ước lượng và kiểm định một giả thiết đã cho (xác suất thông kê)

ĐỀ TÀI THẢO LUẬN Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95% Kiểm định giả thuyết cho lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK nhỏ 30% với mức ý nghĩa 5% PHẦN I: LÝ THUYẾT Ước lượng kỳ vọng toán Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ ĐLNN X, từ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,….Xn) Từ mẫu ta tìm trung bình mẫu phương sai mẫu điều chỉnh Ta ước lượng µ thông qua 1.1 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với Do X N(µ,  nên X :∼ N  µ ,  biết σ2  ÷ n ÷ U = X σ− µ ∼ N ( 0,1) đó: n a, Khoảng tin cậy đối xứng Với độ tin cậy γ = 1− α cho trước, ta tìm phân vị chuẩn cho: P( Thay biểu thức: < )= 1- α = U = X σ− µ : N ( 0,1) n P( vào công thức trên, ta có: σ u α < ) = 1- α = n ⇔ P( – ε < µ < Trong đó: ● ε = uα ● + ε) = 1- α = σ sai số ước lượng n = 1- α độ tin cậy ( ) Như vậy, khoảng tin cậy µ là: X − ε ; X + ε với ε = uα 2 σ n , Chú ý: Nếu chưa biết , kích thước mẫu lớn (n > 30), ta thay ước lượng không chệch tốt s’ b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu µ) Ta dùng thống kê: U = X σ− µ ∼ N ( 0,1) n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm uα cho: P(U ≤ uα) = – α = γ Thay U vào ta có: P(µ ≥ X − uα σ ) = – α = γ n ( X − uα Ta có khoảng tin cậy phải µ là: σ n; +∞ ) với ε = uα σ n c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa µ) Ta dùng thống kê: U = X σ− µ ∼ N ( 0,1) n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm uα cho: P(U ≥ –uα) = – α = γ Thay U vào ta có:  σ  P  µ ≤ X + uα n ÷÷ = – α = γ   Ta có khoảng tin cậy trái µ : ( σ σ ; X + uα n ) với ε = uα n 1.2 Trường hợp chưa biết quy luật phân phối ĐLNN X, n > 30 Do n ≥ 30 nên => ≅ N(µ, ), đó: U = X σ− µ ≅ N ( 0,1) n Và hoàn toàn tương tự trường hợp 1.1, ta có: ( ) σ a, Khoảng tin cậy đối xứng µ là: X − ε ; X + ε với ε = uα n σ b, Khoảng tin cậy phải µ là: ( X − uα n; +∞ ) với ε = uα σ n σ σ ε = u X + u α α ; n ) với n c, Khoảng tin cậy trái µ là: ( 1.3 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với chưa biết Vì X có phân phối chuẩn nên:    n −1÷ T = X −' µ ∼ T   S n a, Khoảng tin cậy đối xứng Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm phân vị  P  T    < tα( n−1) ÷÷ =1−α ÷  =γ Thay biểu thức T vào công thức trên, ta có: '   P  | X − µ |< tα(n−1) S ÷ = 1− α = γ  n ÷  cho: ⇔ P( – ε < µ < + ε) = 1- α = Trong đó: • ' ε = tα(n−1) S n sai số ước lượng • = 1- α độ tin cậy • ( – ε, + ε) khoảng tin cậy µ b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu µ) Ta dùng thống kê:    n −1÷ X − µ   T= ∼T ' S n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm phân vị cho: P(T ≤ ) = 1- α = Thay biểu thức T vào công thức, ta có:   P     X −µ S' n  ÷ ( n−1) ÷ ≤ tα ÷=1 − α ÷ ÷   ⇔ P  µ ≥ X − tα( n−1)  =γ S'  ÷= 1−α = γ n ÷ Ta có khoảng tin cậy phải µ là: (n−1) ( X − ε ; + ) với ε = tα S' n c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa µ) Ta dùng thống kê:    n −1÷ X − µ   T= ∼T ' S n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm phân vị cho: P  T ≥ −tα(n−1) ÷ = 1− α = γ   Thay biểu thức vào công thức ta có:          ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷  P X −µ ≥−tα(n−1) = − α = γ S' n '   ( n−1) S ÷  P µ ≤ X + t = 1− α = γ ⇔  α ÷ n   Ta có khoảng tin cậy trái µ là: ( ( n −1) S ' ; X + ε ) với ε = tα n Kiểm định giả thuyết tỷ lệ đám đông (kiểm định giả thuyết tham số p phân phối A(p) – Xét đám đông có tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A p, p chưa biết Từ sở người ta tìm p = p nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa α ta cần kiểm định giả thuyết H : p = p Gọi f tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A mẫu ngẫu nhiên kích thước n lớn Với n đủ lớn ta có:  pq  f ≅ N  p, ÷  n Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: U= f − po po qo n Trong đó: q o = − p o Nếu H U ≅ N(0,1) {  Xét toán: H o : p = po H1: p ≠ po Với mức ý nghĩa α ta phân vị chuẩn P( cho: )=α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: W α = {utn : utn > uα } Trong đó: utn =  Xét toán: { f − p0 p0 q0 n H o : p = po H1: p > po Với mức ý nghĩa α ta phân vị chuẩn uα cho: P (U > uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: W Trong đó: α = {utn : utn > uα } f − p0 p0 q0 n utn = {  Xét toán: H o : p = po H1: p < po Với mức ý nghĩa α ta phân vị chuẩn uα cho: P (U < − uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: W Trong đó: utn = α = {utn : utn < − uα } f − p0 p0 q0 n Quy tắc kiểm định : ► Nếu u ∈ W : bác bỏ H0, chấp nhận H1 ► Nếu u ∉ W : chưa có sở bác bỏ H0 Phần II: BÀI TẬP Bảng số liệu Điểm thi môn LTXS-TK sinh viên trường Đại học Thương Mại STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Họ Tên Nguyễn Thị Thu Hường Bùi Thị Lương Lê Ngọc Hiến Lê Hoàng Duy Bùi Quang Được Nguyễn Bá Đính Lê Thị Thu Cúc Nguyễn Phi Hải Ngô Quốc Khánh Trần Hữu Nam Dỗ Hoàng Thắng Trần Nguyễn Dũng Nguyễn bá Hậu Pham Thị Huệ Nguyễn Phương Nhung Bùi Thanh Thùy Vũ Thị Thu Thùy Nguyễn Quốc Trung Nguyễn Văn Trương Phạm Thanh Duy Phạm Hoàng Hải Lê Thị Cúc Nguyễn Văn Hải Đào Minh Ngọc Phạm Việt Cao Trần Thị Hồng Ngọc Nguyễn Mai Phượng Dương Vũ Quân Nguyễn Thị Thu Nguyễn Xuân Cẩm Vân Nguyễn Thị Ngọc Ánh Nguyễn Thị Thúy Quỳnh Đàm Thị Thùy Trang Lớp K44S3 K44E3 K44S1 K44S3 K44S4 K44S4 K44E1 K44E1 K44E4 K44E1 K44E5 K44E6 K44E1 K44E2 K44E1 K44E1 K44E3 K44E2 K44E6 K44S4 K44S4 K44E1 K44E2 K44E3 K45D3 K44E3 K44E4 K44E2 K44E1 K44E3 K44E5 K44E1 K44E3 10 Mã SV 08D190183 18D190185 08D190017 08D190166 08D190250 08D190249 10D140242 10D130417 10D140196 10D130394 10D130267 10D130126 10D130110 10D130193 10D130026 10D130051 10D130156 10D130132 10D130162 09D190246 08D190252 10D130242 10D130014 10D130023 09D150216 10D130261 10D130208 10D130124 10D130160 10D130214 10D130049 10D130032 10D130154 Điểm thi 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1,5 1,5 1,5 1,5 2 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 Lã Thi Kim Dung Lê Thị Hiền Nguyễn Trung Hiếu Đinh Thị My Đoàn Thanh Hương Nguyễn Văn Lương Hà Thị Sao Phạm Văn Tiệp Phạm Quốc Huy Vũ Đức Hưng Nguyễn Quang Nam Phạm Lan Hương Vũ Thị yến Lê Văn Đức Nguyễn Thanh Hiền Trần Thế Anh Phạm Thị Thu Hồ Thị Minh Huệ Đỗ Trọng Quyết Nguyễn Thái Sơn Nghiêm Thục Anh Nguyễn Minh Cường Hoàng Tuấn Linh Lưu Kim Phương Nguyễn Thị Phượng Nguyễn Văn Thiên Đặng Văn Thế Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Bích Ngọc Nguyễn Danh Đông Phan Quang Huy Lê Xuân Phương Nguyễn Thu Trang Đặng Quang Triệu Nguyễn Lan Anh Trịnh Văn Huy Trinh Ngọc Đăng Minh Vũ Thị yến Lê Văn Đức Nguyễn Thanh HIền Nguyễn Thế Đạt K44S2 K44S3 K44S4 K44E3 K44S4 K44E4 K45D5 K45D5 K42B2 K45A6 K44E1 K45D5 K44E2 K44S2 K44S4 K45A2 K44E4 K44E4 K44E5 K44E3 K44S2 K44S2 K45E7 K44E3 K44E3 K45D5 K45D5 K46I4 K46B5 K46I4 K45C4 K45C4 K45C5 K45E1 K44I3 K454I3 K44I3 K44E2 K44E2 K44E3 K44S1 11 08D190084 08D190174 08D190256 08D190261 08D190263 08D190053 09D150250 09D150270 10D140243 09D100457 08D190137 09D150238 10D130286 08D190089 08D190254 08D100061 10D130018 10D130009 10D130363 10D130151 08D190082 08D190083 09D130507 08D190256 08D190346 09D150216 09D150259 10D140247 10D110317 10D140210 09D120246 09D120278 09D120372 09D130054 08D140163 08D140179 08D140145 10D130286 10D130165 10D140170 08D140207 3 3 3 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 115 116 117 118 119 Nguyễn Thế Tiến Nguyễn Thị Hà Như Nguyễn Thị Hoa Lại Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Nguyễn Thị Hương Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Ngọc Mai Trịnh Hoài Sơn Nguyễn Thị Thu Hà Định Hà Hạnh Nguyễn Thị Trang Nguyễn Văn Bế Phạm Thị Hoài An Phạm Việt Bắc Phạm Lan Hương Đặng Văn Thế Nguyễn Phạm Trang Nguyễn Hải Hòa Lê Văn Hiền Triệu Khánh Hòa Đồng Văn Lanh Lê Đình Bảo Phan Thị Hằng Trần Thu Hà Trần Văn Khuê Đinh Thị Minh Châm Nguyễn Thế Biển Vũ Văn Đức Vũ Thị Chuyển Ngô Tiến Cường Võ Thị Thu Trần Thị Liên Bùi Thị Bích Nga Bùi Thị Vân Anh Nguyễn Thị Hường Nguyễn Thị Minh Nguyễn Mạnh Cường Lệ Thị Anh Trần Thị Dung Lưu Thị Thu Hồng K44S1 K44S1 K44E1 K44E2 K43B4 K43D2 K44S1 K45C4 K45C3 K44S2 K44S2 K42A6 K42A6 K42A6 K42A3 K45D5 K45D3 K45D5 K45A1 K45D2 K45D5 K45A5 K45A5 K44S2 K44S2 K44S2 K44E1 K44E1 K44E2 K44E3 K44E5 K44E3 K44E3 K44E2 K45A2 K45A2 K43B1 K45S2 K44E4 K44E1 K44E3 12 08D140177 08D160350 10D130156 10D130132 07D110253 07D140623 08D130524 09D120543 09D120324 08D190435 08D190061 06D110346 06D110132 06D100341 06D100204 09D150238 09D150254 09D150345 09D100019 09D100243 09D100654 09D100034 09D100403 08d190093 08D190432 08D190345 10D130006 10D130003 10D130513 10D130080 10D130305 10D130078 10D130163 10D130117 09D100242 09D100422 07D110030 08D190083 10D130425 10D130350 08D140172 6 6 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 8 8 8 8 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 Nguyễn Phú Thiện Nguyễn Quyết Thắng Nguyễn Văn Cơ Nguyễn Thị Nga Đặng Thị Thanh Hoa Nguyễn Thị Hoa Hoàng Thu Hiền Nguyễn Thị Hồng Trần Thị Tuyết Mai Nguyễn Quỳnh Mây Nguyễn Thị Mai Vũ Đức Lộc Đặng Sỹ Hoàng Đinh Văn Vương Nguyễn Thế Vũ Đặng Thu Hường Trần Thị Hường Hoàng Mai Trinh Lê Quang Phúc Trần Thanh Quỳnh Lê Văn Được Nguyễn Thị Hồng Phương Ngô Thị Phương Thảo Nguyễn Thùy Hương Nguyễn Đức Khánh K44S1 K44E2 K44E2 K44E3 K46D3 K46D3 K44D3 K46D3 K46D3 K46D3 K46D2 K46D2 K46D2 K46D2 K46D3 K46D3 K46D2 K46D1 K44E3 K44S2 K44S2 K44E2 K44E2 K44E2 K46H3 08D140307 08D110046 08D140278 08D130240 10D150240 10D150205 08D150022 10D150081 10D150069 10D150167 10D150140 10D150262 10D150235 10D150128 10D140053 10D140013 10D140065 10D140316 08D190237 08D190246 08D190084 08D190237 09D160351 10D130066 10D180160 8 8 8 8 8,5 8,5 8,5 8,5 9 9 9 9 9 9,5 10 Ta có bảng số liệu thống kê sau: Điểm thi 0-2 2,1-4 4,1- 6,1- 8,1-10 Số sinh viên 24 25 29 50 16 Giải ● Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95% Gọi X điểm thi môn LTXS-TK sinh viên trường ĐH Thương mại 13 = E(X) điểm thi trung bình môn LTSX-TK sinh viên trường ĐH Thương mại đám đông (trường ĐH Thương mại) điểm thi trung bình môn LTXS-TK sinh viên trường ĐH Thương mại mẫu ) Với n = 144 lớn → ≅ →U= Với α = – N(0,1) = – 0,95 = 0,05 tìm P( ) = – α = 0,95 σ < ) = – α = 0,95 với ε = uα n ⇔ P( Khoảng tin cậy = u0,025 = 1,96 thỏa mãn: là: ( σ ) , với ε = uα n , Qua kết điều tra ta có: = 5,16667 = 2,57435 14 ε = uα σ = 1,96 2,57435 = 0,42048 144 n Khoảng tin cậy là: (4,74619; 5,58715) Kết luận: Với độ tin cậy 95% điểm thi trung bình môn LTXS-TK sinh viên trường ĐH thương mại nằm khoảng từ 4,74619 điểm đến 5,58715 ● Kiểm định giả thuyết cho lần thi tỉ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK nhỏ 30%, với mức ý nghĩa 5% Sinh viên bị coi thi trượt có điểm thi Theo bảng số liệu ta thấy rằng: Cứ 144 sinh viên thi có 45 sinh viên có điểm thi điểm Gọi p tỉ lệ sinh viên có điểm thi điểm đám đông Gọi f tỉ lệ sinh viên có điểm thi mẫu 15 Với mức ý nghĩa α = 0,05 ta kiểm định toán: { Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: H : p = 0,3 H1: p < 0,3 U = f − po po qo n Trong đó: ( p0 = 0,3) Vì n = 144 lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: f ≅ N ( p, pq ) n Từ suy ra, Ho U ≅ N(0, 1) Nên với α = 0,05 ta tìm phân vị uα = u0,05 = 1,65 thỏa mãn: P(U < −uα ) = α = 0,05 Vì α bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = { utn : utn < −uα } = { utn : utn < −1,65} Trong đó: utn = f −po po qo n Với f = 0,3125 , n = 144 , ( p0 = 0,3) utn = 0,3125 − 0,3 = Ta có: 0,3.(1− 0,3) 0,327326 ∈ Wα 144 16 Vậy ta bác bỏ H chấp nhận H1 Tức là, với mức ý nghĩa α = 0,5 giả thuyết cho lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK nhỏ 30% có sở 17 [...]... mức ý nghĩa α = 0,05 ta kiểm định bài toán: { Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: H 0 : p = 0,3 H1: p < 0,3 U = f − po po qo n Trong đó: ( p0 = 0,3) Vì n = 144 là khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: f ≅ N ( p, pq ) n Từ đó suy ra, nếu Ho đúng thì U ≅ N(0, 1) Nên với α = 0,05 ta tìm được phân vị uα = u0,05 = 1,65 thỏa mãn: P(U < −uα ) = α = 0,05 Vì α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác... 144 2 n Khoảng tin cậy của là: (4,74619; 5,58715) Kết luận: Với độ tin cậy 95% điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH thương mại nằm trong khoảng từ 4,74619 điểm đến 5,58715 ● Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi thì tỉ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30%, với mức ý nghĩa 5% Sinh viên bị coi là thi trượt khi có điểm thi dưới 4 Theo bảng số liệu ta thấy rằng:... 09D160351 10D130066 10D180160 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8,5 8,5 8,5 8,5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9,5 10 Ta có bảng số liệu thống kê như sau: Điểm thi 0-2 2,1-4 4,1- 6 6,1- 8 8,1-10 Số sinh viên 24 25 29 50 16 Giải ● Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95% Gọi X là điểm thi môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH Thương mại 13 = E(X) là điểm thi trung bình môn LTSX-TK của... { utn : utn < −1,65} Trong đó: utn = f −po po qo n Với f = 0,3125 , n = 144 , ( p0 = 0,3) utn = 0,3125 − 0,3 = Ta có: 0,3.(1− 0,3) 0,327326 ∈ Wα 144 16 Vậy ta bác bỏ H 0 và chấp nhận H1 Tức là, với mức ý nghĩa α = 0,5 giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30% là có cơ sở 17 ... 107 108 109 110 115 116 117 118 119 Nguyễn Thế Tiến Nguyễn Thị Hà Như Nguyễn Thị Hoa Lại Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Nguyễn Thị Hương Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Ngọc Mai Trịnh Hoài Sơn Nguyễn Thị Thu Hà Định Hà Hạnh Nguyễn Thị Trang Nguyễn Văn Bế Phạm Thị Hoài An Phạm Việt Bắc Phạm Lan Hương Đặng Văn Thế Nguyễn Phạm Trang Nguyễn Hải Hòa Lê Văn Hiền Triệu Khánh Hòa Đồng Văn Lanh Lê Đình Bảo Phan Thị Hằng ... THUYẾT Ước lượng kỳ vọng toán Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ ĐLNN X, từ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,….Xn) Từ mẫu ta tìm trung bình mẫu phương sai mẫu điều chỉnh Ta ước lượng µ thông. .. tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu µ) Ta dùng thống kê: U = X σ− µ ∼ N ( 0,1) n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm uα cho: P(U ≤ uα) = – α = γ Thay U vào ta có: P(µ ≥ X − uα... tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa µ) Ta dùng thống kê: U = X σ− µ ∼ N ( 0,1) n Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm uα cho: P(U ≥ –uα) = – α = γ Thay U vào ta có:  σ  P  µ