PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP Năm học 2010-2011 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ mà tổng chữ số 21 8x − 27 y4 - : Bài 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức: A = với 4x + 6x + y3 + y + y + x = y = 251 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ P = ( + x) ( + x) x (Với x > 0) Bài 4: Giải biện luận phương trình sau: b2 x2 x - a 2x - + a = ; a, b tham số b - x2 x - b2 Bài 5: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD, cắt BD, BC, DC, theo thứ tự E, K, G Chứng minh: a) AE2 = EK.EG 1 = + b) AE AK AG c) Khi đường thẳng qua A thay đổi tích BK.DG có giá trị không đổi Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, từ trung điểm H cạnh đáy BC hạ đường thẳng HE vuông góc với AC (E thuộc AC) Gọi O trung điểm HE Chứng minh: OA vuông góc với BE HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP Năm học 2010-2011 Bài 1: (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Số tự nhiên có tổng chữ số 21 phải có từ ba chữ số trở lên (vì số có hai chữ số lớn 99 có tổng chữ số + = 18 < 21) Trong số có từ ba chữ số trở lên số nhỏ phải số có ba chữ số Trong số có ba chữ số, số nhỏ phải số có chữ số hàng trăm nhỏ Nếu chữ số hàng trăm tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị tương ứng : 21 – = 20 21 – = 19 Cả hai trường hợp bị loại tổng lớn + = 18 Vậy chữ số hàng trăm nhỏ Khi chữ số hàng chục hàng đơn vị để có + + = 21 Vậy số phải tìm : 399 Điểm TP 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 2: (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI ( y - 1) ( y + y + y + 1) ( 2x ) − : A = y +y +y+1 ( 2x ) + ( 2x ) + ( 2x − 3) ( 2x ) + 2x + = : ( y - 1) 2x + 2x + ( ) 2 3 2 2 2 2 Điểm TP 2 0,50 đ 0,50 đ 2x − = y-1 0,25 đ Thay số tính A = 0,25 đ Bài 3: (1,5 điểm) ( + x) ( + x) HƯỚNG DẪN GIẢI x + 10x + 16 16 = x+ + 10 x x x 16 P đạt giá trị nhỏ x + đạt giá trị nhỏ x 16 16 Xét tích x × = 16 (không đổi), suy tổng x + đạt giá trị nhỏ x x 16 x= x => x2 = 16 => x = 16 + 10 = 18 Ta có P = + P= = Điểm TP 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 4: (1,5 điểm) Đ K: x ≠ ± b b2 x2 b x-x -a b x+a x -b +ab -ax x2 x - a 2x - + a = ⇔ = b - x2 x - b2 b -x x -b ⇔ b2x – a2b2x – x3 + a2x3 – b3 + ab2 – ax2 + x2 = ⇔ (1 – a2)b2x – (1 – a2)x3 + (1 – a)x2 - b2 (1 – a) = ⇔ (1 – a)(x2 – b2) - (1 – a2)(x2 - b2 )x = ⇔ (x2 – b2)[(1 – a) – (1 – a2)x] = Với ĐK x ≠ ± b ⇒ x − b ≠ ta có (1 – a) – (1 – a2)x = ⇒ ( 1- a ) ( + a ) x = − a * Nếu (1 – a)(1 + a) ≠ ⇔ a ≠ ±1 x = Giá trị x = 1+a Điểm TP 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 1 ≠ ± b nghiệm phương trình cho x = 1+a 1+a = ± b phương trình cho vô nghiệm 1+a * Nếu a = => phương trình có dạng 0x = 0, nghiệm với giá trị x thuộc R, x ≠ ± b * Nếu a = -1 => phương trình có dạng 0x = => phương trình vô nghiệm 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ Bài 5: (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Hình vẽ A Điểm TP 0,25 đ B a) (0,5 đ) E D K C G * BK // AD AB // DG nên theo hệ EK EB EB EA = = Talet ta có: EA ED ED EG * Suy ra: AE2 = EK.EG 0,25 đ 0,25 đ b) ( 0,75 đ) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: AE ED AE ED = ⇒ = EK EB AK BD AE EB AE BE = ⇒ = Từ EG ED AG BD AE AE ED BE BD + = + = =1 Do đó: AK AG BD BD BD c) (0,75 đ) Từ AE AE = =1 AK AG 0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ Đặt AB = a, AD = b BK a = (1) KC CG KC CG = (2) Do KC // AD nên b DG Do AB // CG nên Nhân vế (1) với (2) ta được: 0,25 đ 0,25 đ BK a = b DG Suy ra: BK.DG = ab không đổi 0,125 đ 0,125 đ Bài 6: (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI Hình vẽ A K I B O H E C Kẻ BK ⊥ AC; E cắt AO I Có AH ⊥ BC Xét ∆AHE ∆BCK có: µ =K µ = 1v , EAH · · (cùng phụ E = KBC µ Nên suy ∆AHE ~ ∆BCK với C AE HE = Do đó: (1) BK CK HE//BK (cùng vuông góc với AC) HB = HC (gt) suy EK = EC Do HE = 2EO; CK = 2EK AE OE = Nên từ (1) suy ra: BK EK Mà ∆AEO ∆BKE tam giác vuông Do đó: ∆AEO ~ ∆BKE · · Suy ra: AOE = BEK · · Mà BEK + BEO = 1v nên · · AOE + BEO = 1v · Do EIO = 1v hay OI ⊥ IE Vậy OA ⊥ BE Điểm TP 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ Lưu ý: Bài 6, HS không vẽ hình điểm phần chứng minh ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP Năm học 2010-2011 Bài 1: (2,0 điểm)... có tổng chữ số 21 phải có từ ba chữ số trở lên (vì số có hai chữ số lớn 99 có tổng chữ số + = 18 < 21) Trong số có từ ba chữ số trở lên số nhỏ phải số có ba chữ số Trong số có ba chữ số, số nhỏ... số hàng chục hàng đơn vị tương ứng : 21 – = 20 21 – = 19 Cả hai trường hợp bị loại tổng lớn + = 18 Vậy chữ số hàng trăm nhỏ Khi chữ số hàng chục hàng đơn vị để có + + = 21 Vậy số phải tìm : 399