BĐT nâng cao

V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số V.1 - Bất đẳng thức Kiến thức cần nhớ a) Định nghĩa : Cho hai số a b ta có a > b a b > b) Một số bất đẳng thức : 01) Các bất đẳng thức luỹ thừa thức : A2 n 0n Ơ với A biểu thức , dấu xảy A = 2n A ; A 0; n Ơ ; dấu xảy A = A + B A + B Với A 0; B dấu xảy có hai số không A B A B với A B o dấu xảy B = 02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối A Với A , dấu xảy A = A + B A + B dấu xảy A dấu A B A B Dấu xảy A B dấu A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : a + a + + an - Cho số a1 , a2 , , an n a1a2 an n ( Trung bình nhân n số không âm không lớn trung bình cộng chúng ) Dấu xảy a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức Côsi cho hai số phát biểu dới dạng sau : a+b Với a b số không âm ab 2 Với a b số ( a + b ) 4ab ( a + b) Với a b số Dấu xảy a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi bất đẳng thức Côsi Svac ) : - Cho hai số thực: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn a +b 2 ( )( ) Khi : ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) a12 + a22 + + an2 b12 + b22 + + bn2 Dấu xảy : a a a - Hoặc = = = n với , bi khác = bi tơng ứng b1 b2 bn - Hoặc có hai gồm toàn số không - Bất đẳng thức Côsi Svac cho hai cặp số : ( ax + by ) a + b x + y Dấu xảy ay = bx ( )( ) 1 Với x > ; x + Với x < x x c) Các tính chất bất đẳng thức : 01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b b > c a > c 02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng : Cộng hai vế bất đẳng thức với số : Nếu a> b a +c > b+ c Cộng hai bất đẳng thức chiều : Nếu a > b c > d a+c > b +d 03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều : Nếu a > b c < d a c > b d 04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân : - Nhân vế bất đẳng thức với số Nếu a >b c > ac > bc Nếu a > b c < ac < bc - Nhân bất đẳng thức chiều Nếu a > b >0 c > d > ac > bd Nếu a < b < c < d < ac > bd - Luỹ thừa hai vế bất đẳng thức : Với n Ơ a b a n +1 b n +1 05) Bất đẳng thức x + Với n Ơ a b a 2n b 2n Với n Ơ a b < a 2n b2n < a < an < am Với n > m a > an > am Với n > m Một số điểm cần lu ý : - Khi thực phép biến đổi chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai bất đẳng thức chiều nhân chúng cha biết rõ dấu hai vế Chỉ đợc phép nhân hai vế bất đẳng thức với biểu thức ta biết rõ dấu biểu thức - Cho số hữu hạn số thực ta chọn đợc số lớn số nhỏ Tính chất đợc dùng để thứ tự ẩn việcchứng minh bất đẳng thức Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: 3.1 Bin i tng ng v dựng bt ng thc cú sn Ví dụ 1: Chứng minh với số thức x : 3x + x + 11 x x +1 Giải : Ta có : x x + = x ữ + > Với x Do : 3x + x + 11 x + x + 11 ( x x + 1) x + x + 11 x x + x x +1 x + x + ( x + 3) Đúng với x Dấu xảy x = -3 5 Ví dụ : Cho a, b Ă a+b Chứng minh a + b a b a+b Giải : 5 5 a + b5 a b ( a + b ) Ta có : a + b a b a + b a b M = a+b a+b a+b Xét tử M : a + b5 a b a b = ( a a b ) ( a 3b b ) = a ( a b3 ) b ( a b ) = (a b3 ) ( a b ) = ( a b ) ( a ab + b ) ( a b ) ( a + b ) = = ( a + b) ( a b) 2 2 2 a ab + b ữ + b = ( a + b ) ( a b ) a b ữ + b Vì a+b nên M= ( a b ) a b ữ + b > a, b đồng thời 3.2 Phơng pháp phản chứng: a + b + c > Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn ab + ac + bc > abc > Chứng minh ba số dơng Giải - Giả sử có số không dơng: a Từ abc > ta có: bc < (* ) Từ a+b+c >0 ta có: b + c > - a > Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > bc > - a (b + c) > Ta có (*) (**) mâu thuẫn đpcm 3.3 Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức bản: Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x, y > Ta có : (**) ( + x) (1 + y) (1 + xy )2 Giải Cách : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : ( ) ( ) ( 2 (1 + x )(1 + y ) = 12 + x ữ1 + y ữ + xy Cách : Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ) 2 xy x y + 1+ x 1+ y (1 + x)(1 + y ) 1 + 1+ x 1+ y (1 + x)(1 + y ) 2 xy + (1 + x)(1 + y ) xy + (1 + x)(1 + y ) ( (1 + xy (1 + x)(1 + y ) (1 + x)(1 + y ) + xy Dấu xảy x = y Ví dụ : Cho a, b Ă 3a + = Chứng minh a + b Giải : Cách : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 52 = ( 3a + 4b ) ( 32 + 42 ) ( a + b ) a + b a= 3a + 4b = Dấu xảy : a b = b = Cách : Từ 3a +4b = ta có a= 4b Vậy a + b 4b ữ + b 25 40b + 16b + 9b 25b 40b + 16 ( 5b ) Đúng với x Ví dụ : Chứng minh với góc nhọn x ta có : b) tgx + cotgx a ) sin x + cosx Giải : a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có : 2 sin x + cosx sin x + cos x = 2 Dấu xảy sinx = cosx hay x = 450 b ) Vì tgx , cotgx >0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ; tgx + cotgx tgx.cot gx = ( Vì tgx cotgx = ) Dấu xảy tgx = cotgx hay x= 450 Ví dụ : Cho a Chứng minh : a + 17 a Giải : ) Ta có : a + a 15a = + + a 16 a 16 áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dơng a ta có : 16 a a a 1 + =2 = 16 a 16 a 16 Mà : a 15a 15 15 = 16 16 17 Dấu xảy a = a Ví dụ : Chứng minh với số thực x , y ta có : Vậy a + x + y xy x y > 10 Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với : x + y xy x y > 10 ( x x + 1) + ( y y + ) + ( x xy + y ) ( x 1) + ( y 3) + ( x y ) 2 Điều ( x 1) 0; ( y 3) 0; ( x y ) không đồng thời xảy (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 3.4 Phơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phơng trình : Ví dụ9 : Chứng minh phơng trình: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 Có nghiệm 4c2 3(a + b)2 8ab Giải Ta có : x + ( x + a ) + ( x + b ) = c x + ( a + b ) x + a + b + c = Để phơng trình có nghiệm : ( ) ' ( a + b ) 4(a + b c ) 4c a + b 2ab 4c ( a + b ) 8ab 3.5 Phơng pháp làm trội: Ví dụ10 : Chứng minh với n N* thì: 1 1 + + + > n +1 n + 2n Giải Ta có: + 1 > = n + n + n 2n 1 > n + 2n 1 > 2n 2n 1 = 2n 2n 1 1 => + + + > n = n +1 n + 2n 2 Các tập tự luyện : Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền , hai cạnh góc vuông b c Chứng minh : b3 + c3 < Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau : a) x 15 x + 12 Với x x x +1 b ) Nếu a + b < a + b3 ab ( a + b ) c ) Nếu x3+y3 = -2 x + y < d ) Nếu x3+y3 = 16 < x +y Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau : a ) Nếu a2 +b2 = 13 a2 +b2 2a +3b b) ( x + y ) ( x y ) + ( xy + 1) Với x , y Ă 1 + a b a+b Bài 4: a) Cho hai số thực dơng a b Chứng minh : b) Cho < x < x Chứng minh : ( x 1) + > x2 x ( x) Bài 5: a ) Cho a > b > Chứng minh b ) áp dụng so sánh a> 2007 2006 a +b + a b 2006 2005 Hớng dẫn giải : Bài : Theo định lý Pitago ta có = b2 + c2 1> b; > c Vậy 1= b2 + c2 > b3 + c3 Bài : a) Ta có : Vì x - x +1 = x ữ + > với x Nên x 15 x + 12 x 15 x + 12 x 3x + x x +1 x 12 x + ( x 3) ( Đúng ) Dấu xảy x = b ) Ta có : a + b3 ab ( a + b ) ( a + b ) ( a ab + b ) ab ( a + b ) ( a + b ) ( a 2ab + b ) ( a + b ) ( a b ) Đúng a +b < a+b2 c) Ta có = x + y = ( x + y ) ( x xy + y ) Mà x xy + y = x y ữ + y Nên x + y < 2 ( x y ) x xy + y xy ( x + y ) ( x xy + y ) xy ( x + y ) Mặt khác : y ( x + y ) xy ( x + y ) x + y + xy ( x + y ) ( x + y ) x + y 2 Dấu xảy x = y = -1 d) Tơng tự câu c Bài : a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có : ( 2a + 3b ) ( a + b ) ( 22 + 32 ) = 13 ( a + b ) = ( a + b ) 2a + 3b a + b 2a + 3b a + b Dấu xảy a = ; b = b) Ta có : ( x + y ) ( x y ) + ( xy + 1) ( x x + 1) + ( y + y + 1) + ( x + xy + y ) ( x 1) + ( y + 1) + ( x + y ) 2 Điều luôn Dấu xảy x = 1 ;y = 2 1 a+b (*) + a b a+b ab a+b Vì a,b > 0; a+b > nên: (*) ( a + b ) 4ab ( Bất đẳng thức Cosi cho số ) Bài 4: a ) Ta có: 1 với a , b > + a b a+b b) Đặt (x-1)2 = t t > x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t Vì < x < nên 1-t > áp dụng bất đẳng thức câu (a) cho hai số dơng t 1-t ta đợc 1 1 + = + =4 ( x 1) x ( x ) t t t + t Mà - x2 < < x < 1 + > x2 Vậy: ( x 1) x ( x ) Vậy a +b + a b a > a +b + ab Bình phơng hai vế bất đẳng thức ta đợc: Bài 5: a) Ta có a> 4a > 2a + a b a > a b a > a b > b Đúng b) áp dụng câu a với a = 2006 b = ta có: 2006 > 2007 + 2005 2006 2005 > 2007 2006 V.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ Của biểu thức : Kiến thức cần nhớ : Cho biểu thức A B - Nếu A a a giá trị biểu thức A Thì a đợc gọi giá trị lớn A (GTLN A ) , đợc ký hiệu MaxA hay AMax - Nếu B b b giá trị B Thì b đợc gọi giá trị nhỏ B (GTNN B ),đợc ký hiệu Min B hay BMin - Các cách biến đổi thờng dùng để tìm GTLN GTNN Cách 1: a) Tìm GTLN: f(x) g(x) a b) Tìm GTNN: f(x) g(x) a Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a) b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a) Với biểu thức nhều biến có cách làm tơng tự Một số diểm cần lu ý : - Khi tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Nếu biến lấy giá trị toàn tập Ă vấn đề không đơn giản Khi biến biểu thức lấy giá trị Ô ,  , Ơ khoảng giá trị vấn đề phức tạp dễ mắc sai lầm - Một sai lầm thờng mắc phải biến đổi biểu thức theo cách cách Ta kết luận giá trị lớn nhỏ biểu thức a nhng dấu không xảy đồng thời Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5 Lời giải : P = x + xy + y + x + x + + x x + = ( x + y ) + ( x 1) + x x + x x + Với x 2 Mà x x + = x ữ + 11 11 4 Nên Min P = 11 1 x = x +y = nên y = 2 Ta thấy lời giải sai lầm chỗ dấu không xảy đồng thời Khi x = (x-1)2 Lời giải : Ta có 17 17 17 P = x + xy + y + x + x + ữ+ = ( x + y ) + x + ữ + 4 4 2 x= x + y = 17 Vậy Min P = Khi x + = y = Ví dụ : Cho a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + a Lời giải : Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có P = a + a = a a Vậy P đạt giá trị nhỏ Lời giải sai lầm chỗ P = a = không thoả mãn điều kiện a Lời giải : Ta có P = a + = a + + a a + a + a a a 4 a 4 Vậy Min P = a = 2 Bài tập ví dụ : -Về chất toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức toán chứng minh bất đẳng thức coi tơng đơng Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức ta phán đoán đợc kết toán trở thành chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3: Cho x, y, z R thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN P = x + y + z Giải: Theo bất đẳng thức Cosi Bunhiacopxki ta có: P2 = ( x + 2y + 3z)2 (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14 Nên P 14 Dấu = xảy khi: x = 14 2 x y z x y z = = = = => y2 = 14 x + y + z = x + y + z = z = 14 14 14 14 (1) Vậy (x, y, z) = ; ; 14 14 14 14 14 14 Hoặc (x, y, z) = (2) 14 ; 14 ; 14 ữ ữ Vậy Pmax = 14 14 14 14 (x, y, z) = (x, y, z) = ; ; 14 14 14 Ví dụ 4: Cho a, b, x, y số dơng thoả mãn 14 14 14 ; ; ữ 14 14 ữ 14 a b + =1 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : a) P = xy; b) Q = x + y Giải: a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ab a b + = xy 4ab xy x y Vậy Pmin = 4ab x = 2a a b = = x y y = 2b b) Ta có: a + b ữ( x + y ) = a + b ữ x + y a x + b y ữ = x x ữ yữ y x y (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) ( Vậy : Q = x+ y Qmin = ( ) ( a+ b ) a + b x = a + ab ; y = b + ab ) ( a+ b ) Ví dụ 5: Tìm GTLN P = x ( x + a) Giải Điều kiện : x a Ta có: Với x = => P = Với x ta có: P = x x = P(x + a)2 ( x + a) px2 + apx + pa2 = x px2 + (2ap 1) x + a2 = Để phơng trình có nghiệm thì: 2 (2ap 1) 4pa 4a2p2 4ap + 4a2p 4a2p2 4a (a + 1)p + Giải bất phơng trình bậc thu đợc P1 P P2 Bài tập tự luyện : Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = x 2x + + 2x + x d ) D = 3x2+5y2 với 3x = y + Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P = ( x+1 ) (2 - x ) Bài 3: Tìm giá tri lớn nhỏ biểu thức: P = 3x x2 + Giải: Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 nên A = x = b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x < ; x > (*) áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có: C= x 2x + + 2x + x Vậy MinC = x = 2x + x 2x + =2 2x + x x = 2x + 2 x = ( x + 1) x + x + = x = x đối chiếu với (*) ta đợc x =-1 c) Từ 3x = y + x y = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: ( ) x.1 y.1 ( x + y ) ( + 1) x + y 2 Vậy MinD = x= y = Bài 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 x = b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 x = 1; y = - 2 c ) P = ( x+1 ) (2 - x ) x + + x ữ = Vậy MaxP = Bài 3: Ta có: P = ( Bất đẳng thức Cosi ) x = 3x P ( x + 1) = 3x Px 3x + P + = (* ) x2 + 1 Với P giá trị P phải thoả mãn cho phơng trình (*) có nghiệm với x Ta thấy P = x = Điều tơng đơng với: = 32 P ( P + 1) P + P ( P + 1) 10 10 P + 10 Vậy MaxP = 10 x = 10 + 10 P 2 10 + MinP = - 10 + x = 10 V.3 Bất phơng trình Kiến thức cần nhớ : - Bất phơng trình bậc : ax +b = ( a ) + Nếu a > bất phơng trình có nghiệm x > b a + Nếu a b a b b f(x) hệ số a dấu , x < f(x) hệ số a khác dấu a a A( x) > A( x) < B( x) > B( x) > - Bất phơng trình tích : A(x)B(x) > ; A(x)B(x) < A( x) < A( x) > B ( x ) < B ( x ) < A(x) B(x) biểu thức biến x - Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ta làm dấu giá trị tuyệt đói để giải cách xét khoảng giá trị biến bình phơng hai vế bất phơng trình B ( x) B ( x ) ; A( x) B ( x) A( x) B ( x) B ( x) > 2 ( A( x ) ) ( B ( x) ) ( A( x) ) ( B ( x) ) - Bất phơng trình vô tỷ : A( x) A( x) B ( x) B ( x) A( x) B ( x) A( x) B( x) A( x) B ( x) B( x) > A( x) ( B( x) ) ; A( x ) A( x) B ( x) B ( x ) A( x ) ( B ( x)) Bài tập ví dụ : Ví dụ 1: Giải bất phơng trình sau : a) -3(x+2) +2(x-1) 4x -3 b) ( m + 1) x 2m ( x + 1) Giải a) Ta có : -3(x+2) +2(x-1) 4x -3 x + x x x x + x x b ) Ta có : ( m + 1) x 2m ( x + 1) ( m + 2m + 1) x 2mx + 2m ( m + 1) x 2m Vì m + > với m nên bất phơng trình có nghiệm x 2m m2 + Ví dụ : Giải bất phơng trình : a) x x + b) x + x Giải a)Tacó : x x + x x 3x + x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x x x x x x x x x x b) Tacó : x + x x + x + x x ( x 1) ( x 1) x x ( x 1) ( x ) x x x x x x x Chú ý : - Ta kết hợp nghiệm trục số - Ta so sánh A(x) B(x) bất phơng trình tích để giải nhanh : Ví dụ : ( x 1) ( x ) ( x 1) ( x ) x-1 > x-3 x x nên xảy x x x Ví dụ : Giải bất phơng trình : a) x 3x + x b) 3x + x Giải: a) Ta có : x 3x + ( x 1) ( x ) x x x 3x + x x > x > x x + ( x 1) x x + x x + x x x2 x > x Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm nh sau : x 3x + x ( x 1) ( x ) x x b) Cách : ( x 1) x x Kết luận phơng trình vô nghiệm x + x Ta có : x + x 2 ( x + 1) ( x 1) x + x + x 12 x + x 1 x x x x x 16 x x ( x + 16 ) 16 x Cách : Nghiệm bất phơng trình cho có phải thoả mãn : 3x-1 x (1) (2) Bất phơng trình trở thành : x + 3x x x Xét 2x+1 x Kết hợp với (1) (2) ta có x nghiệm bất phơng trình cho (3) Bất phơng trình cho trở thành : x 3x x x Không thoả mãn (3) Vậy bất phơng trình cho có nghiệm x 3 Bài tập tự luyện : Giải bất phơng trình sau Bài : a) ( x 1) ( x ) ( x ) + Xét 2x +1 < x < b) ( m ) ( x + 1) 4m ( x ) c) x x + d ) x + 18 x Bài : a) x + x b) + x x c) x 5x + 3x + d) x 3x + < x x + e) 3x + x x + Bài 3: a) x x + 2x x b) x 1 x> x > 2 ( x ) ( x 1) 2 x x x b) Ta có: + x x x x 2 ( x ) ( x ) x x x x4 x4 ( x x + ) ( 3x + x ) ( x ) ( x ) x ( x ) ( x 3) x2 5x + x x + c) Ta có: x x + x + 3x + > x > 2 x x + ( 3x + ) 2 x x + x + 12 x + x 2; x x x x > (*) x 17 x + 10 d) ( Hệ (*) vô nghiệm bất phơng trình 8x2-17x +10 vô nghiệm ) x 3x + < x x + x x x + Ta có: x 3x + < x x + x 2 x x + < x x + x 8x + > x x 15 x x + 15 x + 15 x 15 e) Ta có: x x ( x + 1) ( x 1) x + x 3x + x x + x + x x + x x + x + x2 x x Bài 3: a) Điều kiện x Ta có: x x + ( x )( ) x = 1 x x x x 16 x ( x + 2) x ( x + 1) 2x x 3x x < x < -Với x < (*) ( x + ) ( x + 1) > két hợp với x < ta đợc x > < x < b) Ta có: D Một số tập nâng cao : Bài 1: Cho x ; y Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) x5 + y5 Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c + + + + 2 2 b+c c+a a+b 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: Chứng minh rằng: 3(1 + ) Bài 4: + 5( + ) + 7( + ) + + 4003( 2001 + 2002) < 2001 4006 Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: 729 + + a + c 512 a b Bài 5: Cho abc = 1; a > 36, Chứng minh rằng: a + b2 + c2 > ab + bc + ca Bài : Chứng minh Nếu x, y, z x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) Bài 7: Cho a, b, c [0;2] có a + b + c = CMR: a2 + b2 + c2 < Bài 8: Cho số thực dơng a , b , c thoả mãn abc = ab bc ca Chứng minh : < + + 5 5 a +b +c b + c + bc c + a + ac Bài 9: CMR x, y  + hai bất đẳng thức sau sai: 1 1 1 + + 2 ữ x( x + y ) y x 5x ( x + y) Bài 10: Cho a, b, c > abc = Chứng minh rằng: xy b+a + c+a + ữ ữ a+b a + b + c +3 a b c Bài 11: Chứng minh rằng: Mọi a, b, c, d, p, q > ta có: 1 p + q' p+q p+q + + + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa Bài 12 : Cho x, y thay đổi cho x 3; y Tìm Max P = (3 x) ( y) (2x + 3y) Bài 13: Tìm GTLN GTNN xy với x, y nghiệm phơng trình: x4 + y4 = xy (1 2xy) Bài 14: Giải bất phơng trình: ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Hớng dẫn giải 2 Bài 1: Vì x ; y => x2 + y2 => x + y 2 2 => x + y x + y x + y 2 3 => x + y x + y 2 ( ) => 2.( x + y ) ( x + y ) x + y ( x + y ) x + y a a b c Tơng tự cho b , c ta đợc + + 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a Dấu xảy a = b = c = Bài 2: Ta có : a b c 1 + + (a + b + c) + + ữ b+c a+c a+b b+c a+c a+b * Mặt khác : Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có ( x + y + z ) + + ( x y ) + ( y z ) + ( z x) x Bài 3: Xét y z ( Đúng ) ( n +1 n ) n +1 n 1 = < = ữ (2n + 1)( n + n + 1) n +1 4n + 4n + n(n + 1) n 1 1 1 Vậy S n < + + + ữ= 3 n n 2S n < 4n + < n + 4n + = 1 ữ n +1 n => S n < n+2 2(n + 2) với n = 2001 ta có: S 2001 < 2001 2001 = => S 2001 < 2003 2003 4006 Bài 4: Đặt A = + + + a b c 1 1 Ta có A = + + + + 3 + 3 + 3 + 3 b c a b b c a c a b c a 3 1 ( Bất đẳng thức Cosicho số dơng ) A 1+ + 2 + 3 = + abc a b c a b c abc Theo bất đẳng thức cosi: abc a + b + c ữ = => abc => abc Vậy A + = 729 512 Bài : Ta có : (Dấu xảy ra: a = b = c = 2) a3 + b + c > ab + bc + ac a + b2 + c2 a(b+c) bc > a + (b + c)2 a(b+c) 3bc > Thay bc = (*) ta đợc: a (*) a + (b + c)2 a(b+c) >0 a 3 a( b + c)2 a2 (b + c) + a - > 3 Đặt b + c = x ta có: ax2 a2x + a - > Với x 3 Điều tơng đơng: = a4 4a ( a - 3) < a4 - 4a + 12a < 12a (36 a3) < a3 > 36 Bài 6:- Do vai trò bình đẳng x, y, z nên giả sử z y x Khi đó: x(x - y) (x - z) (1) Mặt khác: z (z - x) y(y - z) Do vậy: z (z - x) (z - y) y(y - x) (z - y) z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) (2) Từ (1) (2) đpcm Bài 7: - Do a, b, c [0;2] nên (2 - a) (2 - b) (2 - c) - (a + b + c) + (ab + bc + ac) - abc (ab + ac + bc) + (a + b + c) + abc - (ab + ac + bc) + abc (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) (a2 + b2 + c2) < Dấu "=" xảy a, b, c có số 2; số 0; số Bài :Ta có: (a3 - b3) (a2 - b2) (a5 + b5) a2 b2 (a + b) ab ab c2 c Do : 5 (1) 2 ì = a + b + ab a b (a + b) + ab c a+b+c bc a Tơng tự: < (2) a+b+c a + b + ab ca b < (3) Từ (1) ; (2) (3) ta có điều cần chứng minh 5 a+b+c c + a + ac Bài :- Giả sử hai bất đẳng thức đó: xy x2 + y2 x(x + y) x2 (x + y)2 (x2 + 2xy) 3x2 + 2xy + 2y2 2y2 - 2( - 1)xy + (3 - )x2 4y2 - ( - 1)xy + (6 - )x2 (2y)2 - 2y ( - 1)x + [( - 1)]2 [2y - ( - 1)x]2 Điều không xảy ( - 1)x số vô tỷ 2y x ,y  + Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có: bc b+c c+a a +b ca ab + + + + ữ b c ữ a b c a b+c a + c+a b + ca ab ab bc bc ca + + + + + ữ ữ ữ c ữ a ữ b ữ c b c a a+b b+c c+a a+b + + 2( a + b + c ) a + b + c + abc = a + b + c + a b c (Bất đẳng thức cosi cho số) Dấu xảy a = b= c =1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxi ta có: Bài11: ( p + q ) 2 p q p q = pa + qb + ( pa + qb ) b a b a p q Tơng tự ( p + q ) + ( pb + qc ) b c ( p + q ) p + q ( pc + qa ) c a 1 1 Do ( p + q ) ( p + q ) + + + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa => 1 p+q p+q p+q + + + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa Bài 12: Ta có: P = (6 2x) (12 3y) (2x + 3y) x + 12 y + x + y 6P =6 P 36 x = 12 y = x + y x = Pmax = x y = y Bài 13: Ta có: x4 + y4 = xy ( 1- 2xy) xy + = x4 + y4 + 2x2 y2 xy + = (x2 + y2)2 Do (x2 + y2)2 4x2y2 đó: xy+ 4x2y2 Đặt xy = t ta có: 4x2y2 xy t Vậy (xy)max = x = y = hay 4t2 t (xy)min = Bài1 4: Ta có: x = y = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + 3) ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 6) Đặt x2 +5x +4 = t x2 +5x +6 = t +2 t Bất phơng trình trở thành : t +2t -3 ( t + 3) ( t 1) t Với t ta có: x2+5x+8 x + ữ + Vô nghiệm 13 + 13 x+ x 13 2 Với t ta có: x + x + x + x + x + ữ 13 + 13 x + x 2 2 [...]... (*) ( x + 2 ) ( 2 x + 1) < 0 2 < x < không thoả mãn x > 0 2 x < 2 x < 2 -Với x < 0 thì (*) ( x + 2 ) ( 2 x + 1) > 0 két hợp với x < 0 ta đợc 1 x > 1 < x < 0 2 2 b) Ta có: D Một số bài tập nâng cao : Bài 1: Cho x 2 ; y 2 Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) x5 + y5 Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b c 3 a b c + + + + 2 2 2 2 b+c c+a a+b 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: Chứng minh rằng: 1 ... -Với x < (*) ( x + ) ( x + 1) > két hợp với x < ta đợc x > < x < b) Ta có: D Một số tập nâng cao : Bài 1: Cho x ; y Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) x5 + y5 Bài 2: Cho a, b, c > Chứng