SỞ GD- ĐT BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 11 (ĐỀ CHÍNH THỨC) Thời gian làm : 90 phút (không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 điểm) Câu I (3 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim n2 − n +1 ; (n + 1)(1 − 3n) x + 2−x x →−2 x+2 b) lim Xét tính liên tục hàm số sau x = : 2x − 3x − x ≠ 2x − f (x) = 5 x=2 Câu II (1 điểm) Tính đạo hàm hàm số f (x) = (x − 2) x + + cos 2x x = Câu III (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) SA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh BC ⊥ (SAM) Tính tang góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Câu IV(1 điểm) Cho ba số thực a, b,c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng (0;1) B PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 điểm) Học sinh làm hai phần (phần I phần II) I Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu Va (1 điểm) a − a = −216 Tìm số hạng đầu a1 công bội q a − a = −72 Cho cấp số nhân (a n ) thỏa mãn Câu VIa (1 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1; −1) II Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu Vb (1 điểm) Cho cấp số cộng (a n ) thỏa mãn a + a = 14 tổng 13 số hạng đầu cấp số cộng 129 Tìm số hạng đầu a1 công sai d Câu VIb (1 điểm) Cho hàm số y = 2x + x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x −1 đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 11 Chú ý : Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm cho điểm phần tương ứng Câu I (3đ) Đáp án vắn tắt 1) Điểm 1 1− + n2 − n +1 n n = lim a) lim 1 (n + 1)(1 − 3n) (1 + )( − 3) n n =− b) x+ 2−x (x + − x )(x − − x ) lim = lim x →−2 x →−2 x+2 (x + 2)(x − − x ) x2 + x − (x − 1)(x + 2) = lim x →−2 (x + 2)(x − − x ) x →−2 (x + 2)(x − − x ) = lim x −1 = x →−2 x − − x 2) 0,25 0,25 0,25 TXĐ: ¡ , f (2) = 2 2x − 3x − (x − 2)(2x + 1) = lim = Ta có lim x →2 x →2 2x − 2(x − 2) Suy lim f (x) = f (2) Do hàm số liên tục điểm x=2 x →2 Ta có f '(x) = x + + f '(0) = III (3đ) 0,5 0,5 = lim II (1đ) 0,5 x(x − 2) x2 +1 − 2sin 2x 0,25 0,5 0,5 0,5 S H C A M B 1) Do SA ⊥ (ABC), BC ⊂ ( ABC ) nên SA ⊥ BC (1) Do tam giác ABC đều, M trung điểm đoạn BC nên BC ⊥ AM (2) Lại có SA AM cắt A nằm mặt phẳng (SAM) (3) Từ (1), (2) (3) suy BC ⊥ ( SAM ) đpcm 2) Do ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC + Do SM, AM vuông góc với giao tuyến BC nên góc hai mặt phẳng · (SBC) (ABC) góc hai đường thẳng AM SM góc SMA (vì · SMA < 900 ) + Tính AM = a 0,25 SA a = =2 Trong tam giác vuông SAM, vuông A Ta có AM a 3) Gọi H hình chiếu A SM Do AH ⊥ SM , BC ⊥ AH Lại có hai đường thẳng SM, BC cắt nằm mặt phẳng (SBC) Dẫn đến AH ⊥ ( SBC ) Khoảng cách từ A đến mp(SBC) độ dài đoạn AH Trong tam giác vuông SAM, đường cao AH ta có 1 1 = 2+ = + = Do AH = a 2 AH SA AM 3a 3a 3a · tan( SMA )= IV (1đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt f(x)=ax + bx + c ⇒ f ( x ) liên tục R 2 c c + f (0) = c , f ÷ = a + b + c = (4a + 6b + 12c) − = − 3 9 3 2 + Nếu c = f ÷ = ⇒ PT cho có nghiệm x= ∈ (0;1) 3 0,25 0,25 2 2 c + Nếu c ≠ f (0) f ÷ = − < ⇒ PT cho có nghiệm x= α ∈ 0; ÷ ⊂ (0;1) 3 3 Va (1đ) Giả thiết toán tương đương với a1q (q − 1) = −216 a1q (q − 1)(q + q + 1) = −216 q + q + = ⇔ ⇔ a1q (q − 1) = −72 a1q (q − 1) = −72 a1q (q − 1) = −72 q = (vn) q = a = − 72 q = −2 ⇔ q = −2 ⇔ ⇔ q = −2 a1 = −3 a q ( q − 1) = − 72 a1 = −3 VIa (1đ) Vb 0,5 0,5 0,5 Ta có y '( x ) = x − x + Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm I(1;-1) có hệ số góc y'(1)=-3 0,5 + Phương trình tiếp tuyến đths I(1;-1) y = −3( x − 1) − = −3 x + 0,5 Ta có a5 + a3 = 14 ⇔ a1 + 3d = (1) (1đ) VIb (1đ) 2a1 + 12d ).13 = 129 ⇔ 13a1 + 78d = 129 (2) Từ (1) (2) ta có hệ 53 a1 = a1 + 3d = 13 ⇔ 13 a + 78 d = 129 38 d = 39 + Đồ thị (C) giao với Oy điểm A(0;-1) x2 − x − ; y '(0) = −2 + Ta có y ' = ( x − 1) + Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(0;-1) là: y = −2 x − S13 = 129 ⇔ ( 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 ... 2010-2 011 MÔN TOÁN, LỚP 11 Chú ý : Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm cho điểm phần tương ứng Câu I (3đ) Đáp. .. Nếu c ≠ f (0) f ÷ = − < ⇒ PT cho có nghiệm x= α ∈ 0; ÷ ⊂ (0;1) 3 3 Va (1đ) Giả thiết toán tương đương với a1q (q − 1) = −216 a1q (q − 1)(q + q + 1) = −216 q + q + = ⇔ ⇔ a1q... tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm cho điểm phần tương ứng Câu I (3đ) Đáp án vắn tắt 1) Điểm 1 1− + n2 − n +1 n n = lim a) lim 1 (n + 1)(1 − 3n) (1 + )( − 3) n n =− b) x+