Lý thuyết cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ LOAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên nghành: Toán ứng dụng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Trƣớc trình bày nội dung khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên ngƣời tận tình hƣớng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên TRẦN THỊ LOAN MỤC LỤC CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Các đặc trƣng biến ngẫu nhiên 1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất 1.2 Một số khái niệm tài 1.2.1 Tài sản 1.2.2 Danh mục 1.2.3 Lợi suất 1.3 Rủi ro tài 1.3.1 Khái niệm rủi ro 1.3.2 Phân loại rủi ro 1.4 Mô hình VaR 10 1.4.1 Khái niệm 10 1.4.2 Đặc điểm VaR 11 1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết 12 1.4.4 Mô hình VaR thực hành 14 1.4.5 Phƣơng pháp hậu kiểm mô hình VaR 17 CHƢƠNG 18 LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 Lý thuyết cực trị 18 2.2 Phƣơng pháp cực đại khối 18 2.1.1 Định lý Fisher-Tippet phân phối cực trị tổng quát 18 2.1.2 Ƣớc lƣợng mô hình cực trị tổng quát hàm hợp lý cực đại 21 2.1.3 Mức lợi suất 22 2.2 Phƣơng pháp POT 23 2.2.1 Giá trị vƣợt ngƣỡng phân phối Pareto tổng quát 23 2.2.2 Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát hàm hợp lý cực đại 25 2.2.3 Ƣớc lƣợng đuôi phân phối tổn thất 26 2.2.4 Sử dụng đồ thị Hill ƣớc lƣợng phi tham số cho số đuôi 26 2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị đo lƣờng VaR, ES 28 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, thị trƣờng tài giới chứng kiến nhiều đổ vỡ định chế tổ chức lớn, chẳng hạn: khủng hoảng thị trƣờng chứng khoán giới (1987), khủng hoảng thị trƣờng trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài châu Á (1997), khủng hoảng thị trƣờng vay chấp Mỹ, hậu gây khủng hoảng tài sụt giảm kinh tế toàn cầu Các kiện tƣởng nhƣ xảy nhƣng gần lại xảy thƣờng xuyên có ảnh hƣởng tiêu cực cho thị trƣờng tài quy mô lẫn mức độ tổn thất Nguyên nhân chủ yếu nghiệp vụ quản lý rủi ro chƣa đƣợc tốt Do đó, việc nhận diện, đo lƣờng phòng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo hoạt động an toàn cho tổ chức tài việc quan trọng Hiện nay, số phƣơng pháp tham số thông thƣờng đo lƣờng rủi ro nhƣ mô hình VaR Các mô hình áp dụng với chuỗi lợi suất có phân phối chuẩn phân phối t– Student, nhiên thực tế chuỗi lợi suất thƣờng không tuân theo hai phân phối Điều khiến cho tính toán từ mô hình tham số thông thƣờng không cho kết xác hiệu Lý thuyết giá trị cực trị đánh giá mức độ tổn thất cách xét giá trị tổn thất đạt cực trị chuỗi Thay xét tính phân phối chuẩn chuỗi lợi suất ta cần xem xét mức lợi suất đạt cực trị để chuỗi phân phối giá trị cực trị gần với phân phối Pareto Lý thuyết giá trị cực trị giúp ta khắc phục giả thiết khắt khe phân phối chuỗi thời gian phƣơng pháp đo lƣờng rủi ro thông thƣờng Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) công cụ giúp ta mô tả đƣợc biến cố lĩnh vực kinh tế, xã hội, biến cố xảy thƣờng gây nên hậu nghiêm trọng Với mong muốn tìm hiểu vấn đề trên, em chọn đề tài “Lý thuyết cực trị ứng dụng” làm đề tài tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết cực trị ứng dụng đo lƣờng rủi ro tài - Giới thiệu vài mô hình đo lƣờng rủi ro - Xây dựng mô hình đo lƣờng rủi ro với chuỗi lợi suất có phân phối - Sử dụng phần mềm S- Plus ƣớc lƣợng mô hình với số liệu tỷ giá cụ thể Phƣơng pháp nghiên cứu - Phần mềm sử dụng: Eview, S- Plus Ý nghĩa khoa học thực tiễn Là công cụ phân tích đo lƣờng rủi ro tỷ giá đáng tin cậy sát với thực tế, giúp cho nhà đầu tƣ dễ dàng việc quản trị rủi ro từ đƣa định đầu tƣ Nội dung đề tài Đề tài gồm chƣơng: - Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị - Chƣơng II: Lý thuyết cực trị ứng dụng CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Cho (, F, P) không gian xác suất Nếu X ánh xạ đo đƣợc từ  vào X đƣợc gọi biến ngẫu nhiên (hoặc đại lƣợng ngẫu nhiên) Nói cách khác: X hàm số thực, hữu hạn, xác định  cho với x    : X    x F 1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: FX ( x)  P : X ()  x, x  Nhƣ hàm phân bố xác suất thu hẹp độ đo xác suất P lên lớp khoảng  , x  đƣờng thẳng thực Để cho gọn ta ký hiệu F ( x)  P( X  x), x  1.1.2 Các đặc trƣng biến ngẫu nhiên 1.1.2.1 Kỳ vọng Kỳ vọng toán (hay giá trị trung bình) biến ngẫu nhiên X số thực, ký hiệu E(X) đƣợc xác định bởi: Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất:   i 1 i 1 P( X  xk )  pk E ( X )   xi P( X xi )   xi pi Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất  E( X )   xf  x ( x)dx 1.1.2.2 Phƣơng sai Định nghĩa1.3: Phƣơng sai biến ngẫu nhiên X số thực không âm, ký hiệu D(X) đƣợc xác định bởi: DX = E(X - E(X))2 Phƣơng sai biến ngẫu nhiên dùng để đặc trƣng cho mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình 1.1.3.3 Độ lệch chuẩn Định nghĩa 1.4: Độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn đại lƣợng thống kê mô tả dùng để đo mức độ phân tán tập liệu đƣợc lập thành bảng tần số Có thể tính độ lệch chuẩn cách lấy bậc hai phƣơng sai   D( X ) Khi hai tập liệu có giá trị trung bình cộng, tập có độ lệch chuẩn lớn tập có liệu biến thiên nhiều Trong trƣờng hợp hai tập liệu có giá trị trung bình cộng không nhau, việc so sánh độ lệch chuẩn chúng ý nghĩa 1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất 1.1.3.1 Phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 ( x   )2 2 e Hàm mật độ chuẩn tổng quát p( x)  với - < x < +  2 Đƣờng cong mật độ đối xứng qua đƣờng x = µ, nhận trục Ox làm tiệm cận ngang có giá trị cực đại x = µ với tung độ cực đại Trƣờng hợp đặc biệt: ξ N(0, 1) Khi hàm mật độ đƣợc ký hiệu  ( x) : 2x  ( x)  e 2  2 với - < x < + hàm đối xứng qua trục tung, đồ thị có dạng hình chuông Hàm phân phối N(0, 1) đƣợc kí hiệu  ( x)  2 x e t 2  1.1.3.2 Phân phối student hay phân phối t Hàm mật độ t xác định bởi:  n 1  n 1    x    1 p ( x)    n n(n / 2)  Hàm mật độ phân phối t hàm đối xứng qua trục tung, dạng đồ thị có dạng hình chuông giống hàm mật độ chuẩn Số nguyên n gọi số bậc tự phân phối t Ta có kết sau: Nếu X n  XI n i 1 X , X n độc lập, phân phối N(0, 1) có phân phối Student 1.2 Một số khái niệm tài 1.2.1 Tài sản Ta biết định giá hàng hóa ngƣời ta thƣờng thực phân tích cung cầu hàng hóa Phân tích cung tập trung vào phân tích chi phí, doanh thu biên Phân tích cầu đề cập tới lợi ích Tuy nhiên tài sản tài phân tích định giá theo cách thức chúng hàng hóa thị trƣờng Lý tài sản tài có đặc điểm riêng mà nhiều hàng hóa khác là: - Tài sản có tính khoản - Tài sản có khả sinh lợi - Việc nắm giữ tài sản ẩn chứa rủi ro Theo kinh tế tài sản tất có giá trị kinh tế mà ngƣời tích lũy đạt đƣợc từ trình phát triển với tài nguyên thiên nhiên hữu ích có giá trị kinh tế 1.2.2 Danh mục Nhà đầu tƣ thƣờng tiến hành đầu tƣ theo danh mục nhằm đa dạng hóa giảm thiểu rủi ro Một danh mục lại bao gồm nhiều tài sản thông tin cần thiết ban đầu làm để thiết lập danh mục bao gồm: - Giá (lợi suất) tài sản - Mối liên hệ giá tài sản có danh mục 1.2.3 Lợi suất 1.2.3.1 Lợi suất tài sản Trong phân tích, định giá tài sản ta quan tâm tới lợi suất tài sản : - Lợi suất dễ phân tích xử lý so với giá - Bản thân lợi suất thể đầy đủ thông tin đặc điểm tài sản, hội đầu tƣ lợi suất không phụ thuộc vào quy mô đầu tƣ Ta xét tài sản chu kì nắm giữ gọi (t-1), t thời điểm đầu cuối chu kì Kí hiệu St 1 , St giá tài sản thời điểm tƣơng ứng Tùy thuộc vào tình ứng dụng cụ thể, chu kì tính toán ngày (phiên giao dịch), tuần, tháng, quý, năm năm thị trƣờng nghỉ vào ngày cuối tuần, ngày lễ nên tính toán ngƣời ta thƣờng quy ƣớc năm tƣơng ứng với 255 (hoặc 250) ngày hoạt động (phiên giao dịch) 50 tuần Lợi suất chu kì [t-1, t] tài sản kí hiệu rt đƣợc định nghĩa rt  St  St 1 St 1 Lợi suất k chu kì kí hiệu rt k  đƣợc định nghĩa: rt  k   St  St k St k Từ định nghĩa ta suy St  (1  rt ) St 1 (1.1) St  (1  rt k )St k (1.2) Với công thức (1.1), (1.2) thấy biết giá trị thời điểm trƣớc (t-1 t-k) lợi suất tài sản tính giá tài sản thời điểm t ( thƣờng thời điểm tƣơng lai) Cách tƣơng tự nhƣ cách tính lãi khoản vay lợi suất tài sản xem nhƣ lãi suất việc nắm giữ tài sản Lợi suất kỳ vọng độ dao động tài sản Nếu (t-1), t thời điểm tại, tƣơng lai ta biết giá St 1 , nhƣng giá St nên St đƣợc xem nhƣ biến ngẫu nhiên lợi suất tài sản biến ngẫu nhiên Lợi suất kỳ vọng tài sản chu kỳ nắm giữ ký hiệu rt : rt  E(rt )  phƣơng sai biến ngẫu nhiên rt độ lệch chuẩn  gọi độ dao động chu kỳ tài sản Độ dao động cao mức độ biến động tài sản lớn việc nắm giữ tài sản rủi ro sử dụng độ dao động  tài sản phản ánh mức độ rủi ro tài sản 1.2.3.2 Lợi suất danh mục P Cho P : (w1 , w , w n ) danh mục lập từ N tài sản rủi ro P đƣợc gọi danh mục khả thi ( danh mục trao đổi thị trƣờng) Xét danh mục khả thi P : (w1 , w , w n ) ta có Lợi suất danh mục P: Định lý Fisher-Tippet sau đƣợc giải thích nhƣ sau: Với n đủ lớn thì:  M  n  Pr Z n  z  Pr  n   H ( z ) z n   Đặt xn   n z  n thì: Pr M n  z  H  , , ( x  n n )  H  , , ( x) Kết đƣợc sử dụng thực tế để làm kết luận tổn thất tối đa Mn 2.1.2 Ƣớc lƣợng mô hình cực trị tổng quát hàm hợp lý cực đại Phân bố cực trị tổng quát phụ thuộc vào ba thông số: hình dạng tham số ɛ số chuẩn hóa Các tham số đƣợc ƣớc tính cách sử dụng ƣớc lƣợng hợp lý cực đại (MLE) Cho X1…XT có phân phối tổn thất đƣợc lấy từ mẫu có kích thƣớc T với hàm phân phối tích lũy chƣa biết MT biểu thị kích thƣớc mẫu tối đa Để tính đƣợc MT ta phải tính đƣợc thông số ɛ Vì có MT đƣợc tạo từ mẫu nên hàm ɛ Tuy nhiên lợi suất vƣơt mức tối đa X mẫu lớn hữu hạn n< T, Mn phƣơng pháp lấy mẫu phụ đƣợc sử dụng để tạo thành hàm cho thông số ,  , σn μn phân phối GeV Mn Để làm đƣợc điều này, mẫu đƣợc chia thành phần có kích thƣớc n = T / m [X1, , Xn|Xn+1, , X2n| |X(m-1)n1, , Xmn] M n( j ) giá trị lớn Xj với j = 1, 2….m Cho X1…XT có phân phối tổn thất đƣợc lấy từ mẫu có kích giá trị lớn Xj với j = 1, 2….m Hàm xác suất cho tham số ɛ σn μn phân phối GeV đƣợc xây 21 dựng từ mẫu gồm dãy M n(1) M n( m)  Giả thiết dãy có kích thƣớc n đủ lớn định lý Fisher-Tippet đƣợc thỏa mãn Hàm log hợp lý giả định quan sát biến ngẫu nhiên độc lập phân phối GeV với ɛ  là: 1/   M n( j )    m   M n( j )     l ( ,  ,  )  m ln( )  (1  1/  ) ln 1   ( )    1      i 1   i 1      m Hàm log hợp lý cho trƣờng hợp ɛ = ( loại Gumbel) m l (  ,  )  m ln    ( M n( j )    i 1 m )   exp( M n( j )   i 1  ) Vơi ɛ > -0.5 ƣớc lƣợng hợp lý cực đại cho μ,ϭ ɛ đồng tiệm cận với phân phối chuẩn với phƣơng sai tiệm cận đƣợc cho nghịch đảo ma trận quan sát Giới hạn mẫu MLE phụ thuộc vào dãy m kích thƣớc n Sai lệch MLE đƣợc giảm cách tăng kích thƣớc n, phƣơng sai MLE đƣợc giảm cách tăng m 2.1.3 Mức lợi suất Cho α ( 0, 1) 100 α% quantile phân phối liên tục với hàm phân phối F giá trị q cho: q  F 1 ( ) Thƣớc đo rủi ro liên quan tới quantile cao đƣợc gọi mức lợi suất Rn,k đƣợc định nghĩa mức vƣợt ngƣỡng thứ k có kích thƣớc n R n,k thỏa mãn: Pr{ Mn > Rn,k } = 1/k Rn,k đƣợc tính đơn giản – 1/k quantile phân phối: Rn,k   H    (1  1/ k )     1 , ,      1    log(1  )   k     Bằng thuộc tính bất biến ƣớc lƣợng hợp lý cực đại, với tham số 22 ɛ , μ ϭ cho trƣớc Ƣớc lƣợng hợp lý cực đại cho Rn, k là: = - Xác suất mức lợi suất đƣợc xây dựng phân phối giá trị cực trị H  ,  , cực đại Mn Cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối tổn thất X với hàm phân phối tích lũy F, H  , , đó: F (Rn,k )  Pr( X  Rn,k )  (1 1/ k )1/ n 2.2 Phƣơng pháp POT 2.2.1 Giá trị vƣợt ngƣỡng phân phối Pareto tổng quát Cho X1, X2,… chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với hàm phân phối tích lũy chƣa biết đại diện cho tổn thất hay rủi ro Đặt Mn = Max { X1, X2,… Xn} Một thƣớc đo cực trị kiện giá trị Xi vƣợt ngƣỡng u Phân phối vƣợt ngƣỡng u đƣợc xác định tƣơng tự nhƣ xác suất có điều kiện: Fu ( y)  Pr  X  u  y X  u  F ( y  u)  F (u) ,y>0  F (u) Với lớp phân phối F tƣơng tự nhƣ hàm phân phối tích lũy giá trị chuẩn hóa Mn hội tụ đến phân phối giá trị cực trị tổng quát Với giá trị u đủ lớn tồn hàm dƣơng β(u) cho phân phối cực trị xấp xỉ phân phối Pareto tổng quát: 1/    y  1  (1       (u )  G ,  (u ) ( y )   ,  1  exp( y ),     (u )  23 Với ngƣỡng u đủ lớn, Fu ( y )  G ,  (u ) ( y ) với lớp phân phối tổn thất F rộng Để có đƣợc kết ta cần xác định ngƣỡng u, ƣớc lƣợng tham số   (u ) tồn Có mối liên hệ chặt chẽ giới hạn phân phối giá trị cực trị khối cực đại giới hạn phân phối Pareto tổng quát cho giá trị vƣợt ngƣỡng Có mối liên hệ chặt chẽ giới hạn phân phối giá trị cực trị khối cực đại giới hạn phân phối Pareto tổng quát cho giá trị vƣợt ngƣỡng Để có giá trị u, tham số ɛ , μ, ϭ phân phối GeV cần xác định tham số ɛ , β(u) Đặc biệt tham số hình dạng ɛ phấn phối GeV có hình dạng với tham số ɛ phân phối Pareto tổng quát không phụ thuộc vào giá trị ngƣỡng u Do đó: - Nếu ɛ < F thuộc họ Weibull G ,  ( u ) phân phối Pareto loại II - Nếu ɛ = F thuộc họ Gumbell G ,  ( u ) có phân phối mũ - Nếu ɛ > F thuộc họ Frechet G ,  ( u ) phân phối Pareto Với ɛ > 0, hầu hết trƣờng hợp xảy phù hợp với mục đích quản lý rủi ro, hay hiểu E[ Xk ] = với k α = 1/ɛ Xem xét giới hạn phân phối Pareto tổng quát với tham số ɛ cho phân phối vƣợt ngƣỡng Fu với giá trị vƣợt ngƣỡng u Với giá trị u > u0 phân phối vƣợt ngƣỡng Fn phân phối Pareto tổng quát giới hạn với hai tham số ɛ β(u) cho β(u)=  (u0 ) + ɛ (u – u0 ) Ngoài với y > phân phối vƣợt ngƣỡng phân phối Pareto giới hạn tham số hình dạng ɛ thám số quy mô  (u0 ) + ɛ y Hàm vƣợt ngƣỡng trung bình Giả sử X giá trị vƣợt ngƣỡng , u0 cho phân phối Pareto tổng quát với tham số  (u0 ) giá trị vƣợt ngƣỡng trung bình là: 24 E[ X – u0 | X > u0 ] =  (u ) 1  Với u > u0 , hàm vƣợt ngƣỡng trung bình e(u) xác định công thức: e(u) = E[ X - u |X > u] =  (u )   ( u  u ) 1  Ngoài ra, với y > e( u0 + y) = E[ X – ( u0 + y)| X > ( u0 y)] =  (u )   ( u  u ) 1  Chú ý: Với giá trị ɛ cho trƣớc, hàm vƣợt ngƣỡng trung bình hàm tuyến tính y = u – u0 Cách sử dụng đồ thị giản đơn suy ngƣỡng u0 cho phân phối Pareto tổng quát Hàm vƣợt ngƣỡng trung bình thực nghiệm: e(u )  un  nu i 1 ( x(i )  u ) Trong x(i) giá trị xi cho xi > u Đồ thị vƣợt ngƣỡng trung bình đồ thị en (u ) u tuyến tính với giá trị u > u0 Đồ thị dốc lên cho thấy chuỗi thời gian có phân phối đuôi dày Đặc biệt, đồ thị đƣờng thẳng với độ dốc dƣơng phía u0 dấu hiệu hành vi đuôi có phân phối Pareto Một xu hƣớng di xuống thể hành vi đuôi mỏng đƣờng với độ dốc thể hành vi đuôi tuân theo hàm mũ 2.2.2 Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát hàm hợp lý cực đại Cho x1, x2,…xn biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với hàm phân phối tích lũy F chƣa biết đại diện cho tổn thất hay rủi ro Với ngƣỡng u cho trƣớc, giá trị cực trị giá trị xi cho xi – u > đƣợc ký hiệu x(1), …x(k) Cực trị vƣợt ngƣỡng xác định công thức: yi = x(i) – u với i = 1, …,k 25 Từ kết phần trƣớc, u đủ lớn  y1 , yk  coi nhƣ mẫu ngẫu nhiên có phân phối Pareto tổng quát với tham số ɛ β(u) chƣa biết Với ɛ  hàm log cực đại đƣợc xây dựng sở: l(ɛ , β(u)) = -k ln(β(u)) – (1 + 1/ɛ ) yi  ɛ >0 ; < yi < - β(u)/ ɛ ɛ < Với ɛ = hàm log cực đại có dạng: l    u    k ln    u      u  1  k i 1 yi 2.2.3 Ƣớc lƣợng đuôi phân phối tổn thất Với ngƣỡng u đủ lớn, Fu ( y )  G ,  (u ) ( y ) Đặt x = u + y, ta có phân phối đuôi tổn thất F(x) gần với x > u đƣợc cho bởi: F ( x)   F (u )G ,  (u ) ( y )  F (u ) Giá trị hàm phân phối tích lũy F(u) đƣợc ƣớc lƣợng nhờ hàm phân phối thực nghiệm F (u )  nk , k số giá trị x vƣợt ngƣỡng u Kết hợp n với phân phối pareto tổng quát ta có kết ƣớc lƣợng F(x) k x u F ( x)   (1   ) n  (u )   (u ) ƣớc lƣợng hợp lý cực đại ɛ , β(u) 2.2.4 Sử dụng đồ thị Hill ƣớc lƣợng phi tham số cho số đuôi Tham số  số đuôi   1/  phân phối GEV GPD ƣớc lƣợng tham số số phƣơng pháp Phƣơng pháp thông thƣờng Hill (1975) áp dụng trƣờng hợp  >0 ( ) để dự liệu tạo phân phối đuôi dày thuộc loại Frechet phân phối GEV Mô tả cách ƣớng lƣợng Hill ta xem xét mẫu tổn thất X X T thỏa mãn: X (1)  X (2)   X (T ) Với số nguyên dƣơng k, ƣớc lƣợng Hill cho  đƣợc định nghĩa là: 26  Hill (k )  k  j 1 (log X ( j )  log X ( k ) ) k Và ƣớc lƣợng Hill cho   1/  là:  Ƣớc lƣợng hill cho  ,   1/  Nếu F có phân phối GEV   Hill Hill Hill (k )  1/  Hill (k ) , phụ thuộc vào số nguyên k (k ) hội tụi tới  k  , k 0, n (k ) tiệm cận phân phối chuẩn với phƣơng sai tiệm cận a var  Bằng phƣơng pháp delta,  gần bằng: a var  Hill Hill (k )  2 k (k ) tiệm cận phân phối chuẩn với phƣơng sai (k )  Ƣớc lƣợng Hill cho  Hill Hill 2 k (k ) ,  Hill (k ) thƣờng đƣợc vẽ đồ thị k để tìm giá trị k cho ƣớc lƣợng vững Đuôi Hill ƣớc lƣợng Quantile Giả sử phân phối tổn thất F thỏa mãn  F  x   x L( x) với   1/  >0, L(x) hàm biến thiên chậm Cho x  X k 1 với X k 1 tham số thống kê độ cao Ƣớc lƣợng Hill cho F(x) đƣợc cho bởi: Hill k x  F ( x)     n  X ( k 1)   Hill( k ) , x  X ( k 1) Nghịch đảo ƣớc lƣợng công thức đƣợc ƣớc lƣợng Quantile x Hill q ,k   n    X ( k 1)  X ( k 1)   (1  q)   k   Với q > – k/n 27 Hill( k )   1   2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị đo lƣờng VaR, ES Trong phần ta tiến hành ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị để ƣớc lƣợng tham số tính toán rủi ro VaR cho chuỗi lợi suất tỷ giá USD phần mềm S- Plus Mô tả liệu Bộ số liệu đầu vào liệu USD (đôla Mỹ), tính theo VNĐ từ ngày tháng 10 năm 2008 đến ngày 30 tháng năm 2012 Kiểm định tính chuẩn chuỗi lợi suất tỷ giá Dựa vào tiêu chuẩn Jarque – Bera kiểm định cặp giả thuyết H0: Chuỗi lợi suất tỷ giá có phân phối chuẩn H1: Chuỗi lợi suất tỷ giá phân phối chuẩn Xét với mức ý nghĩa α = 5%,sử dụng phần mềm Eviews ta có đồ thị sau 500 Series: USD Sample 1000 Observations 1000 400 300 200 100 -0.025 0.000 Mean Median Maximum Minimum Std Dev Skewness Kurtosis 0.000255 5.26E-05 0.029812 -0.045487 0.003893 -1.817181 38.72452 Jarque-Bera Probability 53727.09 0.000000 0.025 Hình 3: Giá trị thống kê JB p-value kiểm định tính chuẩn cho chuỗi lợi suất USD Jarque – Bera = 53727.09; p-value = < α Ta bác bỏ giả thiết H0 hay chuỗi lợi suất USD phân phối chuẩn Kiểm tra tính dừng chuỗi lợi suất tỷ giá Sử dụng phần mềm Eviews ta có bảng sau: 28 ADF Test Statistic -24.64479 1% Critical Value* -3.4396 5% Critical Value -2.8648 10% Critical Value -2.5685 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(USD) Method: Least Squares Date: 11/08/12 Time: 22:41 Sample(adjusted): 1000 Included observations: 999 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob USD(-1) -0.757121 0.030721 -24.64479 0.0000 C 0.000194 1.618332 0.1059 0.000120 Dựa vào bảng ta thấy: ˆ = - 24,64479 giá trị tới hạn mức ý nghĩa 1% -3,4396; 5% -2,8648; 10% -2,5685 nên chuỗi lợi suất tỷ giá USD chuỗi dừng Kiểm tra tính phân phối giá trị cực trị (GEV) Xét xem phân phối giá trị cực trị có phù hợp với chuỗi lợi suất tỷ giá không ta sử dụng đồ thị QQ Sử dụng phần mềm s-plus ta có: 29 Hình 4: Đồ thị QQ cho chuỗi lợi suất tỷ giá USD từ tháng 10 năm 2008 đến ngày 30 tháng năm 2012 Daily returns on usd Quantiles of usd 0.02 0.0 -0.02 -0.04 -2 Quantiles of standard normal Từ đồ thị ta thấy chuỗi lợi suất tỷ giá USD có phân phối đuôi dày phân phối thƣờng, hay tuân theo phân phối giá trị cực trị Đo lƣờng rủi ro chuỗi tỷ giá cho tài sản 5.1 Xác định giá trị vƣợt ngƣỡng u Sử dụng lƣợc đồ Hill ƣớc lƣợng giá trị gần ngƣỡng u cách sử dụng S- Plus ta có: 30 Threshold 0.0026300 0.0013400 0.0008210 0.0004810 0.0002610 0.0000617 2.0 1.5 0.5 1.0 xi (CI, p =0.95) 2.5 3.0 0.0121000 15 39 63 87 115 147 179 211 243 275 307 339 371 403 435 467 499 Order Statistics Hình 4: Đồ thị hill xác định tham số  ngưỡng u cho chuỗi lợi suất USD Từ đồ thị ta thấy: k > 100 X(k) < 0.0025  Hill (k ) lớn 0.85 Giá trị ngƣỡng u phải thỏa mãn k nhỏ 10% tổng số quan sát Chọn u = 0.0024646 5.2 Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát cho chuỗi lợi suất tỷ giá hàm hợp lý cực đại Sử dụng s-plus ta ƣớc lƣợng tham số   (u ) với ngƣỡng u xác định phần ta có kết quả: USD: Generalized Pareto Distribution Fit -Total of 1000 observations Upper Tail Estimated with ml -Upper Threshold at 0.00246467 or 6.4 % of the data ML estimation converged Log-likelihood value: 286.8 Parameter Estimates, Standard Errors and t-ratios: Value Std.Error t value xi 0.6612 0.2106 3.1392 beta 0.0022 0.0005 4.3373 31 Ta có  = 0.6612 cho thấy chuỗi lợi suất USD có phân phối đuôi dày   u  = 0.0022 0.0 0.2 0.4 Fu(x-u) 0.6 0.8 1.0 Ta có đồ thị minh họa ƣớc lƣợng cho phân phối GPD chuỗi lợi suất USD 0.005 0.010 0.050 x (on log scale) 0.0050 0.0005 1-F(x) (on log scale) 0.0500 Hình 5: Đồ thị minh họa hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng 0.005 0.010 0.050 x (on log scale) Hình 4:Đồ thị minh họa đuôi phân phối ước lượng chuỗi lợi suất USD 32 5.3 Ƣớc lƣợng rủi ro Sử dụng S- Plus cho ta kết ƣớc lƣợng VaR với mức ý nghĩa 5% 1% p quantile sfall [1,] 0.95 0.003041525 0.01051690 [2,] 0.99 0.010313180 0.03197982 Nếu đầu tƣ 200 triệu đồng vào USD tổn thất ngày gặp phải là: VaR( ngày, Vt, 5%) = 0.00304* 200000000 = 608000 (đồng) VaR(1 ngày, Vt, 1%) = 0.01031 *200000000 = 2062000 (đồng) Nhƣ với mức ý nghĩa 5%, 1% đầu tƣ 200 triệu đồng vào USD ngày tƣơng ứng 608000, 2062000 đồng 33 KẾT LUẬN Thị trƣờng tài diễn phức tạp Nó biến động theo chiều hƣớng biến động khó lƣờng trƣớc đƣợc Chính biến động tạo hội rủi ro cho nhà đầu tƣ Nhƣng có hai mặt nó, lợi nhuận cao kèm với rủi ro cao nhà đầu tƣ Chính cần có biện pháp ƣớc tính hạn chế rủi ro tỷ giá hoạt động kinh doanh Trong đề tài sử dụng lý thuyết giá trị cực trị để ƣớc tính rủi ro Đây công cụ có tính ứng dụng thực tế Trong trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp sửa chữa từ thầy cô để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Hữu Hồ, Giáo trình xác suất thống kê, nhà xuất Đại học sƣ phạm Hà Nội Hoàng Đình Tuấn, Mô hình phân tích định giá tài sản tài chính, nhà xuất khoa học kĩ thuật Trần Trọng Nguyên, Giáo trình lý thuyết xác suất, nhà xuất Đại học kinh tế quốc dân Một số trang Website: http://www.thuvienluanvan.com http://vneconomy.vn 35 [...]... P&L lý thuyết và thực tế của từng ngày để tìm số P&L thực tế vƣợt qua P&L lý thuyết 17 CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Lý thuyết cực trị Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) hay còn gọi là lý thuyết các biến cố hiếm những biến cố ít xảy ra nhƣng khi xảy ra lại gây hậu thiệt hại rất lớn Những biến cố này thƣờng tập trung ở phần đuôi của phân phối và không đƣợc thể hiện rõ ràng trên đồ thị Lý thuyết. .. 2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lƣờng VaR, ES Trong phần này ta tiến hành ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị để ƣớc lƣợng các tham số và tính toán rủi ro VaR cho chuỗi lợi suất của tỷ giá USD bằng phần mềm S- Plus 1 Mô tả dữ liệu Bộ số liệu đầu vào là dữ liệu USD (đôla Mỹ), tính theo VNĐ từ ngày 4 tháng 10 năm 2008 đến ngày 30 tháng 3 năm 2012 2 Kiểm định tính chuẩn chuỗi lợi suất tỷ giá Dựa vào... giá trị cực trị ra đời tập trung vào việc mô hình hóa phần đuôi của phân phối thua lỗ bằng việc chỉ sử dụng những giá trị cực trị thay vì sử dụng toàn bộ dữ liệu Ngoài ra EVT còn cung cấp một ƣớc lƣợng tham số của phân phối đuôi, điều này cho phép đƣa ra suy luận ngoài tập dữ liệu EVT tập trung vào phân phối giới hạn tỉ suất sinh lợi cực trị đƣợc quan sát trong một thời kì dài, và chỉ phụ thuộc vào... tối đa Mn 2.1.2 Ƣớc lƣợng mô hình cực trị tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại Phân bố cực trị tổng quát phụ thuộc vào ba thông số: hình dạng tham số ɛ và các hằng số chuẩn hóa và Các tham số này có thể đƣợc ƣớc tính bằng cách sử dụng ƣớc lƣợng hợp lý cực đại (MLE) Cho X1…XT có cùng phân phối tổn thất đƣợc lấy từ mẫu có kích thƣớc T với hàm phân phối tích lũy chƣa biết và MT biểu thị kích thƣớc mẫu tối... chính của EVT là : + Mô hình cực đại khối -Block maxima model +Mô hình đỉnh vƣợt ngƣỡng- Peak over threshold (phƣơng pháp POT) Mô hình POT đƣợc cho là hữu ích trong ứng dụng thục tiễn vì nó sử dụng dữ liệu tại các giá trị cực trị hiệu quả hơn Mô hình POT đƣợc dựa trên phân phối Pareto tổng quát(GPD) 2.2 Phƣơng pháp cực đại khối 2.1.1 Định lý Fisher-Tippet và phân phối cực trị tổng quát Cho X1 , X2 …... trợ nhƣ phân phối đều và phân phối beta Tất cả các phân phối này đêu tồn tại moment Định lý Fisher-Tippet áp dụng với các biến ngẫu nhiên cùng phân phối Tuy nhiên phân phối giá trị cực trị có thể cho phân phối giới hạn đúng cho việc tính toán các giá trị cực đại từ chuỗi thời gian tĩnh bao gồm quá trình GARCH tĩnh Phân bố giá trị cực trị H  (z) đặc trƣng cho phân phối giới hạn của cực đại chuẩn hóa Zn... ƣớc lƣợng hợp lý cực đại, với các tham số 22 ɛ , μ và ϭ cho trƣớc Ƣớc lƣợng hợp lý cực đại cho Rn, k là: = - Xác suất mức lợi suất đƣợc xây dựng trên phân phối giá trị cực trị H  ,  , của cực đại Mn Cho biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối tổn thất X với hàm phân phối tích lũy F, H  , , do đó: F (Rn,k )  Pr( X  Rn,k )  (1 1/ k )1/ n 2.2 Phƣơng pháp POT 2.2.1 Giá trị vƣợt ngƣỡng và phân phối... chặt chẽ giữa giới hạn phân phối giá trị cực trị của khối cực đại và giới hạn phân phối Pareto tổng quát cho giá trị vƣợt ngƣỡng Có mối liên hệ chặt chẽ giữa giới hạn phân phối giá trị cực trị của khối cực đại và giới hạn phân phối Pareto tổng quát cho giá trị vƣợt ngƣỡng Để có giá trị u, tham số ɛ , μ, ϭ của phân phối GeV cần xác định tham số ɛ , và β(u) Đặc biệt tham số hình dạng ɛ của phấn phối GeV... trị cực trị Trong khi định lý giá trị trung tâm áp dụng cho các phép toán bình thƣờng của biến ngâu nhiên thì định lý Fisher- Tippet áp dụng với các cực đại đã chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên Các tham số  là tham số hình dạng xác định đuôi của H  Tham số α = 1/ đƣợc gọi là chỉ số đuôi nếu  > 0 19 Các hành vi đuôi của phân phối F của các dữ liệu cơ sở xác định hình dạng tham số của phân phối cực trị. .. vi đuôi mỏng và một đƣờng với độ dốc bằng 0 thể hiện hành vi đuôi tuân theo hàm mũ 2.2.2 Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại Cho x1, x2,…xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với hàm phân phối tích lũy F chƣa biết đại diện cho tổn thất hay rủi ro Với ngƣỡng u cho trƣớc, giá trị cực trị là giá trị xi sao cho xi – u > 0 và đƣợc ký hiệu là x(1), …x(k) Cực trị vƣợt ngƣỡng ... ngày để tìm số P&L thực tế vƣợt qua P&L lý thuyết 17 CHƢƠNG LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Lý thuyết cực trị Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) hay gọi lý thuyết biến cố biến cố xảy nhƣng xảy lại... đề trên, em chọn đề tài Lý thuyết cực trị ứng dụng làm đề tài tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết cực trị ứng dụng đo lƣờng rủi ro tài - Giới thiệu vài mô hình đo lƣờng rủi... VaR lý thuyết 12 1.4.4 Mô hình VaR thực hành 14 1.4.5 Phƣơng pháp hậu kiểm mô hình VaR 17 CHƢƠNG 18 LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 Lý thuyết cực trị