Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Phần đại số Phần I: Tính giá trị biểu thức 1/ Các kiến thức liên quan 2/ Tính giá trị biểu thức đại số 3/ Tính giá trị biểu thức chứa Phần II: Bất đẳng thức 1/ Các kiến thức liên quan 2/ Một số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phần III: cực trị đại số 1/ Định nghĩa 2/ Một số sai lầm th-ờng mắc tìm cực trị 3/ Một số ph-ơng pháp tìm cực trị Phần IV: Ph-ơng trình 1/ Ph-ơng trình hữu tỷ 2/ Ph-ơng trình vô tỷ 3/ Hệ ph-ơng trình Phần Số học 1/ Chia hết 2/ Ph-ơng trình nghiệm nguyên Phần I: Tính giá trị biểu thức I Kiến thức liên quan Yêu cầu HS nắm vững đẳng thức đáng nhớ, viết đ-ợc nhiều cách khác nhau, biết số đẳng thức mở rộng, nắm đ-ợc ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử phép tính phân thức đại số vận dụng vào giải tập cách linh hoạt 1/ Các đẳng thức đáng nhớ A2 B ( A B) A.B A2 B ( A B).( A B) A3 B ( A B)3 A.B.( A B) ( A B )( A2 AB B ) 2/Các đẳng thức mở rộng 1.A B C (A B C )2 2.(A.B B.C C.A) 2.A B C (A B C )3 3.(A B ).(B C ).(C A) (A B C )3 3.(A.B B.C C.A).(A B C ) 3ABC A n B n (A B)(A n A n B A n B . AB n B n ) n số tự nhiên A2 n B n (A B)(A2 n A2 n 1B A2 n B . AB n B n ) (A B) n C 0n A n C 1n A n B C 2n A n B C nn AB n C nn B n ( Ckn gọi tổ hợp chập k n phần tử) Ckn = n! ( n k )! k! Quy -ớc 0! = Từ công thức có: C1n = Cn-1n; C2n = Cn-2n ; C3n = Cn-3n ; Ckn + Cn-1n = Ckn+1 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Giới thiệu tam giác Pascan để khai triển nhị thức Niu tơn có số mũ nhỏ Dạng tính giá trị biểu thức đại số Ví dụ 1: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a; b; c a b c )(1 + )(1 + ) b c a Tính giá trị P = (1 + Gợi ý Từ a + b + c = 3abc => a + b + c - 3abc = ( a+b+c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) = Nếu a+b+c = P = -1 Nếu a2 + b2 + c2 ab bc ca = a = b = c P = 3 3 3 Ví dụ 2: Cho xy +yz + zx = 0; xyz Tính Q = yz zx xy x2 y2 z2 Gợi ý áp dụng kết coi a = Q= 1 1 1 ; b = ; c = ta có z y x x y z xyz 1 xyz yzx xyz yz zx xy =3 = = xyz ( ) = xyz x y z xyz x y z x y z a 3a b 999 Ví dụ 3: Cho a; b thoả mãn b 3a b 777 Tính M = a2 + b2 Gợi ý Bình ph-ơng hai vế hai đẳng thức cộng vế với vế thu gọn đ-ợc (a2 + b2)3 = 9992 + 7772 suy M = a2 + b2 = 999 777 Ví dụ 4: a) Cho P = x3 3x2 + 5x; Q = y3 3y2 + 5y; P+Q=6 Tính S = x + y b) Cho A = 18x3 54x2 + 60x + 71; Q = 18y3 54y2 + 60y + 71; A + B = 190 Tính S = x + y Gợi ý a) Biến đổi P + Q = (x - 1) + (y - 1)3 + 2x + 2y +2 P + Q = nên (x - 1)3 + (y - 1)3 + 2x + 2y +2 = (x - 1)3 + (y - 1)3 + 2(x + y - 2) = (x + y - 2)( (x - 1)2 - (x - 1) (y - 1) + (y - 1)2 ) = => x + y = (x - 1)2 - (x - 1) (y - 1) + (y - 1)2 > Ví dụ 5: Giả sử x; y; z số thực khác thoả mãn hệ đẳng thức : 1 1 1 x ( ) y ( ) z ( ) (1) y z z x x y x y z 1( ) Tính P = 1 x y z Gợi ý Từ (2) suy ra: x y + x z + y z + y x + z y + z2x = -2xyz 2 2 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x y + x z +xyz + y z + y2x + xyz + z2y + z2x + xyz = xyz (xy + yz +zx )(x + y + z) = xyz 2 Mặt khác x3 + y3 + z3 = (x y z)3 3.(xy yz zx).(x y z) 3xyz Suy x + y + z = => xy + yz +zx = xyz => P = 1 =1 x y z Một số khác: Bài 1: Cho a; b; c ; x; y; z x y z a b c (1) ; (2) a b c x y z Tính A = x y z a b c2 KQ Bài 2: Cho a; b; c đôi khác a b c bc ca ab a b c 2 ( b c) (c a ) (a b ) Tính B = KQ a b c a2 b2 c2 Tính Bài 3: Cho a + b + c bc ca ab bc ca ab Bài 4: Cho ax + by = z; by + cz = x; ax + cz = y x + y + z KQ 1 a b c Tính P = Bài 5: Cho x; y; z thoả mãn xyz = 2008 Tính Q = 2008x y z xy 2008x 2008 yz y 2008 xz z KQ 1 1 Bài 6: Cho a; b; c số thực thoả mãn a b c a b c a b c Tính S = a2007 + b2007 + c2007 KQ 26021 Bài 7: Cho a, b, c ba số phân biệt khác không thoả mãn điều kiện: a + b + c = Tính giá trị biểu thức P=( a b c bc ca a b )( ) bc ca ab a b c KQ Dạng tính giá trị biểu thức chứa Yêu cầu nắm vững khái niệm, phép tính phép biến đổi bậc hai bậc bậc n để vận dụng rút gọn biểu thức Căn bậc hai Ví dụ 1: Tính giá trị a) A = b) B = 73 12 35 294 24 90 Gợi ý Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS a) Dùng máy tính CASIO để tính kết A = ( 45 28 ) + 240 54 b) Giải cách kết A = - ( 10 ).(3 ) kết C = Ví dụ 2: Tính giá trị C = 20 40 D= Gợi ý viết D = 2 10 2 = ( 1) = Ví dụ 3: Cho ( ( x 2008 x)( y 2008 y) = 2008 Tính x2009 + y2009 KQ x + y = => x = - y => x2009 + y2009 = Ví dụ 4: Cho a + b + c = a; b; c Chứng minh = 1 1 1 Vận dụng tính S a b c2 a b c 1 1 1 1 + + .+ 12 2 32 12 32 12 99 100 Kết S = 98,49 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau C = ( 15 12 )( 11) 6 Gợi ý Trục thức mẫu biểu thức C=( 15( 1) 4( 2) 12(3 ) )( 11) C = ( 11) ( 11) = - 115 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau D= 1 1 2 2 33 100 99 99 100 Gợi ý Xét biểu thức tổng quát 1 = k k ( k 1) k k k Ví dụ 7: Cho biểu thức A = KQ: D = 0,9 x4 x4 x4 x4 16 x x a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Gợi ý a)* Tìm tập xác định A: x > x4 * Rút gọn với x > A = * Với < x ta có A = x4 x 4x x4 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS 2x * Với x > ta có A = x4 4x Z A = 4+ 16 Z < x- 4(1) b) * Với Với < x & x Z ta có A = x4 x4 Để A nguyên x phải Ư(16) & thoả mãn (1) => x nhận giá trị 1; 2; => x nhận giá trị 5; 6; A nhận giá trị 20; 12; * Với x > 8; x (k Z để A = 2x x Z tr-ớc hết x4 x phải nguyên Do x - = k2 2k 2k N ) x = + k => A = k k * Vì x > => k2 > => k > Để A Z k nhận 20; 68 A = 10; 17 Ư(8) & k > Do k nhận giá trị 4; => x Kết luận: x = 5; 6; 8; 20; 68 Ví dụ 8: Cho a; b; c số d-ơng thoả mãn: a + b + c + Tính Q = abc =4 a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) - abc Gợi ý Xét a(4 b)(4 c) = a(16 4b 4c bc) Từ giả thiết a + b + c + =>16- 4b 4c = 4a + abc Do a(4a abc bc) = 2a + a(4 b)(4 c) = abc =4 a(16 4b 4c bc) = abc T-ơng tự b(4 a)(4 c) = 2b + Vậy Q = abc ; c(4 a)(4 b) = 2c + abc Ví dụ 9: Cho dãy số x1; x2; x3; xn đ-ợc xác định nh- sau: x1 = 1; xn = x n tính x2006; x2007; 3x n x2008 Gợi ý Tính x2 = - (2 + ); x3 = - 2; x4 = tiếp tục nh- thấy x5 = x2; x6 = x3; x7 = x4 => x3k+1 = x1; x3k+2 = x2; x3k = x3 Nh- tính đ-ợc x2006; x2007; x2008 Căn bậc ba Chú ý số có bậc phép tính phép biến đổi bậc với bậc Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức D = 10 10 27 27 Gợi ý Có thể biến đổi biểu thức d-ới dấu lập ph-ơng biểu thức khai tính kết (cách khó hơn) Có thể lập ph-ơng hai vế tìm D cách giải ph-ơng trình bậc D3 = + 10 1 + - 10 + 100 D 27 27 27 D3 = +2D ( D -2)(D2 + 2D +2) = D = D2 + 2D +2 > Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Ví dụ 2: Cho x = 23 513 23 513 ( 1) 4 Tính giá trị biểu thức M = 2x3 + 2x2 +1 Gợi ý Đặt 23 513 = a; 23 513 =b Khi ab = 1; a3 + b3 = 23 Ta có 3x + = a + b Lập ph-ơng hai vế đ-ợc 27x3 + 27x2 + 9x + = a3 + b3 + 3ab(a + b) 27x3 + 27x2 + 9x + = 23 + 3(3x + 1) 2x3 + 2x2 = M = 2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Nếu có: n a n bn c = b) Nếu ax3 = by3 = cz3 n a b c = a b c với số nguyên d-ơng lẻ n, ta abc 1 x y z ax by cz = a b c Gợi ý a)Chỉ đ-ợc a = - b a = - c; c = - a b) Đặt Rồi suy ax by cz = A Biến đổi để A = x a = y b = z c a = A ; x b = B C ; c = biến đổi tiếp x x Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Phần II: Bất đẳng thức Yêu cầu HS chứng minh đ-ợc tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức th-ờng dùng biết vận dụng để chứng minh số toán BĐT A.Một số bất đẳng thức th-ờng dùng Bất đẳng thức Cô-Si * Với số d-ơng a, b a + b ab dấu = xy a = b *Với số d-ơng a, b, c a +b +c 3 abc dấu = xy a = b = c * Tổng quát : với a1; a2; a3;an a1+ a2+ a3++an n n a 1a a a n Dấu = xy a1 = a2= a3 = = an Bất đẳng thức Bunhiacopxki *Với cặp số (a; b) và(x; y) (ax + by)2 (a2 +b2)(x2+y2) Dấu = xy a b x y *Với số (a; b; c) và(x; y; z) (ax + by+ cz)2 (a2 +b2+ c2)(x2+y2+ z2) Dấu = xy a b c = x y z 3.Một số bất đẳng thức đ-ợc suy từ bất đẳng thức * (a + b)2 2(a2 +b2) Dấu = xy a = b * (a + b + c)2 3(a2 + b2+ c2) Dấu = xy a = b = c x y với x; y l số dấu Dấu = xy x = y y x 1 * với x; y dương Dấu = xy x = y x y xy 1 * (x + y +z)( ) với x; y; z d-ơng x y z * B.Một vài ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức I.Ph-ơng pháp dùng định nghĩa BĐT tính chất luỹ thừa bậc chẵn ab bc ca với a; b; c > 1 Ví dụ2: Chứng minh rằng: a) với số d-ơng x; y thoả mãn xy x y z xy Ví dụ1: Chứng minh a + b + c b) Cho x; y; z > thoả mãn x; y; z 1 2 xyz x y z Gợi ý a) 1 (2 + x + y)(1 + x y z xy ( x xy ) (1 + x)(1 + y) y )2 (1 xy ) b) áp dụng câu a 1 2 (vì z < 1) x y xy xyz 1 2 (vì x < 1) 2 yz xyz y z Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS 1 2 (vì y < 1) x z xz xyz Cộng vế với vế => ĐPCM II.Ph-ơng pháp làm trội làm giảm Ví dụ 1: a) Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 1 1 < 2( với n > 1) n 12 2 32 n2 1 1 < 3 n Gợi ý a) Với k > 1, ta có: 1 1 (k 1)k k k k 1 1 1 1 1 Do đó: (đpcm) 2 n n n n b) Với k > 1, ta có: 4 1 2 2( ) 2 k 2k k 4k 4k (2k 1)(2k 1) 1 Vậy 2( ) 2k k k 1 1 1 1 1 Do đó: < + ( ) < 1+ 5 2n 2n 3 n * Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức với n N ; n 1 1 n n 2 n Giải: 1 1 n a) Chứng minh A > n Đặt A= Làm giảm số hạng A 2 2( k k ) k k k k k Do A > 2[ ( 3) ( ) ( n n 1) ] = ( n ) = n 2 > n 3> n a) Chứng minh A < n Làm trội số hạng A 2 2( k k 1) k k k k k Do A < 2[ ( n n 1) ( ) ( 1) ] = ( n 1) = n (đpcm) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 với n (n 1) n Giải: Ta biến đổi số hạng tổng quát vế trái Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS k 1 1 1 k( ) k( )( ) k k (k 1) k k (k 1) k k k k k 1 1 (1 )( ) 2( ) k k k k k 1 1 1 Do đó: 2(1 ) (đpcm) (n 1) n n III.Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức biết: Ví dụ 1: Cho a, b, c số d-ơng Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc ca ab Cách 1(Dựa vào bất đẳng thức Cô si) a2 bc a2 b c a a bc bc a2 bc Suy ra: a bc b2 ca T-ơng tự b ca c2 ab c ab Cộng vế bất đẳng thức trên, ta đ-ợc: a2 b2 c2 abc abc (a b c) bc ca ab 2 Cách Theo bất đẳng thức bunhia Côpxki: (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax+by+cz)2.Ta có: a b c b c c a a b b c c a a b 2 2 b c a bc ca a b ca ab bc a2 b2 c2 ( )(2a 2b 2c) (a b c) bc ca ab a2 b2 c2 abc bc ca ab Ví dụ 2: a) Cho hai số d-ơng a, b có a + b = Chứng minh rằng: 1 ab a b 2 14 ab a b Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS b) Cho a; b; c > Chứng minh rằng: 1 1 1 ( ) 2a b c a 2b c a b 2c a b c c) Cho a; b; c a + b + c = Chứng minh rằng: a+2b + c + 4(1- a)(1- b)(1- c) Giải a) áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: 1 ) xy x y xy 1 (1) với x; y > x y xy (x+y)( 1 a b Ta có: ab (2) ab áp dụng bất đẳng thức (1) (2) ta có: 1 1 4 2 ab a b 2ab 2ab a b (a b ) Dấu "=" xảy a b 2 1 4 *) ( ) 14 ab a b 2ab a b 2ab 2ab a b 2 (a b) Dấu "=" xảy a b 1 1 ( ) (3) b) Từ (1) suy ra: xy x y áp dụng bất đẳng thức (3), ta có: 1 1 1 1 1 1 ( ) [ ( )] 2a b c 2a b c 8a 4 b c 8a 16b 16c 1 1 T-ơng tự a 2b c 16a 8b 16c 1 1 a b 2c 16a 16b 8c 1 1 1 ( ) Cộng vế với vế 2a b c a 2b c a b 2c a b c Dấu "=" xảy a b c c) áp dụng bất đẳng thức 4xy (x+y)2 ta có: 4(1- a)(1- b)(1- c) = 4(b + c)(1- c)(1- b) (1+b)2(1-b)= (1+b) (1-b2) 1+b = a+2b+c 1 Dấu "=" xảy a = ; b = 0; c = 2 Ví dụ 3: Cho x; y; z x+y+z=1 Chứng minh: 4x 4y 4z 39 Giải Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 10 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Vậy với x = y = z = thoả mãn hệ cho Phần Số học I Chia hết Yêu cầu nắm đ-ợc: - Các dấu hiệu, tính chất chia hết - Đồng d- thức -Thuật toán Ơclít - Nguyên lý Điríchlê - Số nguyên tố -Số ph-ơng Ví dụ1: Cho P = ( a+b)(b+c)(c+a) - abc với a; b; c số nguyên Chứng minh a+b+c chia hết cho P chia hết cho Gợi ý Đặt T = a + b + c, lúc P = (T - a) (T - b) (T - c) - abc = (ab + bc + ca)T - 2abc T chia hết số a; b; c có số chia hết cho => P chia hết cho Ví dụ 2: Cho a1; a2; an 1;1; n N* thoả mãn: a1.a2 + a2.a3+ a3.a4++ an.a1 = Chứng minh n chia hết cho Gợi ý Đặt x1 = a1a2 ; x2 = a2a3 ; x3 = a3a4 ;; xn = ana1 => x1; x2; x3; xn 1;1 Từ GT ta có x1+ x2+ x3+ + xn = => số x1; x2; x3; xn số số - Giả sử số -1 m (m N*) => n = 2m x1 x2 x3. xn = (-1)m (1) Mặt khác x1 x2 x3. xn = (a1 a2 a3 a4 an)2 = (2) từ (1)& (2) => m chẵn n chia hết cho Ví dụ 3: Cho n số tự nhiên Chứng minh P(n) = 32n+2 + 26n+1 chia hết cho 11 với n Gợi ý Chứng minh quy nạp *Với n = ta có P(0) = 32 + 22 = 11 chia hết cho 11 Vậy toán với n = *Giả sử toán với n = k (k 1; k N) nghĩa P(k) = 32k+2 + 26k+1 = 11.Q 32k+2 = Q - 26k+1 Khi P(k +1) = 32(k+1)+2 + 26(k+1)+1 = 32k+2 + 26 26k+1 = (32k+2 + 26k+1) + 55.26k+1 (vì 32k+2 + 26k+1) chia hết cho 11 55 chia hết cho 11 => P(k +1) chia hết cho 11 *Kết luận toán đ-ợc chứng minh Ví dụ Chứng minh Sk = 1k + 2k + 3k + + nk chia hết cho n(n 1) ; với n số tự nhiên tuỳ ý khác k số tự nhiên lẻ Gợi ý k k Ta có (a + b ) chia hết cho ( a + b) với k lẻ Xét hai tr-ờng hợp: * n chẵn n )k ] chia hết cho n +1 n n n S k = [1k + (n-1)k] + (2k + (n - 2)k ) +.+ [( )k + ( )k ] + ( )k + nk 2 n S k = (1k + nk) + (2k + (n-1)k ) +.+ [( )k + ( Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 50 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS chia hết cho n Tr-ờng hợp S k chia hết cho n(n 1) * n lẻ n k n k n k n ) +( ) ]+ ( ) chia hết cho 2 2 n k n k S k = [1k + (n-1)k] + [2k + (n - 2)k ] +.+ [( ) +( ) ]+ nk chia hết cho n 2 S k = (1k + nk) + (2k + (n-2)k ) +.+ [( Tr-ờng hợp S k chia hết cho Vậy S k chia hết cho n(n 1) n(n 1) với n N k số tự nhiên lẻ Ví dụ 5.Chứng minh abc số nguyên tố ph-ơng trình ax2 + bx + c = nghiệm hữu tỉ Gợi ý Chứng minh phản chứng Giả sử ph-ơng trình ax2 + bx + c = có nghiệm hữu tỉ b 4ac m (m N ) Xét 4a abc = 4a( 100a +10b +c) = 400a2 +40ab + 4ac = 400a2 +40ab +b2- m2 =( 20a +b)2 - m2= ( 20a +b +m) (20a + b - m) Tồn hai thừa số( 20a +b +m) ; (20a + b - m) chia hết cho số nguyên tố abc Điều không xảy hai thừa số nhỏ abc Thật m < b ( m2 - b2 = - 4ac < 0) nên 20a +b - m < 100a +2b < 100a +10b +c Kết luận: Nếu abc số nguyên tố ph-ơng trình ax2 + bx + c = nghiệm hữu tỉ II.Ph-ơng trình nghiệm nguyên Ví dụ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: a) (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2 b) x2 + 8x = 32y Gợi ý a) C1 : (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2 x2y2 + 4x2 + 4y2 + y4 - 8xy2 = (xy - 2x)2 + (2x - y2)2 = y x y 2 x y xy y x y 2 x20 x y x 2; y 2 x y KL Nghiệm nguyên ph-ơng trình (x; y) = (0; 0); (2; 2); (2; -2) C2 : Dùng BĐT Côsi ý: y2 + y ; x2 + y2 xy b Gợi ý : x2 + 8x = 32y x2 +8x+16 - 32y = 16 ( x+4 +3y)( x+4 - 3y) = 16 Nhận xét : x+4 +3y x+4 - 3y tính chẵn lẻ x+4 +3y > x+4 - 3y nên ( x+4 +3y)( x+4 - 3y) = 8.2 = (-2)(-8) Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 51 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x y x x y y x y x x y y Vậy : Nghiệm ph-ơng trình : (x;y) = (1;1); (-9;1) Ví dụ Tìm cặp số nguyên x; y thoả mãn điều kiện: (x - 2008)2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Gợi ý (x - 2008)2 = (y2+3y)( y2+3y+2) Đặt t = y2 +3y ta có : (x-2008)2 = t(t+2) Nêú t > t2< t(t+2) < (t+1)2 Do : (x-2008)2 không số ph-ơng Vậy t Lúc y +3y = y(y+3) Vì y Z nên y 0;-1;-2;-3 Vậy cặp số nguyên cần tìm (2006; -3); (2008;-2) ; (2008;-1); (2008;0) Ph-ơng pháp chứng minh Ph-ơng pháp chứng minh phản chứng Ph-ơng pháp chứng minh Quy nạp toán học Giới thiệu số đề thi chọn HSG toán Phòng giáo dục Yên Khánh đề thi: môn toán lớp kì thi học sinh giỏi huyện năm học 2006 - 2007 (Học sinh làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính (4 điểm): 12 12 1/ 2/ 15 10 15 Bài 2: (4 điểm): Cho A 2x 2x 2x 2x 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tìm giá trị nhỏ A Bài 3: (4 điểm): 1/ Giải ph-ơng trình: 2x 5a x a + 2a( a - 1) = , ( a tham số d-ơng) 2/ Tìm (x, y) thoả mãn: Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 52 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x y 2006 x y 2006 Bài 4: (5 điểm): Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, cạnh AB, AD t-ơng ứng lấy điểm E F 1/ Nếu AE = AF, gọi H hình chiếu A DE Chứng minh : a/ AHE DHA b/ FH HC 2/ Giả sử E, F thay đổi AB, AD cho chu vi tam giác AEF 2a (không đổi), tìm vị trí E, F để diện tích tam giác AEF đạt giá trị lớn Bài 5: (3 điểm): Cho ABC có độ dài cạnh BC = a, AC = b, AB = c 1/ Chứng minh rằng: S2 = p(p - a)(p - b)(p - c) , với S diện tích, p nửa chu vi tam giác 2/ Cho BC = c, AC = c, AB = c, tính độ dài đ-ờng phân giác AD Họ tên thí sinh: SBD: Phòng GD&ĐT đề thi học sinh giỏi huyện lớp Năm học Yên Khánh 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 Thu gọn biểu thức: a) A = 29 12 b) B = 20 40 12 15 6 c) C = 11 a a : a a a a a) Rút gọn biểu thức Q với a > 0, a a Cho Q b) Tìm giá trị a để Q có giá trị âm Bài Tìm x: 1) x x 2) Bài 1) Cho: x + y + z = 1, x, y, x x 1 x 11 , chứng minh rằng: 6x 11 6y 11 6z 11 13 Dấu xảy x, y, z bao nhiêu? 2) Cho x x 2007 y y 2007 2007 Tính S = x + y Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 53 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Bài Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, M điểm cạnh AD, BM cắt DC K Kẻ MBI Tia phân giác góc IBC cắt DC N tia Bx cắt cạnh DC I cho ABM 1) Chứng minh: KD.DC = KC.DM 2) Chứng minh : MN BI 3) Giả sử AM = 3MD, tính diện tích tam giác BMN Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh M, N, P điểm t-ơng ứng cạnh AB, BC, CA (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: MA.AP PC.CN NB.BM Phòng GD&ĐT Yên Khánh Biểu chấm môn toán Kỳ thi học sinh giỏi huyện năm học 2007-2008 Bài 1: điểm 1) điểm, ý điểm b) B = 20 40 29 12 a) A = = 62 = 0,5 điểm = 0,25 điểm = 2 =3 2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 11 = = 11 11 = -115 12 15 6 c) C = 0,5 điểm 0,5 điểm 11 2) điểm, ý điểm a a : a a a a a a a a = : a a a a a) Q = 0,5 điểm a , với a > 0, a a a a b) Q < a 0, a 4, a Tìm đ-ợc < a < a 0,5 điểm = 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 2: điểm, ý điểm 1) x x Tìm điều kiện x 0,25 điểm 2) x x (1) Tìm điều kiện x Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 0,25 điểm 54 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x4 Và x x x Với x 1, ta có: Suy ra: 0,5 điểm 0,25 điểm Từ (1) ta có: x x x-1 (x - 1)2 (2 vế K âm) (x - 1)(x - 2) 0,25 điểm x Dấu ''='' xảy khi: x 0,25 điểm Vì x - 0, x - Tìm đ-ợc x Kết luận 0,5 điểm Tìm đ-ợc x = (T/ mãn), KL Bài 3: điểm, ý điểm 1) HS chứng minh đ-ợc bất đẳng thức: (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) Vận dụng BĐT suy đ-ợc: 6x 11 6y 11 6z 11 3.39 = 13 Dấu xảy x = y = z = 2) Ta có x x 2007 x x 2007 y y2 2007 y y2 2007 20072 xy -x y2 2007 y x 2007 x Từ GT xy +x y2 2007 y x 2007 Cộng vế với vế (1) (2), ta có: xy + 2007 y 2007 = 2007 (1) x x 2007 y 2007 = 2007 (2) 2007 y2 2007 = 2007 Biến đổi đ-ợc (x + y)2 = 0, suy S = Bài 4: điểm, ý điểm a) Chứng minh đ-ợc: KMD đồng dạng với KBC Suy : KD.BC = KC.MD Suy ra: KD.DC = KC.MD b) Trên tia Bx lấy H cho BH = BA Chứng minh đ-ợc ABM HBM 900 = BHM BAM Chứng minh đ-ợc BCN BHN = BHN 900 BCN Suy M, H, N thẳng hàng MN BI 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm c) Đặt NC = NH = x 3a Tính đ-ợc: MN x 0,25 điểm a Mặt khác: MN a x 2 0,25 điểm 3a a Suy x = a x a 25a Tìm đ-ợc x = , tính đ-ợc MN = 28 25a Tính đ-ợc SBMN 56 0,25 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm Bài 5: điểm Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 55 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Lấy M, N, P t-ơng ứng AB, BC, CA, cho AM = a, BN = b, CP = c, < a, b, c < 1, MB, NC, PA > Ta có: SAMP SBMN SCPN SABC 0,5 điểm 0,5 điểm Suy ra: AM.AP BM.BN CP.CN sin 60 sin60 0 0,5 điểm AM.AP BM.BN CP.CN < (đpcm) 0,5 điểm L-u ý: -Biểu chấm trình bày tóm tắt lời giải, HS phải lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh làm cách khác, lập luận cho điểm tối đa B A M H K D I N C x H-ớng dẫn chấm Toán ( Kỳ thi chọn HSG huyện năm học 2006 2007) Bài Tính (4 điểm): 12 12 1/ 42 42 = = ( 1) ( 1) = = - ( 1) 1- = 2/ 15 10 ( điểm) ( 0,5điểm) =2 12 = 15 ( 0,5điểm) 15 15 ( 3) ( 0,5điểm) = 15 ( 3) ( 0,5điểm) = ( ) ( 3) ( 0,5điểm) = ( 3) ( 3) =2 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long ( 0,5điểm) 56 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Bài 2: (4 điểm): Cho A 2x 2x 2x 2x 1/ Rút gọn biểu thức A( điểm) TXĐ: x2 (0,5 điểm) A 2x 2x 2x 2x (0,5 điểm) A ( 2x 2) ( 2x 2) 2x A= (0, điểm) 2x (0, điểm) A= (1 điểm) 2 x 2/ Tìm giá trị nhỏ A (1điểm) Cách 1: Theo kết phần * Với x < A = (0, 25 điểm) * Với x A = 2x (0, điểm) Vậy GTNN A = x 4(0,2 điểm) Cách 2: Theo kết phần ( cho điểm t-ơng ứng) A= 2x 2x áp dụng BĐT : a + b a b Dấu = xy ab Ta có A= 2x 2x 2x 2x = Dấu = xy ( x 2)(2 x ) x ( x 0) x Vậy GTNN A = x Bài 3: (4 điểm): 1/ Giải ph-ơng trình: ( 2điểm) 2x 5a x a + 2a( a - 1) = , ( a tham số d-ơng) TXĐ: x a (0,25 điểm) Ph-ơng trình cho t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 57 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS ( x a ) - 5a x a + 2a2 = (*) (0,5điểm) Cách 1: ( xa - a) - a = 16 ( xa - 5 a + a ) ( x a - a - a ) = (0,25 điểm) 4 4 (0, 25 điểm) ( x a - 2a) (2 x a - a) = (0,25 điểm) x a a x - a - 2a a2 x a x - a - a (0,25 điểm) Kết luận ph-ơng trình cho có hai nghiệm x1 = 4a a ; x2 = a2 a (0,25 điểm) Cách 2: ( cho điểm t-ơng ứng) Đặt xa =t ph-ơng trình (*) trở thành 2t2 5at + 2a2 = 2t2 4at at + 2a2 = (t 2a) ( 2t a) = t 2a t a Theo cách đặt ta có x1 = 4a a ; x2 = a2 a a2 a Kết luận ph-ơng trình cho có hai nghiệm x1 = 4a a ; x2 = 2/ Tìm (x, y) thoả mãn: ( 2điểm) x y 2006 x y 2006 TXĐ x; y 0; x + y ( 0,25 điểm) Ph-ơng trình cho t-ơng đ-ơng với x y 2006 + 2006 = x y 2006 ( x + y) - xy = 20062 (x 2006) ( 2006 y) = ( 0,75 điểm) Với x = 2006 ; y nhận giá trị ( 0,5 điểm) Với y = 2006 ; x nhận giá trị ( 0,25 điểm) Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 58 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Ph-ơng trình cho có nghiệm (x = 2006; y nhận giá trị ( 0,25 điểm) Bài 4: ( điểm) Câu 1: ( điểm) a) (1,5đ) AHE E A B D C FAH = AEH ( phụ với HAE) AEH = HDC ( so le trong) Vậy FAH = HDC (2) Từ (1) & (2) = > (0, điểm) (0, 25 điểm) FAH đ Dạng với CDH ( c.g.c) AHF = DHC FHC = FHD + DHC = => (0, điểm) FHD + AHF = 900 (0, 25 điểm) Vậy FH HC Câu 2: ( điểm) (0, 25 điểm) Đặt AE = x; AF = y ( x; y > 0) Ta có EF = x y Gọi p chu vi A AEF Do 2a = x + y + x y xy + xy xy ( + xy 2a => 2 x E B y p = x + y + x y = 2a (0,25 điểm) Mặt khác x + y xy Và x2 + y2 2xy ( hai vế d-ơng) = > x y xy (0,25 điểm) = > 2a 0; y= 2006) F AH AE AF ( AE = AF; AD = DC) DH AD DC AH AF Vậy (1) (0,75 điểm) DH DC Ta có H Nên AHE đồng dạng với DHA ( g.g) b) (2,5đ)Từ AHE đ dạng với DHA Mặt khác 0); (x nhận giá trị DHA có AHE = DHA ( = 900) HAE = HAD ( phụ với DAH) => F D C ) => xy 4a (2 ) (0,25 điểm) Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 59 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Vậy S AEF = 2a ( không đổi) xy (2 ) 2a A Dấu = xy x = y = (2 ) 2a x=y= 2 E B x 2 2a Vậy S AEF đạt GTLN = x y F (0,25 điểm) D C Bài ( điểm) 1) (1điểm) Đặt HC = x A Ta có b2 x2 = c2 ( a x)2 =>x= a2 b2 c2 2a (0,25 điểm) Vậy AH2 = b2 x2 = b2 ( a2 b2 c2 ) 2a B (0,25 điểm) C H D a AH2 a2 b2 c2 = a2 ( b ( )) 2a Do S2 = ( 4a2b2 ( a2 + b2 c2)2) 16 = ( 2ab + (a2 + b2 c2)) (2ab (a2 + b2 c2)) (0,25 điểm) 16 = ( a + b + c)(a + b - c)(a + c b)(b + c - a) 16 = = p( p a) ( p b) ( p c) (0,25 điểm) 15 15 c;S= c (0, điểm) 64 Theo tính chất đ-ờng phân giác tính đ-ợc BD = c (0,5 điểm) 2S AH = = c (0,25 điểm) BC 16 BH = AB AH = c (0,25 điểm) 16 2) (2,0điểm)Tính đ-ợc p = Ta có AD2 = AH2 + HD2 = AB2 - BH2 + ( BD - BH)2 = AB2 + BD2 - 2BD BH 2 25 c c = c2 ( + - ) = c 16 36 = > AD = c (0,5 điểm) = c2 + L-u ý : Nếu học sinh giải cách khác cho điểm t-ơng đ-ơng Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 60 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Phòng GD&ĐT Yên Khánh đề thi học sinh giỏi huyện lớp Năm học 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 Thu gọn biểu thức: a) A = 29 12 b) B = 20 40 12 15 6 c) C = 11 a a : a a a a a) Rút gọn biểu thức Q với a > 0, a a Cho Q b) Tìm giá trị a để Q có giá trị âm Bài Tìm x: 1) x x 2) Bài 1) Cho: x + y + z = 1, x, y, x x 1 x 11 , chứng minh rằng: 6x 11 6y 11 6z 11 13 Dấu xảy x, y, z bao nhiêu? 2) Cho x x 2007 y y 2007 2007 Tính S = x + y Bài Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, M điểm cạnh AD, BM cắt DC K Kẻ MBI Tia phân giác góc IBC cắt DC N tia Bx cắt cạnh DC I cho ABM 1) Chứng minh: KD.DC = KC.DM 2) Chứng minh : MN BI 3) Giả sử AM = 3MD, tính diện tích tam giác BMN Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh M, N, P điểm t-ơng ứng cạnh AB, BC, CA (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: MA.AP PC.CN NB.BM Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 61 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Phòng GD&ĐT Yên Khánh Biểu chấm môn toán Kỳ thi học sinh giỏi huyện năm học 2007-2008 Bài 1: điểm 1) điểm, ý điểm b) B = 20 40 29 12 a) A = = 62 = 0,5 điểm = 0,25 điểm = 2 =3 2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 11 = = 11 11 = -115 12 15 6 c) C = 0,5 điểm 0,5 điểm 11 2) điểm, ý điểm a a : a a a a a a a a = : a a a a a) Q = 0,5 điểm a , với a > 0, a a a a b) Q < a 0, a 4, a Tìm đ-ợc < a < a 0,5 điểm = 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 2: điểm, ý điểm 1) x x Tìm điều kiện x x4 Và x x x Với x 1, ta có: Suy ra: x Dấu ''='' xảy khi: x 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2) x x (1) Tìm điều kiện x Từ (1) ta có: x x x-1 (x - 1)2 (2 vế K âm) (x - 1)(x - 2) Vì x - 0, x - Tìm đ-ợc x Kết luận 0,5 điểm Tìm đ-ợc x = (T/ mãn), KL Bài 3: điểm, ý điểm 1) HS chứng minh đ-ợc bất đẳng thức: (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 62 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Vận dụng BĐT suy đ-ợc: 6x 11 6y 11 6z 11 3.39 = 13 Dấu xảy x = y = z = 2) Ta có x x 2007 x x 2007 y y2 2007 y y2 2007 20072 xy -x y2 2007 y x 2007 x Từ GT xy +x y2 2007 y x 2007 Cộng vế với vế (1) (2), ta có: xy + 2007 y 2007 = 2007 (1) x x 2007 y 2007 = 2007 (2) 2007 y2 2007 = 2007 Biến đổi đ-ợc (x + y)2 = 0, suy S = Bài 4: điểm, ý điểm a) Chứng minh đ-ợc: KMD đồng dạng với KBC Suy : KD.BC = KC.MD Suy ra: KD.DC = KC.MD b) Trên tia Bx lấy H cho BH = BA Chứng minh đ-ợc ABM HBM 900 = BHM BAM Chứng minh đ-ợc BCN BHN = BHN 900 BCN Suy M, H, N thẳng hàng MN BI 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm c) Đặt NC = NH = x 3a Tính đ-ợc: MN x 0,25 điểm a Mặt khác: MN a x 2 0,25 điểm 3a a Suy x = a x a 25a Tìm đ-ợc x = , tính đ-ợc MN = 28 25a Tính đ-ợc SBMN 56 0,25 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm Bài 5: điểm Lấy M, N, P t-ơng ứng AB, BC, CA, cho AM = a, BN = b, CP = c, < a, b, c < 1, MB, NC, PA > Ta có: SAMP SBMN SCPN SABC Suy ra: AM.AP BM.BN CP.CN sin 60 sin60 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm AM.AP BM.BN CP.CN < (đpcm) 0,5 điểm L-u ý: -Biểu chấm trình bày tóm tắt lời giải, HS phải lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh làm cách khác, lập luận cho điểm tối đa Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long B 63 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS B A M H K D I N C x Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 64 [...]... MinS = 2 4 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 23 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS B = ( 1+ x ) (1+ 1 y ) + (1+ y ) (1+ 1 x ) Trong đó x và y là các số d-ơng thoả mãn x+ y = 1 (Câu 1 ý b đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Ninh Bình năm học 2004 - 2005) Giải 1 B= x B= x x 1 y 1 2 x x y y y y x 2 1 1 1 1 ( ) 2 y 2 x y x y... (Đề thi Đại học khối B năm 2003) Giải TXĐ: -2 x 2 Giả sử x TXĐ ; biểu thức x + 4 x 2 nhận giá trị y0 Ph-ơng trình y0 = x + 4 x 2 hay y0 x = 4 x 2 có nghiệm => (y0 x)2 = 4 x2 2x2 2y0x +y02 4 = 0 có nghiệm ' = 8 - y02 0 -2 2 x 2 2 Vì x - 2 => y -2 Do đó - 2 y0 2 2 Vậy Min Y= - 2 x = -2 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 22 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS MaxY... Lời giải sai 1 1 1 Ax x ( x ) 2 4 4 1 1 Vậy MinA = x vô lí 4 2 Lời giải đúng Để tồn tại Do đó x phải có x 0 A x x 0 MinA = 0 x = 0 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 13 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Ví dụ 2: Tìm GTLN của A = xyz(x+y)(y+z)(x+z) với x,y,z 0 và x + y + z = 1 Lời giải sai áp dụng BĐT 4ab (a b)2 4(x y).z (x y z)2 1 4(x y).z (x y z)2 1 Nhân từng... dấu = tức l x=a; x=b đòi hi phi có a=b ; a+b thì không có đ-ợc A=4 ab Lời giải đúng x 2 (a b)x ab ab A x (a b) 2 ab a b ( a b )2 x x Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 14 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS ab x Vậy MinA = ( a b ) x x ab x 0 2 Ví dụ 4 : Tìm GTNN của A= 2x+3y biết 2x2 + 3y2 5 Lời giải sai Gọi B = 2x + 3y , ta có B 5 2 2 1 2 1 2 Xét A+B = 2x+3y+2x2... của A (A>0) ta có thể xét biểu thức phụ 1 ;A; A ; A 2 Hoặc B sai A khác A một hằng số Ví dụ 2: Tìm GTNN của A 2 1 với 0 < x < 1 1 x x Giải Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 15 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS 2 1 Ta có thể xét biểu thức B với 0 < x < 1 1 x x áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số d-ơng 2x 1 x ; 1 x x 2x 1 x 2 2 1 x x (1) 2x 1 x B = 2 2 1 x x 0 x 1( 2... 1)(3 x) (6 x) (3 x) ( (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) ) 2 3 Vì ( ( x 1)(6 x ) ( x 2)(3 x ) ) 2 0 , nên A2 3 Dấu " =" xảy ra x = 0 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 16 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Do A > 0 nên MinA = 3 khi x = 0 II Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN A (x 4 1)(y 4 1) biết x; y 0; x y 10 Giải A (x 1)(y 1) x y... y2 y Giải a) Điều kiện x 1; y 2 Ta có 2(a 2 b 2 ) (a b) 2 a b 2(a 2 b 2 ) áp dụng bất đẳng thức trên A 2(x 1 y 2) 2(x y 3) 2 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 17 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x 1 y 2 x 1,5 MaxA= 2 x y 4 y 2,5 b) Điều kiện x 1; y 2 ab áp dụng bất đẳng thức ab 2 1 x 1 x Coi các bất đẳng thức x 1 1.(x 1) 2 2 2.(y 2) y y2 2 2... 2 1 3 CM: a+b+c =1 (a b c) 2 1 a 2 b 2 c 2 2(ab bc ac) 1 Mà a 2 b 2 c 2 ab bc ac 3(a 2 b 2 c 2 ) 1 a 2 b 2 c 2 1 3 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 18 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS 1 áp dụng kết quả trên x 2 y 2 y 2 z 2 x 2 z 2 xy yz xz 3 1 A x4 y4 z4 3 1 3 Amin = x y z 3 3 Ví dụ 4: a) Cho x; y thay đổi sao cho 0 x 6 và 0 y 7 Tìm... 2 y y 2 x (x 2 y 2 ) (x y ) 2 (x y ) mà P = + (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) Dấu = xy ra xyz 2 xy yz 2 xz 1 2 8 x=y=2 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 19 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS c) áp dụng BĐT (a2 + b2) (x2 + y2) x (ax + by)2 y x y Ta có ( ) 2 ( ) 2 (32 4 2 ) (3 4 ) 2 3 4 3 4 Suy ra 36 25 x2 y2 ).25 ( x y ) 2 => ( 9 16 (x - y)2 =>... 3, khi đó A 0(2) So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận x 3 x MaxA = 4 2 x2 x 0 Ví dụ 2: Tìm GTLN của A = x 1 x 2 Giải Đ/ k: -1 x 1 Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 20 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS * Xét - 1 x o thì A 0 x2 1 x2 * Xét 0 < x 1thì A = x (1 x ) 2 x 2 1 x 2 1 2 MaxA = x 2 2 x 0 2 2 Ví dụ 3: Tìm GTNN; GTLN của A x 3 y 3 biết x; y > 0 ; x2 + ... tr-ờng THCS Thanh Long 47 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS x ( y ) y y (z ) z z ( x x ) ( Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Ninh Bình môn toán năm học 2001-2002 ) Cho học sinh. .. Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 23 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS B = ( 1+ x ) (1+ y ) + (1+ y ) (1+ x ) Trong x y số d-ơng thoả mãn x+ y = (Câu ý b đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp tỉnh... trình suy Gợi ý học sinh để ý ph-ơng trình (1) (3) ẩn số hạng tự Từ đến cách giải Giải Nguyễn Anh Tuấn Giáo viên tr-ờng THCS Thanh Long 45 Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THCS Lập ph-ơng hai