UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,5 điểm) x2 − x − 2x − A= + − x − x − x + 10 x − a) Cho: - Thực rút gọn A - Tìm x nguyên để A nguyên b) Chứng minh: a + b = c a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a+b b+c c+a 1 + + ≤ + + 2 ab + c bc + a ac + b a b c Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + x+2 x+8 x+4 x+6 Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME góc với AB MF vuông góc với AD a) Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1,5 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) phương trình: (x + y + 28 ) = 17 ( x + y + 14 y + 49 ) UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT Bài Bài 1: ( 2,5 điểm) HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Đáp án Điểm x2 − x − 2x − + − x − x − x + 10 x − - Thực rút gọn A - Tìm x nguyên để A nguyên b.)Chứng minh: a + b = c a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 a) Cho: a) A= A= x2 − x − 2x − + − Điều kiện để A có nghĩa x ≠5 x ≠2 x − ( x − 5)( x − 2) x − x − + x − x − − (2 x − 4)( x − 2) − x + x − 15 = ( x − 5)( x − 2) ( x − 5)( x − 2) − ( x − 5)( x − 3) − x + A= = ( x − 5)( x − x−2 A= −( x − 2) + 1 = −1 + x−2 x−2 A nguyên nguyên, x-2=1 x-2 =-1 x−2 ⇒ x=3, x=1 Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 - (a+b)2 (a2+b2)] = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab - (a+b)2(a2+b2)] = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab - (a+b)2] = A= b) ⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a+b b+c c+a 1 + + ≤ + + (1) 2 ab + c bc + a ac + b a b c Đặt vế trái (1) A, vế phải (1) B Xét hiệu: a+b b+c 1 c+a 1 A− B = − ÷+ − ÷+ − ÷ 2 ab + c a bc + a b ac + b c (a − c)(c − b) (b − a )(a − c ) (c − b)(b − a ) = ÷+ ÷+ ÷ 2 (ab + c )c (bc + a ) a (ca + b )b 0.5 0.25 Bài Đáp án Do vai trò a, b, c (1) bình đẳng nên ta giả sử a ≥ b ≥ c > Khi (b − a)(a − c) ≤ 0; (c − b)(b − a) ≥ c3 ≤ b3 ⇒ abc + c ≤ abc + b3 ⇒ (c − b)(b − a ) (c − b)(b − a) ≤ (ca + b )b (ab + c )c (a − c)(c − b) (c − b)(b − a) (b − a )( a − c ) ÷+ ÷+ ÷ 2 (ab + c )c (ab + c )c (bc + a )a ( a − c)(c − b) + (c − b)(b − a) (b − a)( a − c) −(c − b) (b − a )(a − c) = + = + ≤0 (ab + c )c (bc + a ) a ( ab + c )c (bc + a ) a −(c − b) ≤ 0; (b − a)(a − c) ≤ Vậy (1) chứng minh Vậy: A − B ≤ Điểm 0.25 0.25 0.25 Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + x+2 x+8 x+4 x+6 Điều kiện: x ≠ −2; x ≠ −4; x ≠ −6; x ≠ −8 ( x + 2) + ( x + 8) + ( x + 4) + ( x + 6) + + = + PT cho ⇔ x+2 x+8 x+4 x+6 + x +8 + = x +4 + + x +6 + ⇔x +2 + x +2 x +8 x +4 x +6 + = + + = + ⇔ ⇔ x+2 x+8 x+4 x+6 x+2 x+8 x+4 x+6 x + 16 x + 24 ⇔ ( x + 2)( x + 8) = ( x + 4)( x + 6) ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) ⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) ⇔ 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16 ⇔ 8x2 + 40x = ⇔ 8x(x + 5) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm phương trình Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME góc với AB MF vuông góc với AD a)Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui a) c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM Bài Đáp án DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED · · ⇒ ADE = DCF · · · · ⇒ EDC + DCF = EDC + ADE · · = 900 nên DE ⊥ CF EDC + ADE MC = MA (BD trung trực AC) MA = FE nên EF = CM 0,25 Điểm C D 0,25 0,25 M F 0,25 O 0,25 0.25 A B E b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui · · ⇒ ∆MCF =∆FED (DF = MF; DE = FC; MC = FE)⇒ MCF = FED ¶ + E µ =O ¶ + C µ = 900 (Vì CF ⊥ DE chứng minh phần a) ⇒O 1 Tương tự a) CE ⊥ BF ED, FB CM trùng với ba đường cao ∆FEC nên chúng đồng qui c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn ME + MF = FA + FD số không đổi ⇒ ME.MF lớn ME = MF Lúc M trung điểm BD Bài 5: (1,5 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) phương trình: (x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + y + 28 ) = 17 ( x + y + 14 y + 49 ) Ta biến đổi PT sau: (x + 4( y + 7) ) = 17 ( x + ( y + 7) ) ⇔ x + x ( y + 7) + 16( y + 7) = 17 x + 17( y + 7) ⇔ 16 x − x ( y + 7) + ( y + 7) = 2 ⇔ x − ( y + 7) = ⇔ x − y − = Ta thấy: x − y − = ⇔ (2 x + y )(2 x − y ) = (1) Vì x, y ∈ ¥ nên x + y > x − y x + y ≥ 2 x + y = x = ⇔ Do từ (1) ⇒ 2 x − y = y = Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên (x; y) = (2; 3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ...UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT Bài Bài 1: ( 2,5 điểm) HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Đáp án Điểm x2 − x − 2x − + − x... = + x+2 x +8 x+4 x+6 Điều kiện: x ≠ −2; x ≠ −4; x ≠ −6; x ≠ 8 ( x + 2) + ( x + 8) + ( x + 4) + ( x + 6) + + = + PT cho ⇔ x+2 x +8 x+4 x+6 + x +8 + = x +4 + + x +6 + ⇔x +2 + x +2 x +8 x +4 x +6... +2 x +8 x +4 x +6 + = + + = + ⇔ ⇔ x+2 x +8 x+4 x+6 x+2 x +8 x+4 x+6 x + 16 x + 24 ⇔ ( x + 2)( x + 8) = ( x + 4)( x + 6) ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x +8) ⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)(