Môn Toán - Lớp 8 Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./... x a Giải phương trình.[r]
(1)UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n n 6n 7n 21 là số nguyên tố n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì B 4 15n 10 9 Câu (4,0 điểm) 1 1 x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức C a b 2014c ab a 2014 bc b ac 2014c 2014 Biết abc = 2014 Câu (4,0 điểm) x a) Giải phương trình 3x 2x 2x 30 3 4 b) Tìm tất các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x y x y 1 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực BC và AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 1+ b 1+ c 1+ a Chứng minh rằng: –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn Toán - Lớp Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./ Câu ( 4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n n 6n 7n 21 là số nguyên tố n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì B 4 15n 10 9 Đáp án A n n 2n Điểm 0,50 a) Phân tích n 2n n n n (n n 10) Nhận xét: với số tự nhiên n Để A là số nguyên tố thì n - = 1, hay n = Thử lại: n = thì P = 103 là số nguyên tố Vậy số tự nhiên cần tìm là n = b) Với n = thì B 9 n 0 thỏa mãn 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 k Giả sử bài toán đúng với n = k ( k N ) Tức là: B k 4 15k 10 9 Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1 Thật vậy: B k 1 4 k 1 15(k 1) 10 4 k 15k 10 45k 45 4.B k 45k 45 9 0,50 n Vậy: B 4 15n 10 9 với số tự nhiên n 0,50 Câu (4,0 điểm) 1 1 x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức: Biết abc =2014 C a ab a 2014 b 2014c bc b ac 2014c 2014 Đáp án Do vai trò x, y, z bình đẳng nên không tính tổng quát, giả sử 1 1 1 x y z x x 1,2 x y z x y z x + Với Điểm 0,50 x 1 1 0 (Vô lí) y z 0,50 x 2 1 1 1 y y 3 z 6 y z 2 y z y 0,50 + Với Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị 0,50 (3) b) a C b abc2 1,00 ab a abc bc b ac abc abc b bc bc b 1 bc b bc b 1 bc b bc b 1,00 Câu (4,0 điểm) x a) Giải phương trình 3x 2x 2x 30 3 4 b) Tìm tất các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x y x y 1 Đáp án x2 3x 2x 3 2x 30 x 1 x 2x 3 2x 30 a) 2x 7x 2x 7x 30 y 2x 7x Đặt 11 Điểm 0,25 0,25 1 121 11 y y 30 y y x 0 11 11 11 2 y 2x 7x 2x 7x 0 x 2x 0 x 2 + Với 11 11 11 39 2 y 2x 7x 2x 7x 11 0 x 0 2 16 + Với 0,25 0,50 0,50 ( PT vô nghiệm) 7 S 0; 2 Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm x 1 x y 1 y b) Vì Tóm lại: x 1;0 y 1 Lại có: x 1 y 0,25 x 1 x3 y 1 y 1 Mà x3 y x y x3 x 1 y y 1 0 Mà x 0 x x 1 0 y 1 3 x x 1 y y 1 0 y y 1 0 x 1 y 0 nên y 0 x 0 1,00 x3 x 1 0; y y 1 0 1,00 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực BC và AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; (4) c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO Đáp án * Vẽ hình: Điểm 0,50 A N O G H B C M HBA BAC 900 ONM MNC 900 HBA ONM BAC MNC (doMN // AB ) a) Ta có: BAH NMO ABH MNO Chứng minh tương tự: Suy ra: 1,50 (g-g) AH AB AG 2 GMO OM MN MG , mà HAG b) Vì ( so le trong, HAG OMG OM//AD) Suy ra: (c-g-c) HAG OMG AGH MGO MGO MGH ABH MNO c) Vì bù =>H, G, O thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 Chứng minh rằng: 1+ b 1+ c 1+ a Đáp án Vì + b 2b > nên 2 a b2 a b2 1 a b 1 a 1 a 1 b 1 a b a a a b2 b2 b2 2b b c c 1 c c a 1 b 1 b 2 2 Tương tự c , 1 a 1 3 a b c ab bc ca 3 ab bc ca 2 2 Do đó VT (1) Mặt khác nên Điểm 0,75 0,25 0,25 ab bc ca 3 a b2 c a b c 9 1,25 1,25 GH GA 2 GH 2GO Lại có: GO GM 1,50 0,75 ab bc ca 2 (2) Suy ra: đpcm (5) -HẾT - (6)