De thi HS nang khieu lop 678

Môn Toán - Lớp 8 Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./... x a Giải phương trình.[r]

UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n  n  6n  7n  21 là số nguyên tố n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì B 4  15n  10 9 Câu (4,0 điểm) 1   1  x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức C a b 2014c   ab  a  2014 bc  b  ac  2014c  2014 Biết abc = 2014 Câu (4,0 điểm) x a) Giải phương trình  3x    2x    2x   30 3 4 b) Tìm tất các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x  y x  y 1 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực BC và AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 1+ b 1+ c 1+ a Chứng minh rằng: –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn Toán - Lớp Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./ Câu ( 4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n  n  6n  7n  21 là số nguyên tố n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì B 4  15n  10 9 Đáp án A  n    n  2n   Điểm 0,50 a) Phân tích n  2n     n   n  n  (n  n  10)   Nhận xét: với số tự nhiên n Để A là số nguyên tố thì n - = 1, hay n = Thử lại: n = thì P = 103 là số nguyên tố Vậy số tự nhiên cần tìm là n = b) Với n = thì B  9  n 0 thỏa mãn 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 k Giả sử bài toán đúng với n = k ( k  N ) Tức là: B k 4  15k  10 9 Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1 Thật vậy: B k 1 4 k 1  15(k  1)  10 4  k  15k  10   45k  45 4.B k  45k  45 9 0,50 n Vậy: B 4  15n  10 9 với số tự nhiên n 0,50 Câu (4,0 điểm) 1   1  x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức: Biết abc =2014 C a ab  a  2014  b  2014c bc  b  ac  2014c  2014 Đáp án Do vai trò x, y, z bình đẳng nên không tính tổng quát, giả sử 1 1 1  x  y  z           x   x   1,2 x y z x y z x + Với  Điểm 0,50 x 1  1  0 (Vô lí) y z 0,50 x 2  1 1 1         y   y 3  z 6 y z 2 y z y 0,50 + Với Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị 0,50 b) a C  b abc2  1,00 ab  a  abc bc  b  ac  abc  abc b bc bc  b      1 bc  b  bc  b  1  bc  b bc  b  1,00 Câu (4,0 điểm) x a) Giải phương trình   3x   2x    2x   30 3 4 b) Tìm tất các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x  y x  y 1 Đáp án  x2  3x    2x  3  2x   30   x  1  x    2x  3  2x   30 a)   2x  7x    2x  7x   30 y 2x  7x  Đặt 11  Điểm 0,25 0,25  1 121 11   y    y   30  y   y      x 0 11 11 11 2 y   2x  7x    2x  7x 0  x  2x   0    x  2  + Với  11 11  11  39  2 y  2x  7x    2x  7x  11 0   x    0 2  16  + Với 0,25 0,50 0,50 ( PT vô nghiệm)   7 S 0;   2 Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm x 1 x  y 1    y   b) Vì Tóm lại: x 1;0 y 1 Lại có:  x 1     y   0,25 x 1 x3  y 1   y 1 Mà x3  y x  y  x3  x  1  y  y  1 0 Mà  x 0 x  x  1 0  y 1 3 x  x  1  y  y  1 0     y  y  1 0  x 1  y 0 nên y 0  x 0 1,00 x3  x  1 0; y  y  1 0 1,00 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực BC và AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO Đáp án * Vẽ hình: Điểm 0,50 A N O G H B C M   HBA  BAC 900   ONM  MNC 900       HBA ONM    BAC MNC (doMN // AB )   a) Ta có:   BAH NMO ABH MNO Chứng minh tương tự: Suy ra: 1,50 (g-g) AH AB AG  2    GMO OM MN MG , mà HAG b) Vì ( so le trong,  HAG   OMG OM//AD) Suy ra: (c-g-c)     HAG OMG  AGH MGO  MGO MGH ABH MNO  c) Vì bù =>H, G, O thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 Chứng minh rằng: 1+ b 1+ c 1+ a Đáp án  Vì + b 2b > nên 2  a  b2  a  b2   1 a  b 1 a 1 a 1 b  1 a b    a    a    a   b2  b2  b2 2b   b  c  c 1  c    c  a 1 b 1  b  2 2 Tương tự  c , 1 a 1 3   a  b  c    ab  bc  ca  3    ab  bc  ca  2 2 Do đó VT  (1) Mặt khác nên    Điểm 0,75 0,25 0,25  ab  bc  ca  3 a  b2  c  a  b  c  9  1,25 1,25 GH GA  2  GH 2GO Lại có: GO GM  1,50 0,75  ab  bc  ca   2 (2) Suy ra: đpcm -HẾT -