Chuyên đề thể tích khối đa diện

¤n Thi TNPT 2009 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Đònh nghóa : Thể tích khối đa diện số dương có tính chất sau : a Hai khối đa diện thể tích b Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ c Khối lập phương có cạnh thể tích Thể tích khối hộp chữ nhật ĐL : V = abc với a,b,c ba kích thước khối hộp chữ nhật ĐL : V = a3 với a cạnh hình lập phương Thể tích khối chóp ĐL : V = Sđáy h với h chiều cao Thể tích khối lăng trụ ĐL : V = Sđáy h với h chiều cao B VÍ DỤ Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI HỘP Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dà i chiều cao Giải Ta có : V = 2.3.4 = 24 Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dài đường chéo hình hộp hợp với mặt đáy góc 30o Giải g∆ABC vuông B nên AC2 = AB2 + BC2 = + = ⇒ AC = gTa có : C'C ⊥ (ABCD) ⇒ C = hc(ABCD)C' ⇒ AC = hc(ABCD)AC' · · AC = 30o ⇒ (AC';(ABCD)) = C' Vì ∆C'AC vuông C nên C'C = AC.tan30o = Ta có : V = AB.BC.C'C = 3 = =2 Ba kích thước hình hộp chữ nhật làm thành cấp số nhân có công bội Thể tích 64 Tìm kích thước Giải Gọi kích thước nhỏ x với x > ba kích thước hình hộp chữ nhật x , 2x , 4x Vì : V = x.2x.4x = 8x Theo đề : V= 64 ⇔ 8x3 = 64 ⇔ x3 = ⇔ x = (nhận) Vậy : Ba kích thước cần tìm 2,4,8 Tính thể tích khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 Giải Gọi a cạnh hình lập phương ta có diện tích mặt hình lập phương a2 Theo đề : Tổng diện tích mặt 24 hay S = 6a2 = 24 ⇔ a2 = ⇔ a = Vậy thể tích hình lập phương V = a3 = 23 = - - ¤n Thi TNPT 2009 Các đường chéo mặt bên hình hộp chữ nhật 5, 10, 13 Tính thể tích hình hộp Giải Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' có AC = 5,AB' = 10, AD' = 13 Đặt : AB = a,AD = b,AA ' = c ta có : a2 + b2 = AC2 = a =   2  b + c = AD' = 13 ⇔ ⇔  b =  c2 + a2 = AB'2 = 10 c =   Vậy thể tích khối hộp chữ nhật V= abc = 1.2.3 = 6 Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cm Khi tính độ dài cạnh hình lập phương Giải Gọi a (với a > 0) cạnh hình lập phương Khi thể tích hình lập phương V = a3 Thể tích hình lập phương cạnh tăng thêm 2cm V' = (a+2)3 a = (nhận) Theo đề : V' − V = 98 ⇔ (a+2)3 − a3 = 98 ⇔ a2 + 2a − 15 = ⇔  a = −5 (loại) Vậy cạnh hình lập phương cho a = 3cm Đáy hình hộp đứng hình thoi cạnh a , góc nhọn 60o Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Tính thể tích hình hộp Giải · gABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o ⇒ ∆ABD tam giác cạnh a  BD = a  ⇒ a =a  AC = 2AO = 2  gTheo đề : Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp nên AC = B'D = a g∆B'BD vuông B nên BB'2 = B' D2 − BD2 = 3a2 − a2 = a Vậy V= SABCD BB' = 2.SABD BB' = a2 a3 a = Cho hình hộp với sáu mặt hình thoi cạnh a , góc nhọn 60o Tính thể tích hình hộp Giải Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' Kẻ A'K ⊥ AB A'H ⊥ (ABCD) suy A'H ⊥ BD (1) Vì BD ⊥ AC,BD ⊥ A'C' nên BD ⊥ (AA'C'C) (2) Từ (1),(2) suy H ∈ AC · ' AK = 60o nên AK = a g∆A'KA vuông K có A a · g∆AKH vuông K có AKH = 30o nên AH = a ⇒ A'H = a2 g∆ABD tam giác cạnh a nên SABD = - - ¤n Thi TNPT Vậy V = SABCD A ' H = 2SABD ' A ' H = a 2009 3 a a = Đáy hình hộp hình thoi có cạnh 6cm góc nhọn 45o, cạnh bên hình hộp dài 10cm tạo với mặt phẳng đáy góc 45o.Tính thể tích khối hộp Giải · Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' với BAD = 45o · ' AH = 45o Kẻ A'H ⊥ (ABCD) H A = 18 2 10 ∆A ' HA vuông cân H nên A'H = =5 2 Vậy thể tích hình hộp V = SABCD A ' H = 18 2.5 = 180(cm ) Ta có : SABCD = AB.AD.sin 45o = 6.6 10 Với bìa hình vuông , người ta cắt bỏ góc bìa mộ t hình vuông cạnh 12cm , gấp lại thành hình hộp chữ nhật nắp Nếu dung tích hộp 4800cm , tính độ dài cạnh bìa Giải Gọi x cạnh bìa ( x > 24) Khi gấp lại ta hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông có cạnh x − 24 chiều cao h = 12 Khi thể tích hình hộp V = (x − 24)2 12  x = 44 (nhận) Theo đề : V = 4800 ⇔ (x − 24)2 12 = 4800 ⇔ (x − 24)2 = 400 ⇔ x − 24 = ±20 ⇔   x = (loại x > 24) Vậy cạnh bìa có độ dài 44cm · 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60 o, AB' hợp với đáy (ABCD) góc α Tính thể tích hình hộp Giải g∆ABD tam giác cạnh a nên SABD = a2 a2 a = g∆ABB' vuông B nên BB' = AB.tanα = a tan α ⇒ SABCD = 2.SABD = a2 3 Vậy thể tích hình hộp V = SABCD BB' = a tan α = a tan α 2 Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Gọi khối tứ diện cho ABCD Khi ta coi khố i chóp A.BCD Kẻ AH ⊥ (BCD) H tâm tam giác BCD ( tâm đường tròn ngoại tiếp ) Gọi M trung điểm BC Ta cóù : AH = ∆AHD vuông H nên : 2 a a AM = = 3 a 3a2 a ) = a2 − = 1 a a a3 Vậy : VABCD = VA.BCD = SBCD AH = = 3 12 AH = AD2 − AH = a2 − ( - - ¤n Thi TNPT 2009 Chú ý : Tứ diện coi khối chóp theo cách khác ( Lấy đỉnh làm chuẩn ) Cho khối chóp tam giác có cạ nh bên cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABC) H H tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC · · Vì H = hc S ⇒ AH = hc AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60o (ABC) (ABC) · ∆SHA vuông H có SAH = 60o nên AH = SA.cos60o = = , 2 3 SH = AH.tan60o = Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = AH = 2 2.AM Mà ∆ABC có đường cao AM nên AB = = = 3 ⇒ SABC = AB2 3 = 4 Vậy thể tích khối chóp V = 1 3 SABC SH = 3= 3 4 Cho khối chóp tam giác có cạ nh bên mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABCD) H H tâm tam giác ABC Gọi N trung điểm AB Khi : CH ⊥ AB hay NH ⊥ AB (1) Vì H = hc (ABCD)S ⇒ NH = hc (ABCD)NS nên theo đlí ba đường vuông ta có SN ⊥ AB (2) · · Từ (1),(2) ⇒ ((SAB);(ABCD)) = SNH = 45o ∆SNH vuông H , ta có : SH = NH.tan45o = NH ∆SHC vuông H , ta có : SC2 = SH + HC2 ⇔ = NH2 + (2NH)2 ⇔ NH = Do : SH = NH = Vì ∆ABC có đường cao CH nên CH = 3NH = AB 2CH ⇒ AB = = =2 3 AB2 (2 3)2 ⇒ SABC = = =3 4 1 Vậy thể tích khối chóp V = SABC SH = 3.1 = 3 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ⊥ (ABC) Mặ t bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối chóp Giải Gọi M trung điểm BC , ∆ABC nên AM ⊥ BC (1) Mà CH = đl3đ ⊥ Do AM = hc(ABC)SM,AM ⊥ BC  → SM ⊥ BC (2) Mặt khác : (SBC) ∩ (ABC) = BC (3) · · Từ (1),(2),(3) ⇒ ((SBC);(ABC)) = SMA =α ∆SAM vuông A nên SA = AH.tanα = a tan α - - ¤n Thi TNPT 2009 1 a a a SABC SA = tan α = tan α 3 Cho khối chóp tam giác có cạ nh bên a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABC) H H tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC · · Vì H = hc S ⇒ AH = hc AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH =α Vậy thể tích hình chóp V= (ABC) (ABCD) · ∆SHA vuông H có SAH = α nên AH = SA.cosα = a.cosα SH = AH.tanα = a cos α.tanα = asin α 3 Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = AH = a cos α 2 2.AM Mà ∆ABC có đường cao AM nên AB = = a cos α = 3a cos α 3 ( 3a cos α)2 3 3a2 cos2 α = 4 1 3a2 cos2 α 3 Vậy thể tích khối chóp V = SABC SH = asi n α = a cos2 α sin α 3 4 ⇒ SABC = Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , BC = a ; SA = SB = SC = mặt bên SAB hợp với đáy góc 60o a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) c) Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải a) Dựng SH ⊥ (ABC) a a ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Vì ∆ABC vuông A nên H trung điểm BC Ta có : SA = SB = SC = a a 3a2 a ) −( ) = ⇒ SH = 2 · · b) Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ AH = hc(ABC)AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60o Do SH = SB2 − HB2 = ( SH · · ∆SAH vuông H nên tanSAH = = ⇒ SAH = acr tan AH c) Gọi M trung điểm AB Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ MH = hc(ABC)MS mà HM ⊥ AB (1) HM // AC đlí đ ⊥ → MS ⊥ AB (2) · · Từ (1),(2) ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60o ∆SHM vuông H , ta có : MH = SH.tan60o = a a a = ⇒ AC = 2MH = , 3 a a a a MB = HB2 − MH = ( )2 − ( ) = ⇒ AB = 2MB = 6 - - ¤n Thi TNPT 2 2009 1 a a a 1 a a a ⇒ SABC = AB.AC = = ⇒ V = SABC SH = = 2 3 6 12 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B' trung điểm SB , C' chân đường cao hạ từ A ∆SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh SC vuông góc với mp(AB'C') c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' HD 1 a2 a3 a) Ta có : VS.ABC = SABC SA = a = 3 b) Ta có : BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB' (1)  BC ⊥ SA ∆SAB cân A nên SB ⊥ AB' (2) Từ (1),(2) suy AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC Mặt khác : AC' ⊥ SC nên SC ⊥ (AB'C') c) Ta có 1 VS.AB' C' = SC'.SAB' C' = SC'.AB'.B'C' a g∆SAB vuông cân A, ta có : SB = a 2,AB' = SB' = SB = 2 2 2 g∆SAC vuông cân A, ta có : SC = SA + AC = SA + AB + BC2 = 3a2 ⇒ SC = a SA = SC'.SC ⇒ SC' = SA a2 a = = SC a 3 a B'C' SB' a = = = ⇒ B'C' = BC SC a 6 a a a a3 Vậy V = = 6 36 Tính thể tích khối chóp tứ giác , mặt đáy có cạnh , cạnh bên 11 Giải Gọi hình chóp tứ giác S.ABCD H tâm mặt đáy ABCD Ta có : SH ⊥ (ABCD) H AH = AC = 2 Vì ∆SHD vuông H nên SH = SD − HD2 = 11 − = 1 Vậy V = SABCD SH = 22.3 = 3 10 Cho hình chóp tứ giác có diện tích đáy diện tích mặt bên Tính thể tích hình chóp Giải Gọi hình chóp cho S.ABCD , H tâm mặt đáy ABCD M trung điểm CD gCạnh đáy : a = = gMặt bên : SSCD = ⇔ CD.SM = ⇔ SM = 2 gChiều cao : SH = SM − HM = − = - - ¤n Thi TNPT Vậy thể tích khối chóp V = 2009 1 SABCD SH = 4.1 = 3 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông đường chéo AC = Biết SA ⊥ (ABCD) cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đá y góc 30o Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ A = hc(ABCD)S ⇒ AC = hc(ABCD)SC · · ⇒ (SC;(ABCD)) = SCA = 30o g∆SAC vuông A nên SA = AC.tan30o = AC ) =2 1 gV = SABCD SA = = 3 3 = ⇒ SABCD = AB2 = ( 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh , cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = AB = a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh : BD ⊥ SC c) Tính góc tạo SC mặt phẳng (SBD) d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải a) Ta có : SA ⊥ (ABCD) Gọi H tâm hình vuông ABCD gNối S H SH ⊥ BD (Đlí đ ⊥ ) nên SBCD = BD.SH a 2 a a a2 2 g∆ASH vuông A : SH = SA + AH = a + ( ) = ⇒ SBCD = a = 2 2 BD ⊥ AC ( hai đường chéo hình vuông) b) Ta có :  ⇒ BD ⊥ (SAC) mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC BD ⊥ SA ( SA ⊥ (ABCD)) · · c) Kẻ CK ⊥ SH CK ⊥ BD ( BD ⊥ (SAC)) ⇒ CK ⊥ (SBD) ⇒ K= hc C ⇒ (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí hàm số cosin ∆SCH ta : (SBD) 2 2 · · · HC2 = SH + SC2 − 2SH.SC.cos HSC ⇒ cos HSC = ⇒ HSC = acr cos 3 1 a3 d) V = SABCD SA = a a = 3 12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA = SB = SC = SD = a a) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABCD theo a b) Tính cosin góc nhò diện (SBA,SAD) HD a) gStp = SABCD + 4.SSAB = a2 + a2 = (1 + 3)a2 a 2 a 2 a a3 2 2 gV = SABCD SH , ta có : SH = SA − HA = a − ( ) = ⇒ V= a = 2 · b) Gọi M trung điểm SA , ta có : BM ⊥ SA DM ⊥ SA ⇒ α = BMD góc phẳng nhò diện (SAB,SAD) - - ¤n Thi TNPT Áp dụng đlí hàm số cosin ∆BMD ta : 2009 3a2 3a2 3a2 · · · BD2 = MB2 + MD2 − 2MB.MD.cos BMD ⇒ 2a2 = + − .cos BMD ⇒ cos BMD =− 4 13 Cho hình chóp tứ giác có cạ nh đáy a cạnh bên hợp với đáy góc α Tính thể tích khối chóp tứ giác HD Gọi hình chóp tứ giác S.ABCD mặt đáy hình vuông ABCD có tâm H · · · · Kẻ đường cao SH , ta có SAH = SBH = SBH = SBH =α a tan α 1 a a3 Vậy V = SABCD SH = a2 tan α = tan α 3 Xét ∆SAH vuông H nên SH = AH tan α = 14 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc α Tính thể tích khối chóp tứ giác HD Gọi hình chóp cho S.ABCD , H tâm mặt · đáy ABCD M trung điểm CD SMH =α a tan α 1 a V = SABCD SH = a2 tan α = a3 tan α 3 SH = HM.tan α = 15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh · đáy AB = a SAB = α Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a α HD Gọi H tâm đáy ABCD M trung điểm AB Khi : SH ⊥ (ABCD) HM ⊥ AB đlí đ ⊥ Vì H = hc(ABCD)S ⇒ HM= hc(ABCD)SM → SM ⊥ AB a a2 ∆SMA vuông M nên SH = SM − HM = ( tan α)2 − = a2 a = (tan2 α − 1) ⇒ SH = tan2 α − 1 a a Vậy V= SABCD SH = a2 tan α − = tan α − 3 π π Với điều kiện tan α − > ⇔ < α < 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đường cao a mặt bê n tam giác cân có góc đỉnh α HD · gGọi BSH = β Áp dụng đl cosin vào ∆SBD ∆SBC : BD2 = 2SB2 (1 − cos 2β) ⇔ BC2 = 2SB2 sin β  ⇒ sin β = − cos α 2 BC = 2SB (1 − cos α) ⇔ cos α = cos β  gSABCD = BC2 = 2HB2 = 2a2 tan2 β = 2a2 − cos2 β cos2 β = 2a2 − cos α cos α - - ¤n Thi TNPT ⇒ S= 4a2 sin2 cos α 2009 α 1 gV = SABCD SH = 3 α 2α sin 4a a = cos α cos α 4a2 sin2 17 Tính thể tích khối tám mặt có cạnh a Giải Gọi khối tám mặt cho ABCDE O tâm hình vuông BCDE có cạnh a Vì mặt BCDE chia khối tám mặt thành hai phần nên : 1 a a3 VABCDEF = 2.VABCDE = .SBCDE AO = .a2 = 3 18 Cho hình lập phương có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh tâm mặt hình lập phương Giải Khối lập phương có cạnh bằn g a Khi khối tám mặt tạo thành có mặt chéo ABFD a 2 Thật : ∆AOB vuông O tâm khối tám mặt , cạnh : có AF = a , BD = a Dó : cạnh a a a OA + OB2 = ( )2 + ( )2 = 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt thành hai phần nên : AB = 1 a 2 a a3 VABCDEF = 2.VA.BCDE = .SBCDE AO = .( ) = 3 2 ( xem hình 17 ) 19 Cho khối tứ diện có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện a Giải Khối tám mặt tạ o thành có cạnh Thật : Gọi P,Q,R trung điểm cạnh AB,CD,BC Khi : PQ vuông góc với AB, CD Tam giác APQ vuông P Ta có : PQ = AQ − AP = ( a a a ) −( ) = 2 ∆PRQ vuông R PQ = RP + RQ ⇔ 2RP = PQ = a2 a2 a a ⇒ cạnh RP = ⇒ đường cao AO = 4 Mặt BCDE chia khối tám mặt nh hai phần nên : ⇒ RP = 1 a a a3 VABCDEF = 2.VA.BCDE = .SBCDE AO = .( )2 = 3 24 a · 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD = 60o, SA = SC = , SB = SD a) Tính thể tích khối chóp b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD) c) Tính Stp hình chóp Giải a) Gọi O = AC ∩ BD - - ¤n Thi TNPT 2009 SA = SC SO ⊥ AC,AC ⊂ (ABCD)  Ta có : SB = SD ⇒ ⇒ SO ⊥ (ABCD) O trung điểm AC BD SO ⊥ BD,BD ⊂ (ABCD)  ⇒ O = hc(ABCD)S ⇒ SO đường cao S.ABCD gOA = a ( đường cao ∆ABD cạnh a ) 5a2 3a2 a g∆SOA vuông O , ta có : SO = SA − AC = − = 4 2 1 a a gSABCD = 2SABD = .OA.BD = .a = 2 2 1 a a a ⇒ V = SO.SABCD = = 3 2 12 b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD) AC ⊥ BD (đ/c hình thoi) AC ⊥ (SBD)  Ta có : AC ⊥ SO ( SO ⊥ (ABCD)) ⇒  ⇒ (SAC) ⊥ (SBD) AC ⊂ (SAC)  SO ⊂ (SBD)  2 c) Stp = 4SSCD + SABCD ( Vì ∆SCD = ∆SBC = ∆SAB = ∆SAD ) SD + SC + DC a( + + 2) = 2 Áp dụng công thức He-rông ta đượ c : SSCD = p(p − SD)(p − SC)(p − DC) a p − SD = ( + − 3) (1) a p − SC = ( − + 2) (2) a p − DC = ( + − 2) (3) a2 11 a2 a2 2 Vậy : SSCD = [( + 5) − 2][4 − ( − 5) = 60 − 16 = 16 16 2 a 11 a a ⇒ Stp = + = ( 11 + 3) 2 gTính SSCD : Vì nửa chu vi p = Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , chiều cao 2a Tính thể tích lăng trụ Giải Gọi lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' a2 a3 = 2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm Mặt đáy lăng trụ tam Ta có : V = AA '.SABC = 2a giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích 30cm Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình lăng trụ Giải Gọi hình lăng trụ ABC.A'B'C' g∆ABC vuông B , AC = 13cm SABC = 30cm , AA ' = 20cm Gọi x,y hai cạnh góc vuông ∆ABC Điều kiện : < x,y < 13 - 10 - ¤n Thi TNPT 2009  x2 + y2 = 132 = 169   Theo đề :  ⇔ (x + y) − 2xy = 169 xy = 60  xy = 30 2  → (x + y)2 = 169 + 2xy = 289 ⇒ x + y = 17 Vậy : Sxq = CVi đáy × cạnh bên = (17+13) × 20 = 600cm Stp = Sxq + 2.Sđáy = 600 + 2.30 = 660cm 3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 37,13,30 diện tích xung quanh 480 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Chu vi đáy khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 ⇒ p = 40 480 Chiếu cao khối lăng trụ : h = =6 80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy khối lăng trụ : S = 40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180 Vậy thể tích khối lăng trụ : V = S.h = 1080 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy góc 30o có chiều cao Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi khối lăng trụ ABC.A'B'C' Kẻ A'H ⊥ (ABC) H · ';(ABC)) = A · ' AH = 30o Ta có : H = hc A ' ⇒ AH = hc AA ' ⇒ (AA (ABC) Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 (ABC) Diện tích : S = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 ∆A ' HA vuông H : A'H = AA'.sin30o = = Thể tích : V = S.h = 336 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19,20,37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ Giải 19 + 20 + 37 gNửa chu vi đáy : p = = 38 gDiện tích đáy : S = 38(38 − 19)(38 − 20)(38 − 37) = 114 19 + 20 + 37 76 gChiều cao : h = = 3 76 Vậy thể tích khối lăng trụ V = Sh = 114 = 2888 · Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ∆ABC vuông A , AC = a , ACB = 60o.Đường thẳng BC′ , tạo với mp(AA′C′C) góc 30o a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′ b) Tính thể tích khối lăng trụ cho Giải a) Tính AC' g∆ABC vuông A nên AB = AC.tan60o = a gTa có : AB ⊥ AC,AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) ⇒ A= hc(AA 'C'C)B · · A = 30o ⇒ AC'= hc BC' ⇒ (BC';(AA 'C'C)) = BC' (AA 'C'C) - 11 - ¤n Thi TNPT ∆AC'B vuông A ⇒ AC' = AB tan30 o = a 1/ 2009 = 3a b) gAA'= AC' − A 'C' = (3a)2 − a2 = 2a gSABC = a2 a2 Vậy : VABC.A ′B′C′ = AA '.SABC = 2a = a3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh a , AA' ⊥ (ABC) Tính thể tích khối ABCC'B' Giải VABCC'B' = VABC.A'B'C' − VAA'B'C' = a a2 a2 a3 − a = 4 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A lên mp (ABC) trùng với trung điểm I BC , cạnh bên tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ Giải Theo đề : A'I ⊥ (ABC) ⇒ A'I đường cao khối lăng trụ nên V = A'I.SABC a Vì I = hc(ABC)A ' ⇒ AI = hc(ABC)AA ' · ';(ABC)) = A · ' AI = 60o ⇒ (AA ∆ABC có đường cao AI = · ' IA = a = 3a ∆A ' IA vuông I nên A'I = AI.tanA 2 3a a 3 3a Vậy : V = A'I.SABC = = (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a, điểm A' cách ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy góc 60o a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC'B' hình chữ nhật c) Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ Giải a) Gọi O tâm tam giác ABC Vì A'A = A'B = A'C nên A'O ⊥ mp(ABC) · ' AO = 60o Vậy : A a =a a2 a3 Vậy thể tích cần tìm V = SABC A 'O = a = 4 b) Vì BC ⊥ AO nên BC ⊥ AA' hay BC ⊥ BB' Vậy : BB'C'C hình chữ nhật c) Gọi H trung điểm AB Ta có : Từ ta có : A'O = AO.tan60o = AO = a2 Sxq = 2.SAA ' B' B + SBB'C'C = 2.A ' H.AB + BB'.BC = (2 + 13 ) 10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác ABC vuông B AB = a , BC = 2a , AA' = 3a Một mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA' cắt đoạn thẳng CC' BB' M N - 12 - a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB b) Chứng minh : AN ⊥ A'B c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN d) Tính diện tích ∆AMN Giải 1 a) VC.A ' AB = VA '.ABC = SABC AA ' = a.2a.3a = a3 b) Ta có : CB ⊥ AB,CB ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABC)) , suy : CB ⊥ (A'AB) Mặt khác : AN ⊥ CA' ( CA' ⊥ (AMN)) Suy : AN ⊥ A'B (đlí đường ⊥ ) c) Ta có : VA '.AMN = VM.AA ' N = VM.AA ' B ( Vì NB//AA') = VC.AA ' B ( MC//(AA'B)) ¤n Thi TNPT 2009 = a3 d) SAMN = 3.VA '.AMN A'I 3a3 = (3a)2 a2 14 = a2 + (2a)2 + (3a)2 11 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc đường thẳng AB' mặt phẳng (BB'C'C) ϕ a 2sin ϕ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ c) Tính thể tích lăng trụ Giải a) Gọi I trung điểm BC  AI ⊥ BC · I = ϕ AI ⊥ B'I Ta có :  ⇒ AI ⊥ (BB'C'C) ⇒ AB'  AI ⊥ BB' a) Chứng minh : AB' = ∆AB'I vuông I , ta có : AB' = AI a = sin ϕ 2sin ϕ b) ∆AB'B vuông B nên BB'2 = AB'2 − AB2 = ⇒ BB' = a 2sin ϕ c) V= SABC BB' = 3a2 4sin ϕ a − 4sin ϕ ⇒ Sxq = 3a 2sin ϕ a2 a 2sin ϕ − 4sin ϕ = − a2 = 3a2 4sin ϕ − 4sin ϕ = a3 8sin ϕ (3 − 4sin ϕ) 3a2 2sin ϕ − 4sin ϕ − 4sin ϕ · 12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy tam giác ABC cân A , ABC =α ; ′ ′ BC hợp với mặt đáy (ABC) góc β Gọi I trung điểm cạnh AA · Biết BIC = 90o a) Chứng tỏ BIC tam giác vuông cân b) Chứng minh : tan 2α + tan 2β = Giải a) Gọi H trung điểm BC ∆ABC cân A nên AH ⊥ BC (1) Mặt khác : AI ⊥ (ABC) ⇒ A = hc(ABC)I ⇒ AH = hc(ABC)IH (2) Từ (1) , (2) suy : IH ⊥ BC ( Đlí đường ⊥ ) ⇒ ∆BIC vuông I , có đường cao IH vừa trung tuyến nên cân I - 13 - ¤n Thi TNPT 2009 AH 2AH = BH BC · BC = β Mặt khác : C = hc(ABC)C' ⇒ BC = hc(ABC)BC' ⇒ C' b) ∆AHB vuông H cho tanα = ∆BCC' cho tanβ = CC' AA ' = BC BC Mặt khác : ∆IAH vuông H cho IA + AH = IH2 ⇒ AA '2 BC2 + AH2 = 4 BC2 AA '2 4AH2 Chia hai vế cho ta : + = ⇔ tan α + tan β = 2 BC BC Vấn đề : TỈ SỐ THỂ TÍCH (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' V SA SB SC Chứng minh : = V ' SA ' SB' SC' Giải Gọi H , H' theo thứ tự hình chiế u vuông góc A,A' lên mặt phẳng (SBC) Ta có : S,H,H' thẳng hàng , chúng nằm hình chiếu vuông góc tia SA lên mặt phẳn g (SBC) AH.SABC V SA SB SC Khi : = = V' SA ' SB' SC' A ' H '.SSB'C' (Bài 25-P29 SGK) Chứng minh có phép vò tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện V A'B'C'D' A ' B'C' D ' = k VABCD Giải Gỉa sử có phép vò tự V tỉ số k tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' Khi : gV biến đường cao AH hình chóp ABCD thành đường cao A'H' hình chóp A'B'C'D' Do : A'H' = k AH gV biến ∆BCD thành ∆B'C' D ' nên SB'C' D ' = k SBCD VA ' B'C' D ' SB'C' D ' A ' H ' Suy : = = k2 k = k VABCD S AH BCD (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' lầ n lượt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Giải Gọi V1 thể tích phần chứa điểm A V2 thể tích phần lại Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta có : V1 VA.B'CD ' AB' AC AD' 1 1 = = = = ⇒ V2 VA.BCD AB AC AD 2 1 ⇒ VA.B'CD ' = VA.BCD ⇒ VA.B'CD ' = V ⇒ V1 = V 4 Suy : V2 = V - 14 - ¤n Thi TNPT 2009 (Bài 2-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh trọng tâm mặt tứ diện cho Giải Gọi G1,G2 ,G3 ,G G trọng tâm ∆ABC,∆ABD,∆ACD,∆BCD tứ diện ABCD Xét phép vò tự tâm G tỉ số k = − , ta có : V (ABCD) = (G1G 2G3G ) (G; − ) VG G G G 1 1 V Suy : = = hay VG G G G = VABCD 3 27 27 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện số k > cho trước Giải Lấy điểm E cạnh AC cho AE = kCE Hạ AM , AN vuông góc với mp(BDE) M N VA.BDE AM.SBDE AM AE Khi : = = = =k VC.BDE CN CE CN.SBDE (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD G giao SO với AM SG G trọng tâm ∆SAC Vậy : = SO Vì mp(P) song song với BD nên cắt mp(SBD) theo giao tuyến B'D' qua G B'D'//BD ( với B' ∈ SB,D' ∈ SD) SB' SD' SG Suy : = = = SB SD SO Mp(P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần : khối chóp S.AB'MD' khối đa diện ABCDB'MD' V V SA SB' SD' 2 Ta có : S.AB' D' = = = ⇒ S.AB' D ' = VS.ABD SA SB SD 3 VS.ABCD VS.MB' D' SM SB' SD ' 2 V = = = ⇒ S.MB' D ' = VS.CBD SC SB SD 3 VS.ACBD V V + VS.MB' D ' 1 V Suy : S.AB' MD ' = S.AB' D ' = + = ⇒ S.AB' MD ' = VS.ACBD VS.ACBD 9 VACBDB' MD ' Chú ý : Để áp dụng công thứ c tính tỉ số thể tích buộc phải chia khối đa diện cho thành khối tứ diện (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm AA' Mặt phẳng qua M,B',C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi a cạnh ∆ABC V thể tích khối lăng trụ : V = VABC.A'B'C' = AA '.SABC = a a2 a3 = 4 - 15 - ¤n Thi TNPT Kẻ CH vuông góc với AB , ta có : 2009 1 a a a3 V' = VC.ABB' M = CH.SABB' M = (a + ).a = 3 2 a VC.ABB' M V' Do : = = =1 VCC' B' A ' M V − V ' a3 a3 − (Bài - P31 SGK) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải a3 Gọi I giao điểm đường thẳng MB' đường thẳng AA' , N giao điểm IC' AC Thiết diện khối lăng trụ cắt mp(B'C'M) hình thang cân B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa cạnh AA' V2 thể tích phần lại Gỉa sử khối lăng trụ có đáy S chiều cao AA' = h Khi : 1 V1 = VAMN.A ' B'C' = VI.A ' B'C' − VI.AMN = SA ' B'C' IA '− SAMN IA = 3 1 S 7 = S.2h − h = Sh = VABC.A ' B'C' = (V1 + V2 ) 3 12 12 12 V Từ suy : 12V1 = 7(V1 + V2 ) ⇔ = V2 Gọi a cạnh lăng trụ , ta có : VLT = C BÀI TẬP Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc Biết BC = a , tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS : V = Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ AB, SA ⊥ BC , BC ⊥ AB Biết AB = BC = a 3, SA = a Tính thể a3 a3 Một khối chóp tam giác có cạnh đáy 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài tạo với tích khối chóp S.ABC ĐS : V = đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp ĐS : V = 16 µ = 60o , SA = SB = SD = a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , A a) Tính thể tích khối chóp VS.ABCD = b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD) a3 12 a2 c) Tính Stp hình chóp Stp = ( + 3) Cho S.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy AB = a cạnh bên SB = b Tính thể tích hình chóp HD : Kẻ SH ⊥ (ABC) H tâm tam giác ABC M trung điểm BC , ta : AM = a ,SH = 3 9b2 − 3a2 ⇒ V = a2 36 9b2 − 3a2 - 16 - ¤n Thi TNPT 2009 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông C có cạnh huyền AB = 2a Gọi H K hình chiếu A SC SB a) Tính thể tích khối chóp H.ABC VH.ABC = b) Chứng minh : AH ⊥ SB SB ⊥ (AHK) a3 2a3 21 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Tính thể tích khối hộp ABCD.A B C D Biết khối chóp C.C B D tứ diện cạnh a c) Tính thể tích khối chóp S.AHK VH.ABC = V= a3 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ∆ABC tam giác cạnh a , hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy SA = 2a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính Stp khối chóp Đáp số : a3 a) V= a2 b) Stp = (8 + + 19) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích Trên đường thẳng vuông gó c với mặt đáy A , ta lấy điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy góc 30o, mặt bên (SDC) tạo với mặt đáy góc 60o a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh hình chóp c) Tính góc cạnh bên SC mặt đáy 30 2 · b) Sxq = 2(1 + 3) c) SCA = arctan 10 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=AB= a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh : BD ⊥ SC · c) Tính (SC,(SBD)) Đáp số : a) V = d) Tính thể tích hình chóp a2 a3 · C = arccos 2 c) HS d) VS.ABCD = 3 11 Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có chiều cao h hai đường thẳng B′C,BC′ vuông góc với Đáp số : a) SSBD = Tính thể tích lăng trụ h3 V= 12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm M Gọi H trực tâm tam giác ABC , K trực tâm tam giác BMC a) Chứng minh : MC ⊥ (BHK) , HK ⊥ (BMC) b) Khi M thay đổi d , Tìm GTLN thể tích tứ diện KABC V= a3 48 13 Trên cạnh CD tứ diện ABCD lấy điểm M cho CM = CD Tính tỉ số thể tích hai tứ V diện ABMD ABMC Đáp số : ABDM = VABCM 14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C′ Tính tỉ số thể tích khối chóp A.BB′C′C khối lăng trụ ABC.A′B′C′ V Đáp số : A.BB'C'C = VABC.A'B′C′ - 17 - [...]... ý : Để áp dụng được công thứ c tính tỉ số của thể tích thì buộc phải chia khối đa diện đã cho thành các khối tứ diện 6 (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Gọi M là trung điểm của AA' Mặt phẳng đi qua M,B',C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Giải Gọi a là cạnh của ∆ABC và V là thể tích của khối lăng trụ : V = VABC.A'B'C' = AA '.SABC =... ra : = = k2 k = k 1 VABCD S AH 3 BCD 3 (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B' và D' lầ n lượt là trung điểm của AB và AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích của mỗi phần đó Giải Gọi V1 là thể tích của phần chứa điểm A và V2 là thể tích phần còn lại Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta có : V1 VA.B'CD ' AB' AC AD' 1 1 1 1 = = = = ⇒ V2... TNPT 2009 6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB a) Tính thể tích của khối chóp H.ABC VH.ABC = b) Chứng minh rằng : AH ⊥ SB và SB ⊥ (AHK) a3 3 7 2a3 3 21 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a c) Tính thể tích khối chóp S.AHK... = 80 ⇒ p = 40 480 Chiếu cao của khối lăng trụ : h = =6 80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là : S = 40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180 Vậy thể tích khối lăng trụ : V = S.h = 1080 4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30o và có chiều cao bằng 8 Tính thể tích của khối lăng trụ Giải Gọi khối lăng trụ là ABC.A'B'C' Kẻ A'H... có nửa chu vi : p = 21 (ABC) Diện tích : S = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 1 ∆A ' HA vuông tại H : A'H = AA'.sin30o = 8 = 4 2 Thể tích : V = S.h = 336 5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Tính thể tích của khối lăng trụ Giải 19 + 20 + 37 gNửa chu vi đáy : p = = 38 2 gDiện tích đáy : S = 38(38 − 19)(38 −... Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải a3 3 4 Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng AA' , N là giao điểm của IC' và AC Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bởi mp(B'C'M) là hình thang cân B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 là thể tích. .. trong hai mặt phẳng vuông góc nhau Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC ĐS : V = 2 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ AB, SA ⊥ BC , BC ⊥ AB Biết AB = BC = a 3, SA = a Tính thể a3 8 a3 2 3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với tích của khối chóp S.ABC ĐS : V = đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp đó ĐS : V = 16 3 µ = 60o , SA = SB = SD = a... lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a , AA' ⊥ (ABC) Tính thể tích của khối ABCC'B' Giải VABCC'B' = VABC.A'B'C' − VAA'B'C' = a a2 3 1 a2 3 a3 3 − a = 4 3 4 6 8 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A lên mp (ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích của khối lăng trụ này Giải Theo đề : A'I ⊥ (ABC)... giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy và SA = 2a a) Tính thể tích của khối chóp b) Tính Stp của khối chóp Đáp số : a3 3 a) V= 6 a2 b) Stp = (8 + 4 3 + 19) 9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 Trên đường thẳng vuông gó c với mặt đáy tại A , ta lấy điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30o, mặt bên (SDC) tạo với mặt đáy một góc 60o a) Tính thể tích của khối. .. ⊥ (BHK) , HK ⊥ (BMC) b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC V= a3 48 1 13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD Tính tỉ số thể tích của hai tứ 3 V diện ABMD và ABMC Đáp số : ABDM = 2 VABCM 14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C′ Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB′C′C và khối lăng trụ ABC.A′B′C′ V 2 Đáp số : A.BB'C'C = VABC.A'B′C′ 3 - 17 - ... Tính thể tích khối chóp H.ABC VH.ABC = b) Chứng minh : AH ⊥ SB SB ⊥ (AHK) a3 2a3 21 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Tính thể tích khối hộp ABCD.A B C D Biết khối chóp C.C B D tứ diện cạnh a c) Tính thể tích khối. .. SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' lầ n lượt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Giải Gọi V1 thể tích phần chứa điểm A V2 thể tích phần... thể tích hình hộp V = SABCD BB' = a tan α = a tan α 2 Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Gọi khối tứ diện cho ABCD Khi ta coi khố i chóp A.BCD Kẻ AH ⊥ (BCD)