SKKN: PP giải toán cực trị

Hớng dẫn học sinh phơng phap giải toán cực trị A- Đặt vấn đề 1- Lí chọn đề tài : Trong chơng trình toán phổ thông toán tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức ; đợc gọi chung dạng toán '' cực trị '' chiếm tỷ lệ không nhỏ ; chủ yếu tập trung chuyên đề nâng cao toán - toán Bài toán có nhiều dạng phong phú với nhiều cách giải hay đợc coi khó học sinh , Dạng toán '' Cực trị '' lại xuất nhiều đề thi học sinh giỏi , đề tuyển sinh vào trờng THPT , trờng chuyên tỉnh Chúng đòi hỏi học sinh phải có kiến thức đầy đủ chắn dạng toán , Biết phân dạng nắm phơng pháp giải Từ áp dụng linh hoạt vào giải toán Thực tế học sinh thờng lúng túng gặp khó khăn nhiều với toán cực trị Vì với kinh nghiệm thân gặp phải vấn đề trình giảng dạy mình, thân cố gắng tìm cách tháo gỡ điều cách tham khảo tài liệu rút kinh nghiệm hớng dẫn, cung cấp cho HS phơng pháp giải thật đa dạng toán cực trị , Phân tích sai lầm mà em gặp phải trình tìm tòi trình bày lời giải Nhằm để em nắm thật phơng pháp giải, ý tránh sai lầm xảy Từ hớng dẫn em biết nhận dạng vận dụng thật linh hoạt phơng pháp biết Tìm phơng pháp giải phù hợp cho bái toán ''Cực trị'' -đáp ứng với mong mỏi đợc khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm phong phú hành trang kiến thức để em mang theo học lên THPT 2- Mục đích , nhiệm vụ sáng kiến kinh nghiệm : Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục theo hớng đổi mối phơng pháp giảng dạy giáo viên đổi cách học HS theo hớng chủ động sáng tạo, phát huy đợc tính tích cực tối đa học sinh Rèn luyện kĩ giải toán nói chung giải phơng trình vô tỉ nói riêng cách chủ động, linh hoạt Từ xây dựng đợc lòng say mê, hứng khởi với việc học toán học sinh Qua góp phần vào việc giáo dục hệ trẻ động, sáng tạo, giàu kĩ công việc đáp ứng với công xây dựng bảo vệ đất nớc theo yêu cầu nớc nhà Nhiệm vụ sáng kiến: - Đa kiến thức giá trị cực trị, đợc sai lầm thờng mắc phải - Đề xuất số phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải - Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tập để học sinh phát huy đợc khả t linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, không tâm lý ngại ngùng toán cực trị Với lí nh tìm hiểu xây dựng đề tài Hớng dẫn học sinh phơng phap giải toán cực trị Với mong muốn đợc trình bày vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đợc đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu Trớc áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy cho HS làm kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có dể khó đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt phơng pháp giải Kết thu đợc thật đáng buồn: Với 30 kiểm tra (đã trừ em yếu ) có 10 em tạm đạt yêu cầu, điểm cao, số lại không đạt - Lí cha biết trình bày lời giải, cha tìm cách giải, có số em tìm lời giải song lại mắc phải số sai lầm đáng tiếc 3/ Đối tợng phơng pháp nghiên cứu: - Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu học sinh giải lớp 8, 9) - Phơng pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh Tham khảo tài liệu sách giáo khoa , sách nâng cao chuyên đề 8-9 + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, với nhóm chuyên môn thực + Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề + Trao đổi ý kiến , rút kinh nghiệm với đồng nghiệp hàng năm B- Giải vấn đề Với lí ý tởng nêu tìm hiểu xây dựng đề tài Hớng dẫn học sinh phơng phap giải toán cực trị Với mong muốn đợc trình bày vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đợc đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu Trớc áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy cho HS làm kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có dể khó đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt phơng pháp giải Với nội dung nh sau : Bài 1: a, Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 + 10x + b, Tìm giá trị lớn B = -x2 + 2x -7 x +1 y = Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x x +1 Bài 3: Tìm giá trị lớn A = x + y biết x + y = Kết thu đợc thật đáng buồn: Với 20 kiểm tra ( chủ yếu học sinh giỏi ) khối có 10 em tạm đạt yêu cầu, điểm cao, số lại không đạt - Lí cha biết trình bày lời giải, cha tìm cách giải, có số em tìm lời giải song lại mắc phải số sai lầm đáng tiếc Cụ thể : Số HS cha biết giải em 20% Số HS biết giải đơn giản thờng gặp đạt mức TB 15 em 75% Số HS nắm pp giải đạt kết tốt 1em 5% Nội dung sáng kiến: Chơng I: Một số kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ Những sai lầm thờng mắc phải giải toán cực trị Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị 1/ Phơng pháp tam thức bậc hai 2/ Phơng pháp miền giá trị 3/ Phơng pháp bất đẳng thức Chơng I: Kiến thức I - Định nghĩa: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D , ta nói M giá trị lớn f ( x, y, ) D điều kiện sau đợc thoả mãn: i) Với x, y thuộc D f ( x, y, ) M với M số ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, ) = M 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D , ta nói m giá trị nhỏ f ( x, y, ) D điều kiện sau đợc thoả mãn: i) Với x, y thuộc D f ( x, y, ) m với m số ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, ) = m Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải làm loại toán này, ta cần nhấn mạnh khắc sâu điều kiện định nghĩa: Rèn phản xạ sau: + Chứng tỏ f ( x, y, ) M f ( x, y, ) m ) với x, y, thuộc D + Chỉ tồn x0 , y thuộc D để f ( x, y, ) đạt cực trị Chú y đến miền giá trị biến Ta ký hiệu MaxA giá trị lớn A, MinA giá trị nhỏ A II - Một số tính chất giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 1/ Tính chất 1: Giả sử A B ta có: f ( x) max f ( x) a/ Max x A xB f ( x) f ( x) b/ Min xB x A 2/ Tính chất 2: Nếu f ( x, y ) với x thuộc D , ta có: f ( x) = max f ( x) a/ Max xD xD 3/ Tính chất 3: Min f ( x) = f ( x) xD xD a / Max f ( x) + g ( x)) Max f ( x) + Max f ( x) (1) b / Min f ( x) + g ( x)) Min f ( x) + Min f ( x) (2) xD xD1 xD xD1 xD2 xD2 Dấu (1) xẩy có điểm x0 mà f (x) g (x) đạt giá trị lớn Tơng tự tồn x0 thuộc D mà f , g đạt giá trị nhỏ (2) có dấu 4/ Tính chất 4: Max f ( x) = ( f ( x)) xD1 xD 5/ Tính chất 5: f (x) m = f ( x) f ( x ) = Max{ M , m } Nếu đặt M = Max , Max xD xD xD xD 6/ Tính chất 6: Giả sử D1 = { x D; f ( x) 0} D2 = { x D; f ( x) 0} Min f ( x) = Min{ max f ( x); f ( x)} xD xD1 xD2 Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức tránh đợc sai lầm vận dụng giải tập Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f (x) nhng xét hai TXĐ khác nói chung giá trị lớn tơng ứng khác Để cho phù hợp với chơng trình lớp phổ thông sở, ta giả thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp III - Những sai lầm thờng gặp giải toán cực trị: 1/ Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 4x 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: x x + = (2 x 1) + 4, x 3 , x 4x 4x + Max A = x = Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khẳng định A có tử số số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ mà cha đa nhận xét tử mẫu số dơng Ta đa ví dụ: Xét biểu thức B = x Với lập luận phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ mẫu nhỏ x = , ta đến: max B = không 1 phải giá trị lớn B , chẳng hạn với x = Mắc sai lầm không nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên 2 Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: x x + = (2 x 1) + nên tử mẫu A số dơng Hoặc từ nhận xét suy A > , A lớn A nhỏ x x + nhỏ 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + y biết x + y = Lời giải sai: 2 Ta có: A = x + y xy 2 Do A nhỏ x + y = xy x= y=2 Khi MinA = 2 + 2 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai nhng lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh đợc f ( x, y ) g ( x, y ) , cha chứng minh đợc f ( x, y ) m với m số Ta đa vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức x x 2 suy ra: x nhỏ x = x ( x 2) = x = Dẫn đến: Minx = x = Dễ thấy kết phải là: x = x = Cách giải đúng: Ta có: ( x + y ) = x + xy + y = 16 (1) Ta lại có: ( x y ) x xy + y (2) 2 2 Từ (1) , (2) : 2( x + y ) 16 x + y MinA = x = y = Vậy 2/ Sai lầm chứng minh điều kiện 2: VD1: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + x Lời giải sai: 1 1 A = x+ x = x+ x + = x + 4 Vậy MinA = Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f ( x) , cha trờng hợp 1 xẩy dấu đẳng thức f ( x) Xẩy dấu đẳng thức x = , vô lý Lời giải đúng: Để tồn x phải có x Do A = x + x Min A = x = VD2: Tìm giá trị lớn của: A = xyz ( x + y )( y + x )( z + x ) Với x, y, z x + y + z = Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b) 4( x + y ) z ( x + y + z ) = 4( x + z ) x ( y + z + x ) = 4( x + x) y ( z + x + y ) = Nhân vế (do hai vế không âm) 64 xyz ( x + y )( y + x) z + x ) MaxA = 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ cha đợc trờng hợp xẩy dấu đẳng thức Điều kiện để A = 64 là: x + y = z y + z = x z + x = y x + y + z = x, y , z x = y = z = x + y + z = x, y, z mâu thuẩn Cách giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = x + y + z 3.3 xyz (1) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) 3.3 ( x + y )( y + z )( z + x) (2) Nhân vế (1) với (2) vế không âm) 2 A A MaxA = x = y = z = Chơng II: số phơng pháp tìm cực trị I/ Phơng pháp tam thức bậc hai I.1 - Nội dung: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phơng biểu thức chứa biến số hạng tự I.2 - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ A = x x + 2/ Tìm giá trị nhỏ B = x x + 3/ Tìm giá trị có C = 3x x + 4/ Cho tam thức bậc hai P = ax + bx = c Tìm giá trị nhỏ P a > ;Tìm giá trị lớn P a < HD giải: Nhận xét: Các biểu thức dạng tam thức bậc hai 2 1/ A = x x + = ( x 4) 15 15 A = 15 x = 2 2/ B = x x + = 2( x 1) B = x = 2 7 3/ C = 3x x + = x + 3 max C = x= 3 c b b 4ac b P = ax + bx + c = a x + x + = a x 4/ a a 2a 4c b 4ac b x= + Nếu a > : P = 4a 2a b 4ac b x= + Nếu a < : max P = 4a 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ đa thức bậc cao: 2 VD1: Tìm giá trị nhỏ A = ( x + x + 1) HD: MinA Min( x + x + 1) 2k Bài toán dạng đặc biệt toán sau: B = [ f ( x)] (k N ) VD2: Tìm giá trị nhỏ C = x( x 3)( x 4)( x 7) +12 HD: Dùng phơng pháp đổi biến Ta có C = (x2 -7x ) ( x2 -7x +12) +12 Đặt x2 -7x = y => C = y (y +12) +12 = y2 +12y +36 -24 = (y +6)2 -24 -24 Vậy C = -24 y =-6 x = x= Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức mà có tử số, có mẫu tam thức bậc hai VD: Tìm giá trị lớn M = x x + HD: Vì tử mẩu thức dơng , mà tử không đổi nên M lớn mẩu bé 4x2 - 4x + = ( 2x -1)2 +4 x = Vậy M lớn = x = Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức có mẫu bình phơng nhị thức: x2 + x +1 P = VD: Tìm giá trị nhỏ ( x + 1) 1 HD: P = x + + ( x + 1) 2 1 3 , có P = y y + = y + x +1 4 MinP = y = x = Đặt y = Cách 2: Viết N dới dạng tổng số với biểu thức không âm: 4x 4x + x P= = + 2( x + 4( x + 1) MinP = x = Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức quan hệ biến: VD: Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy x y Biết x, y nghiệm phơng trình: x + y = 10 Giải: Ta có: x + y = 10 y = 10 x (59 x + 160 x 100) 59 160 = x2 + 25 59 59 80 6400 = x + 25 59 3481 A= 59 80 1600 = x + 25 59 59 125 59 80 125 A= x 59 59 59 80 x = 125 59 Vậy max A = 59 95 y = 59 I.3 - Một số tập tự giải: 1/ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) biểu thức sau: a/ A = x 20 x + 35 b/ B = x + 3x + 2/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a/ A = ( x 1)( x 2( x 3)( x 5) 2 b/ B = x x + y + y + P = x + y với ã3 y = Q = a + b + ab với a + b = IV: Lu ý :Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phơng pháp tam thức bậc hai nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán dạng khác dạng tam thức bậc hai II/ Phơng pháp miền giá trị hàm số: II.1 - Nội dung phơng pháp: Xét toán sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) với x D Gọi y giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho, tức hệ ph - ơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm: f ( x) = y (1) xD (2) Tuỳ dạng hệ (1) , (2) mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp, điều kiện đa dạng a y b (3) Vì y giá trị f (x) từ (3) ta thu đợc: Min f ( x) = a Max f ( x) = b x D Nh thực chât phơng pháp đa phơng trình bậc hai sử dụng điều kiện II.2 - Các ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A= x2 x +1 x2 + x +1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phơng trình ẩn x ã sau có nghiệm: x2 x +1 (1) x2 + x +1 Do x + x + nên (1) ax + ax + a = x x + a= )(a 1) x + (a + 1) x + (a 1) = 0(2) + TH1: Nếu a = (2) có nghiệm x = + TH2: Nếu a để (2) có nghiệm, cần đủ , tức là: (a + 1) 4( a 1) (a + + 2a 2)(4 + 2a + 2) (3a 1)(a 3) 1 a (a 1) Với a = a = nghiệm (2) là: x= (a + 1) (a + 1) = 2(a 1) 2(1 a ) Với a = x = 1, với a = x = Gộp hai trờng hợp ta có: MinA = x =1 MaxA = x = Cách khác: A= 3x + x + x x 2( x + 1) = x2 + x +1 x2 + x +1 max A = x = A= 3x 3x + x2 + x +1 2( x x + 1) 2( x 1) = + = + 2 2 3x + x + 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) MinA = x =1 Mở rộng: Bài toán cho dới dạng khác, là: x2 x +1 1/ Chứng minh: x + x + 2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm): x2 x +1 m =0 x2 + x +1 2 3/ Cho phơng trình: ( 3m + 2m + 1) x (2m + 10m + 3) x = có nghiệm x1 , x Tìm giá trị lớn tổng x1 + x II.3 - Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a/ y = x2 + x +1 x2 +1 b/ y = x2 x + x2 II.4 - Lu ý:Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biểu thức đa hàm số phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa phơng trình tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp có u điểm tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc giúp cho học sinh rèn kỹ giải phơng trình III/ Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức quen thuộc III.1/ Nôi dung phơng pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) M , x D M = Maxf ( x) x D : f ( x0 = M f ( x) M , x D m = Min f ( x) x0 D : f ( x = m Nh vậy, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) miền D đó, ta tiến hành theo hai bớc: + Chứng minh bất đẳng thức + Tìm x0 D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành đẳng thức Nếu sử dụng bất đẳng thức nh Côsi, Trêbsep, Bunhia côpxki điểm nh thờng đợc tìm thấy nhờ phần cách phát dấu đẳng thức ấy, cần có nhận xét thích hợp 2/ Các bất đẳng thức thờng dùng: 2k 1/ a Tổng quát a 0, k nguyên dơng Xẩy dấu đẳng thức a = 2k 2/ a Tổng quát (a) 0, k nguyên dơng Xẩy dấu đẳng thức a = 3/ a Xẩy dấu đẳng thức a = 4/ a a a Xẩy dấu đẳng thức a = 5/ a + b a + b Xẩy dấu đẳng thức ab (a, b dấu) a b a + b Xẩy dấu đẳng thức ab (a, b dấu) a + b + c a + b + c Xẩy dấu đẳng thức ab 0; bc 0; ac ; 1 6/ a b; ab a b Xẩy dấu đẳng thức a = b a b 7/ b + a với a, b dấu Xẩy dấu đẳng thức a = b 8/ Bất đẳng thức Côsi: + Đối với số dơng a, b a+b ab (hoặc a + b 2ab) Xẩy dấu đẳng thức a = b + Đối với a1 0; i = 1, , n : a1 + a + + a n n a1 a a n 9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki: Nếu (a1 , a , a n ) (b1 , b2 , bn ) số tuỳ ý, ta có: 2 2 2 (a1 + a +, + a n ) (b1 + b2 +, + bn ) (a1b1 + a b2 + + a n bn ) a j Dấu xẩy b = b (với quy ớc = bi = ) i j 10/ Bất đẳng thức Trêbsép + Nếu a1 a a n b1 b2 bn n(a1b1 + a b2 a n bn ) (a1 + a + a n ).(b1 + b2 + bn ) Dấu xẩy = a j bi = b j ; , b j tuỳ ý + Nếu a1 a a n b1 b2 bn n(a1b1 + a b2 a n bn ) (a1 + a + a n ).(b1 + b2 + bn ) Dấu xẩy = a j bi = b j ; , b j tuỳ ý III.2 - Các ví dụ: VD1: Cho x,y hai số thực thoã mãn : ( x + y ) +7(x +y ) + y2 +10 = Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P = x + y +1 7 HD giải: Từ giả thiết Suy ( x+ y )2 + 2(x+y ) + ( )2 -( )2 + 10 = -y2 9 (x+ y + )2 - (x+ y + )2 - x + y + => -4 P = x +y +1 -1 Vậy giá trị nhỏ P -4 giá trị lớn P -1 VD2: Cho biểu thức xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki ( x, y, z ) ( y, z , x) = ( xy + yz + zx) ( x + y + z )( y + z + x ) ( x + y + z ) (1) 2 Mặt khác, (1, 1, 1) x , y , z ), ta có: (1.x + y + 1.z ) (12 + 12 + 12 ) ( y + z + x ) (2) 4 Từ (1) (2) suy ra: 3( y + z + x ) = 3P P Vậy x y z y = x = x MinP = = = y x z x=y=z VD2: Tìm giá trị lớn của: a/ A = x + y biết x + y = b/ B = x + x y2 y Giải: a/ Điều kiện: x 1; y Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng: a+b ab lại muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức: a + b 2(a + b ) A = x + y 2( x + y 2) = x = y MaxA = x + y = x = 1,5 y = 2,5 Cách khác: Xét A dùng bất đẳng thức Côsi b/ Điều kiện: x 1; y Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội tích: Ta xem biểu thức: x 1, y tích: x = 1.( x 1) y2 = 2.( y 2) ab a+b Theo bất đẳng thức Côsi: 1.( x 1) + x 1 x = = x x 2x y2 = y MaxB = 2( y 2) y 2 2+ + = 4 2+ y2 2y = 2 x = x = = x = y = VD3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x Giải: Ta có: A = x + x x + x = MinA = ( x 2)(3 x) x Chú ý: Giải toán linh hoạt biến đổi x = x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị x VD4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + x + + x 2000 Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b a + b 1000 cặp giá trị tuyệt đối Ta có: y = ( x + x 2000 ) + ( x + x 1999 ) + + ( x 999 + x 1000 ) [ y1 = ( x + x 2000 ) 1999 y1 = 1999 x ; 2000 ] [ y = ( x + x 1999 ) 1997 y = 1997 x ; 2000 [ Y1000 = ( x 999 + x 1000 ) Y1000 = x 999, 1000 ] ] Vậy Min y = + + + + 1999 = 1000 = 1000000 Mở rộng: Từ toán ta toán sau: 1/ Tìm miền giá trị hàm số: y = x + x + + + x 2004 2/ Chứng minh bất đẳng thức: y = x + x + + x 2004 10 3/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + x + + x 2002 III.4 - Bài tập tự giải: 1/ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = (1 x) (1 x) với x 1 x x 1+ x 1+ x 1+ x HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với số không âm: ; ; ; ; 2/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = 3x + x HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x; x ) 3/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 51 x 4/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N = x + x 5/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a/ A = x x + + x x + b/ B = x + x + x + x III.4 - Lu ý :Sử dụng bất đẳng thức đòi hỏi tính linh hoạt cao, có nét riêng biệt, quy tắc chung để vận dụng Vì cần cho học sinh làm quen với nhiều loại tập này./ 3-Kết thực nghiệm s phạm: Qua năm trực tiếp giảng dạy thấy rõ đợc thực trạng khả giải toán ''Cực trị ''của học sinh yếu, cảm giác khó em đâm ngại bắt gặp phơng trình dạng này, gây hứng thú học tập không cao Song thực tế dạng toán lại có nhiều đề thi học sinh giỏi, đề thi vào trờng THPT ( đặc biệt vào trờng chuyên THPT ).Tôi mạnh dạn áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy mình; thu đợc số thành công định Do đợc hớng dẫn kĩ cho học sinh rèn luyện nhiều thông qua hệ thống tập đợc chọn lọc nên em giải đợc nhiều toán cực trị với nhiều dạng khác Từ việc ngại sợ gặp phải dạng toán , em tự tin hứng thú với loại toán Từ góp phần xây dựng cho học sinh lòng yêu thích ; hứng khởi học tập chủ động linh hoạt việc chinh phục kiến thức Sau áp dụng kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy rút kinh nghiệm dần qua năm Tôi lại cho HS làm khảo sát với nội dung toán cực trị kết thu đợc từ 20 em đợc chọn nh sau : *Trớc áp dụng kinh nghiệm : Số HS cha biết giải Số HS biết giải đơn giản thờng gặp đạt mức TB Số HS nắm pp giải đạt kết tốt em 15 em 1em 20% 75% 5% *Sau áp dụng kinh nghiệm : Số HS cha biết giải Số HS biết giải PT đơn giản thờng gặp đạt mức TB Số HS nắm pp giải đạt kết tốt em 10 em 10em 0% 50% 50 % C- Kết Luận kiến nghị : Qua thực tế giảng dạy, từ việc nắm rõ thực trạng HS kĩ giải toán '' cực trị ''còn nhiều tồn Bản thân mạnh dạn rút kinh nghiệm:'' Hớng dẫn học sinh nắm vận dụng linh hoạt phơng pháp giải toán cực trị ; từ việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy thân nhận thấy mang lại hiệu tốt cho thân giáo viên học sinh Các em có kĩ tốt chuyên đề Đặc biệt khắc phục đợc tình trạng em ngại ''sợ ''bài toán cực trị , em tự tin, yêu thích say mê, sáng tạo, chủ động tìm tòi phơng pháp giải giải thành thạo , biết vận dụng linh hoạt phơng pháp giải toán cực trị nói riêng giải toán nói chung Tổ chuyên môn thống đa áp dụng giảng dạy với đối tợng học sinh lớp 8, nhận thấy hiệu Với kinh nghiệm lực thân nhiều hạn chế, chắn viết nhiều thiếu sót Các phơng pháp giải hệ thống tập minh hoạ trình bày cha đầy đủ hay Bản thân mong nhận đợc bổ sung chỉnh lí thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để viết đạt hiệu tốt Nhằm đáp ứng với yêu cầu đổi nâng cao hiệu giáo dục giai đoạn Tháng năm 2009 [...]... cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai II/ Phơng pháp miền giá trị của hàm số: II.1 - Nội dung phơng pháp: Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) với x D Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho,... dung về bài toán cực trị kết quả thu đợc từ 20 em đợc chọn nh sau : *Trớc khi áp dụng kinh nghiệm : Số HS cha biết giải Số HS mới biết giải các bài đơn giản thờng gặp đạt mức TB Số HS nắm khá chắc các pp giải và đạt kết quả khá tốt 4 em 15 em 1em 20% 75% 5% *Sau khi áp dụng kinh nghiệm : Số HS cha biết giải Số HS mới biết giải các PT đơn giản thờng gặp đạt mức TB Số HS nắm khá chắc các pp giải và đạt... khá tốt về chuyên đề này Đặc biệt đã khắc phục đợc tình trạng các em ái ngại và ''sợ ''bài toán cực trị , giờ đây các em đã rất tự tin, yêu thích và say mê, sáng tạo, chủ động tìm tòi các phơng pháp giải và giải khá thành thạo , biết vận dụng linh hoạt hơn các phơng pháp giải bài toán cực trị nói riêng và giải toán nói chung Tổ chuyên môn đã thống nhất đa ra áp dụng giảng dạy với đối tợng học sinh... 10em 0% 50% 50 % C- Kết Luận và kiến nghị : Qua thực tế giảng dạy, từ việc nắm rõ thực trạng HS của mình về kĩ năng giải toán '' cực trị ''còn nhiều tồn tại Bản thân tôi đã mạnh dạn rút ra kinh nghiệm:'' Hớng dẫn học sinh nắm chắc và vận dụng linh hoạt các phơng pháp giải bài toán cực trị ; từ việc áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy bản thân tôi nhận thấy nó đã mang lại hiệu quả rất tốt cho bản thân... 2y 2 = 2 2 2 x 1 = 1 x 2 = 2 = 2 4 x = 2 y = 4 VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + x 3 Giải: Ta có: A = x 2 + x 3 x 2 + 3 x = 1 MinA = 1 ( x 2)(3 x) 0 x 3 Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x 3 = 3 x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị của x VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 1 + x 2 + + x 2000 Dạng hàm số... tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = x + y +1 7 7 7 HD giải: Từ giả thiết Suy ra ( x+ y )2 + 2(x+y ) 2 + ( 2 )2 -( 2 )2 + 10 = -y2 0 7 9 7 9 (x+ y + 2 )2 - 4 0 (x+ y + 2 )2 4 3 7 3 - 2 x + y + 2 2 => -4 P = x +y +1 -1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -4 và giá trị lớn nhất của P là -1 VD2: Cho biểu thức xy + yz + zx = 1 4 4 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z Giải áp... công nhất định Do đợc hớng dẫn kĩ càng và cho học sinh rèn luyện nhiều thông qua hệ thống bài tập đợc chọn lọc nên các em đã giải đợc rất nhiều bài toán về cực trị với nhiều dạng khác nhau Từ việc rất ngại và sợ gặp phải dạng toán này , bây giờ các em rất tự tin và hứng thú với loại toán này Từ đó cũng góp phần xây dựng cho học sinh lòng yêu thích ; sự hứng khởi trong học tập và chủ động linh hoạt hơn... Tìm miền giá trị của hàm số: y = x 1 + x 2 + + + x 2004 2/ Chứng minh bất đẳng thức: y = x 1 + x 2 + + x 2004 10 6 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 1 + x 2 + + x 2002 III.4 - Bài tập tự giải: 2 3 1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (1 x) (1 x) với x 1 1 x 1 x 1+ x 1+ x 1+ x HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm: 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 2 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất... này./ 3-Kết quả thực nghiệm s phạm: Qua mấy năm trực tiếp giảng dạy tôi đã thấy rõ đợc thực trạng khả năng giải toán ' 'Cực trị ''của học sinh là còn rất yếu, do cảm giác khó cho nên các em đâm ra rất ngại khi bắt gặp các phơng trình dạng này, gây ra sự hứng thú trong học tập không cao Song thực tế dạng toán này lại có rất nhiều ở các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các trờng THPT ( đặc biệt là vào các... = x2 x + 1 x2 1 II.4 - Lu ý:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình III/ Phơng pháp sử dụng ... ''sợ ''bài toán cực trị , em tự tin, yêu thích say mê, sáng tạo, chủ động tìm tòi phơng pháp giải giải thành thạo , biết vận dụng linh hoạt phơng pháp giải toán cực trị nói riêng giải toán nói... giả thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp III - Những sai lầm thờng gặp giải toán cực trị: 1/ Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 4x 4x + Lời giải sai:... :Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phơng pháp tam thức bậc hai nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán