Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
910,22 KB
Nội dung
ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ CAO ĐẲNG PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Các khái niệm xác suất Chương Biến ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn xác suất Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục Đặng Hấn – Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Biên soạ soạn: ThS Đồ Đồn Vương Ngun Download Slide bà giả giảng XSTK_CĐ XSTK_CĐ dvntailieu.wordpress.com Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Quy tắc nhân • Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn Có n1 cách thực giai đoạn thứ 1, , có nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có: n = n1…nk cách thực tồn cơng việc • Giả sử có k cơng việc A1, , Ak khác Có n1 cách thực A1 , , có nk cách thực Ak Khi ta có: n = n1…nk cách thực tồn k cơng việc Quy tắc cộng • Giả sử cơng việc thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho n1 kết quả,…, cách thứ k cho nk kết Khi việc thực cơng việc cho n = n1 +… + nk kết Xác suất - Thống kê Cao đẳng Saturday, October 23, 2010 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Lý thuyết mẫu Chương Ước lượng khoảng Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài tốn Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Nguyễn Thanh Sơn – Lê Khánh Luận – Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn – NXBTKê Đậu Thế Cấp – Xác suất – Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Tính chất phép tốn ∩, ∪ a) Tính giao hốn: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A b) Tính kết hợp: (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ), (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) c) Tính phân phối: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) d) Tính đối ngẫu (De–Morgan): A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử Có cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử, n phần tử ln coi khác chất chúng giống Đó là: Chọn lần k phần tử khơng để ý đến thứ tự chúng (Tổ hợp) Chọn lần k phần tử để ý đến thứ tự chúng (Chỉnh hợp) Chọn k lần, lần phần tử khơng hồn lại (số cách chọn Chỉnh hợp) Chọn k lần, lần phần tử có hồn lại (Chỉnh hợp lặp) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp a) Tổ hợp • Tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n ) nhóm (bộ) khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu tính n! k theo cơng thức: C n = Quy ước: 0! = k ! (n − k ) ! Tính chất: C nk = C nn −k ; −1 C nk = C nk − + C nk −1 b) Chỉnh hợp • Chỉnh hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n ) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương Các khái niệm xác suất §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất …………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Phép thử biến cố • Phép thử việc thực thí nghiệm hay quan sát tượng để xem có xảy hay khơng Phép thử mà ta khơng khẳng định cách chắn kết trước thực phép thử gọi phép thử ngẫu nhiên • Hiện tượng có xảy hay khơng phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu tính theo cơng thức: n! Ank = n(n − 1) (n − k + 1) = (n − k )! c) Chỉnh hợp lặp • Chỉnh hợp lặp k n phần tử nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử khơng thiết khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp k n phần tử nk Nhận xét: Tổ hợp Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp C nk < Ank = n(n − 1) (n − k + 1) < n k Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu A, B, C… VD • Tung đồng tiền lên phép thử, biến cố “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện” • Chọn ngẫu nhiên số sản phẩm từ lơ hàng để kiểm tra phép thử, biến cố “chọn sản phẩm tốt” hay “chọn phế phẩm” • Gieo số hạt lúa phép thử, biến cố “hạt lúa nảy mầm” hay “hạt lúa khơng nảy mầm” 1.2 Phân loại biến cố a) Biến cố sơ cấp khơng gian biến cố sơ cấp • Trong phép thử, biến cố khơng thể phân nhỏ thành nhiều biến cố gọi biến cố sơ cấp (VD 6) Ký hiệu biến cố sơ cấp chữ ωi Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Trong phép thử, tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ký hiệu khơng gian biến cố sơ cấp Ω = {ωi , i = 1, 2, } 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ kéo theo • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B , A xảy suy B xảy b) Biến cố chắn biến cố khơng thể • Trong phép thử, biến cố định xảy (chắc chắn xảy ra) biến cố chắn, ký hiệu Ω VD Theo dõi gà mái đẻ trứng ngày Gọi: Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, • Biến cố khơng thể (rỗng) biến cố khơng thể xảy thực phép thử, ký hiệu ∅ B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Ta có: A3 ⊂ B , A4 ⊂ B , A0 ⊄ B , A1 ⊄ B , A2 ⊄ B VD Từ nhóm có nam nữ chọn người Khi đó, biến cố “chọn người nữ” khơng thể, biến cố “chọn nam” chắn b) Quan hệ tương đương • Hai biến cố A B gọi tương đương với nhau, ký hiệu A = B , A ⊂ B B ⊂ A Xác suất - Thống kê Cao đẳng ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất c) Tổng hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∪ B hay A + B , biến cố tổng xảy hai biến cố A B xảy VD Người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú Gọi A1: “viên đạn thứ trúng thú” A2: “viên đạn thứ hai trúng thú” A: “con thú bị bị trúng đạn” A = A1 ∪ A2 d) Tích hai biến cố • Tích hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∩ B hay AB , biến cố tích xảy biến cố A xảy biến cố B xảy Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất e) Biến cố đối lập • Hiệu hai biến cố A B biến cố ký hiệu A \ B , biến cố hiệu xảy biến cố A xảy biến cố B khơng xảy • Đối lập biến cố A biến cố ký hiệu A , A xảy A khơng xảy Ta có A = Ω \ A VD Một người bắn viên đạn vào bia Gọi Ai : “có i viên đạn trúng bia” (i = 0, 1, 2) B: “có khơng q viên đạn trúng bia” Khi đó: B = A2 , A0 = A1 ∪ A2 A1 = A0 ∪ A2 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một người dự thi lấy lái xe máy Gọi A : “người thi đạt vòng thi lý thuyết” B : “người thi đạt vòng thi thực hành” C : “người lấy lái xe máy” C = A ∩ B VD Xét phép thử gieo hạt lúa • Gọi Ai biến cố “hạt thứ i nảy mầm” (i = 1, 2), Ki biến cố “hạt thứ i khơng nảy mầm” (i = 1, 2) Khi đó, biến cố tích sau biến cố sơ cấp: K1 ∩ K , A1 ∩ K , K1 ∩ A2 , A1 ∩ A2 Ω = {K1K ; A1K ; K1A2 ; A1A2 } • Gọi B biến cố “có hạt nảy mầm” biến cố B khơng phải biến cố sơ cấp B = A1K ∪ K1A2 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc • Hai biến cố A B gọi xung khắc phép thử, A xảy B khơng xảy ngược lại B xảy A khơng xảy VD Một hộp 10 viên phấn có màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên viên phấn từ hộp Gọi A: “chọn viên phấn màu đỏ” B: “chọn viên phấn màu xanh” A B xung khắc Nhận xét Hai biến cố đối lập xung khắc, ngược lại khơng Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Hệ đầy đủ biến cố • Họ biến cố {Ai} (i = 1,…, n) gọi hệ đầy đủ biến cố thỏa mãn điều sau: 1) Họ xung khắc, nghĩa Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) Có biến cố họ xảy phép thử, nghĩa A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, { } Khi đó, hệ A1 ; A2 ; A3 ; A4 đầy đủ Chú ý { } Trong phép thử, A; A đầy đủ với biến cố A tùy ý Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển a) Số trường hợp đồng khả • Hai hay nhiều biến cố phép thử có khả xảy gọi đồng khả VD Trong liệu máy tính trường, ngân hàng đề có 100 đề thi Cho máy chọn ngẫu nhiên đề khả chọn đề thi b) Định nghĩa • Trong phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, có m khả thuận lợi cho biến cố A xuất xác suất (probability) A là: m Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A P(A) = = n Số biến cố sơ cấp đồng khả ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Nhận xét ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ; P(∅) = ; P(Ω) = VD Một hộp chứa thẻ đánh số từ đến Một người chọn ngẫu nhiên (1 lần) từ hộp thẻ Tính xác suất người chọn thẻ có số chẵn? VD Một hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên (1 lần) từ hộp sản phẩm Tính xác suất để có: 1) Cả sản phẩm tốt; 2) Đúng phế phẩm Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Tại bệnh viện A có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? VD Một bàn tròn đám cưới có 10 chỗ ngồi Giả sử người ngồi vào chỗ cách ngẫu nhiên (lấy sân khấu làm chuẩn) Tính xác suất để cặp vợ chồng xác định trước ngồi cạnh Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Ưu điểm hạn chế định nghĩa dạng cổ điển • Ưu điểm: Tính xác giá trị xác suất mà khơng cần thực phép thử • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vơ hạn biến cố biến cố khơng đồng khả • Số p cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê m Trong thực tế, n đủ lớn P( A) ≈ n 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Thực phép thử n lần thấy có m lần m biến cố A xuất tỉ số gọi tần suất n biến cố A • Khi n thay đổi, tần suất thay đổi ln dao m động quanh số cố định p = lim n →+∞ n VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12000 lần thấy có 6019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24000 lần thấy có 12012 lần sấp (tần suất 0,5005) Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42591 bé gái sinh tổng số 88273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Nhận xét Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê cho giá trị xấp xỉ mức độ xác tùy thuộc vào số lần thực phép thử §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất • Nếu A B hai biến cố tùy ý thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) 2.3 Ý nghĩa xác suất • Xác suất số đo mức độ tin chắc, thường xun xảy biến cố phép thử • Nếu A B xung khắc thì: P(A ∪ B ) = P(A) + P (B ) 2.4 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P(A) ≤ 2) P(∅) = 3) P(Ω) = 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) Xác suất - Thống kê Cao đẳng • Nếu họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P(A1 )+P(A2 )+ +P(An ) Đặc biệt () ( ) P A = − P (A); P (A) = P (AB ) + P A B ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ 3.2 Xác suất có điều kiện 3.2.1 Định nghĩa • Trong phép thử, xét biến cố A B với P(B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khốn 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khốn Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khốn? VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính P (A), P (B ), P (A ∩ B ), P A B , P B A ? ( Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất ( ) ) ( ta hạn chế khơng gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống A ∩ B Tính chất 1) ≤ P A B ≤ ; P A B = A, B xung khắc ( ) ) ( ( ) ) ( ) 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất ) 2) Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ( ) ( Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Nhận xét 1) P (AB ) = P (A).P B A = P (B ).P A B ( ) ) a) Sự độc lập hai biến cố A B gọi hai biến cố độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Ví dụ, xét hai máy hoạt động hai dây chuyền khác có máy hỏng khơng ảnh hưởng đến hoạt động máy lại 2) P B B = ; P Ω B = ; P A B = B ⊂ A ( ) ( 3) P A B = − P A B ) Chú ý Nếu A, B độc lập với A, B độc lập; A, B độc lập A, B độc lập 4) Nếu A1 A2 xung khắc thì: P (A1 ∪ A2 ) B = P A1 B + P A2 B ( ) ( ) Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Cơng thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A ( ) ( ) Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n khơng độc lập thì: ( ) ( VD Một rổ mận chứa 30 trái có trái bị hư Một người chịu mua rổ mận với điều kiện thử liên tiếp trái, có trái hư khơng mua Tính xác suất để rổ mận người mua? ) P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ Xác suất - Thống kê Cao đẳng VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một người nơng dân tiến hành phun thuốc trừ sâu hại lúa lần liên tiếp tuần Xác suất sâu chết sau lần phun thứ 0,6 Nếu sâu sống sót khả sâu chết sau lần phun thứ hai 0,9 Tính xác suất sâu bị chết sau lần phun thuốc? VD Có hai người A B đặt lệnh mua cổ phiếu cơng ty X với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu cơng ty X là: 12 B ; C ; D A ; 19 19 15 25 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai n ) ∑ P(Ai )P (B Ai ) = ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 VD 10 (Xét tiếp VD 9) Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối §2 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên §3 Một số luật phân phối xác suất thơng dụng ……………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên a) Khái niệm • Một biến cố gọi ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên • Các biến ngẫu nhiên ký hiệu: X, Y, Z, … giá trị tương ứng chúng x, y, z,… Xác suất - Thống kê Cao đẳng n ( P(B ) = ∑ P(Ai ) B Ai i =1 ( ) ) ( ) = P(A1 )P B A1 + + P(An )P B An VD Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Cơng thức Bayes • Cho họ biến cố {Ai }, i = 1; n đầy đủ B biến cố phép thử Xác suất để Ai xuất sau xuất B là: 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Cơng thức xác suất đầy đủ • Cho họ biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: VD 11 Tỉ số ơtơ tải ơtơ qua đường X có trạm bơm dầu 5/2 Xác suất để ơtơ tải ơtơ qua đường vào bơm dầu 0,1 0,2 Biết có ơtơ qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ tải ? VD 12 Có bao lúa loại Bao nặng 20kg chứa 1% hạt lép, bao nặng 30kg chứa 1,2% hạt lép bao nặng 50kg chứa 1,5% hạt lép Trộn bao lại bốc ngẫu nhiên hạt hạt lép Tính xác suất để hạt lép bao thứ ba ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Khi tiến hành gieo n hạt đậu ta chưa thể biết có hạt nảy mầm, số hạt nảy mầm có 0, 1, …, n Kết thúc phép thử gieo hạt ta biết chắn có hạt nảy mầm Gọi X số hạt nảy mầm X biến ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, …, n} b) Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên (BNN) gọi rời rạc giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm • Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số VD • Biến X VD BNN rời rạc (tập hữu hạn) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên • Gọi Y số người qua ngã tư đường phố Y BNN rời rạc (tập đếm được) • Bắn viên đạn vào bia, gọi X (cm) “khoảng cách từ điểm chạm viên đạn đến tâm bia” X BNN liên tục • Gọi Y “sai số đo đại lượng vật lý” Y BNN liên tục 1.1.2 BNN rời rạc, bảng phân phối xác suất • Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X, X = {x1 , x , , x n , } với xác suất tương ứng P(X = x i ) = pi , i = 1, 2, Ta có phân phối xác suất X dạng bảng: x1 x … xn … X P(X = xi ) p1 p2 … pn … Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chú ý 1) pi ≥ ; ∑ pi = 1, i = 1, 2, 2) Trong trường hợp giá trị xi , pi có tính quy luật, thay cho việc lập bảng ta mơ tả đẳng thức: P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, VD Xác suất để người thi đạt thi lấy lái xe 0,3 Người thi đạt thơi Gọi X số lần người dự thi (mỗi lần thi độc lập) 1) Lập bảng phân phối xác suất X 2) Tính xác suất để người phải thi khơng lần Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Một hộp có viên phấn trắng viên phấn đỏ Một người lấy phấn ngẫu nhiên (mỗi lần viên khơng trả lại) từ hộp lấy viên phấn đỏ Gọi X số lần người lấy phấn Hãy lập bảng phân phối xác suất X ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Giải • Ta có P(X = = P (X = xi ), suy ra: X 2 0,3 0,4 0,3 P(X = x i ) x i2 ) • Ta có (X + Y = −1) = (X = 0) ∩ (Y = −1) ⇒ P (X + Y = −1) = P(X = 0).P(Y = −1) = 0,12 ; VD Cho hai BNN X, Y độc lập với bảng ppxs sau: X Y −1 P ( X = xi ) 0,3 0,4 0,3 P(Y = y j ) 0,4 0,6 Hãy lập bảng phân phối xác suất X , X + Y Tương tự: P(X + Y = 0) = P(X = 1).P(Y = −1) = 0,16 ; P (X + Y = 1) = P (X = 0).P (Y = 1) + P(X = 2).P (Y = −1) = 0, 30; Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên P (X + Y = 2) = P (X = 1).P (Y = 1) = 0, 24 ; P (X + Y = 3) = P(X = 2).P (Y = 1) = 0,18 X +Y −1 Vậy P(X + Y = k ) 0,12 0,16 0,30 0,24 0,18 VD Cho bảng ppxs đồng thời hai BNN X Y: Y –1 X 0,10 0,15 0,05 0,30 0,20 0,20 Hãy lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên: Z = 2X −Y + Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Giải (X ;Y ) = (1; −1) ⇒ Z = 8, p = 0,1; (X ;Y ) = (1; 0) ⇒ Z = 7, p = 0,15 ; (X ;Y ) = (1; 1) ⇒ Z = 6, p = 0, 05 ; (X ;Y ) = (2; −1) ⇒ Z = 10, p = 0, ; (X ;Y ) = (2; 0) ⇒ Z = 9, p = 0, ; (X ;Y ) = (2; 1) ⇒ Z = 8, p = 0, Sắp xếp giá trị Z xác suất tương ứng, ta có: 10 Z P(Z = k ) 0,05 0,15 0,30 0,20 0,30 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ • Cho BNN liên tục X Hàm f (x ), x ∈ ℝ gọi hàm mật độ xác suất X thỏa hai điều kiện: +∞ 1) f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ; ∫ 2) f (x )dx = −∞ b • Khi đó, xác suất P(a < X < b ) = ∫ f (x )dx a Chú ý P(a ≤ X < b ) = P(a < X ≤ b ) = P (a ≤ X ≤ b ) b = P(a < X < b ) = ∫ f (x )dx Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 4x , x ∈ (0; 1) VD Chứng tỏ f (x ) = hàm mật độ 0, x ∉ (0; 1) biến ngẫu nhiên X VD Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: 0, x < f (x ) = k , x ≥ x Tìm k tính P (−3 < X ≤ 2) a Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.2 Hàm phân phối 1.2.1 Định nghĩa • Hàm phân phối xác suất (gọi tắt hàm phân phối) biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) FX(x), xác suất để X nhận giá trị nhỏ x (với x số thực bất kỳ) Nghĩa là: F (x ) = P (X < x ), ∀x ∈ ℝ • Nếu BNN X rời rạc với xác suất P( X = xi ) = pi thì: F ( x ) = ∑ pi xi < x • Nếu BNN X liên tục với hàm mật độ f ( x ) thì: x F ( x) = Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Nhận xét ∫ f (t )dt −∞ Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 2) Mối liên hệ F (x ) với xác suất hàm mật độ xác suất: pi = F (x i +1 ) − F (x i ) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục hàm F (x ) liên tục x ∈ ℝ F ′(x ) = f (x ) 1.2.2 Tính chất hàm phân phối 1) Hàm F (x ) xác định với x ∈ ℝ 2) ≤ F (x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; F (−∞) = 0; F (+∞) = 3) F (x ) khơng giảm: F (x1 ) ≤ F (x ) x1 < x 4) P(a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a ) Xác suất - Thống kê Cao đẳng 1) Giả sử BNN X nhận giá trị x1 ; xn x1 < x < x < < x n , P (X = x i ) = pi i = 1, n ( ) Ta có hàm phân phối X : 0 x ≤ x1 p x1 < x ≤ x p + p x < x ≤ x F (x ) = p1 + p2 + + pn −1 xn −1 < x ≤ xn 1 x > xn Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xs: X P 0,3 0,5 0,2 Lập hàm phân phối xác suất X VD 10 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là: 0, x ∉ (−1; 2) f (x ) = x , x ∈ (−1; 2) Tìm hàm phân phối xs X tính P (−2 < X ≤ 1) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD 11 Thời gian chờ phục vụ khách hàng BNN X (phút) liên tục có hàm phân phối xác suất: 0, x ≤ −2 F (x ) = ax + 8a, x ∈ (−2; 3] x > 1, 1) Tìm hàm mật độ xác suất f (x ) X 2) Tính P ( ) < Y ≤ với Y = X + Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên EX = ∑ x i pi i Nếu X liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: +∞ ∫ • Những thơng tin đọng phản ánh phần biến ngẫu nhiên giúp ta so sánh đại lượng với gọi đặc trưng số • Có ba loại đặc trưng số: Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm BNN: Kỳ vọng tốn, Trung vị, Mode,… Các đặc trưng số cho độ phân tán BNN: Phương sai, Độ lệch chuẩn,… Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất 2.1 KỲ VỌNG TỐN (giá trị trung bình) 2.1.1 Định nghĩa • Kỳ vọng tốn (gọi tắt kỳ vọng – Expectation) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu EX hay M (X ), số xác định sau: Nếu X rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi thì: EX = §2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN x f (x )dx −∞ Đặc biệt • Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X = x 1; x ; ; x n { } với xác suất tương ứng p1, p2, , pn thì: EX = x1p1 + x p2 + + x n pn Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X 0,1 0,3 0,4 0,7 P a 0,2 b 0,2 0,1 Giá trị tham số a b để EX = 0,2 là: A a = 0,1 b = 0,1; B a = 0,4 b = 0,1; C a = 0,2 b = 0,3; D a = 0,3 b = 0,2 2.1.2 Ý nghĩa Kỳ vọng • Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X giá trị trung bình (theo xác suất) mà X nhận được, phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất X • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh cần chọn phương án cho suất hay lợi nhuận cao, người ta chọn phương án cho suất kỳ vọng hay lợi nhuận kỳ vọng cao Xác suất - Thống kê Cao đẳng VD Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm tốt phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng đó, gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Tìm phân phối xác suất tính kỳ vọng X VD Tìm kỳ vọng biến ngẫu nhiên X có hàm mật (x + 2x ), x ∈ (0; 1) độ xác suất f (x ) = 0, x ∉ (0; 1) Chú ý 1) Nếu X BNN liên tục [a; b ] EX ∈ [a ; b ] 2) Nếu X = {x 1, , x n } thì: EX ∈ [min{x1, , x n }; max{x1, , x n }] Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Theo thống kê, người Mỹ 25 tuổi sống thêm năm có xác suất 0,992 người chết vòng năm tới 0,008 Một cơng ty bảo hiểm A đề nghị người bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 10000 USD, phí bảo hiểm 100 USD Hỏi trung bình cơng ty A lãi bán bảo hiểm cho người đó? ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Người thợ chép tranh tuần chép hai tranh độc lập A B với xác suất hỏng tương ứng 0,03 0,05 Biết thành cơng người thợ kiếm lời từ tranh A 1,3 triệu đồng B 0,9 triệu đồng, hỏng bị lỗ tranh A 0,8 triệu đồng B 0,6 triệu đồng Hỏi trung bình người thợ kiếm tiền chép tranh tuần? A 2,185 triệu đồng; B 2,148 triệu đồng C 2,116 triệu đồng; D 2,062 triệu đồng 2.1.3 Tính chất Kỳ vọng 1) EC = C , C ∈ ℝ 2) E (CX ) = C EX , C ∈ ℝ 3) E (X ± Y ) = EX ± EY 4) E (X Y ) = EX EY X ,Y độc lập 5) Khi Y = ϕ(X ) thì: ∑ ϕ(x )p , X rời rạc i i i +∞ EY = ϕ(x )f (x )dx , X liên tục ∫ −∞ Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Tính EY với Y = ϕ(X ) = X − , biết X có bảng phân phối xác suất: X –1 P 0,1 0,3 0,35 0,25 , x ∈ [1; 2] VD BNN X có hàm mật độ f (x ) = x 0, x ∉ [1; 2] 1) Tính EX; 2) Tính EY với Y = X − X 2.3 MODE Định nghĩa Mode biến ngẫu nhiên X , ký hiệu mod X , giá trị X thỏa: Nếu BNN X rời rạc thì: mod X = x P (X = x ) max { Nếu BNN X liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: { Xác suất - Thống kê Cao đẳng } mod X = x f (x ) max Chú ý • Mode gọi số có khả (xác suất cao nhất) • Nếu phân phối xác suất BNN X đối xứng (nghĩa p i = p n − i đồ thị hàm mật độ f ( x ) đối xứng) có mode Kỳ vọng Mode trùng Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 Khi ta có mod X = VD Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X p P − p 0,18 0,07 0,25 A mod X = 5; B Mod X = 5; 8; C modX = 1; 8; D mod X = 1; 5; VD 10 Tuổi thọ (X: tháng) lồi trùng biến ngẫu nhiên có hàm mật độ: x (4 − x ), x ∈ [0; 4] f (x ) = 64 Tìm modX 0, x ∉ [0; 4] } Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 2.4 Phương sai 2.4.1 Định nghĩa • Phương sai (Variance Dispersion) biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX D(X), số thực khơng âm xác định bởi: VarX = E (X − EX ) = E (X ) − (EX ) 2 Nếu P(X = x i ) = pi thì: 2 VarX = ∑ xi pi − ∑ xi pi i i 10 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất c) Định lý luật số lớn Tchébyshev Định lý • Nếu họ BNN {Xi} (i = 1, 2,…, n) độc lập đơi có EXi hữu hạn VarXi bị chặn số C thì: 1 n n ∀ε > : lim P ∑ Xi − ∑ EXi ≥ ε = n →∞ n n i =1 i =1 Hệ • Nếu họ BNN {Xi} (i = 1, 2,…, n) độc lập đơi có EXi = µ VarXi = σ2 thì: n P → µ ∑X n i =1 i Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất 1.2 Định lý Liapounop (giới hạn trung tâm) • Cho họ BNN {Xi} (i = 1, 2,…, n) độc lập đơi Đặt Y = Ứng dụng xấp xỉ phân phối Siêu bội Nhị thức • Cho X ∈ H (N ; N A ; n ), N lớn n nhỏ so với N (n < 0,05N) thì: X ∼ B(n; p), p = NA N Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất • Cho X có phân phối nhị thức B(n, p), λ = np Khi đó: 1) Nếu n lớn p bé (gần 0) X ∼ P(λ) 2) Nếu n lớn p lớn ( p ≈ 1) X ∼ P(λ) VD Một lơ hàng thịt đơng lạnh đóng gói nhập có chứa 0,6% bị nhiểm khuẩn Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lơ hàng có: 1) Khơng q gói bị nhiểm khuẩn 2) Đúng 40 gói bị nhiểm khuẩn n n ∑ EX i , σ2 = ∑ VarX i i =1 i =1 n Nếu EXi, VarXi hữu hạn lim n →∞ ( ) ∑ E X i − EX i σ3 i =1 =0 Y ∈ N µ, σ Ý nghĩa định lý • Sử dụng định lý giới hạn trung tâm Liapounop để tính xấp xỉ (gần đúng) xác suất • Xác định phân phối xấp xỉ để giải vấn đề lý thuyết ước lượng, kiểm định,… Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 lan có hoa màu đỏ 2) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 3) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 200 lan có 50 hoa màu đỏ khơng ? 2.2 Liên hệ phân phối Nhị thức Poisson • Nếu n → +∞, p → 0, np → λ thì: d C nk pkq n −k → Ứng dụng xấp xỉ phân phối Nhị thức Poisson µ= i =1 Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất §2 CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Liên hệ phân phối Siêu bội Nhị thức N • Nếu n cố định, N tăng vơ hạn A → p (0 ≠ p ≠ 1) N C Nk C Nn −−kN d A A → C nk pkq n −k C Nn n ∑ Xi , e −λ λk k! Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất Tóm tắt loại xấp xỉ rời rạc p= X ∈ H (N , N A, n ) λ = n NA N (n < 5%N ) NA N Sai số lớn X ∈ P (λ) X ∈ B(n, p) p ≈ p ≈ λ = np VD Giải câu 3) VD Xác suất - Thống kê Cao đẳng 15 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất 2.3 Định lý giới hạn Moivre – Laplace Định lý (giới hạn địa phương) • Gọi pk xác suất xuất k lần biến cố A n phép thử Bernoulli với P(A) = p (p khơng q gần npq Pn (k ) khơng q gần 1) lim = n→∞ f (x k ) Trong đó, f (x ) = 2π e − x2 , xk = k − np Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất Ứng dụng xấp xỉ Nhị thức phân phối Chuẩn hữu hạn npq Định lý (giới hạn Moivre – Laplace) X − np • Cho X ∈ B (n , p ) S n = thì: npq F S n → N (0, 1) Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất VD Trong đợt thi tuyển cơng chức thành phố A có 1000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt 80% Tính xác suất để: 1) có 172 người khơng đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người khơng đạt VD Một khách sạn nhận đặt chỗ 325 khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/1 theo kinh nghiệm năm trước cho thấy có 10% khách đặt chỗ khơng đến Biết khách đặt phòng, tính xác suất: 1) Có 300 khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng 2) Tất khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng • Cho X ∈ B(n, p ), n lớn, p khơng q gần khơng q gần X ∼ N (µ; σ2 ) Trong đó: µ = np, σ2 = npq Khi đó, ta có: k − µ 1) P(X = k ) = f σ σ (tra bảng A để có giá trị hàm f (x ), f (−x ) = f (x )) k − µ − ϕ k1 − µ 2) P(k1 ≤ X ≤ k2 ) = ϕ σ σ Chương Đị Định lý giớ giới hạ hạn xá xác suấ suất Tóm tắt xấp xỉ Chuẩn cho Nhị thức X ∈ B(n, p) (0 ≈/ p ≈/ 1) µ = np EX = np σ = npq VarX = npq X ∈ N (µ, σ ) EX = µ VarX = σ k − µ , f σ b − µ − ϕ a − µ P (a < X < b ) = ϕ σ σ ⇒ P (X = k ) = σ …………………………………… PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương LÝ THUYẾT MẪU Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu • Từ tổng thể ta chọn n phần tử n phần tử gọi mẫu có kích thước (cỡ mẫu) n §1 Khái niệm phương pháp xác định mẫu §2 Các đặc trưng mẫu §3 Phân phối xác suất đặc trưng mẫu §4 Thực hành tính đặc trưng mẫu cụ thể ………………………… • Mẫu chọn ngẫu nhiên cách khách quan gọi mẫu ngẫu nhiên §1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH MẪU 1.1 Mẫu tổng thể • Tập hợp có phần tử đối tượng mà ta nghiên cứu gọi tổng thể Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể VD Khi nghiên cứu số cá hồ số cá hồ kích thước tổng thể Từ hồ bắt lên 10 cá mẫu khơng hồn lại kích thước 10 Nếu từ hồ bắt lên cá thả xuống, sau tiếp tục bắt khác, tiến hành 10 lần ta mẫu có hồn lại kích thước 10 Xác suất - Thống kê Cao đẳng • Khi mẫu có kích thước lớn ta khơng phân biệt mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại 16 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 1.2 Phương pháp xác định mẫu • Mẫu định tính mẫu mà ta quan tâm đến phần tử có tính chất A hay khơng VD Điều tra 100 hộ dân thành phố thu nhập năm Nếu hộ có thu nhập 10 triệu đồng/năm hộ nghèo 100 hộ điều tra ta quan tâm đến hộ nghèo (tính chất A) Mẫu điều tra mẫu định tính • Mẫu định lượng mẫu mà ta quan tâm đến yếu tố lượng (như chiều dài, cân nặng,…) phần tử có mẫu VD Cân 100 trái dưa gang chọn ngẫu nhiên từ cánh đồng ta mẫu định lượng Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu Xét lượng • Trung bình tổng thể µ = EX • Phương sai tổng thể σ2 = VarX biểu thị cho mức độ biến động biến X Xét chất • Tổng thể chia thành loại phần tử: loại có tính chất A mà ta quan tâm loại khơng có tính chất A • Gọi X = phần tử khơng có tính chất A X = phần tử có tính chất A, p tỉ lệ phần tử có tính chất A thì: Số phần tử có tính chất A X ∈ B(p ), p = Số phần tử tổng thể Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu • Xét khoảng (x m in , x m ax ) chứa tồn quan sát Xi Ta chia (x m in , x m ax ) thành khoảng (còn gọi lớp ) theo ngun tắc: số khoảng tối ưu + 3, 322 lg n độ dài khoảng x − x h = max + 3, 322 lg n VD Đo chiều cao (X: cm) n = 100 niên, ta có bảng số liệu dạng khoảng: X (cm) 148-152 152-156 156-160 160-164 164-168 20 35 25 15 n −1 + Khi cần tính tốn, ta sử dụng cơng thức x i = để đưa số liệu dạng bảng: Xác suất - Thống kê Cao đẳng Saturday, October 23, 2010 Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu • Mẫu có kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2,…, Xn lập từ biến ngẫu nhiên X có luật phân phối với X gọi mẫu tổng qt • Tiến hành quan sát (cân, đo,…) biến Xi nhận giá trị cụ thể Xi = xi, ta mẫu cụ thể x1, x2,…, xn VD Chiều cao bạch đàn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đo ngẫu nhiên X1, X2,…, X5 ta X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m Khi đó, {X1, X2,…, X5} mẫu tổng qt có phân phối chuẩn {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} mẫu cụ thể Nhận xét • Xác suất nghiên cứu tổng thể để hiểu mẫu thống kê ngược lại Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 1.3 Sắp xếp số liệu thực nghiệm 1.3.1 Sắp xếp theo giá trị khác • Giả sử mẫu (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác X1, X2,…, Xk (k ≤ n ) Xi có tần số ni (số lần lặp lại) với n + n + + n k = n Khi đó, số liệu xếp theo thứ tự tăng dần Xi VD Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sinh viên, ta có kết quả: X (điểm) 10 n (số SV) 20 10 2 1.3.2 Sắp xếp dạng khoảng • Giả sử mẫu (X1, X2,…, Xn) có nhiều quan sát khác nhau, khoảng cách quan sát khơng đồng Xi khác ta xếp chúng dạng khoảng Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu X (cm) 150 154 158 162 166 n 20 35 25 15 Chú ý • Đối với trường hợp số liệu cho cách liệt kê ta xếp lại dạng bảng VD Theo dõi mức ngun liệu hao phí để sản xuất đơn vị sản phẩm nhà máy, ta thu số liệu sau (đơn vị: gam): 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19 Hãy xếp số liệu dạng bảng ? 17 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu §2 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU (tham khảo) 2.1 Các đặc trưng mẫu Giả sử tổng thể có trung bình EX = µ , phương sai VarX = σ2 tỉ lệ phần tử có tính chất A p 2.1.1 Tỉ lệ mẫu Fn • Cho mẫu định tính kích thước n, ta gọi: 0 n Fn = ∑ Xi , Xi = tỉ lệ mẫu tổng qt 1 n i =1 • Cho mẫu định tính kích thước n, có m phần tử có tính chất A Khi ta gọi: m tỉ lệ mẫu cụ thể f = fn = n Tính chất 1) Kỳ vọng tỉ lệ mẫu tỉ lệ tổng thể: X + + X n = p M (Fn ) = M n 2) Phương sai tỉ lệ mẫu: X + + X pq n V arFn = Var = n n (các Xi có phân phối Bernoulli) 2.1.2 Trung bình mẫu • Trung bình mẫu: X = X n = i =1 n n ∑ xi i =1 Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 2.1.3 Phương sai mẫu Tính chất ( ) ( ) E X n = µ = EX , Var X n = σ2 VarX = n n Chú ý Xn = n ∑ Xi • Trung bình mẫu cụ thể: x = x n = Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu • Tỉ lệ mẫu Fn = n X1 + + Xn X1 + + Xn n ɵ = Sɵ = • Phương sai mẫu: S n n n ∑ (X i − X n ) i =1 n xi − xn ) ( ∑ n i =1 • Phương sai mẫu hiệu chỉnh: n S = S n2 = X − Xn ∑ n − i =1 i Mẫu cụ thể: sˆ2 = sˆn2 = trung bình mẫu khác chỗ Fn, n biến Xn có phân phối Bernoulli B(p) : 0, phần tử tính chất A Xi = 1, phần tử có tính chất A ( Mẫu cụ thể: s = s n2 = ( ) n (x − x n ) ∑ n − i =1 i ( ) Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu n ∑ xi2 i =1 2.2 Liên hệ đặc trưng mẫu tổng thể • Các đặc trưng mẫu Fn , X n , Sn2 thống kê dùng để nghiên cứu đặc trưng p, µ, σ2 tương ứng tổng thể Từ luật số lớn ta có: Fn → p, X n → µ, Sn2 → σ2 (theo xác suất) • Trong thực hành, cỡ mẫu n lớn đặc trưng mẫu xấp xỉ đặc trưng tương ứng tổng thể: x ≈ µ, f ≈ p, sˆ2 ≈ σ2 , s ≈ σ2 Xác suất - Thống kê Cao đẳng ɵ2 n − = Tính chất E S σ , E S = σ2 n Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu • Trong tính tốn ta sử dụng cơng thức: 2 n sn2 = x n − xn , x n = n − n ) §3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU (tham khảo) 3.1 Phân phối xác suất tỉ lệ mẫu F • X ∈ B ( p ) n lớn (n ≥ 100) thì: m pq f −p f = ∈ N p , n ∈ N (0, 1) ⇒T = n n f (1 − f ) • X ∈ B ( p ), X ∈ B ( p ) n , n lớn thì: T = f1 − f2 − ( p − p ) ∈ N (0, 1) 1 p (1 − p ) + n n m m m + m2 Trong đó: f1 = , f2 = , p = n1 n2 n1 + n 18 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 3.2 Phân phối xác suất trung bình mẫu 3.2.1 Trường hợp tổng thể X có phân phối chuẩn σ2 • Do E X = µ, Var X = nên: n σ X −µ X ∈ N µ, n ∈ N (0, 1) hay n σ • Với mẫu cụ thể kích thước n đủ lớn, σ2 ≈ S và: S X −µ X ∈ N µ, n ∈ N (0, 1) hay n S X −µ • Khi n < 30 σ chưa biết n ∈ T (n − 1) S có phân phối Student với n − bậc tự Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu ) • Giả sử tổng thể X ∈ N µ, σ2 , đó: n ɵ2 n − S = S = 2 σ σ σ2 có phân phối χ (n − 1) n ∑ (X i − X n ) i =1 §4 THỰC HÀNH TÍNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU CỤ THỂ 4.1 Tính tỉ lệ mẫu f • Nếu mẫu có m phần tử có tính chất A mà ta quan m tâm tỉ lệ mẫu f = n Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 4.3 Tính phương sai mẫu ɵ s 1 • Tính x = (x1 + x + + xn ) = n n ( ) () • Phương sai mẫu có hiệu chỉnh là: n ɵ2 s2 = s n −1 Xác suất - Thống kê Cao đẳng 2) Nếu σ chưa biết thì: X −µ S S n ∼ N (0, 1), X ∼ N µ , n 4.2 Tính trung bình mẫu x • Nếu mẫu có n giá trị xi trung bình mẫu là: x + x + + xn n x= = ∑ xi n n i =1 • Nếu xi lặp lại ni (i = 1,…, k ≤ n ) lần trung bình k mẫu là: x = ∑ x i ni n i =1 VD Xét 10 kết quan sát: 102; 102; 202; 202; 202; 302; 302; 302; 302; 402 Ta có: x = (102.2 + 202.3 + 302.4 + 402.1) 10 Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi n ∑ xi i =1 1 x = x12 + x 22 + + xn2 = n n • Phương sai mẫu là: 2 ɵ s =x − x n n • Với n ≥ 30 , ta có phân phối xấp xỉ chuẩn sau: 1) Nếu σ biết thì: X −µ σ n ∼ N (0, 1), X ∼ N µ , σ n Chương Lý thuyế thuyết mẫ mẫu 3.3 Phân phối xác suất phương sai mẫu ( 3.2.2 Trường hợp X khơng có phân phối chuẩn • Từ định lý giới hạn trung tâm, ta suy ra: X −µ X −µ → T ∈ N (0, 1), → T ∈ N (0, 1) σ S n ∑ xi2 i =1 SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ TÍNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU Số liệu đơn (khơng có tần số) VD Cho mẫu có cỡ mẫu 5: w = (12; 13; 11; 14; 11) a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa nhớ: SHIFT → MODE → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – MODE → (chọn SD fx500MS); MODE → MODE → (chọn SD fx570MS) – Nhập số: 12 M+ 13 M+… 11 M+ 19 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi • Xuất kết quả: – SHIFT → → → = (xuất kết x : trung bình mẫu) – SHIFT → → → = (xuất kết sˆ = x σn : độ lệch chuẩn mẫu) – SHIFT → → → = (xuất kết s = x σn − : độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh) • Xuất kết quả: – SHIFT → → (var) → → = (n: cỡ mẫu) – SHIFT → → (var) → → = (x :trung bình mẫu) – SHIFT → → (var) → → = (x σn : độ lệch chuẩn mẫu) – SHIFT → → (var) → → = (x σn − : độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh) b) Máy fx 500 – 570 ES • Xóa nhớ: SHIFT → → → = → = • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) – MODE → (stat) → (1-var) → (nhập số): 12 = 13 =… 11 = → AC Số liệu có tần số VD Cho mẫu sau: xi 12 11 15 ni a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa nhớ: SHIFT → MODE → → = → = Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi • Vào chế độ thống kê nhập liệu: – MODE → (chọn SD fx500MS); MODE → MODE → (chọn SD fx570MS) – Nhập số: 12 → SHIFT → , → → M+ 11 → SHIFT → , → → M+ 15 → SHIFT → , → → M+ • Xuất kết quả, làm 1a) b) Máy fx 500 – 570 ES • Xóa nhớ vào chế độ thống kê nhập liệu có tần số: – SHIFT → MODE (SETUP) dịch chuyển mũi tên →4→1 – MODE → (stat) → (1-var) Tính đặ đặc trưng mẫ mẫu bằ má máy tí tính bỏ bỏ túi Giải Bảng số liệu viết lại: 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 27 20 = 37% s = 0, 8318 Xác suất - Thống kê Cao đẳng VD Điều tra có bảng số liệu sau: Năng suất (tấn/ha) 3,5 Diện tích(ha) suất 100 lúa vùng, ta 3,5 - 4,5 - 5,5 - 6,5 - 4,5 - 5,5 - 6,5 - 12 18 27 20 Chương Ướ Ước lượ lượng khoả khoảng Những ruộng có suất 4,4 tấn/ha có suất thấp Dùng máy tính bỏ túi để tính: 1) Tỉ lệ diện tích lúa có suất thấp 2) Năng suất lúa trung bình, phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh Năng suất 3,25 3,75 4,25 (tấn/ha) Diện 12 18 tích(ha) m + 12 + 18 1) f = = n 100 2) x = 4, 75; sˆ2 = 0, 685; – Nhập giá trị tần số vào cột hình: X FREQ 12 11 15 → AC • Xuất kết quả, làm 1b) §1 Ước lượng điểm §2 Ước lượng khoảng ……………………… §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM (tham khảo) 1.1 Thống kê • Một hàm mẫu tổng qt T = T(X1, X2,…, Xn) gọi thống kê • Các vấn đề thống kê tốn giải chủ yếu nhờ vào việc xây dựng hàm thống kê phụ thuộc vào mẫu tổng qt, khơng phụ thuộc tham số 1.2 Ước lượng điểm • Ước lượng điểm tham số θ (tỉ lệ, trung bình, phương sai,…) thống kê ɵ θ =ɵ θ (X1, , Xn ) phụ thuộc vào n quan sát X1, …, Xn, khơng phụ thuộc vào θ 20 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Ướ Ước lượ lượng khoả khoảng Chương Ướ Ước lượ lượng khoả khoảng VD • Trung bình mẫu X = X + X + + X n ước n lượng điểm trung bình tổng thể µ X + X + + X n • Tỉ lệ mẫu F = ước lượng điểm n tỉ lệ tổng thể p 1.3 Ước lượng khơng chệch • Thống kê ɵ θ (X1, , Xn ) ước lượng khơng chệch ɵ θ E θ (X1, , Xn ) = θ VD ( ) • E X = µ (trung bình mẫu ước lượng khơng chệch trung bình tổng thể µ ) • EF = p (tỉ lệ mẫu ước lượng khơng chệch tỉ lệ tổng thể) ( ) • E S = σ2 (phương sai mẫu ước lượng khơng chệch phương sai tổng thể σ2 ) VD Người ta cân 100 sản phẩm xí nghiệp A có bảng số liệu: X (gr) 498 502 506 510 n 40 20 20 20 Khi đó: 498.40+502.20+506.20+510.20 x = = 502, 8(gr ) 100 Dự đốn (ước lượng): Trọng lượng trung bình sản phẩm xí nghiệp µ ≈ 502, 8(gr ) Chương Ướ Ước lượ lượng khoả khoảng Chương Ướ Ước lượ lượng khoả khoảng §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.1 Định nghĩa • Khoảng ɵ θ; ɵ θ thống kê ɵ θ gọi khoảng tin ( ) cậy tham số θ với xác suất − α cho trước P ɵ θ < θ θ Kiểm định giả thuyết H : θ = θ với H : θ ≠ θ Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 1.4 Miền bác bỏ miền chấp nhận • Tất giá trị có đại lượng thống kê kiểm định chia làm miền: miền bác bỏ miền chấp nhận Miền bác bỏ miền chứa giá trị làm cho giả thuyết H bị bác bỏ Miền chấp nhận miền chứa giá trị giúp cho giả thuyết H khơng bị bác bỏ (được chấp nhận) • Giá trị chia đơi hai miền gọi giá trị giới hạn (critical value) 1.5 Kiểm định đầu kiểm định đầu a) Kiểm định đầu • Khi đối thuyết H có tính chất phía việc kiểm định gọi kiểm định đầu 23 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Có hai loại kiểm định đầu: Kiểm định giả thuyết H : θ = θ với H : θ < θ Kiểm định giả thuyết H : θ = θ với H : θ > θ b) Kiểm định hai đầu • Khi đối thuyết H có tính chất phía việc kiểm định gọi kiểm định đầu: Kiểm định giả thuyết H : θ = θ với H : θ ≠ θ • Từ sau ta xét loại kiểm định hai đầu gọn ta đặt giả thuyết H t < −tα Miền bác bỏ tα < t n • Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H; t > tα ta bác bỏ H b) Trường hợp Với n ≥ 30, σ chưa biết Ta làm trường hợp thay σ s c) Trường hợp Với n < 30, σ2 biết X có phân phối chuẩn (ta làm trường hợp 1) d) Trường hợp Với n < 30, σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn tra bảng C • Từ cỡ mẫu n mức ý nghĩa α → tαn −1 x − µ0 s n • Nếu t ≤ tαn −1 ta chấp nhận H; t > tαn −1 ta bác bỏ H Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trọng lượng loại sản phẩm A theo quy định kg Kiểm tra ngẫu nhiên 121 sản phẩm A tính trọng lượng trung bình 5,795 kg phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh 5,712 (kg)2 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng sản phẩm A kg”? VD Trong nhà máy gạo, trọng lượng đóng bao theo quy định bao gạo 50 kg độ lệch chuẩn 0,3 kg Cân thử 296 bao gạo nhà máy thấy trọng lượng trung bình 49,97 kg Kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng bao gạo nhà máy 50 kg” có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 1, 7205 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 6% Xác suất - Thống kê Cao đẳng 2.1 Kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể µ Với trung bình µ0 cho trước, tương tự tốn ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể, ta có trường hợp sau (4 trường hợp đặt giả thuyết H: µ = µ 0) a) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 biết 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα ) → tα x − µ0 • Tính giá trị thống kê t = σ Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chú ý • Trong tất trường hợp bác bỏ, ta so sánh x µ : Nếu x > µ kết luận µ > µ Nếu x < µ kết luận µ < µ VD Trong nhà máy bánh kẹo A, máy tự động sản xuất chocolate với trọng lượng quy định 250gram độ lệch chuẩn 5gram Trong ngày, phận kiểm tra kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 32 chocolate tính trọng lượng trung bình chúng 248gram Trong kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng chocolate máy tự động sản xuất quy định” với mức ý nghĩa α = 0, 05 Hãy cho biết giá trị thống kê t kết luận? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê B t = 1, 7205 ; bác bỏ H, trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 6% C t = 1, 9732; chấp nhận H với mức ý nghĩa 4% D t = 1, 9732; bác bỏ H, trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 4% VD Trọng lượng loại gà trại chăn ni A xuất chuồng 3,62 kg/con Biết trọng lượng gà biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (µ; 0, 01) Sau thời gian người ta cho gà ăn thức ăn cân thử 15 xuất chuồng thấy trọng lượng trung bình gà 3,69 kg/con Với mức ý nghĩa 2%, cho kết luận loại thức ăn này? 24 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm trước 5,72 Năm theo dõi 100 SV số liệu: Điểm VD Chiều cao giống (X: m) vườm ươm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: Số sinh viên 27 43 12 Trong kiểm định giả thuyết H: “điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm năm trước”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận? A α = 13, 98% B α = 13, 62% C α = 12, 46% D α = 11, 84% X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.2 Kiểm định giả thuyết tỉ lệ tổng thể p • Với tỉ lệ p cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p 1−α B = ϕ(tα ) → tα m • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 giá trị thống kê t = p 0q • Từ mức ý nghĩa α ⇒ n Nếu t ≤ tα chấp nhận H, nghĩa p = p Nếu t > tα bác bỏ H, nghĩa p ≠ p Khi đó: f > p ⇒ p > p ; f < p ⇒ p < p Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH HAI ĐẶC TRƯNG CỦA HAI TỔNG THỂ 3.1 So sánh hai trung bình µx µy X Y Tóm tắt trường hợp • Tất trường hợp đặt giả thuyết H : µ x = µ y • Việc chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết H làm tốn kiểm định trung bình a) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 biết Ta tính thống kê t = x −y σ2 σ2x + y nx ny so sánh với tα Xác suất - Thống kê Cao đẳng Theo quy định vườn ươm, cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “cây giống vườn ươm cao m” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 7984 , khơng nên đem trồng B t = 2, 7984 , nên đem trồng C t = 1, 9984 , khơng nên đem trồng D t = 1, 9984 , nên đem trồng Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Kiểm tra ngẫu nhiên 800 sinh viên trường A thấy có 128 sinh viên giỏi Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ sinh viên giỏi trường A 20%”? VD Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, cải tiến kỹ thuật người ta nâng tỉ lệ trúng súng lên 70% Hãy cho kết luận việc cải tiến với mức ý nghĩa 1%? VD Cơng ty A tun bố có 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm Một điều tra 400 người tiêu dùng thấy có 179 người ưa thích sản phẩm cơng ty A Trong kiểm định giả thuyết H: “có 40% người tiêu dùng thích sản phẩm cơng ty A”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 chưa biết Ta thay σ2x , σy2 sx2 , sy2 trường hợp c) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 biết đồng thời X, Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp d) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 chưa biết đồng thời X, Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai mẫu chung mẫu: (nx − 1)sx2 + (ny − 1)sy2 s2 = n x + ny − 25 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê x −y • Tính giá trị thống kê t = 1 s + n x ny n +ny −2 tra bảng C • Từ α → tα x so sánh với t VD Người ta cân 100 trái A nơng trường X tính x = 102gram, sx2 = 30 ; cân 150 trái A nơng trường Y tính y = 100 gram, sy2 = 31 Trong kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng trái nơng trường nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trọng lượng trung bình 23 trái dưa hấu xã X trồng 6,72kg/trái sx = 0, 32 kg Trọng lượng trung bình 19 trái dưa hấu xã Y trồng 6,46kg/trái sy = 0, 41kg (giả sử trọng lượng dưa hấu có phân phối chuẩn) Với mức ý nghĩa 5%, có kết luận trọng lượng trái dưa hấu xã X trồng nặng dưa hấu xã Y trồng khơng? y p , x p 3.2 So sánh hai tỉ lệ hai tổng thể X, Y Các bước thực hành • Đặt giả thuyết H : px = py my mx + my m • Từ mẫu ta tính fx = x , fy = , p0 = ny nx + ny nx Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: 1) Mức ý nghĩa 5%? 2) Mức ý nghĩa 1%? VD Một cơng ty điện tử tiến hành điều tra thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 400 người quận X thấy có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Trong kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Người ta đo ngẫu nhiên đường kính 15 trục máy máy X sản xuất 17 trục máy máy Y sản xuất (giả sử có phân phối chuẩn) tính kết là: x = 251, mm; sx2 = 25 y = 249, mm; sy2 = 23 Với mức ý nghĩa 1%, kiểm định giả thuyết H: “đường kính trục máy máy sản xuất nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 0963 , chấp nhận H B t = 2, 0963 , đường kính trục máy X lớn C t = 1, 0963, chấp nhận H D t = 1, 0963 , đường kính trục máy X lớn Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = fx − fy 1 p0q + nx ny • Kết luận Nếu t ≤ tα chấp nhận H ⇒ px = py Nếu t > tα fx < fy bác bỏ H ⇒ px < py ; Nếu t > tα fx > fy bác bỏ H ⇒ px > py VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, Với mức ý nghĩa 9%, so sánh hai tỉ lệ px , py hai tổng thể X Y? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trước bầu cử, người ta thăm dò 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ơng A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ơng A Kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ cử tri ủng hộ ơng A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 1% có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 2,6356; cử tri ngày ủng hộ ơng A B t = 2,6356; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi C t = 2,1349; cử tri ngày ủng hộ ơng A D t = 2,1349; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi 26 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 1.1 Định nghĩa • Hệ số tương quan mẫu r số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai mẫu ngẫu nhiên cỡ X Y • Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n vector ngẫu nhiên (X , Y ) (xi , yi ); i = 1; 2; ; n Khi đó, hệ số tương quan mẫu r tính theo cơng thức: r= xy − x y n ; xy = ∑ x i yi sˆx sˆy n i =1 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Giải Từ số liệu bảng trên, ta tính được: 20 × 1, + + 49 × 4, xy = = 167, 26 ; 10 n x = ∑ xi = 43, ; sˆx = 13, 5385 ; n i =1 y= Saturday, October 23, 2010 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 1.2 Tính chất 1) −1 ≤ r ≤ 2) Nếu r = X , Y khơng có quan hệ tuyến tính; Nếu r = ±1 X , Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối 3) Nếu r < quan hệ X , Y giảm biến 4) Nếu r > quan hệ X , Y đồng biến VD Kết đo lường độ cholesterol (Y) có máu 10 đối tượng nam độ tuổi (X) sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính hệ số tương quan mẫu X Y Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm • Từ mẫu thực nghiệm vector ngẫu nhiên (X , Y ), ta biễu diễn cặp điểm (xi , yi ) lên mpOxy Khi đó, đường cong nối điểm đường cong phụ thuộc Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)) n ∑ y = 3, 56; sˆy = 0, 8333 n i =1 i Vậy r = xy − x y = 0, 9729 sˆx sˆy Hình b Hình a Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy • Đường thẳng đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt điểm mẫu cho, xấp xỉ đường cong cần tìm Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ khơng tốt Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 2.2 Phương trình đường hồi quy tuyến tính Đường hồi quy tuyến tính Y theo X là: y = a + bx Trong đó: b = 2.1 Phương pháp bình phương bé • Khi có phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt hai biến ngẫu nhiên X Y ta cần tìm biểu thức a + bX xấp xỉ Y tốt theo nghĩa cực tiểu sai số bình phương trung bình E (Y − a − bX )2 , phương pháp gọi bình phương bé Xác suất - Thống kê Cao đẳng xy − x y sˆx2 , a = y − b.x Đường hồi quy tuyến tính X theo Y là: x = a + by Trong đó: b = xy − x y sˆy2 , a = x − b.y 27 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy VD Đo chiều cao (X: m) khối lượng (Y: kg) học sinh nam, ta có kết quả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y 50 55 45 60 55 1) Tìm hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X 3) Dự đốn học sinh cao 1,62m nặng khoảng kg? Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 2) b = xy − x y = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 60, 0181 ; (0, 0707)2 a = y − bx = 53 − 60, 0181 × 1, 55 = −40, 0281 Vậy y = −40, 0281 + 60, 0181x sˆx2 3) Học sinh cao 1,62m nặng khoảng: y = −40, 0281 + 60, 0181 × 1, 62 = 57, 2012 kg Giải 1) x = 1, 55; sˆx = 0, 0707; y = 53; sˆy = 5, 099 ; xy = 82, 45 ⇒ r = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 0, 8322 0, 0707 × 5, 099 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy VD Số vốn đầu tư (X: triệu đồng) lợi nhuận thu (Y: triệu đồng) đơn vị thời gian 100 quan sát là: Y X 0,3 0,7 1,0 20 10 30 10 10 20 1) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 2) Dự đốn muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu đồng cần đầu tư bao nhiêu? Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Giải 1) Ta có x = 2; sˆx = 0, 7746; y = 0, 71; sˆy = 0, 2427 ; xy = 1, 56 ⇒b = Y X 0,150 0,160 0,165 1) Tính hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 3) Dự đốn muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng cỡ bao nhiêu? Xác suất - Thống kê Cao đẳng = 1, 56 − 0, 71 × (0, 2427)2 = 2, 3768 ; 2) Nếu muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu cần đầu tư khoảng: x = 0, 3125 + 2, 3768 × 0, = 1, 5009 triệu đồng Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Giải 1) x = 0,1558; sˆx = 0, 006; y = 110; sˆy = 7, 746 ; xy = 17,1 ⇒ r = 100 110 120 15 30 10 25 15 sˆy2 a = x − by = − 2, 3768 × 0, 71 = 0, 3125 Vậy x = 0, 3125 + 2, 3768y Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy VD Số thùng bia (Y: thùng) bán phụ thuộc vào giá bán (X: triệu đồng/ thùng) Điều tra 100 đại lý loại bia đơn vị thời gian có bảng số liệu: xy − x y 2) b = xy − x y sˆy2 = 17,1 − 0,1558 × 110 = −0, 8176 0, 006 × 7, 746 17,1 − 0,1558 × 110 (7, 746)2 = −0, 0006 ; a = x − by = 0,1558 + 0, 0006 × 110 = 0, 2218 Vậy x = 0, 2218 − 0, 0006y 3) Nếu muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng khoảng: x = 0, 2218 − 0, 0006 × 115 = 0,1528 triệu đồng 28 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đường hồi qui 3.1 Số liệu khơng có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Bài tốn cho dạng cặp (xi , yi )như sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,02,6 4,5 2,9 3,84,1 4,63,2 4,0 Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y = a + bx Nhập số liệu: MODE → (REG) → (LIN) X, Y → M+ 20, 1.9 → M+ … … 49 , 4.0 → M+ Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y vào cột) Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy X Y 20 1.9 … … 49 4.0 Xuất kết quả: SHIFT → → → 1(A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) 3.2 Số liệu có tần số X a) Máy tính fx500MS, fx570MS 21 23 25 Y VD Xét tốn cho dạng bảng (hình bên) Tìm hệ số r , đường hồi quy thực nghiệm Y 11 theo X: y = a + bx Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Nhập số liệu: MODE → (REG) → (LIN) X, Y; n → M+ 21, 3; → M+ … … 25 , 5; → M+ Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 7326 ; y = −2, 6694 + 0, 3145x Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → → (kết A) Nhập số liệu: SHIFT → → → (kết B) SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn Mục Stat → (chế độ có tần số) SHIFT → → → (kết r) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y, tần số vào cột) X 21 25 Y … FREQ … Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chú ý Sai số dùng máy tính bỏ túi khơng tránh khỏi Do đó, sinh viên nên chọn đáp án gần với kết làm trắc nghiệm ……………… Hết……………… 29 [...]... từng sản phẩm với xác suất có 1 phế phẩm là 0,01 1) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm 2) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất 1 phế phẩm lớn hơn 3% 4x 3 , x ∈ (0; 1) VD 5 Cho X có hàm mật độ f (x ) = 0, x ∉ (0; 1) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (0, 25; 0,5) Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương... định lý §2 Các loại xấp xỉ phân phối xác suất ………………………… §1 MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ 1.1 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn a) Định nghĩa • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X nếu: ∀ω ∈ Ω, ∀ε > 0 : lim P Xn (ω) − X (ω) ≥ ε = 0 n →∞ ( P Ký hiệu: Xn → X (n → ∞) Xác suất - Thống kê Cao đẳng 3.2.3 Phân phối Student... B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα ) → tα 2 x − µ0 • Tính giá trị thống kê t = σ Chương 6 Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = Chương 6 Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ Chương 6 Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chú ý • Trong tất cả các trường hợp bác bỏ, ta so sánh x và µ... ……………………… §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM (tham khảo) 1.1 Thống kê • Một hàm của mẫu tổng qt T = T(X1, X2,…, Xn) được gọi là 1 thống kê • Các vấn đề của thống kê tốn được giải quyết chủ yếu nhờ vào việc xây dựng các hàm thống kê chỉ phụ thuộc vào mẫu tổng qt, khơng phụ thuộc các tham số 1.2 Ước lượng điểm • Ước lượng điểm của tham số θ (tỉ lệ, trung bình, phương sai,…) là thống kê ɵ θ =ɵ θ (X1, , Xn ) chỉ phụ thuộc vào... 2.1 Định nghĩa • Khoảng ɵ θ; ɵ θ của thống kê ɵ θ được gọi là khoảng tin ( 1 2 ) cậy của tham số θ nếu với xác suất 1 − α cho trước thì P ɵ θ < θ ... bả củ xá xác suấ suất Nhận xét Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê cho giá trị xấp xỉ mức độ xác tùy thuộc vào số lần thực phép thử §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất • Nếu... thử, A; A đầy đủ với biến cố A tùy ý Xác suất - Thống kê Cao đẳng Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển a) Số trường hợp... hạ hạn xá xác suấ suất §1 Một số loại hội tụ xác suất định lý §2 Các loại xấp xỉ phân phối xác suất ………………………… §1 MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ 1.1 Hội tụ theo xác suất – Luật