) Dạng 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM 3.1 Tính chất chia hết - Một số chia hết cho (cho 9) tổng chữ số chia hết cho (cho 9) - Một số chia hết cho (cho 5) chữ số tận chia hết cho (cho 5) Chú ý: Tính chất chia hết hệ số cụ thể Ví dụ: Xét hệ đếm với số 12, ta có: Một số viết hệ đếm số 12 chi hết cho (3, 4, 6) chữ số cuối chia hết cho (3, 4, 6) Số a = ( an an −1 a2 a1a0 ) 12 chia hết cho (cho 9) ( a1a0 ) 12 chia hết cho (cho 9) Số a = ( an an −1 a2 a1a0 ) 12 chia hết cho 11 an + an +1 + + a1 + a0 chia hết cho 11 Mở rộng: Số a = ( an an −1 a2 a1a0 ) 12 chia hết cho q – an + an +1 + + a1 + a0 chia hết cho q 3.2 Ứng dụng hệ số giải tốn Trong nhiều tốn khó sử dụng hệ đếm để giải Nói cách khác, hệ đếm sử dụng phương pháp giải tốn Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) f(2n+1) = f(2n) + với n ngun dương Tìm giá trị lớn n ≤ n ≤1994 Giải -Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(100 2) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; … Bài tốn dẫn đến phải tìm số có chữ số lớn biểu diễn số số nhỏ 1994 Vì 1994 < 211 – nên f(n) có nhiều 10 chữ số Ta có f(1023) = f(11111112) = 10 Vậy giá trị lớn 10 Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) số chữ số biểu diễn số n Dạng :ĐA THỨC Trang 4.1 Tính giá trị đa thức Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) Viết P(x) = a0 x n + a1x n −1 + + an dạng P(x) = ( (a0 x + a1 )x + a2 )x + )x + a n Vậy P(x ) = ( (a0 x + a1 )x + a2 )x + )x + an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak 3x − 2x + 3x − x Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A = x = 1,8165 4x − x + 3x + Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans n phím: 8165 = ( Ans ^ − Ans ^ + Ans x − Ans + ) ÷ ( Ans ^ − Ans x + Ans + ) = Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X n phím: 8165 SHIFT STO X ( ALPHA X ^ − ALPHA X ^ + ALPHA X x − ALPHA X + ) ÷ ( ALPHA X ^ − AL Kết quả: 1.498465582 Nhận xét: Phương pháp dùng lược đồ Horner áp dụng hiệu tính tốn thơng thường riêng máy tính Casio fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, tính giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím = xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị 3x − 2x + 3x − x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 4x − x + 3x + Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: ( −) 235678 Ví dụ: Tính A = SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím = xong Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức q phức tạp nên tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt q giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Bài tập Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a Tính x + 5x3 − 3x + x − x = 1,35627 b Tính P(x) = 17x − 5x + 8x + 13x − 11x − 357 x = 2,18567 4.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Trang Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta ln P(x)=Q(x)(ax+b) + r, b a b a r số (khơng chứa biến x) Thế x = − ta P( − ) = r b a Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( − ), lúc dạng tốn 2.2 trở thành dạng tốn 2.1 Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P= x14 − x9 − x + x + x + x − 723 x − 1,624 Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 624 SHIFT STO X ALPHA X ^ 14 − ALPHA X ^ − ALPHA X ^ + ALPHA X ^ + ALPHA X ^ + ALPHA X Kết quả: r = 85,92136979 4.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta ln P(x)=Q(x)(ax+b) + m + b a r Muốn P(x) chia hết cho x – a m + r = hay m = -r = - P( − ) Như tốn trở dạng tốn 2.1 Ví dụ: Xác định tham số 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x + 7x3 + 2x + 13x + a chia hết cho x+6 - Giải Số dư a = − (−6) + 7(−6) + ( −6 ) + 13 ( −6 ) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: (−) SHIFT STO X ( −) ( ALPHA X ^ + ALPHA X x + ALPHA X x + 13 ALPHA X ) = Kết quả: a = -222 1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải – 3 Số dư a2 = - 3 ( −3) + 17 ( −3 ) − 625 => a = ± − 3 ( −3) + 17 ( −3) − 625 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) ( ( (−) ) x3 + 17 ( (−) ) − 625 ) = Kết quả: a = ± 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298 4.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài tốn mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b 0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Trang Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng qt Ví dụ: Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) SHIFT STO M × ALPHA M + = (-5) × ALPHA M − = (23) × ALPHA M + (−) = (-118) × ALPHA M + = (590) × ALPHA M + = (-2950) × ALPHA M + = (14751) × ALPHA M + (−) = (-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 4.5 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x – 3x + x – = + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4 Dạng 5: THỐNG KÊ MỘT BIẾN Đây dạng tốn đơn giản cần hướng dẫn em thực Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm lần bắn số lần bắn theo bảng sau: Điểm số 10 Số lần bắn 25 42 14 15 Hãy tính x; ∑ x; n; σn ; σ2n ? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) MODE MODE 10 SHIFT ; 25 DT SHIFT ; 42 DT ……………… SHIFT ; DT Đọc số liệu SHIFT S.VAR = ( x = 8,69) Trang 10 ( ∑ x = 869 ) AC SHIFT S.SUM = ( n = 100 ) AC SHIFT S.VAR = ( σn = 1,12 ) SHIFT S.VAR = ( σ2n = 1,25 ) Chú ý: - Trước nhập tốn thống kê khác nên xóa liệu cũ máy - Nếu số liệu cho chưa lập dạng bảng tần số cần lập bảng tần số giải - Khơng để máy nhận số liệu khơng rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy Bài tập tổng hợp (Xem đề thi chương sau) AC SHIFT S.SUM = Dạng 6: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN Bài tốn mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r% n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng? Giải -Gọi A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng Từ cơng thức (*) A = a(1 + a)n ta tính đại lượng khác sau: A Ar a(1 + r) (1 + r)n − 1 A a ; 2) r = n − ; 3) A = 1) n = ; 4) a = (1 + r) (1 + r)n − 1 a r ln(1 + r) ln (ln cơng thức Lơgarit Nêpe, máy fx-500 MS fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp) Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng? Giải -Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 58000000 ( + 007 ) ^ = Kết quả: 61 328 699, 87 Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7% tháng? Giải -70021000 Số tháng tối thiểu phải gửi là: n = 58000000 ln ( + 0, 7%) ln Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Trang 11 ln 70021000 a b / c 58000000 ÷ ln ( + 007 ) = Kết quả: 27,0015 tháng Vậy tối thiểu phải gửi 27 tháng (Chú ý: Nếu khơng cho phép làm tròn, ứng với kết số tháng tối thiểu 28 tháng) Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng? Giải -Lãi suất hàng tháng: r = 61329000 −1 58000000 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 8^ x Kết quả: 0,7% 61329000 a b / c 58000000 − = SHIFT % = Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng lãnh vốn lẫn lãi bao nhiêu? Giải-Số tiền lãnh gốc lẫn lãi: A= 580000(1 + 0,007) (1 + 0,007)10 − 1 0,007 = 580000.1,007 ( 1,00710 − 1) 0,007 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 580000 × 007 ( 007 ^ 10 − ) = ÷ 007 = Kết quả: 6028055,598 Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng phải gửi quỹ tiết kiệm tháng Với lãi suất gửi 0,6%? Giải -100000000.0,006 100000000.0,006 Số tiền gửi hàng tháng: a = ( + 0,006 ) ( + 0,006 ) 10 − 1 = 1,006 ( 1,00610 − 1) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 100000000 × 006 ÷ ( 006 ( 006 ^ 10 − ) ) = Kết quả: 9674911,478 Nhận xét: Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: + Gửi số tiền a lần -> lấy vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy vốn lẫn lãi A Cần phân tích tốn cách hợp lý để khoảng tính đắn Có thể suy luận để tìm cơng thức từ 1) -> 4) tương tự tốn mở đầu Các tốn dân số áp dụng cơng thức Dạng 7: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng tắc để đưa hệ số vào máy khơng bị nhầm lẫn Trang 12 Ví dụ: Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax2 + bx + c = Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = a1x + b1y = c1 a2 x + b y = c2 Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng: a1x + b1y + c1z = d1 Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng: a2 x + b2 y + c2z = d a x + b y + c z = d 3 5.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) 7.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy Ấn MODE MODE > nhập hệ số a, b, c vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x – 3,21458x – 2,45971 =0 Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) MODE MODE > 85432 = ( − ) 321458 = (−) 45971 = ( x1 = 2.308233881 ) = ( x2 = -0.574671173 ) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R ⇔ I nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải Nếu có nghiệm thực phương trình có nghiệm kép, hai nghiệm nghiệm phức coi phương trình vơ nghiệm 7.1.2: Giải theo cơng thức nghiệm Tính ∆ = b2 − 4ac −b ± ∆ 2a −b = 2a + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm: x1,2 = + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1,2 + Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) 542 x2 − × 354 × ( ( −) 141 ) SHIFT STO A (27,197892) ( 542 + ALPHA A ) ÷ × 354 = (x1 = 1,528193632) ( 542 − ALPHA A ) ÷ × 354 = (x2 = - 0,873138407) Chú ý: Nếu đề khơng u cầu nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải Hạn chế khơng nên tính ∆ trước tính nghiệm x1, x2 dẫn đến sai số xuất biến nhớ ∆ sau 10 chữ số làm cho sai số nghiệm lớn 7.2 Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a≠0) 5.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy Trang 13 Ấn MODE MODE > nhập hệ số a, b, c, d vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất nghiệm gần với chữ số thập phân phương trình x3 – 5x + = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím MODE MODE > = = (−) = = (x1 = 2, 128419064) = (x2 = -2, 33005874) = (x3 = 0, 201639675) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R ⇔ I nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải 7.2.2: Giải theo cơng thức nghiệm Ta sử dụng cơng thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc thành tích phương trình bậc bậc nhất, ta giải phương trình tích theo cơng thức nghiệm biết 7.3 Giải hệ phương trình bậc ẩn 7.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy Ấn MODE MODE nhập hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Thi vơ địch tốn Flanders, 1998) x 83249x + 16751y = 108249 y (chọn 16751x + 83249y = 41715 Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình đáp số) A.1 B.2 C.3 Giải – Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím D.4 E.5 MODE MODE 83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = (1, 25) = (0, 25) Ấn tiếp: MODE 1 25 a b/ c 25 = (5) Vậy đáp số E Chú ý: Nếu hệ phương trình vơ nghiệm vơ định máy tính báo lỗi Math ERROR 7.3.2: Giải theo cơng thức nghiệm D Dx ; y = y với D = a1b2 − a2 b1; Dx = c1b2 − c2 b1; Dy = a1c2 − a2 c1 D D 2x + 5y − 13z = 1000 3x − 9y + 3z = 5x − 6y − 8z = 600 Ta có: x = 8: Dạng 8: DÃY TRUY HỒI 8.1 Dãy Fibonacci 8.1.1 Bài tốn mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đơi thỏ tháng để đơi thỏ con, đơi thỏ sau tháng lai sinh đơi thỏ nữa, sau tháng lại sinh đơi thỏ khác v.v… giả sử tất thỏ sống Trang 14 Hỏi có đơi thỏ ni từ tháng giêng đến tháng đẻ đơi thỏ đến cuối năm có đơi thỏ? Giải Tháng (giêng) có đơi thỏ số - Tháng đơi thỏ số đẻ đơi thỏ số Vậy có đơi thỏ tháng - Tháng đơi thỏ số đẻ đơi thỏ số 3, đơi thỏ số chưa đẻ Vậy có đơi thỏ tháng - Tháng đơi thỏ số đẻ đơi thỏ số 4.1, đơi thỏ số để đơi thỏ số 4.2, đơi thỏ số chưa đẻ Vậy tháng có đơi thỏ Tương tự ta có tháng có đơi thỏ, tháng có 13 đơi thỏ, … Như ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12) Đây dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng trước Nếu gọi số thỏ ban đầu u1; số thỏ tháng thứ n un ta có cơng thức: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2) Dãy { un } có quy luật dãy Fibonacci un gọi số (hạng) Fibonacci 8.1.2 Cơng thức tổng qt số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh số hạng thứ n dãy Fibonacci tính theo cơng thức sau: n n + − un = ÷ − ÷ (*) ÷ ÷ Chứng minh + − ÷− ÷ ÷ = ; Với n = ÷ 2 + − u1 = ÷ − ÷ =1; ÷ ÷ 3 + − ÷ − ÷ Với n = u1 = ÷ = 2; ÷ Giả sử cơng thức tới n ≤ k Khi với n = k + ta có: k k k −1 k −1 1− + − + u k +1 = u k + u k −1 = ÷ − ÷ ÷ + ÷ ÷ − ÷ ÷ ÷ k k + 1− = + − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ − k k + + − − = ÷ ÷ ÷− ÷ ÷ − ÷ ÷ ÷ + k +1 k +1 1− + = ÷ − ÷ ÷ ÷ Với n = u1 = Theo ngun lý quy nạp cơng thức (*) chứng minh 8.1.3 Các tính chất dãy Fibonacci: Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1 Trang 15 Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào cơng thức ta có: u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233) Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = u2n +1 + u2n Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm sau: u25 = u132 + u122 = 2332 + 1442 = 7502 n −1 Tính chất 3: u2n − un +1.u n = ( −1) Tính chất 4: u1 + u3 + u5 + + u2n −1 = u2n Tính chất 5: ∀n ta có: u n + un −2 − u n +2 un = Tính chất 6: ∀n số 4un −2 u2 u n+2 u n+ + số phương Tính chất 7: ∀n số 4un u n+ k un+ k −1u n + 2k +1 + u2k u2k +1 số phương u u n +1 = ϕ1 lim n = ϕ2 ϕ1; ϕ2 nghiệm phương trình Tính chất 8: nlim −>∞ u n −>∞ u n n +1 x2 – x – = 0, tức ϕ1 = 1+ 1− ≈ 1,61803 ; ϕ1 = ≈ −0,61803 2 Nhận xét: Tính chất cho phép tính số hạng dãy Fibonacci mà khơng cần biết hết số hạng liên tiếp dãy Nhờ hai tính chất mà tính số hạng q lớn dãy Fibonacci tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính (kết khơng hiển thị hình) Các tính chất từ đến có tác dụng giúp việc chứng minh tốn có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp thi, tính chất giúp tìm số hạng khơng dãy Fibonacci mà số hạng dãy biến thể Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) khoảng Dạng tốn thường gặp kỳ thi tỉnh kỳ khu vực 8.1.4 Tính số hạng dãy Fibonacci máy tính điện tử 8.1.4.1 Tính theo cơng thức tổng qt n n + − ÷ − ÷ Ta có cơng thưc tổng qt dãy: un = ÷ Trong cơng thức ÷ tổng qt số hạng un phụ thuộc n, n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: = ab / c 5( ( (1+ ) ÷ ) ) ^ Ans − ( ( − ) ÷ ) ) ^ Ans ) = Muốn tính n = 10 ta ấn 10 = , dùng phím ∆ lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn = 8.1.4.2 Tính theo dãy Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = vào biến nhớ A + SHIFT STO B > lấy u2+ u1 = u3 gán vào B Lặp lại phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A Trang 16 + ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ dãy Fibonacci? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A + SHIFT STO B + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B ∆ = ∆ = ∆ = (21) Chú ý: Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng u n dãy qui trình qui trình tối ưu số phím ấn Đối với máy fx-500 MS ấn ∆ = , máy fx-570 MS ấn ∆ = ấn thêm ∆ SHIFT COPY = để tính số hạng từ thứ trở 8.2 Dãy Lucas Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n ≥ a, b hai số tùy ý đó) Nhận xét: Dãy Lucas dãy tổng qt dãy Fibonacci, với a = b = dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) b SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A + a SHIFT STO B > lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B Lặp lại phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A + ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n ≥ 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình tính u13, u17? Giải -a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 13 SHIFT STO A Ấn phím: + SHIFT STO B Lặp lại phím: + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B b Sử dụng qui trình để tính u13, u17 Ấn phím: ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u13 = 2584) ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u17 = 17711) Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711 8.3 Dãy Lucas suy rộng dạng Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 tùy ý đó) Trang 17 (với n ≥ a, b hai số Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) b SHIFT STO A Ấn phím: nhớ A > gán u2 = b vào biến × A + a × B SHIFT STO B vào B Lặp lại phím: > tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán × A + ALPHA A × B SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A × A + ALPHA B × B SHIFT STO B > lấy u5 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giải -Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 13 SHIFT STO A Ấn phím: × + × SHIFT STO B Lặp lại phím: × + ALPHA A × SHIFT STO A × + ALPHA B × SHIFT STO B 8.4 Dãy phi tuyến dạng Cho Cho u1 = a, u2 = b, un +1 = u2n + u2n −1 (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) b SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A 2 x + a x SHIFT STO B > lấy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B Lặp lại phím: x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u32+ u22 = u4 gán vào A > lấy u42+ u32 = u5 gán x2 + ALPHA B x2 SHIFT STO B vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un +1 = u2n + u2n −1 (n ≥ 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giải -a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A Ấn phím: x2 + x2 SHIFT STO B Lặp lại phím: x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A x2 + ALPHA B x2 SHIFT STO B b Tính u7 Ấn phím: ∆ = (u6 =750797) Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Trang 18 Kết qủa: u7 = 563 696 885165 Chú ý: Đến u7 máy tính khơng thể hiển thị đầy đủ chữ số hình phải tính tay giá trị giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ tính Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209 85 Dãy phi tuyến dạng Cho Cho u1 = a, u2 = b, un +1 = Au2n + Bu2n −1 (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) b SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A x2 × A + a x2 × B SHIFT STO B > Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B Lặp lại phím: x2 × A + ALPHA A x2 × B SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A x2 × A + ALPHA B x2 × B SHIFT STO B > Tính u5 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un +1 = 3u2n + 2u2n−1 (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giải -Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A Ấn phím: x2 × + x2 × SHIFT STO B Lặp lại phím: x2 × + ALPHA A x2 × SHIFT STO A x2 × + ALPHA B x2 × SHIFT STO B 8.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n ≥ 3) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = vào biến nhớ A SHIFT STO B > gán u3 = vào biến nhớ B ALPHA A + ALPHA B + SHIFT STO C > tính u4 đưavào C Lặp lại phím: + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A + ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B > tính u6 gán biến nhớ B + ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C > tính u7 gán biến nhớ C Bây muốn tính un ta ∆ ∆ = , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2? Trang 19 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A SHIFT STO B Ấn phím: ALPHA A + ALPHA B + SHIFT STO C + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B + ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = (u10 = 149) 8.7 Dãy truy hồi dạng Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) b SHIFT STO A Ấn phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A × A + a × B + f(n) SHIFT STO B > tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B Lặp lại phím: × A + ALPHA A × B + f(n) SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A × A + ALPHA B × B + f(n) SHIFT STO B > tính u5 gán vào B Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n ≥ 2) n a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giải -a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) SHIFT STO A Ấn phím: 13 SHIFT STO B SHIFT STO X Lặp lại phím: ALPHA X + SHIFT STO X ALPHA B + ALPHA A + a b / c ALPHA X SHIFT STO A ∆ = ALPHA A + ALPHA B + a b / c ALPHA X SHIFT STO B b Tính u7 ? Ấn phím: 8717,92619) ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ = (u7 = Kết qủa: u7 = 8717,92619 8.8 Dãy Fibonacci tổng qt k Tổng qt: un +1 = ∑ Fi (ui ) u1, u2, …, uk cho trước Fi(ui) hàm i =1 theo biến u Dạng tốn tùy thuộc vào mà ta có qui trình lập dãy phím riêng Chú ý: Các qui trình ấn phím qui trình ấn phím tối ưu (thao tác nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) áp dụng qui trình khơng cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự số hạng Do đó, ta sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề khơng ảnh hưởng đến đánh giá kết giải Trang 20 Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, un +1 = Au2n + Bu2n −1 (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) a SHIFT STO A Ấn phím: > gán u1 = a vào biến nhớ A b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA B x2 + B ALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u3 gán vào A A ALPHA A x2 + B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Nhận xét: Lập qui trình theo kiểu tất dạng tốn làm được, nhầm lẫn tính tối ưu khơng cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 để tính un ta cần ấn ∆ = liên tục n – lần, lập phải ấn n – lần Nhờ vào máy tính để tính số hạng dãy truy hồi ta phát quy luật dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số phương, …) giúp lập cơng thức truy hồi dãy dãy số Đây dạng tốn thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học tốn theo hướng đổi Trong hầu hết kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng tốn Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong nhiều trường hợp để giải phương trình ta tìm nghiệm gần (nghiệm thường số thập phân vơ hạn), phương trình ứng dụng sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, phương trình có nghiệm ngun hữu hạn mà thơi Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = có nghiệm ( a, b ) Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy giá trị x1 (đủ lớn) tùy ý khoảng nghiệm ( a, b ) Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, tiếp tục bước n + mà cho giá trị liên tiếp … = xn-1 = xn = xn+1 giá trị x nghiệm gần phương trình f(x) = Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần phương trình:x16 + x – = Giải -Ta có: x16 + x – = x = 16 − x Chọn x1 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Dùng phép lặp: x = 16 − x Ấn phím: = 16 SHIFT x ( − Ans ) = = = = Kết quả: 1,128022103 Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần x − x = Giải -Ta có: x = + x Chọn x1 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Dùng phép lặp: x = + x Trang 21 Ấn phím: = Ans + = = = = Kết quả: 2,618033989 Nhận xét: Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần phương trình, xét cách làm tương đối đơn giản, cần thay vị trí có x g(x) biến nhớ Ans, sau ấn phím = giá trị theo lại thay vào g(x) Nhưng dạng tốn mà hay bị sai đáp số nhất, lý cách biến đổi để nhận biểu thức x = g(x) khơng hợp lý, biểu thức g(x) phức tạp sai số lớn dẫn đến đáp số khơng xác, có trường hợp chọn biểu thức x = g(x) thực phép lặp làm tràn nhớ máy tính q tải Ví dụ: Ở ví dụ biến đổi x = – x 16, cho x = giá trị ban đầu sau ba lần thực phép lặp máy tính báo lỗi Math ERROR Ở ví dụ 2, biến đổi x = ( x − 1) chọn x = giá trị ban đầu có hai nghiệm số ngun, chọn x = 15 sau số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhưng x = + x x ban đầu lớn máy cho nghiệm 2,618033989 sau số lần lặp hiển nhiên khơng thể chọn x ban đầu âm III KẾT QUẢ ỨNG DỤNG Sau áp dụng sáng kiến cải tiến kinh nghiệm trên, tơi nhận thấy hiệu mang lai tốt trì cách ổn định Cụ thể sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : “ Phân chia số dạng tồn THCS giải MT Casio” Kết áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh đạt sau: Năm Tổng số Cấp huyện Số Đạt lượng giải Cấp Tỉnh Tỉ lệ % Số lượng Đạt giải Tỉ lệ 2007-2008 4 75 33,3 2008 -2009 4 50 0 2009-2010 4 75 33,3 2010-2011 4 50 0 Kết đạt ln ln trì cấp Huyện cấp tỉnh, khả học sinh phụ thuộc vào điều kiện đầu vào năm thực tế áp dụng sáng kiến cải tiến kinh nghiệm “ Phân chia số dạng tồn THCS giải MT Casio” kết ln năm qua ln đứng nhất, nhì huyện Trần Văn Thời IV KẾT LUẬN: Trên dạng tập mà q trình giảng dạy nghiên cứu thân tơi tổng hợp, kế thừa từ tài liệu Việc phần chi dạng tốn nhằm tạo điều kiện cho học sinh Trang 22 dễ nhớ, dễ thực hành Để học sinh rèn luyện kĩ giải tốn, kĩ tư tốn học Với suy nghĩ tơi tin tưởng sáng kiến kinh nghiệm khơng áp dụng cho đối tượng học sinh ơn thi học sinh giỏi tốn giải máy tính casio cho em mà áp dụng rộng rãi cho tồn học sinh trường vào buổi hoạt động ngoại khóa Vì điều kiện nghiên cứa có hạn tơi xin tạp dừng viết Rất mong góp ý đồng chí, đồng nghiệm q vị gần xa để sáng kiến kinh nghiệm áp dụng phổ biến nhiều đạt hiệu cao C) CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO - Hướng dẫn thực hành giải tốn máy tính Casio Fx – 570MS - Giải tốn máy tính điện tử Casio Fx – 570 MS TS Tạ Duy Phương – NXBGD - Các chun đề dãy số Fibonacci TS Tạ Duy Phương - Một số đề thi tỉnh khu vực từ năm 1996 đến năm 2011 - Các chun đề nâng cao tốn học Nguyễn Cam - 255 chun đề Đại số hình học Bùi Việt Hà – NXB Hà tây II Ý KIẾN ĐỀ XUẤT Thơng qua đề tài tơi mong nhà xuất giáo dục cần có tài liệu chuẩn hướng dẫn sử dụng máy tính Casio dành riêng cho cấp học đưa vào nhà trường giảng dạy sách thị trường có nhiều nhiều sách viết khơng phù hợp với lứa tuổi học sinh - Mong Hội đồng khoa học cấp đóng góp ý kiến để sáng kiến cải tiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi Sơng Đốc, ngày 28 tháng 03 năm 2011 Người thực Trần Đăng Khoa Trang 23 [...]... qua luôn đứng nhất, nhì huyện Trần Văn Thời IV KẾT LUẬN: Trên đây là những dạng bài tập mà trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu bản thân tôi đã tổng hợp, kế thừa từ các tài liệu được Việc phần chi các dạng toán như thế nhằm tạo điều kiện cho học sinh Trang 22 dễ nhớ, dễ thực hành Để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán, kĩ năng tư duy toán học Với suy nghĩ như vậy tôi tin tưởng rằng sáng kiến kinh... cao toán học của Nguyễn Cam - 255 chuyên đề Đại số và hình học của Bùi Việt Hà – NXB Hà tây II Ý KIẾN ĐỀ XUẤT Thông qua đề tài này tôi mong rằng nhà xuất bản giáo dục cần có một bộ tài liệu chuẩn hướng dẫn sử dụng máy tính Casio dành riêng cho từng cấp học và đưa vào nhà trường giảng dạy vì hiện nay sách trên thị trường thì có rất nhiều nhưng nhiều sách viết không phù hợp với từng lứa tuổi học sinh... năng giải toán, kĩ năng tư duy toán học Với suy nghĩ như vậy tôi tin tưởng rằng sáng kiến kinh nghiệm này không chỉ áp dụng được cho đối tượng học sinh ôn thi học sinh giỏi toán giải trên máy tính casio cho các em mà còn có thể áp dụng rộng rãi cho toàn bộ học sinh trong trường vào những buổi hoạt động ngoại khóa Vì điều kiện nghiên cứa có hạn cho nên tôi xin được tạp dừng viết tại đây Rất mong sự... nay sách trên thị trường thì có rất nhiều nhưng nhiều sách viết không phù hợp với từng lứa tuổi học sinh - Mong Hội đồng khoa học các cấp đóng góp ý kiến để sáng kiến cải tiến kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi hơn Sông Đốc, ngày 28 tháng 03 năm 2011 Người thực hiện Trần Đăng Khoa Trang 23 ... (x2 = -2, 33005874) = (x3 = 0, 201639675) Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải 7.2.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để hạ... trên MT Casio” Kết quả áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh đạt được như sau: Năm Tổng số Cấp huyện Số Đạt lượng giải Cấp Tỉnh Tỉ lệ % Số lượng Đạt giải Tỉ lệ 2007-2008 4 4 3 75 3 1 33,3 2008 -2009 4 4 2 50 2 0 0 2009-2010 4 4 3 75 3 1 33,3 2010-2011 4 4 2 50 2 0 0 Kết quả đạt luôn luôn được duy trì cấp Huyện và cấp tỉnh, mặc dù khả năng của học sinh phụ thuộc vào điều kiện đầu vào của... = 2.308233881 ) = ( x2 = -0.574671173 ) Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm 7.1.2: Giải... (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này 9 Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta ... 10 ) ) = Kt qu: 9674911,478 Nhn xột: Cn phõn bit rừ cỏch gi tin tit kim: + Gi s tin a mt ln -> ly c ln lói A + Gi hng thỏng s tin a -> ly c ln lói A Cn phõn tớch cỏc bi toỏn mt cỏch hp lý... a(1 + r)n + a(1 + r)n 1.r = a(1 + r)n Vy A = a(1 + r)n (*) Trong ú: a tin ban u, r lói sut (%) hng thỏng, n s thỏng, A tin ln lói sau n thỏng T cụng thc (*) A = a(1 + a)n ta tớnh c cỏc i lng... 6: LI KẫP NIấN KHON Bi toỏn m u: Gi vo ngõn hng s tin l a ng, vi lói sut hng thỏng l r% n thỏng Tớnh c ln lói A sau n thỏng? Gii -Gi A l tin ln lói sau n thỏng ta cú: Thỏng (n = 1): A = a
Ngày đăng: 13/11/2015, 05:33
Xem thêm: Tin học (Tg: Trần Đăng Khoa)