PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP Năm học 2010-2011 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Cho số tự nhiên có chữ số, ta lập số cách viết thêm chữ số vào hai chữ số số cho a Chứng tỏ rằng: Hiệu số số cho chia hết cho 45 b Tìm số cho biết số gấp lần số cho Bài 2: Rút gọn biểu thức: A = x+ x2 − x - x2 − − x - x2 − x+ Bài 3: Cho số dương a, b, x, thoả mãn x = Xét biểu thức P = x2 − 2ab b2 + a+x+ a−x + a + x − a − x 3b a Chứng minh P xác định b Rút gọn P Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y = 2007 Bài 5: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm DE với BC Chứng minh KE tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E KD Bài 6: Hai đường tròn (O) (O /) cắt A B Đường thẳng m qua A cắt đường tròn (O) C cắt đường tròn (O /) D Chứng minh m quay quanh · A (thỏa mãn m không trùng với AB) CBD không đổi HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP Năm học 2010-2011 Bài 1: (2,5 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Điểm TP Gọi số cho ab số a0b Hiệu số số cho là: a0b - ab Ta có: a0b - ab =100a + b – (10a + b) = 90a = 2.45a M 45 0,25 đ 0,75 đ a (1,0đ) b (1,5 đ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Ta có: a0b = ab ⇒ 100a + b = 9(10a + b) ⇒ 100a + b = 90a + 9b ⇒ 10a = 8b ⇔ 5a = 4b a ⇒ = b ⇒ a = 4, b = Vậy số cần tìm 45 0,25 đ 0,25 đ Bài 2: (1,0 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI A= x+ x2 − x - x2 − − x - x2 − x+ x2 − ( x+ ( = ) − (x- x x - ( x − 4) − + x − 4) x2 − x + 2x x − + x − - x − 2x x = x2 - x2 + 2 2 − ) Điểm TP 0,25 đ 0,25 đ 4x x − = = x x2 − 0,25 đ 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) Điểm TP HƯỚNG DẪN GIẢI a) b) Ta có: a > 0, b > 0, x > ⇒ a + x > a ( b + 1) − 2ab a (b − 1) 2ab Xét a – x = a - = ≥0 = b +1 b2 +1 b2 + Ta có: a + x > a – x ≥ ⇒ a + x − a − x ≠ Từ (1), (2), (3) ⇒ P xác định a + x =a + (1) 0,25 đ (2) 0,25 đ (3) 0,25 đ 0,25 đ 2ab a ( b + 1) + 2ab a(b+1) a ⇒ a+x = b+1 = ( ) = 2 b +1 b +1 b +1 b2 + 0,25 đ a - x =a - 2ab a ( b + 1) − 2ab a(b-1) a ⇒ a-x = b-1 = = 2 b +1 b +1 b +1 b +1 0,25 đ a a + b-1 b +1 b +1 + = b + + b - + ⇒ P= 3b b + - b - 3b a a ( b + 1) - b - b +1 b +1 + = * Nếu < b < P = 2b 3b 3b 3b + = * Nếu b ≥ P = b + 3b 3b ( b + 1) 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ Bài 4: (1,0 điểm) x + Điểm TP HƯỚNG DẪN GIẢI y = 2007 ⇔ x + y = 223 Vì x, y nguyên dương nên vai trò Do 0,25 đ x y có dạng: 0,25 đ x = a 223 y = b 223 ⇒ a 223 + b 223 = 223 Với a + b = ⇒ a = 1; b = a = 2; b = Các cặp nghiệm nguyên dương cần tìm là: (223, 892) ; (892, 223) 0,25 đ 0,25 đ Bài 5: (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Điểm TP Hình vẽ 0,25 đ A Từ DDkẻ DP // AC (P ∈ BC) Theo đl Ta-let ta có: KE EC KE BD = ⇒ = ( 1) KD DP KD E DP Lại có: BD DP BD AB = ⇒ = ( 2) AB AC DP AC KE AB =P Từ (1) B (2) ⇒ KD AC C AB AC có độ dài không đổi nên AB tỉ số không đổi Điều chứng AC KE tỏ tỉ số không phụ thuộc vào KD cách chọn điểm D E Bài 6: (2,0 điểm) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ K 0,25 đ HƯỚNG DẪN GIẢI D A O/ O C B Hình vẽ · Trong đường tròn (O), có ACB · góc nội tiếp, AOB góc tâm » nên chắn AB 1· · = AOB ACB · · ′OB (1) ⇒ ACB =O Tương tự đường tròn ( O′ ) ta 1· · ′B có ADB = AO · · ′B (2) ⇒ ADB = OO · · · ′OB + OO · ′B Từ (1) (2) ta suy ACB + ADB =O · · · · ′OB + OO · ′B = 1800 - OBO · Mà ACB O ′ (Tổng ba + ADB = 1800 - CBD · · góc tam giác 180 ) ⇒ CBD ′ = OBO · · không đổi ′ không đổi nên CBD OBO Điểm TP 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Lưu ý: Bài 6, HS không vẽ hình điểm phần chứng minh ... ab =100a + b – (10a + b) = 90 a = 2.45a M 45 0,25 đ 0,75 đ a (1,0đ) b (1,5 đ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Ta có: a0b = ab ⇒ 100a + b = 9( 10a + b) ⇒ 100a + b = 90 a + 9b ⇒ 10a = 8b ⇔ 5a = 4b a ⇒... 223 = 223 Với a + b = ⇒ a = 1; b = a = 2; b = Các cặp nghiệm nguyên dương cần tìm là: (223, 892 ) ; ( 892 , 223) 0,25 đ 0,25 đ Bài 5: (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Điểm TP Hình vẽ 0,25 đ A Từ DDkẻ DP