Bất đẳng thức

Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC:  a2  với a  R Dấu "=" xãy  a =  -a2  với a  R Dấu "=" xãy  a =  a  với a  R Dấu "=" xãy  a = a  b  a  c Với a, b, c thuộc R b  c    a > b a + c > b + c ( a, b, c  R) a + c > b + c  a > b ( a, b, c  R)  a.c  b.c a>b   a.c  b.c với c > với c < a  b  ac bd c  d a b   ac bd C  d a  b  c   ac  bd c  d   a b 1    a b a.b  a  b    a n  bn n  Z *   ab   a n 1  b n 1 n  Z *     a  b  a n  b n (n  N*, n chẳn )  A B  A  B  A  B    A  B   B  A  B với B   A  B  A  B dấu "=" xãy A.B   A  B  A  B dấu "=" xãy A  B  học A  B   A  B  A2  B m > n m; n nguyên dương CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 54 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận Nếu a > am > an Nếu a = am = an Nếu < a < am < an Bất đẳng thức cô-si: Với a  0, b  0.Ta có: a + b  a b dấu "=" xãy  a = b II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: Phương pháp thứ nhất: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > bất đẳng thức Từ suy A > B Ví dụ 1: Chứng minh a4 + b4  a3b + ab3 ( a,b  R Giải: a4 + b4  a3b + ab3  a4 + b4 - a3b - ab3  3  a (a - b) + b (b - a)  3  a (a - b) - b (a - b)  3  (a - b)(a - b )  2  (a - b) (a + ab + b )  b 3b ]  (*)  (a - b) [(a + ) + 3b b (a - b)2  ; (a + )2 +  Nên bất đẳng thức (*) luôn Suy a4 + b4  a3b + ab3 Ví dụ 2: Cho a  , b  0, c  Chứng minh rằng: a + b + c  ab  bc  ca Giải: a + b + c  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ac   2a  2b  2c  ab  bc  ac   (a  b  ab)  (a  c  ac )  (b  c  bc )  2  ( a b) +( a c) +( b c) Suy a + b + c  ab  bc  ca  Bất đẳng thức luôn Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương thành bất đẳng thức biết theo đề cho ngược lại xuất phát từ bất đẳng thức biến đổi thành bất đẳng thức cần chứng minh: Tổng quát: A > B  A1 > B1   An > Bn Mà An > Bn bất đẳng thức Suy A > B CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 55 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận Ví dụ 1: Cho a, b hai số dương có tổng Chứng minh rằng: 1   a 1 b 1 Giải: Vì a + > b + > nên: 1    3(b + + a + 1)  4(a + 1)(b + 1) a 1 b 1  3(1 + + 1)  4(ab + a + b + 1) ( a + b = 1)   4(ab + 2)   4ab +   4ab  (a + b)  4ab  (a - b)  bất đẳng thức 1 Suy   a 1 b 1 Ví dụ 2: Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b + c  16abc Giải: Vì a, b, c > nên: a + (b + c)  a (b  c) ( bất đẳng thức cô-si)   a (b  c) ( a + b + c = 1)   4a(b + c) (1)  b + c  4a(b + c) Mà b + c  bc ( bất đẳng thức cô-si)  (b  c)2  4bc (2) Từ (1) (2) suy b + c  4a 4bc  b + c  16abc Phương pháp thứ 3: Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > B Từ suy A > B Hoặc sử dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi từ giả thiết đề thành điều phải chứng minh Ví dụ 1: cho a > 0, b > Chứng minh rằng: a b (a + b)(  )  Giải: Vì a >  >0 a CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 56 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Vì b >  Biên soạn: Lê Công Thuận >0 b Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số a b; a + b  ab (1) 1 1 + 2 a b a b (2) 1 ta có: a b Vì vế bất đẳng thức (1) (2) đề dương nên nhân vế theo vế ta được: (a + b)( 1 + )4 a b Ví dụ 2: Cho a, b hai số thực a + b = Chứng minh rằng: a + b3  Giải: Ta có: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2 ( a + b = 1) 2 2  2(a  b3 ) = 2a - 2ab + 2b = a + b + (a - b) mà a2 + b2 + (a - b)2  a2 + b2 a  b a  b a  b 2ab ( a  b)    = ( a2 + b2  2ab ) 2 2 2 ( a  b) 3 =  2(a + b )  2 3  a +b  3 2  2(a + b )  a + b = Ta chứng minh theo cách sau: 3 3  4(a + b )   4(a + b )  (a + b) ( a + b = 1) 3 3 2  4a + 4b - a - b - 3a b - 3ab  3 2  3a - 3a b + 3b - 3ab   3a (a - b) - 3b (a - b)  2  3(a - b)(a - b )   3(a - b)(a - b)(a + b)  3  3(a - b)  ( đẳng thức đúng) a + b  a + b3  Ví dụ 3: Chứng minh a4 + b4 + c4  abc(a + b + c) với a, b, c  R Giải: Vì a4  0, b4  0, c4  Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: a4 + b4  2a2b2 a4 + c4  2a2c2 b4 + c4  2b2c2 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 57 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT 4 Biên soạn: Lê Công Thuận 2 2 2  2(a + b + c )  2(a b + a c + b c ) 4 2 2 2  a +b +c  a b +a c +b c (1) Tương tự ta có: a2b2 + a2c2  2(ab)(ac) a2b2 + b2c2  2(ab)(bc) a2c2 + b2c2  2(ac)(bc) 2 2 2  a b + a c + b c  (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) 2 2 2 (2)  a b + a c + b c  abc(a + b + c) 4 Từ (1) (2) suy a + b + c  abc(a + b + c) với a, b, c  R Phương pháp thứ 4: Muốn chứng minh A > B (1) Ta giả sử A  B, biến đổi bất đẳng thức để điều mâu thuẩn với giả thiết mâu thuẩn với bất đẳng thức biết Do điều giả sử sai Suy bất đẳng thức (1) Ví dụ : Cho x2 + y2  Chứng minh x + y  Giải: Giả sử x + y > 2  x + y +2xy > mà x2 + y2  2xy  2(x2 + y2)  x2 + y2 + 2xy > 2  2(x + y ) > 2 2  x + y > Điều mâu thuẩn với giả thiết x + y  Suy x + y > Phương pháp thứ 5: ( phương pháp đổi biến ) Bước 1: Đặt ẩn phụ biểu thức có liên quan đến vế ( vế ) bất đẳng thức Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến vừa đặt bất đẳng thức Từ suy bất đẳng thức ban đầu Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a > 0; b > 0; c > a b c    bc ca ab (1) Giải: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z ( x, y, z)  a+b+c= x y z CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 58 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT a Biên soạn: Lê Công Thuận yzx z x y x yz ;b= ;c= 2 Khi đó: z x y a b c yzx x yz   = + + bc ca ab 2x 2y 2z 1 y x  z x 1 z y Vế trái =             (*) 2 x y 2 x z 2 y z  Vế trái = Vì a > 0, b > 0, c > nên x > 0, y > 0, z > Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: z y x y x y z x  2 = 2; tương tự:     x z y z y x y x Từ (*) suy ra: 1 y x  1 z      2 x y 2 x a b c Vậy    bc ca ab Vế trái = x 1 z y 3      + + + = z 2 y z  Ví dụ 2: Cho a > b > Chứng minh rằng: a  b  ab Giải: Đặt a = x2 ; b = y2 ( x > 0, y > 0) Vì a > b nên x > y Do đó: Vế trái = a  b = x - y =  x  y    x  y  x  y   Vế trái <  x  y  x  y  = x2  y  Vế trái < a  b Vậy a  b  a  b Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: (a  b)2 (b  c) (c  a )2   2 ( a  b ) (b  c ) (c  a ) Giải: ab bc ca ;y= ;z= ab bc ca 2a 2b 2c Ta có: (x + 1)(y + 1)(z + 1) =   a b bc c  a 2b 2c a (x + 1)(y + 1)(z + 1) =   a b bc c  a Đặt x = CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 59 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận  (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1)  xy + yz + zx = -1 ( bỏ ngoặc chuyển vế ) Mà (x + y + z)2   x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)  2  x + y + z + 2.(-1)  2  x +y +z  (a  b)2 (b  c) (c  a )2   2  ( a  b ) (b  c ) (c  a ) Vậy bất đẳng thức chứng minh 6.Phương pháp thứ 6: Bước 1: Xác định dạng tổng quát số hạng bất đẳng thức Bước 2: Tìm bất đẳng thức tương ứng với dạng tổng quát tìm cách làm trội tử mẫu Bước 3: Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh rút gọn Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có:     2008 2007 2 Giải: Dạng tổng quát số hạng vế trái : (k  1) k (k  Z *)    k  k = k (k  1)  k (k  1)   1  1  1   1 k   k    2     k k 1  k 1   k  = k     k   k k 1   k 1  nên : k 1 k 1  1   = k     < (k  1) k k   k k 1   k Vì  1   k     = k   k k  k  1    hay < k     = 2  (k  1) k k k k 1  k 1   k 1   < 2    Do đó: (k  1) k k 1   k 1    2   2  1    2   3  CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 60 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận 1    2   2008 2007 2008   2007 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 1    2         2008 2007 2 2007 2008   1 1   hay      2   2008 2007 2008     1    1  1     2 Vì     nên: 2008  2008 2007  Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh: Ví dụ 2: Cho A =     2008 2007 2 1 1      Chứng minh A > 88 2024 Giải: A= 2  2    2 2      2004 1 2 2004  2004 Làm trội mẫu ta có: 2 2 2         > 1 2 2004  2004 1 2 2004  2005 1     )  A > 2( 1 2 2004  2005 1     Đặt B = 1 2 2004  2005 A  Các số hạng bất đẳng thức B có dạng: n  n 1 = n  n 1 2  n  n 1  n 1  n n  (n  1) n  n 1 1     =       2025  2024  B= 1 2 2004  2005 = 2025   45   44 1 1      > 2.44 Vậy A > 88  A= 2024 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 61 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Cho x y hai số dương Chứng minh rằng: 1   x y x y Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c Chu vi 2p Chứng minh rằng: abc  ( p  a)( p  b)( p  c) Chứng minh số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1   9 a b c Cho a > 0, b > chứng minh rằng: a b  a b b a Cho x, y, z ba số thực Chứng minh bất đẳng thức: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2  3(x2 + y2 + z2) Cho x, y khác Chứng minh rằng: x6 y  y x2 Cho a > 0, b > 0, c > 0> Chứng minh rằng: bc ca ab   abc a b c Chứng minh bất đẳng thức sau với x  R x x2 2 x  x 1 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 10 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 2n  1      2n 2n  x4 + y4  CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 62 ... biểu thức có liên quan đến vế ( vế ) bất đẳng thức Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến vừa đặt bất đẳng thức. ..  Bất đẳng thức luôn Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương thành bất đẳng thức biết theo đề cho ngược lại xuất phát từ bất đẳng thức biến đổi thành bất đẳng. .. minh A > B (1) Ta giả sử A  B, biến đổi bất đẳng thức để điều mâu thuẩn với giả thiết mâu thuẩn với bất đẳng thức biết Do điều giả sử sai Suy bất đẳng thức (1) Ví dụ : Cho x2 + y2  Chứng minh