a Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD b Chứng minh rằng cĩ một mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD.. Khi đĩ, tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đĩ.. Xác định tâm và bán kính mặt cầu S
Trang 1TUẦN 15,16 TIẾT 20, 21, 22 MẶT TRÒN XOAY
I/ Mục đích yêu cầu
-Tính được thể tích khối trụ, khối nón, khối cầu
-Tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối trụ, khối nón, khối cầu
II/ Phương pháp : Vấn đáp gợi mở, diễn giảng
III/ Tiến hành
1/ Oån định
2/ kiểm tra:
3/ Nội dung ôn tập
A/ Ki ến thức cần nắm
1/Khối cầu
Diện Tích : S = 4 R 2 (R là bán kính mặt cầu )
Thể tích : V= 3
3
4 R
2/ Hình trụ, khối trụ
Diện Tích :
*Sxq = chu vi đáy * đường cao = 2R h (R là bán kính đường trịn đáy, h là chiều cao )
*Stp = Sxq + 2.Sđáy
Thể tích : V= diện tích đáy * chiều cao = R 2 h
2/ Hình nĩn, khối nĩn
Diện Tích :
*Sxq =
2
1 .chu vi đáy * đường sinh = R. l
(R là bán kính đường trịn đáy, l là độ dài đường sinh )
*Stp = Sxq + Sđáy
Thể tích : V=
3
1 diện tích đáy * chiều cao =
3
1
h
R 2
B/ Bài Tập
Bài 1 :Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
(ABCD) Biết AB = a, AD = 2a và SB = a 5
a) Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD
b) Chứng minh rằng cĩ một mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD Khi đĩ, tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đĩ
Hướng dẫn
a) Thể tích của khối chop S.ABCD là:
1
Trang 2b) Chứng minh rằng cĩ một mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD Khi đĩ,
tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đĩ
Hướng dẫn
a) Thể tích của khối chop S.ABCD là:
Ta cĩ: S.ABCD SA SABCD
3
1
Trong đĩ: SABCD = a.2a = 2.a2
Và SA SB2 AB2 5a2 a2 2a
Vậy:
3
4 2 2 3
.
a a a
b) Ta cĩ các điểm A, B và D đều nhìn
SC dưới một gĩc vuơng
Nên cĩ một mặt cầu tâm O (trung điểm SC) bán kính r =
2
3 2
a SC
Vậy: Diện tích của mặt cầu là: S =
2
2
4
9 4
a/ Tự chứng minh SO là đường cao của hình chóp
I
O B A
S
J K
Bài 2:Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,
2
SA SB SC SD a
a Chứng minh rằng SO là đường cao của hình chóp Tính SO.
b Tính thể tích V của khối chóp S ABCD.
c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
d Tính diện tích của hình sinh ra bởi cạnh SO quay quanh trục SA
Hướng dẫn
2
a
SO SA OA
b/Thể tích khối chóp: 1 . 3 14
a
V SO S
2
s
C B
o
Trang 3c/Gọi I là trung điểm SA, d là trung trực của SA trong mặt phẳng SAC và
J d SO
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm J
d/ Gọi K là hình chiếu của O trên SA
Diện tích hình sinh bởi đoạn SO khi quay quanh trục SA chính là diện tích
xung quanh của hình nón tạo thành khi quanh cạnh SO và OK quanh trục
SA
7
4
a
OK
Bài 3 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a
a/Tính diện tích xung quanh hình trụ đáy là hai đường trịn ngoại tiếp ABCD
và A’B’C’D’
b/ Tính thể tích và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
c/Tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay nhận AC’ làm trục và
sinh bởi cạnh AB
Hướng dẫn a/ Ta cĩ r = a 22 , l = a
Suy ra Sxq= 2 rl = a2 2
b/ Ta cĩ r =
2
3 2
'
a AC
S = 4 r2 = 3a2
V = 34 r3 =
2 3 3
a
c/ Ta cĩ l = a và r = a
3 6
Suy ra Sxq= r l = a2
3 6
Bài 4 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ chiều cao a và gĩc giữa mặt
bên (SAB) và mặt đáy bằng 450
a) Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD
b) Hình nĩn trịn xoay N cĩ đỉnh cĩ đỉnh S và ngoại tiếp hình chĩp
S.ABCD Tính diện tích xung quanh hình nĩn N và thể tích khối nĩn tương
ứng
Bán kính SJ 2 147 a
2
7 2
8
xq
a
S OK SO
3
A
B
C
D
A’
D’
Trang 4Hướng dẫn
Bài 5 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB=3, AD =4, AA’ =5
a Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
b Tính thể tích khối tứ diện AA’B’C’
c Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ và tính thể tích khối cầu đĩ
Hướng dẫn
a/ VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.AA’ = 3.4.5 = 60 (đvtt)
b/ Ta cĩ AA’ (A’B’C’)
VAA’B’C’= ' ' '
3AA S A B C 3 2 BA BC 3 2 (đvtt)
c/ Ta cĩ AA’ và CC’ đều vuơng gĩc với (ABCD) và (A’B’C’D’) nên AA’C’C
là hình chữ nhật Tương tự BB’D’D cũng là hình chữ nhật
Gọi I là giao điểm của A’C và BD’ thì I là tâm của hai hình chữ nhật
bằng nhau
AA’C’C và BB’D’D
=> IA =IC’ =IA’ =IC = IB=ID’ =IB’=ID vậy I là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Bán kính r = IA’ = A’C/2 = =
Thể tích khối cầu V = 4 3
3r = 4
3
3
5 2 2
= 125
3
(đvtt) Bài 6 : Cho hình chóp đều A.BCD , cạnh đáy bằng a Mỗi cạnh bên tạo
với mặt đáy (BCD) một góc 600 Gọi H là tâm của tam giác đáy BCD
1/ Tính thể tích khối chóp A.BCD
2/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD
3/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối
cầu tương ứng
Hướng dẫn
4
C B
A’
B
M
D
C
A
H I
Trang 5a/ Ta có AH ( BCD)
ABH 60 0
AH BH a 3 a
3
3 3
) ( 12
3 4
3
.
3
1
3
1
3 2
dvtt a
a
a
S AH
b/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD là giao điểm I của trục AH của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và mặt phẳng trung trực đoạn AD Hai tam giác AMI và AHD đồng dạng nên :
AD AI AM AH ( AD = 2.DH =
3
3
2a )
3
2 3
3 3
3 2
a
a a
AH
AM AD I
A
9
16 3
2 4 4
2 2
R
81
32 3
2 3
4 3
R
Bài 7 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a Cạnh bên SA a 3và vuơng gĩc với đáy.Gọi H là hình chiếu của A lên SD a/ Chứng minh SD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABH)
b/ Tính thể tích khối chĩp S.ABH
c/ Khi quay hình vuơng ABCD xung quanh trục BC thì đường gấp khúc BADC tạo thành một hình trụ trịn xoay Tính diện tích xung quanh của hình trụ và tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đĩ
Hướng dẫn
a/
5
a
a 3
A
D S
H
Trang 6* Ta cĩ SA (ABCD) ABSA
ABCD là hình vuơng nên ABAD
Do đĩ AB (SAD) ABSD (1)
* Do H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SD nên
AH SD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SD (ABH)
b/
* Do SD (ABH) nên SH là đường cao của khối chĩp S.ABH
* Lại do AB (SAD) nên tam giác ABH vuơng tại A
* Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng SAD
Ta cĩ 2 2 2 2 2 2
AH AD SA a a a
3
2
a AH
* Mặt khác 2 2 2 2 3 2 9 2
3
SH SA AH a
3
2
a SH
* Ta lại cĩ .
S ABH ABH
V S SH AB AH SH
1 . 3 3. 3 3
a
c/ * Bán kính đáy r a
Độ dài đường cao
h a
* S xq 2 rl 2 a a 2 a2
* V r h2 a a2 a3
Bài 8 :Một khối trụ cĩ bán kính đáy bằng 10 cm, chiều cao bằng đường kính
của đáy Hai bán kính OA và O’B’ lần lượt nằm trên 2 đáy sao cho chúng hợp với nhau một gĩc 600
1 Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ ?
2 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục của khối trụ đĩ Hãy tính diện tích của thiết diện tạo thành ?
6
a
a D
A
Trang 7Hướng dẫn
B'
A'
B
A
0' o
a/ Giả sử OO’ là trục của hình trụ Ta cĩ
h = OO’ = 2r = 2.10 = 20 cm
Diện tích xung quanh khối trụ
S xq 2rl2 10.20 400 ( cm2)
Thể tích khối trụ
V r h2 10 20 2000 ( 2 cm3 )
b/ Gọi A’ ; B lần lượt là hình chiếu của A ; B’ trên các mặt đáy
cịn lại
Do OA và O’B’ tạo với nhau một gĩc 600 => AOB = 600 Thiết
diện của mặt phẳng với khối trụ là hình chữ nhật ABB’A’
AOB cân tại O cĩ AOB = 600 => AOB đều => AB = 10(cm)
Vậy diện tích thiết diện ABB’A’ là
S = AB AA’ = 10.20 = 200(cm2)
IV/ Bài tập làm thêm
Bài 1 : Cho hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Bài 2 : Một hình trụ cĩ bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 Một hình vuơng cĩ các đỉnh nằm trên hai đường trịn đáy sao cho cĩ ít nhất một cạnh khơng song song và khơng vuơng gĩc với trục của hình trụ Tính cạnh của hình vuơng đĩ
Bài 3 : Cho tứ diện SABC cĩ ba cạnh SA,SB,SC vuơng gĩc với nhau từng đơi một với SA = 1cm,SB = SC = 2cm Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đĩ Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ tất cà các cạnh đều bằng a Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a
7
Trang 8Bài 5 : Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a
a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt cầu
Bài 6 : Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 600
1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau
2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón
Bài 7 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC 45 0
a Tính thể tích hình chóp
b Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 8 : Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3
1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 10 : Cho hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là tam giác đều Một hình trụ nội tiếp hình nón có thiết diện qua trục là hình vuông Tính thể tích của khối trụ theo R
8