BAI TAP VI ET

Toán ứng dụng định lý Viét Lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim x1 ; x2 Vớ d : Cho x1 = ; x2 = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn S = x1 + x2 = vy x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh cú dng: P = x1 x2 = Theo h thc VI-ẫT ta cú x Sx + P = x x + = Bi ỏp dng: x1 = x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 x2 = -104 x1 = + x2 = 2 Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho biu thc cha hai nghim ca mt phng trỡnh cho trc: V d: Cho phng trỡnh : x 3x + = cú nghim phõn bit x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy lp phng trỡnh bc cú n l y tho : y1 = x2 + y2 = x1 + v x1 x2 Theo h th c VI- ẫT ta c ú: 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) + + ữ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 S = y1 + y2 = x2 + Vy phng trỡnh cn lp cú dng: hay y Sy + P = 9 y2 y + = y2 y + = 2 Bi ỏp dng: 1/ Cho phng trỡnh x + x = cú nghim phõn bit x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh, Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 = x1 + 1 v y2 = x2 + x2 x1 (ỏp s: y + y = hay y + y = ) 2/ Cho phng trỡnh : x x = cú nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh bc cú n 4 y tho y1 = x1 v y2 = x2 (cú nghim l lu tha bc ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho) (ỏp s : y 727 y + = ) 3/ Cho phng trỡnh bc hai: x x m = cú cỏc nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 ; y2 cho : (ỏp s a) y1 = x1 v y2 = x2 b) y1 = x1 v y2 = x2 a) y y + m = b) y y (4m 3) = ) TèM HAI S BIT TổNG V TCH CA CHNG Nu hai s cú Tng bng S v Tớch bng P thỡ hai s ú l hai nghim ca phng trỡnh : (Điu kin cú hai s ú l S2 4P ) x Sx + P = Vớ d : Tỡm hai s a, b bit tng S = a + b = v tớch P = ab = Vỡ a + b = v ab = n ờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x + 3x = gii phng trỡnh trờn ta c x = v x2 = Vy nu a = thỡ b = nu a = thỡ b = Bi ỏp dng: Tỡm s a v b bit Tng S v Tớch P S = v P=2 S = v P=6 S = v P = 20 S = 2x v P = x y2 Bi nõng cao: Tỡm s a v b bit a + b = v a2 + b2 = 41 a b = v ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hng dn: 1) Theo bi ó bit tng ca hai s a v b , vy ỏp dng h thc VIẫT thỡ cn tỡm tớch ca a v b T a + b = ( a + b ) = 81 a + 2ab + b = 81 ab = 81 ( a + b ) = 20 x1 = x2 = Suy : a, b l nghim ca phng trỡnh cú dng : x x + 20 = Vy: Nu a = thỡ b = nu a = thỡ b = 2) ó bit tớch: ab = 36 ú cn tỡm tng : a + b Cỏch 1: t c = b ta cú : a + c = v a.c = 36 x1 = x2 = Suy a,c l nghim ca phng trỡnh : x x 36 = Do ú nu a = thỡ c = nờn b = nu a = thỡ c = nờn b = 2 2 Cỏch 2: T ( a b ) = ( a + b ) 4ab ( a + b ) = ( a b ) + 4ab = 169 a + b = 13 ( a + b ) = 132 a + b = 13 *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x = x + 13x + 36 = x2 = Vy a = thỡ b = *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x = x 13 x + 36 = x2 = Vy a = thỡ b = 3) ó bit ab = 30, ú cn tỡm a + b: a + b = 11 a + b = 11 T : a2 + b2 = 61 ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh: x = x + 11x + 30 = x2 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh : x = x 11x + 30 = x2 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l em phi bit bin i biu thc nghim ó cho v biu thc cú cha tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 ỏp dng h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ tr ca biu thc 1.Phơng pháp: Bin i biu thc lm xut hin : ( x1 + x2 ) v x1 x2 Dạng x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) x1 x2 = ( x1 + x2 )2 x1 x2 Dạng x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) 3x1 x2 Dạng x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) x12 x22 = ( x1 + x2 )2 x1 x2 x12 x22 Dạng Dạng 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 Ta bit ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) x1 x2 x1 x2 = ( ( x1 + x2 ) Dạng x12 x22 = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) = ( x1 + x ) x1 x ( x1 + x ) ) x1 x2 Dạng x13 x23 = ( x1 x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) x1 x2 = Dạng x14 x24 = ( x12 + x22 ) ( x12 x22 ) = Dạng x16 + x26 = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 ) ( x14 x12 x22 + x24 ) = [ ] Dạng 10 x16 x26 = ( x1 ) ( x 2 ) = ( x1 x 2 ) ( x1 ) + x1 x 2 + ( x 2 ) = Dạng 11 x15 + x25 = ( x13 + x )( x1 + x 2 ) x1 x 2 ( x1 + x ) Dạng12: (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2 Dạng13 x1 + x 2a 1 S 2a + = = x1 a x a ( x1 a )( x a ) p aS + a 2 Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim a) Cho phng trỡnh : x x + 15 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh x12 + x22 x1 x2 + x2 x1 1 + x1 x2 (34) 34 ữ 15 ( x1 + x2 ) ữ 15 (46) b) Cho phng trỡnh : x 72 x + 64 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 ữ x12 + x22 (65) c) Cho phng trỡnh : x 14 x + 29 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 14 ữ 29 x12 + x22 (138) d) Cho phng trỡnh : x x + = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 (3) x1 x2 + x1 x2 (1) 2 x1 + x2 (1) x1 x + x2 + x1 + ữ 1 + x1 x2 e) Cho phng trỡnh x x + = cú nghim x1 ; x2 , khụng gii phng trỡnh, tớnh Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau: 1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2 (thng l a v 0) 2- p dng h thc VI-ẫT: x1 + x = b c ; x1 x = a a 3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đó h thc liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham số m Vớ d 1: Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = (1) cú nghim x1 ; x2 Lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m (Bài cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bớc 1) Giải: Bớc2: Theo h th c VI- ẫT ta cú : 2m x1 + x2 = m x1 + x2 = + m (1) x x = m x x = (2) 2 m m Bớc2: Rỳt m t (1) ta cú : 2 = x1 + x2 m = m x1 + x2 (3) Rỳt m t (2) ta cú : 3 = x1 x2 m = m 1 x1 x2 (4) Bớc 3: ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú: = ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + x1 x2 = x1 + x2 x1 x2 Vớ d 2: Gi x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = Chng minh rng biu thc A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 khụng ph thuc giỏ tr ca m Theo h thc VI- ẫT ta c ú : 2m x1 + x2 = m x x = m m ĐK:( m m ) ;Thay vo A ta c ú: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2m m4 6m + 2m 8(m 1) + = = =0 m m m m Vy A = vi mi m Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m Bi ỏp dng: 11 Cho phng trỡnh : x ( m + ) x + ( 2m 1) = Hóy lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho x1 ; x2 c lp i vi m Hng dn: B1: D thy = ( m + ) ( 2m 1) = m 4m + = ( m ) + > Do ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 B2: Theo h thc VI- ẫT ta cú m = x1 + x2 2(1) x1 + x2 = m + x1 x2 + x1.x2 = 2m m = (2) B3: T (1) v (2) ta cú: x1 + x2 = x1 x2 + ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2 2 Cho phng trỡnh : x + ( 4m + 1) x + ( m ) = Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m Hng dn: D thy = (4m + 1) 4.2(m 4) = 16m + 33 > ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc VI- ẫT ta cú x1 + x2 = (4m + 1) 4m = ( x1 + x2 ) 1(1) x1.x2 = 2(m 4) 4m = x1 x2 + 16(2) T (1) v (2) ta cú: ( x1 + x2 ) = x1 x2 + 16 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = TèM GI TR THAM S CA PHNG TRèNH THO MN BIU THC CHA NGHIM CHO i vi cỏc bi toỏn dng ny em lm nh sau: - t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2 (thng l a v 0) - T biu thc nghim ó cho, ỏp dng h thc VI-ẫT gii phng trỡnh (cú n l tham s) - i chiu vi iu kin xỏc nh ca tham s xỏc nh giỏ tr cn tỡm Vớ d 1: Cho phng trỡnh : mx ( m 1) x + ( m 3) = Tỡm giỏ tr ca tham s m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú nghim x1 v x2 l : m m m m 2 ' = ( m 1) m ' = ( m 2m + 1) 9m + 27 ' = ( m 21) 9(m 3)m 6(m 1) x1 + x2 = m Theo h th c VI- ẫT ta c ú: v t gi thit: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 9( m 3) x x = m 6(m 1) 9(m 3) = 6(m 1) = 9(m 3) 6m = 9m 27 3m = 21 m = m m (tho iu kin xỏc nh ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 2 Vớ d 2: Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bi gii: iu kin phng trỡnh cú nghim x1 & x2 l : ' = (2m + 1) 4(m + 2) m + 4m + m 4m m x1 + x2 = 2m + Theo h thc VI-ẫT ta cú: x1 x2 = m + v t gi thit x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Suy 3(m + 2) 5(2m + 1) + = 3m + 10m + = m = 2(TM ) 3m 10m + = m = ( KTM ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bi ỏp dng Cho phng trỡnh : mx + ( m ) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = 2 Cho phng trỡnh : x + ( m 1) x + 5m = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc: x1 + x2 = Cho phng trỡnh : x ( 3m ) x ( 3m + 1) = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = Hng dn cỏch gii: i vi cỏc bi dng ny ta thy cú mt iu khỏc bit so vi bi Vớ d v vớ d ch: + Trong vớ d thỡ biu thc nghim ó cha sn tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 nờn ta cú th dng trc tip h thc VI-ẫT tỡm tham s m + Cũn bi trờn thỡ cỏc biu thc nghim li khụng cho sn nh vy, ú t õy l lm th no t biu thc ó cho bin i v biu thc cú cha tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 ri t ú dng tng t cỏch lm ó trỡnh by Vớ d v vớ d BT1: - KX : m & m 16 15 ( m 4) x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ẫT: m + x x = m x1 + x2 = x2 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - T x1 x2 = Suy ra: 2( x1 + x2 ) = x1 - Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau: m + 127m 128 = m1 = 1; m2 = 128 BT2: - KX: = m 22m + 25 11 96 m 11 + 96 x1 + x2 = m (1) x1 x2 = 5m - Theo VI-ẫT: x1 = 3( x1 + x2 ) x1 x2 = [ 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) 1] - T : x1 + x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) (2) x1 x2 = 7( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) m = (tho KX) m = - Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh : 12m(m 1) = BT3: - Vỡ = (3m 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) vi mi s thc m nờn phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit 3m x1 + x2 = (1) - -Theo VI-ẫT: x x = (3m + 1) - T gi thit: x1 x2 = Suy ra: x1 = 5( x1 + x2 ) + 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) 6] (2) x2 = 3( x1 + x2 ) 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) 36 m = - Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh: m(45m + 96) = 32 m= 15 (tho ) XC NH DU CC NGHIM CA PHNG TRèNH BC HAI Cho phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm Ta lp bng xột du sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 Du nghim x1 x2 m trỏi du P0 cựng dng, + + S>0 P>0 cựng õm S0 Vớ d: Xỏc nh tham s m cho phng trỡnh: 0 0 iu kin chung ; P < 0 ;P>0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < x ( 3m + 1) x + m m = cú nghim trỏi du phng trỡnh cú nghim trỏi du thỡ = (3m + 1) 4.2.(m m 6) = ( m 7) 0m < m < m m6 ... gii: i vi cỏc bi dng ny ta thy cú mt iu khỏc bit so vi bi Vớ d v vớ d ch: + Trong vớ d thỡ biu thc nghim ó cha sn tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 nờn ta cú th dng trc tip h thc VI- ẫT ... v gii phng trỡnh bc vi n l m v B l tham s, ta s tỡm iu kin cho tham s B phng trỡnh ó cho luụn cú nghim vi mi m 2m + Bm 2m + B = m +2 = B (2 B 1) = B + B Ta cú: B= (Vi m l n, B l tham s)... tr ca m Theo h thc VI- ẫT ta c ú : 2m x1 + x2 = m x x = m m ĐK:( m m ) ;Thay vo A ta c ú: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2m m4 6m + 2m 8(m 1) + = = =0 m m m m Vy A = vi mi m Do ú biu