Bài tiểu luận quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 ĐẮK LẮK, tháng năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Ngô Đình Quốc ĐẮK LẮK, tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày tiểu luận này, em xin phép gửi lời cảm ơn đến thầy TS Ngô Đình Quốc, thầy giảng dạy tận tình, đưa nhiều vấn đề Toán học phổ thông cho học viên tìm hiểu, giúp em có cách tiếp cận rõ ràng toán học phổ thông số kĩ thực tiểu luận Tuy cố gắng hoàn thành tiểu luận tránh khỏi thiếu xót, em mong nhận dạy phản hồi thầy để tiểu luận em hoàn chỉnh Đắk Lắk, tháng 4, năm 2015 Học viên Trương Văn Đại i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v MỞ ĐẦU 1 Đặt vấn đề Mục đích Ý nghĩa Nội dung KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 1.2 1.3 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.2 Định nghĩa Quan hệ bao hàm 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Mệnh đề Các phép toán tập hợp 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Mệnh đề ii 1.3.3 1.4 Định nghĩa Quan hệ hai 1.4.1 Quan hệ hai 1.4.2 Quan hệ tương đương 1.4.3 Quan hệ thứ tự CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 2.2 2.3 2.4 Quan hệ số tự nhiên chương trình toán Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất Quan hệ bao hàm tập hợp chương trình toán Lớp 6: 10 2.2.1 Định nghĩa 10 2.2.2 Định nghĩa 10 2.2.3 Định nghĩa 10 2.2.4 Tính chất 11 Quan hệ đồng dư số tự nhiên chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 12 2.3.1 Định nghĩa 12 2.3.2 Định nghĩa 12 2.3.3 Tính chất 12 ≤ tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: 13 2.4.1 Định nghĩa 13 2.4.2 Tính chất 13 Quan hệ VÍ DỤ ÁP DỤNG 15 iii 3.1 Ví dụ 1: 15 3.2 Ví dụ 2: 16 3.3 Ví dụ 3: 16 3.4 Ví dụ 4: 17 Tài liệu tham khảo 18 iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT N : Tập số tự nhiên Z : Tập số nguyên Q : Tập số Hữu tỉ v MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Trong học kỳ I năm học 2014-2015 học tiếp xúc với giáo trình “ Những vấn đề đại toán học phổ thông” TS Ngô Đình Quốc giảng dạy biên soạn Được hướng dẫn, giúp đỡ giới thiệu Thầy tìm hiểu nhiều vấn đề toán học phổ thông lĩnh vực toán mà thân trực tiếp giảng dạy Nhằm mục đích tìm hiểu, trang bị thêm kiến thức dùng làm tài liệu để tham khảo cho công tác giảng dạy sau này, lựu chọn vấn đề giáo trình mà Thầy Ngô Đình Quốc giới thiệu giáo trình để làm tiểu luận Đó lí chọn làm tiểu luận "Các quan hệ hai toán phổ thông tính chất chúng" Mục đích Chỉ quan hệ hai toán phổ thông, nghiên cứu tính chất chúng đưa số ví dụ ứng dụng quan hệ hai Ý nghĩa Giúp trang bị thêm kiến thức làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy sau Nội dung Tiểu luận gồm ba chương Chương : Kiến thức bổ trợ Chương : Các quan hệ hai toán phổ thông tính chất chúng Chương : Ví dụ áp dụng Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm nguyên thủy không định nghĩa, hiểu trực giác tập hợp tụ tập đối tượng có thuộc tính đó, gọi chúng phần tử tập hợp Ta thường gọi tắt tập hợp “tập” Để phần tử a thuộc tập A ta viết a ∈ A; trái lại để phần tử a không thuộc tập A ta viết a ∈ / A Tập phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ 1.1.2 Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi nhau, ký hiệu A = B , phần tử A phần tử B ngược lại A\B = {x|x ∈ A x ∈ / B} Đặc biệt, B ⊆ A ta gọi A\B phần bù B A ký hiệu CA (B) 1.3.2 Mệnh đề Với A, B C ba tập bất kỳ, ta có tính chất sau: (i) Lũy đẳng: A ∩ A = A ; A ∪ A = A (ii) Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A (iii) Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (iv) Phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) (v) Luật De Morgan: A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) Chứng minh Ta chứng minh tính chất phân phối phép toán giao phép toán hợp Các tính chất lại chứng minh tương tự Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C) Khi x ∈ A x ∈ B ∪ C Vì x ∈ B ∪ C nên x ∈ B x ∈ C Nếu x ∈ C x ∈ A ∩ C (vì x ∈ A) Như hai trường hợp x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Đảo lại, giả sử x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Khi x ∈ (A ∩ B) x ∈ (A ∩ C) Nếu x ∈ (A ∩ B) x ∈ A x ∈ B ; nên x ∈ A x ∈ B ∪ C Do x ∈ A ∩ (B ∪ C) Tương tự, x ∈ A ∩ C ta suy x ∈ A ∩ (B ∪ C) Vậy hai trường hợp x ∈ A ∩ (B ∪ C) Theo định nghĩa hai tập hợp ta có điều phải chứng minh 1.3.3 Định nghĩa Tích Descartes hai tập A B, ký hiệu A x B, tập: A × B = {(a, b)|a ∈ A b ∈ B } Hai cặp (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B a1 = a2 b1 = b2 1.4 Quan hệ hai 1.4.1 Quan hệ hai Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Ta gọi R quan hệ từ A đến B R ⊆ A × B Ta gọi tập R đồ thị quan hệ R Nếu ¯ b Đặc (a, b) ∈ R ta viết aRb; ngược lại, (a, b) ∈ / R ta viết a R biệt, A = B, ta gọi R quan hệ hai tập A 1.4.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1: Cho R quan hệ hai tập A Ta nói R quan hệ tương đương R có tính chất sau: (i) Phản xạ: với a ∈ A, aRa (ii) Đối xứng: với a, b ∈ A, aRb bRa (iii) Bắc cầu: với a, b, c ∈ A, aRb bRc aRc Định nghĩa 2: Cho R quan hệ tương đương tập A Với a ∈ A, lớp tương đương phần tử a theo quan hệ R, ký hiệu [a]R (hoặc a ¯), định nghĩa tập: [a]R = {x ∈ A|xRa} Mỗi phần tử x ∈ [a]R gọi phần tử đại diện lớp tương đương [a]R Tập thương A theo quan hệ R, ký hiệu A/R, định nghĩa tập tất lớp tương đương phần tử thuộc A, nghĩa là: A/R = {[a]R |a ∈ R} 1.4.3 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1: Cho R quan hệ hai tập A Ta nói R quan hệ thứ tự R có tính chất sau: (i) Phản xạ: với a ∈ A, aRa (ii) Phản đối xứng: với a, b ∈ A, aRb bRa a = b (iii) Bắc cầu: với a, b, c ∈ A, aRb bRc aRc Ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự dấu ≤ Nếu tập A có quan hệ thứ tự ≤ ta nói (A, ≤) tập thứ tự (hay sắp) Nếu (A, ≤) tập thỏa mãn điều kiện: Với a, b ∈ A, a ≤ b b ≤ a Nghĩa là, hai phần tử A so sánh quan hệ thứ tự ≤, ta gọi (A, ≤) tập toàn phần (hay tuyến tính) Định nghĩa 2: Cho (A, ≤) tập B ⊆ A (i) Ta nói phần tử a ∈ A chặn B x ≤ a với x ∈ B Ta nói tập B bị chặn B có chặn (ii) Ta nói phần tử b phần tử lớn B b ∈ B b chặn B (iii) Ta nói phần tử b phần tử cực đại B b ∈ B với x ∈ B b ≤ x x = b Định nghĩa 3: Cho (A, ≤) tập B ⊆ A (i) Ta nói phần tử a ∈ A chặn B a ≤ x với x ∈ B Ta nói tập B bị chặn B có chặn (ii) Ta nói phần tử b phần tử bé B b ∈ B b chặn B (iii) Ta nói phần tử b phần tử cực tiểu B b ∈ B với x ∈ B x ≤ b x = b Định nghĩa 4: Một tập thứ tự toàn phần (A, ≤) gọi thứ tự tốt phận khác rỗng A có phần tử bé Bổ đề(Bổ đề Zorn) Cho (A, ≤) tập thứ tự,A = ∅ Nếu tập toàn phần A có chặn A tồn phần tử cực đại Chương CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 Quan hệ số tự nhiên chương trình toán Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ với b, ký hiệu a = b định nghĩa a = b ⇔ a − b = 2.1.2 Tính chất (i) Quan hệ số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ số tự nhiên có tính bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có a − a = ⇒ a = a, điều chứng tỏ a có quan hệ với a (ii) Quan hệ số tự nhiên có tính đối xứng: Giả sử a, b ∈ N Nếu a = b ⇔ b = a ⇔ b − a = 0, điều chứng tỏ b có quan hệ với a (iii) Quan hệ số tự nhiên có tính bắc cầu: =0 Giả sử a, b ∈ N ta có { ab == cb { ab == cb ⇒ { ab −− cb =0 (1) (2) lấy (1) cộng (2) ta được: a − c = ⇒ a = c, điều chứng tỏ a có quan hệ với c Nhận xét:Quan hệ N quan hệ tương đương 2.2 Quan hệ bao hàm tập hợp chương trình toán Lớp 6: 2.2.1 Định nghĩa Cho hai tập A B Tập A gọi chứa tập B phần tử tập A phần tử tập B, ký hiệu A ⊂ B 2.2.2 Định nghĩa Cho hai tập A B Ta nói tập A tập B, ký hiệu A = B định nghĩa A chứa B B chứa A tức là: ⊂B A = B ⇔ {A B⊂A 2.2.3 Định nghĩa Cho hai tập hợp A B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu A ⊆ B B ⊆ A 10 2.2.4 Tính chất (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ: Ta có A ⊆ A , điều chứng tỏ A có quan hệ bao hàm với A (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng: ⊆B Cho A, B hai tập hợp { A B⊆A (1) (2) Từ (1) ta thấy phần tử A phần tử B Mặt khác, từ (2) ta lại thấy phần tử B phần tử A, điều chứng tỏ phần tử A phần tử B ngược lại Vậy A = B (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu: ⊆B Cho A, B, C ba tập hợp { A B⊆ C (1) (2) Từ (1) ta suy phần tử A phần tử B Mặt khác, từ (2) ta suy phần tử B phần tử C, phần tử A phần tử B nên phần tử A phần tử C Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C Nhận xét:Quan hệ bao hàm tập hợp quan hệ thứ tự 11 2.3 Quan hệ đồng dư số tự nhiên chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 2.3.1 Định nghĩa Cho số tự nhiên a b b = 0, có số tự nhiên x cho b.x = athì ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a : b = x 2.3.2 Định nghĩa Cho số tự nhiên a b b = 0, ta tìm số tự nhiên q r cho a = bq + r ≤ r ≤ b Nếu r = ta có phép chia hết Nếu r = ta có phép chia có dư Tới đây, vấn đề đặt cho trước số m = Xét số tự nhiên a, b cho số tự nhiên a, b chia cho m có số dư tức là: a = m.h + r b = m.d + r Khi ta nói a, b có quan hệ đồng dư theo số chia m, ký hiệu a ≡ b(mod m) 2.3.3 Tính chất (i) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính bắc cầu Chứng minh 12 (i) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên (ii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính đối xứng: Giả sử a ≡ b(mod m) a = m.h + r b = m.d + r điều chứng tỏ b ≡ a(mod m) (iii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính bắc cầu: mod m) Cho số a, b, c ∈ N Giả sử { a≡b( b≡c( mod m) a = m.h+r, b = m.d+r c = m.k+r điều chứng tỏ a ≡ c(mod m) Nhận xét:Quan hệ đồng dư số tự nhiên quan hệ tương đương 2.4 Quan hệ 2.4.1 ≤ tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: Định nghĩa Cho a, b ∈ Q ta nói a b có quan hệ ≤ với nếu: a ≤ b b ≤ a 2.4.2 Tính chất (i) Quan hệ (ii) Quan hệ (iii) Quan hệ ≤ có tính phản xạ ≤ có tính phản đối xứng ≤ có tính bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ ≤ có tính phản xạ: Thật vậy, ta có a ≤ a, ∀a ∈ Q, điều chứng tỏ a có quan hệ ≤ với 13 a ≤ có tính phản đối xứng: (ii) Quan hệ Cho a, b ∈ Q { ab ≤≤ab (1) (2) Để không tính tổng quát ta viết sau: a= n1 m , b= n2 m với n1 , n2 , m ∈ Z; m > Từ (1) ta suy n1 ≤ n2 (3) Từ (2) ta suy n2 ≤ n1 (4) Từ (3) (4) ta suy n1 = n2 , điều chứng tỏ a = b ≤ có tính bắc cầu: (iii) Quan hệ Giả sử a, b, c ∈ Q { ba ≤≤cb (1) (2) Để không tính tổng quát ta viết sau: a= n1 m , b= n2 m, c= n3 m với n1 , n2 , n3 , m ∈ Z; m > Vì a ≤ b nên n1 ≤ n2 b ≤ c nên n2 ≤ n3 nên ta suy n1 ≤ n3 , điều chứng tỏ a ≤ c Nhận xét:Quan hệ ≤ Q quan hệ thứ tự 14 Chương VÍ DỤ ÁP DỤNG 3.1 Ví dụ 1: Tìm số dư 1425 chia cho 17 Giải 14 ≡ −3(mod 17) 1425 ≡ (−3)25 (mod 17) Vì (−3)25 = (−3)24 (−3) = (33 ) Nên 1425 ≡ (33 ) (−3)(mod 17) Mà 33 ≡ 10 (mod 17) (33 ) ≡ 102 (mod 17) ≡ −2 (mod 17) (33 ) ≡ 104 (mod 17) ≡ (mod 17) (33 ) ≡ 108 (mod 17) ≡ −1 (mod 17) (33 ) (−3) ≡ (mod 17) Suy 1425 ≡ 3(mod 17) Vậy số dư 15 3.2 Ví dụ 2: Tìm tất số nguyên dương n số 2n − chia hết cho Giải Vì 2n − chia hết cho có nghĩa 2n ≡ 1(mod 7) Nên toán thay đổi thành: tìm n cho 2n ≡ 1(mod 7) Rõ ràng với n = 3k thỏa mãn điều kiện 23 ≡ 1(mod 7) , 2n ≡ 1k (mod 7) ≡ 1(mod 7) Ta xét n hai trường hợp lại: *T.h 1: Với n = 3k + ta có: 2n = 23k+1 = 2.8k = 2(7 + 1)k Khi 2n ≡ 2(mod 7) khai triển lũy thừa có số hạng cuối không chia hết cho *T.h 2: Với n = 3k + ta chứng minh 2n ≡ 4(mod 7) Vậy có số nguyên dương có dạng n = 3k 2n − chia hết cho 3.3 Ví dụ 3: So sánh số hữu tỉ sau: 37 38 1391 1389 Giải Ta có = 38 38 > Ta lại có = 37 38 1389 1389 (1) < 1391 1389 (2) Từ (1) (2) theo tính chất bắc cầu quan hệ suy ra: 37 38 < 16 1391 1389 ≤ Q ta 3.4 Ví dụ 4: Có số hữu tỉ biểu diễn dạng phân số có mẫu 20, mà số lớn nhỏ Giải Ta cần tìm x ∈ Q mà x = Ta có = 20 ; = 12 20 a 20 < a 20 < nên ta cần tìm x ∈ Q cho 20 < a 20 < Muốn a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11 } Vậy có số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện là: 17 10 11 20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20 12 20 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 6, tập 1, Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam [2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập 1, Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam [3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập 2, Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam [4] Phạm Thành Luân (Tổng chủ biên) (2003), Sách Đại số lớp Nâng cao, Nhà Xuất Đà Nẵng [5] TS Chu Trọng Thanh, Trần Tung (2010), Cơ sở toán học đại kiến thức môn Toán phổ thông, Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam [6] TS.Ngô Đình Quốc, Những vấn đề đại toán học phổ thông, Trường Đại học Tây Nguyên 18 Ý KIẾN CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN Nhận xét: Đắk Lắk, ngày tháng năm 2015 Người hướng dẫn TS Ngô Đình Quốc 19 [...]... CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ bằng nhau với b, ký hiệu a = b và được định nghĩa là a = b ⇔ a − b = 0 2.1.2 Tính chất (i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ. .. A chứa trong B và B chứa trong A tức là: ⊂B A = B ⇔ {A B⊂A 2.2.3 Định nghĩa 3 Cho hai tập hợp A và B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu A ⊆ B hoặc B ⊆ A 10 2.2.4 Tính chất (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ: Ta có A ⊆ A , điều này chứng tỏ A có quan hệ bao hàm... ∈ Q ta nói a và b có quan hệ ≤ với nhau nếu: a ≤ b hoặc b ≤ a 2.4.2 Tính chất (i) Quan hệ (ii) Quan hệ (iii) Quan hệ ≤ có tính phản xạ ≤ có tính phản đối xứng ≤ có tính bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ ≤ có tính phản xạ: Thật vậy, ta luôn có a ≤ a, ∀a ∈ Q, điều này chứng tỏ a có quan hệ ≤ với 13 a ≤ có tính phản đối xứng: (ii) Quan hệ Cho a, b ∈ Q và { ab ≤≤ab (1) (2) Để không mất tính tổng quát ta viết... Vậy trong cả hai trường hợp x ∈ A ∩ (B ∪ C) 5 Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau ta có điều phải chứng minh 1.3.3 Định nghĩa Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu A x B, là tập: A × B = {(a, b)|a ∈ A và b ∈ B } Hai cặp (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2 1.4 Quan hệ hai ngôi 1.4.1 Quan hệ hai ngôi Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B Ta gọi R là một quan hệ. .. b có quan hệ đồng dư theo số chia m, được ký hiệu a ≡ b(mod m) 2.3.3 Tính chất (i) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu Chứng minh 12 (i) Quan hệ đồng dư giữa các số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên (ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối... (1) ta suy ra mọi phần tử của A đều là phần tử của B Mặt khác, từ (2) ta cũng suy ra mọi phần tử của B đều là phần tử của C, do mọi phần tử của A đều là phần tử của B nên mọi phần tử của A cũng đều là phần tử của C Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C Nhận xét :Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là một quan hệ thứ tự 11 2.3 Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 2.3.1... 0 ⇒ a = c, điều này chứng tỏ a có quan hệ bằng nhau với c Nhận xét :Quan hệ bằng nhau trên N là một quan hệ tương đương 2.2 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán Lớp 6: 2.2.1 Định nghĩa 1 Cho hai tập A và B Tập A được gọi là chứa trong tập B nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B, được ký hiệu là A ⊂ B 2.2.2 Định nghĩa 2 Cho hai tập A và B Ta nói tập A bằng tập B, ký hiệu... từ A đến B nếu R ⊆ A × B Ta cũng gọi tập R là đồ thị của quan hệ R Nếu ¯ b Đặc (a, b) ∈ R thì ta viết aRb; ngược lại, nếu (a, b) ∈ / R thì ta viết a R biệt, khi A = B, ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên tập A 1.4.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1: Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập A Ta nói rằng R là một quan hệ tương đương nếu R có các tính chất sau: (i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa (ii) Đối xứng:... hệ bao hàm với A (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng: ⊆B Cho A, B là hai tập hợp và { A B⊆A (1) (2) Từ (1) ta thấy mỗi phần tử của A đều là phần tử của B Mặt khác, từ (2) ta lại thấy mỗi phần tử của B đều là phần tử của A, điều này chứng tỏ mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại Vậy A = B (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu: ⊆B Cho A, B, C là ba tập hợp và { A B⊆ C (1) (2)... = {[a]R |a ∈ R} 1.4.3 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1: Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập A Ta nói rằng R là một quan hệ thứ tự nếu R có các tính chất sau: (i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa (ii) Phản đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb và bRa thì a = b (iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc Ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi dấu ≤ Nếu trên tập A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói ... làm tiểu luận Đó lí chọn làm tiểu luận "Các quan hệ hai toán phổ thông tính chất chúng" Mục đích Chỉ quan hệ hai toán phổ thông, nghiên cứu tính chất chúng đưa số ví dụ ứng dụng quan hệ hai Ý... cực đại Chương CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 Quan hệ số tự nhiên chương trình toán Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ với b, ký hiệu...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa