GV: Phạm Quang Sang MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP Phần 2: 50 tập Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD · · C/m góc AOC ∆BDC cân.a = ACB CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) µ chung 2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , có E · » (góc tt dây) Sđ ABE = sđ cung BE Sđ · = BDE » (góc nt chắn BE » ) sđ BE · · 3/C/m AOC = ACB · · * Do ABOC nt⇒ AOC (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt = ABC · · · · nhau) ⇒ ∆ABC cân A⇒ ABC = ACB ⇒ AOC = ACB 1 · ¼ · ¼ * sđ ACB = sđ BEC (góc tt dây); sđ BDC = sđ BEC (góc nt) 2 · · · · · · ⇒ BDC = ACB mà ABC = BDC (do CD//AB) ⇒ BDC ⇒ ∆BDC cân = BCD B · · 4/ Ta có $I chung; IBE (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)⇒ = ECB IE IB ∆IBE∽∆ICB⇒ IB = IC ⇒ IB2=IE.IC · » − BE » ) mà ∆BDC cân B⇒ Xét ∆IAE ICA có $I chung; sđ IAE = sđ ( DB » » = sđ CE= » · » = BC » ⇒sđ IAE · sđ ECA = sđ (BC-BE) DB IA IE ⇒ ∆IAE∽∆ICA⇒ IC = IA ⇒IA2=IE.IC Từ và⇒IA2=IB2⇒ IA=IB Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Bài 52: Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vò độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AK⊥CC’ C/m AKHC hình thang cân Quay ∆ABC vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo A 1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 ⇒ AB=5; ∆ABA’ vuông B⇒BH =AH.A’H C' K O ⇒A’H= BH = AH ⇒AA’=AH+HA’= H B C ⇒AO= 25 25 2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ CC’⇒ACA’C’ A' Hình 52 Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường tròn)⇒AC’A’C hình chữ nhật 3/ C/m: AKHC thang cân: ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà ∆OAC cân O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC hình thang Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân 4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón 2 Sxq= p.d= 2π.BH.AB=15π 1 3 Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P C/m: a/ PMIO thang vuông V= B.h= πBH2.AH=12π Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang b/ P; Q; O thẳng hàng Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ= MP2 b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆QHP C P M S H A I B O J Q D Hình 53 1/ a/ C/m MPOI thang vuông Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt) ⇒CO//MI mà MP⊥CO ⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI thang vuông b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông ⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ QP đường kính (O)⇒ Q; O; P thẳng hàng 2/ Tính góc CSP: Ta có sđ CSP= sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP= sđ(AQ+CP)= sđ CSP= sđ(AQ+QD) = sđAD=45o Vậy CSP=45o 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì ∆ AOM cân O; I trung điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO tam giác cân M⇒ ∆AMO tam giác ⇒ cung AM=60o MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o ⇒ cung AM=MP ⇒ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.)⇒ ∆MHP∽∆MQP⇒ đpcm b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân H QHP=120o⇒J nằm đường thẳng HO⇒ ∆HPJ tam giác mà HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP P nằm đường tròn ngoại tiếp ∆HPQ ⇒đpcm Bài 54: Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn C/m AC//MO MD=OD Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF Xác đònh vò trí điểm M d để ∆MAB tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp B 1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt ⇒BOM=OMB MA=MB ⇒MO đường trung trực AB⇒MO⊥AB Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ⇒CA⊥AB Vậy AC//MO d E F O D C A H Hình 54 C/mMD=OD Do OD//MB (cùng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cân D⇒đpcm 3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ AFM= sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ⇒EAM=A FM Sđ EAM= sd cungAE(góc tt dây) ⇒∆MAE∽∆MFA⇒đpcm 4/Vì AMB tam giác đều⇒góc OMA=30o⇒OM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB 1 Ta có AB=AM= OM − OA =R ⇒S AMBO= BA.OM= 2R R = R2 2 2 πR 120 πR πR 3 −π R2 ⇒ Squạt= = ⇒S= R2 = 360 3 ( ) ÐÏ(&(ÐÏ Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C C/m AMN=BMC C/m∆ANM=∆BMC DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE⊥Ax Chứng tỏ M trung điểm DC Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang x D y M C E F A N Hình 55 B O 1/C/m AMN=BMA Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NM⊥DC⇒NMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v⇒ AMN=BMA 2/C/m ∆ANM=∆BCM: Do cung AM=MB=90o.⇒dây AM=MB MAN=MBA=45o.(∆AMB vuông cân M)⇒MAN=MBC=45o Theo c/mt CMB=AMN⇒ ∆ANM=∆BCM(gcg) 3/C/m EF⊥Ax Do ADMN nt⇒AMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC nt⇒BMC=CNB(cùng chắn cung CB) ⇒ AND=CNB Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) Ta lại có AND+DNA=1v⇒CNB+DNA=1v ⇒ENC=1v mà EMF=1v ⇒EMFN nội tiếp ⇒EMN= EFN(cùng chắn cung NE)⇒ EFN=FNB ⇒ EF//AB mà AB⊥Ax ⇒ EF⊥Ax 4/C/m M trung điểm DC: Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN) ⇒∆NMC vuông cân M⇒ MN=NC Và ∆NDC vuông cân N⇒NDM=45o ⇒∆MND vuông cân M⇒ MD=MN⇒ MC= DM ⇒đpcm ÐÏ(&(ÐÏ Bài 56: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF C/m AECD nt C/m:CD2=CE.CF Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE C/m IK//AB A F K C x M D O I E B Hình 56 1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF Xét hai tam giác CDF CDE có: -Do AECD nt⇒CED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD nt⇒CDF=CBF(cùng chắn cung CF) Và sđ CBF= sđ cung BC(góc tt dây)⇒FDC=DEC Mà sđ CAD= sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Do AECD nt BFCD nt ⇒DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)⇒DCF=DCE.Từ và ⇒∆CDF∽∆CED⇒đpcm 3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD⇒ xCF= xCE.⇒đpcm 4/C/m: IK//AB Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)⇒KIC=BAC⇒KI//AB Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng N P J Q I K M A O B Hình 57 1/ C/m:BM//OP: Ta có MB⊥AM (góc nt chắn nửa đtròn) OP⊥AM (t/c hai tt cắt nhau) ⇒ MB//OP 2/ C/m: OBNP hình bình hành: Xét hai ∆ APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP ⇒ POA=NBO (đồng vò)⇒∆APO=∆ONB⇒ PO=BN Mà OP//NB (Cmt) ⇒ OBNP hình bình hành 3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PM⊥OJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ON⊥AB⇒ON⊥OJ⇒I trực tâm ∆OPJ⇒IJ⊥OP -Vì PNOA hình chữ nhật ⇒P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP⇒ MNOP thang cân⇒NPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng · · chắn cung NM) ⇒ IPO=IOP ⇒∆IPO cân I Và KP=KO⇒IK⊥PO Vậy K; I; J thẳng hàng & Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ∆ABI vuông cân Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang C/m JDCI nội tiếp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH⊥AB Cmr: AK qua trung điểm DH Hình 58 I C D N A O H J K B 1/C/m ∆ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách): -Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)⇒∆ABC vuông C.Vì OC⊥AB trung điểm O⇒AOC=COB=1v ⇒ cung AC=CB=90o ⇒CAB=45 o (góc nt nửa số đo cung bò chắn) ∆ABC vuông cân C Mà Bt⊥AB có góc CAB=45 o ⇒ ∆ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ Xét hai ∆ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= sđ cung AC =45o Mà ∆ ABI vuông cân B⇒AIB=45 o.⇒CDA=AIB⇒ ∆ADC∽∆AIJ⇒đpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v⇒ CDJ+CIJ=2v⇒CDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND -Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ⇒KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1v⇒KJD=JDK⇒∆KDJ cân K ⇒KJ=KD ⇒KB=KJ -Do DH⊥ JB⊥AB(gt)⇒DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có: DN AN NH AN DN NH = = = ; ⇒ mà JK=KB⇒DN=NH JK AK KB AK JK KB ÐÏ(&(ÐÏ Bài 59: Cho (O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc góc AMB C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác E C M N A B O 1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc góc AMB: -Do AB⊥CD trung điểm O AB CD.⇒Cung AD=DB=CB=AC=90 o ⇒sđ AMD= sđcungAD=45o D Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc góc AMB 3/C/m: AM.DN=AC.DM Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)⇒∆AMC∽∆DMN⇒đpcm 4/Khi ON=NM ta c/m ∆MOB tam giác Do MN=ON⇒∆NMO vcân N⇒NMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1v⇒OMB=MOB.Mà OMB=OBM ⇒OMB=MOB=OBM⇒∆MOB tam giác ÐÏ(&(ÐÏ Bài 60: Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB Vẽ đường cao CH ∆ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD.BE Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang x2 y z + + =1 Chøng minh r»ng: a b2 c2 C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1) x2 + 8x – 20 2) x − x − + x − = 4 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®êng ph©n gi¸c AD, BE, CF Chøng minh r»ng: C©u 5: 7 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + x2 + = 7 DB EC FA = DC EA FB 1 1 1 2) + + > + + AD BE CF BC AC AB 1) a + b + c3 − 3abc C©u 1: Rót gän ph©n thøc: A = a+b+c C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu: abc = th× a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + 5 4 C©u 4: Cho x,y ≠ vµ x + y ≥ Chøng minh: x + y ≥ x y + xy C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ trung ®iĨm cđa AB Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm E cho AE = 2EC Gäi O lµ giao ®iĨm cđa CD vµ BE Chøng minh r»ng: 1) Hai tam gi¸c BOC vµ AOC cã diƯn tÝch b»ng 2) BO = 3.EO C©u 1: Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Ịu 8 8 Gäi a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cđa tam gi¸c ABC, biÕt + b c a + ÷ + ÷ = ÷ a b c C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3x + + x − = C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz C©u 4: X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cđa x, y ®Ĩ cã ®¼ng thøc: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + = C©u 5: Trªn c¹nh AB cđa h×nh vu«ng ABCD ngêi ta lÊy mét ®iĨm t ý E Tia ph©n gi¸c cđa gãc CDE c¾t BC t¹i K Chøng minh: AE + KC = DE C©u 1: Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang x +1 x −1 2(x + 2)2 − = Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + x + x2 − x + x −1 9 C©u 2: T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ biĨu thøc A(x) = x (víi x > 0) ®¹t gi¸ trÞ lín (x + 1999)2 nhÊt C©u 3: 1) Chøng minh r»ng nÕu x > 0, y > th×: 1 + ≥ x y x+y 2) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cđa mét tam gi¸c th×: 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+c−a a+c−b a b c C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900) ®êng cao AH, trung tun BM, ph©n gi¸c CD c¾t t¹i mét ®iĨm 1) Chøng minh: 5 5 5 BH CM AD = HC AM BD 2) Chøng minh: BH = AC C©u 5: Cho a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ x, y, z lµ ®é dµi c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ®ã Chøng minh: 1 1 1 + + > + + x y z a b c C©u 1: Trong mét c¸i hép ®ùng mét sè t¸o §Çu tiªn ngêi ta lÊy mét nưa sè t¸o vµ bá l¹i qu¶, sau ®ã lÊy thªm 1/3 sè t¸o cßn l¹i vµ lÊy thªm qu¶ Ci cïng hép cßn l¹i 12 qu¶ Hái hép lóc ®Çu cã bao nhiªu qu¶ t¸o C©u 2: Cho a > 0, b > vµ c > Chøng minh: 1 + + > b+c a+c a+b a+b+c C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH Cho biÕt AB = cm, BH = cm TÝnh BC ? C©u 4: Cho tam gi¸c ABC Mét ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AC t¹i E vµ c¾t ®êng th¼ng song song víi AB kỴ tõ C ë F Gäi S lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BF Chøng minh r»ng: SC = SE.SA C©u 5: C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9x − = x − 3x + x + 27 x + C©u 2: Chøng minh ®¼ng thøc sau: Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang a + 3ab 2a − 5ab − 3b a + an + bn + ab + = a − 9b 6ab − a − 9b 3bn − a − an + 3ab C©u 3: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®êng chÐo AC lín h¬n ®êng chÐo BD Gäi E vµ F lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa B vµ D xng ®êng th¼ng AC 1) Tø gi¸c BEDF lµ h×nh g×? chøng minh ®iỊu ®ã 2).Gäi CH vµ CK lÇn lỵt lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ACB vµ ACD a) Chøng minh: 5 5 b) Chøng minh hai tam gi¸c CHK vµ ABC ®ång d¹ng víi c) Chøng minh r»ng: AB.AH + AD.AK = AC C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Trªn c¹nh AB vµ CD lÇn lỵt lÊy c¸c ®iĨm M vµ K cho AM = CK Trªn ®o¹n AD lÊy ®iĨm P t ý §o¹n th¼ng MK lÇn lỵt c¾t PB vµ PC t¹i E vµ F Chøng minh r»ng: S P FE = S BME + S CKF C©u 5: C©u 1: Ph©n tÝch thµnh tÝch: a3 + b3 + c3 – 3abc C©u 2:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A = x + y + xy – x2 – y2 vµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cđa x vµ y C©u 3: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x3 + 4x2 + 5x – = 2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 5 5 CH CK = CB CD x−3 > x+2 C©u 4: Cho ®o¹n th¼ng AC = m LÊy ®iĨm B bÊt kú thc ®o¹n AC (B ≠ A, B ≠ C) VÏ tia Bx vu«ng gãc víi AC, trªn tia Bx lÇn lỵt lÊy c¸c ®iĨm D vµ E cho BD = AB vµ BE = BC 1) Chøng minh r»ng: CD = AE vµ CD vu«ng gãc víi AE 2) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa AE, N lµ trung ®iĨm cđa CD, I lµ trung ®iĨm cđa MN Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn AC kh«ng ®ỉi B di chun trªn ®o¹n AC 3) T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm B trªn ®o¹n AC cho tỉng ®iƯn tÝch hai tam gi¸c ABE vµ BCD cã gi¸ trÞ lín nhÊt TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt nµy theo m C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh AB lÊy ®iĨm M VÏ CH vu«ng gãc víi CM VÏ HN vu«ng gãc víi DH (N thc BC) 1) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c DHC vµ NHB ®ång d¹ng víi 2) Chøng minh r»ng: AM.NB = NC.MB C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A= x − 25 y−2 : x − 10x + 25x y − y − BiÕt: x + 9y − 4xy = 2xy − x − C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3 + 3x2 + 2x – = Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 5 5 C©u 3: 1) Chøng minh r»ng: x2 + xy + y2 – 3x – 3y + ≥ 2) Chøng minh r»ng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) ≤ abc, víi a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cđa mét tam gi¸c C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC vµ AD K lµ mét ®iĨm bÊt kú n»m gi÷a C vµ D Gäi P vµ Q theo thø tù lµ c¸c ®iĨm ®èi xøng cđa K qua t©m M vµ N 1) Chøng minh r»ng Q, A, B, P th¼ng hµng 2) Gäi G lµ giao ®iĨm cđa PN vµ QM Chøng minh GK lu«n ®i qua ®iĨm I cè ®Þnh K thay ®ỉi tªn ®o¹n CD C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän, c¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H Chøng minh r»ng: 1) Tam gi¸c FHE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BHC 2) H lµ giao ®iĨm c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c FED C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 1) x3 – 5x2 + 8x – 2 2) 3x − y + 5 5 5 C©u 2: T×m x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y – 4z - 14 C©u 3: x + 6x − 3x x +1 A = + − + −2+x Cho biĨu thøc: ÷: x + x x − x − x + 2x 1) Rót gän biĨu thøc A 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A cã gi¸ trÞ ©m C©u 4: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A VỊ phÝa ngoµi cđa tam gi¸c ta vÏ c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACGH 1) Chøng minh r»ng tø gi¸c BCHE lµ h×nh thang c©n 2) KỴ ®êng cao AH1 cđa tam gi¸c ABC Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AH1, DE vµ GH ®ång quy C©u 5: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, kỴ BH vu«ng gãc víi AC t¹i H Gäi M vµ K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AH vµ CD Chøng minh r»ng BM vu«ng gãc víi MK C©u 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 1) x2 – 3x > 2) 5 y− 3 x − >1 C©u 2: Chøng minh c¸ bÊt ®¼gn thøc: 1) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 2) a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + a2c2 C©u 3: Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 5 5 5 6 x2 + x + T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc sau: y = x +1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH Cho biÕt AH = cm, CH = cm 1) TÝnh AC vµ AB 2) VÏ ®êng ph©n gi¸c AD cđa gãc A cđa tam gi¸c ABC TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABD C©u 5: Cho h×nh thang ABCD cã AD//BC vµ BC = 10 cm, AD = cm, AB = cm vµ CD = cm C¸c ®êng ph©n gi¸c cđa gãc A vµ B (trong h×nh thang) c¾t t¹i M C¸c ®êng ph©n gi¸c cđa gãc C vµ D (trong h×nh thang) c¾t t¹i N TÝnh MN? C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 1) ab + ac + b2 + 2bc + c2 2) x4 + 2x2 – 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + C©u 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A víi x + y = 2005 A= x(x + 5) + y(y + 5) + 2(xy − 3) x(x + 6) + y(y + 6) + 2xy C©u 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: C©u 4: C©u 5: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) §iĨm M bÊt kú n»m h×nh thang, vÏ c¸c h×nh b×nh hµnh MDPA, MCQB Chøng minh r»ng: PQ//CD C©u 1: 7 a+b b+c a+c + + (b − c)(c − a) (c − a)(c − b) (a − b)(b − c) Cho a + b + c = vµ 1 + + = Chøng minh: a2 + b2 + c2 = a b c Cho a, b, c lµ sè kh¸c tho¶ m·n a + b + c = 2002 vµ 1 1 + + = a b c 2002 Chøng minh r»ng sè a, b, c tån t¹i hai sè ®èi C©u 2: Cho x, y, z lµ sè tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: x + y + z = vµ x2 + y2 + z2 = 14 H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = + x4 + y4 + z4 C©u 3: T×m sè x, y, z cho: x + 5y − 4xy + 10x − 22y + x + y + z + 26 = C©u 4: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 1) 2) (a )( ) + b a + ≥ 4a b , víi mäi a,b 1 + ≥ , víi mäi a,b > a b a+b Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 3) 1 1 1 + + ≥ + + ,víi a,b,c a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b > C©u 5: Cho tø gi¸c låi ABCD Trªn hai c¹nh AB vµ CD ta lÇn lỵt lÊy hai ®iĨm E vµ F cho: AE CF = Chøng minh r»ng nÕu ®êng chÐo AC ®i qua trung ®iĨm I cđa BE DF ®o¹n FE th× AC chia ®«i ®iƯn tÝch cđa tø gi¸c ABCD C©u 6: Cho h×nh thoi ABCD biÕt ¢ = 1200 VÏ tia Ax t¹o víi tia AB mét gãc BAx = 150 vµ c¾t c¹nh BC t¹i M, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i N Chøng minh r»ng: 8 8 8 3 + = 2 AM AN AB C©u 1: Ph©n tÝch thµnh tÝch: 1) 3x2 – 2x – 2) x3 + 6x2 + 11x + C©u 2: x+2 − − =0 x−2 x x(x − 2) 4x + y > vµ x2 + 3y2 = 4xy TÝnh: A = 2) Cho a, b, c, d tho¶ m·n: a + b = c + d vµ a2 + b2 = c2 + d2 Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi 2x + 5y x − 2y GV: Phạm Quang Sang Chøng minh r»ng: a2002 + b2002 = c2002 + d2002 6 6 6 C©u 3: Cho x ≠ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900), D lµ mét ®iĨm di ®éng trªn BC Gäi E, F lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm D trªn AB vµ AC 1) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm D ®Ĩ tø gi¸c AEDF lµ h×nh vu«ng 2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm D ®Ĩ tỉng 3.AD + 4.FE ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän, BD vµ CE lµ hai ®êng cao c¾t t¹i H Chøng minh r»ng: 1) HD.HB = HE.HC 2) Hai tam gi¸c HDE vµ HCB ®ång d¹ng víi 3) HB.BD + CH.CE = BC C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 1) a3 – b3 + c3 + 3abc 2) (a + 2)(a + 3)(a2 + a + 6) + 4a2 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1) x8 – 2x4 + x2 – 2x + = 2) 6 + + + =0 x + 5x + x − 8x + 15 x − 13x + 40 C©u 3: 1) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = x2 + x 3) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: 6 6 6 7 2002x − 2x + x2 B= 3x + 4x x2 + C©u 4:Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i C KỴ ®êng ph©n gi¸c AA1 cđa gãc A vµ ®êng trung tun CC1 cđa tam gi¸c ABC BiÕt AA1 = 2CC1 TÝnh sè ®o gãc ACB? C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD cã AC = 10 cm, BD = 12 cm Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i O BiÕt sè ®o gãc AOB = 300 TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD C©u 6: Trªn hai c¹nh AB vµ BC cđa h×nh vu«ng ABCD lÊy hai ®iĨm P vµ Q theo thø tù cho BP = BQ Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ B xng CP Chøng minh r»ng sè ®o gãc DHQ = 900 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x − x + C©u 2: = 2x − x + 2x + 2x − 8x + 10 Cho c¸c biĨu thøc: A = vµ B = x − 4x + x − x − 5x − 1) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ B cã nghÜa 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cđa x 3) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A.B < Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 7 8 8 8 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH vµ ®êng ph©n gi¸c BD c¾t t¹i I Chøng minh r»ng: 1) Tam gi¸c ADI c©n 2) AD.BD = BI.DC 3) Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi BC t¹i K Tø gi¸c ADKI lµ h×nh g×? chøng minh? C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän vµ AD lµ ®êng ph©n gi¸c Chøng minh r»ng: AD2 < AB.AC C©u 1: 4x − 6x3 + 8x T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa x ®Ĩ biĨu thøc A = cã gi¸ trÞ nguyªn 2x − C©u 2: T×m gi¸ trÞ cđa a, b ®Ĩ biĨu thøc B = a2 – 4ab + 5b2 – 2b + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã C©u 3: 3x − 2x + − + =2 x −1 x + x + 2x − x +1 x + x +3 x + x +5 x + + + = + + C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2002 2001 2000 1999 1998 1997 Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 5: Trªn qu·ng ®êng AB dµi 72 km, hai ngêi khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Ĩ ®Õn B VËn tèc cđa ngêi thø nhÊt lµ 12 km/h, vËn tèc cđa ngêi thø hai lµ 15 km/h Hái sau lóc khëi hµnh bao l©u th× ngêi thø nhÊt cßn c¸ch B mét qu·ng ®êng gÊp ®«i qu·ng ®êng tõ ngêi thø hai ®Õn B C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ a Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC 1) TÝnh diƯn tÝch cđa tø gi¸c AMND theo a 2) Ph©n gi¸c cđa gãc CDM c¾t BC t¹i P, chøng minh DM = AM + CP C©u 7: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, D lµ mét ®iĨm n»m gi÷a A vµ C, qua C dùng CE vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BD t¹i E Chøng minh: 1) Tam gi¸c ADE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BDC 2) AB.CE + AE.BC = AC.BE C©u 1: Cho x + y ≠ 0, y ≠ vµ x2 – 2y2 = xy TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = x−y x+y C©u 2: b2 C©u 3: Cho a, b lµ hai sè tho¶ m·n: 2a + + = Chøng minh: ab + ≥ a Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x − 2x − = −m x , víi m lµ tham sè DÊu ®¼ng thøc x¶y nµo? Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang C©u 4: Cho c¸c sè a,b,c ∈ [ 0;1] Chøng minh r»ng: 9 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 7 a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ ®iĨm thc c¹nh BC Chøng minh r»ng: AB2 CD + AC2.BD – AD2 BC = CD.BD.BC (HƯ thøc Stewart) (+) NÕu D lµ trung ®iĨm cđa BC, h·y t×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a trung tun AD vµ c¸c c¹nh cđa tam gi¸c (+) NÕu AD lµ ph©n gi¸c, h·y t×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a ph©n gi¸c AD vµ c¸c c¹nh cđa tam gi¸c C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x2 – 10x + 16 C©u 2: 10x − 7x − T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa x ®Ĩ biĨu thøc A = cã gi¸ trÞ nguyªn 2x − 7 C©u 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: m2x + < m – x C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD Gäi M, N, P, Q lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh AB, BC, CD vµ AD C©u 4: 5x − 4x + (x ≠ 0) x2 4x + 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: C = x +5 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa: B = AB + CD AB + CD 2) Trong trêng hỵp NQ = th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? VÏ ®êng 1) Chøng minh r»ng: NQ ≤ th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E, c¾t MP t¹i O vµ c¾t BC t¹i F Chøng minh O lµ trung ®iĨm cđa EF C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt kú Gäi P lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng AM vµ CD Chøng minh r»ng: 1 = + AB AM AP C©u 1: C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Cho yz xz xy 1 + + = TÝnh + + x y z x y z Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi x3 + 2x2 – x – = GV: Phạm Quang Sang 7 x + x −1 + = x − x − 6x − − x C©u 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 5: Cho a,b,c lµ sè d¬ng Chøng minh: a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M, ®êng th¼ng AM c¾t 7 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC cã c¸c ®êng trung tun AD vµ BE vu«ng gãc víi t¹i O Cho AC = b, BC = a TÝnh diƯn tÝch h×nh vu«ng cã c¹nh lµ AB C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 1) 4x2 – 9y2 + 4x – 6y 2) x2 – x – 2001.2002 C©u 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = C©u 3: Chøng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + ≥ víi mäi gi¸ trÞ cđa x 7 7 1 = + AB AM AP DC t¹i P Chøng minh r»ng: x + 4x + C©u 4: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = víi x = x + 2x − 4x − 2002 C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC 1) T×m ®iỊu kiƯn cđa tø gi¸c ®Ĩ 2EF = AB + CD 2) Gäi M, N, P, Q theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa DF, EB, FA vµ EC Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 7 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hc nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau: A = 3x2 + 2x + 1; B = x – x2 C©u 3: 1) Chøng minh r»ng: (a3 + 11a – 6a2 – 6) chia hÕt cho 6, víi mäi a nguyªn 2) Chøng minh r»ng tỉng c¸c lËp ph¬ng cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho C©u 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 1) x + = x 2) x + = x 1) Cho a > 0, b > Chøng minh: a + b ≥ 12ab + ab 2) Cho a, b, c lµ sè ®o ®é dµi c¸c c¹nh cđa mét tam gi¸c Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 7 Chøng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) ≤ abc C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, vÏ ph©n gi¸c AH Gäi I lµ trung ®iĨm cđa AB, ®êng vu«ng gãc víi AB t¹i I c¾t AH t¹i O Dùng M lµ ®iĨm cho O lµ trung ®iĨm cđa AM 1) Chøng minh tø gi¸c IOMB lµ h×nh thang vu«ng 2) Gäi K lµ trung ®iĨm cđa OM Chøng minh tam gi¸c IKB c©n Chøng minh tø gi¸c AIKC cã tỉng c¸c gãc ®èi b»ng 1800 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC nhän KỴ ba ®êng cao AD, BE vµ CF 1) Chøng minh: Gãc FEA = gãc ABC 2) Chøng minh EB lµ ph©n gi¸c cđa gãc FED 7 7 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − + x − = C©u 5: 1).T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: M = x2 + x + (x − 1)(x − 3) ≤ x + 2x + C©u 3: Chøng minh r»ng: x2 + 4y2 + z2 + 14 ≥ 2x + 12y + 4z, víi mäi x,y,z C©u 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: C©u 4: Cho a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh r»ng: bc ac ab + + ≥a+b+c a b c 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: N = − x − 7 7 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®é dµi c¹nh hun b»ng (®¬n vÞ) Gäi AM, BN vµ CP lµ c¸c trung tun cđa tam gi¸c 1) TÝnh: AM2 + BN2 + CP2 2) Chøng minh: < AM + BN + CP < C©u 7: Cho tam gi¸c ABC Trªn tia ®èi cđa tia BA vµ CA lÊy hai ®iĨm di ®éng M vµ N cho BM = CN Gäi I lµ trung ®iĨm cđa MN Hái ®iĨm I di ®éng trªn ®êng nµo? Bµi 1: a b c b c2 a Cho a, b, c lµ sè h÷u tØ tho¶ m·n: abc = vµ + + = + + a b c b c a Chøng minh r»ng mét ba sè a, b, c lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tØ Bµi 2: Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc: 2x + y2 + = X¸c ®Þnh x, y ®Ĩ tÝch x2 xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 3: Cho a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ a + b + c =2 Chøng minh: 52 ≤ a + b + c2 + 2abc < 27 Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 7 7 7 7 7 7 7 7 Bµi 4: Cho tø gi¸c låi ABCD cã diƯn tÝch lµ 32 (®¬n vÞ), tỉng AB + BD + CD = 16 (®¬n vÞ) TÝnh BD Bµi 5: BiÕt c¸c c¹nh cđa mét tam gi¸c lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ®ã nÕu: 3¢ + Bˆ = 1800 Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = cm, AC = cm Gäi I lµ giao ®iĨm cđa c¸c ®êng ph©n gi¸c trong, M lµ trung ®iĨm cđa BC TÝnh sè ®o gãc BIM Bµi 7: Cho BE vµ CF lµ hai ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ABC Gäi O lµ giao ®iĨm cđa BE vµ CF Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A vµ chØ 2OB.OC = BE.CF Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ 5cm, 6cm, 7cm TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a giao ®iĨm c¸c ®êng ph©n gi¸c vµ träng t©m cđa tam gi¸c Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC, hai ®iĨm M, N theo thø tù di ®éng trªn hai c¹nh AB vµ AC cho BN = CM Gäi I lµ giao ®iĨm cđa BN vµ CM Chøng minh r»ng ®êng ph©n gi¸c cđa gãc BIC lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh Bµi 10: Trªn hai c¹nh gãc vu«ng AC, BC cđa tam gi¸c vu«ng ABC dùng bªn ngoµi tam gi¸c lÇn lỵt c¸c h×nh vu«ng ACKL vµ BCMN Gäi R, P lÇn lỵt lµ giao ®iĨm cđa BL víi AN vµ AC Gäi Q lµ giao ®iĨm cđa BC vµ AN Chøng minh r»ng diƯn tÝch tø gi¸c CPRQ vµ diƯn tÝch tam gi¸c ABR b»ng Bµi 11: Cho tam gi¸c ®Ịu ABC, Gäi O lµ träng t©m cđa tam gi¸c vµ M lµ ®iĨm bÊt kú thc c¹nh BC (M kh«ng trïng víi trung ®iĨm cđa BC) KỴ MP vµ MQ lÇn lỵt vu«ng gãc víi AB vµ AC, c¸c ®êng vu«ng gãc nµy lÇn lỵt c¾t OB, OC t¹i I vµ K 1) Chøng minh r»ng tø gi¸c MIOK lµ h×nh b×nh hµnh 2) Gäi R lµ giao ®iĨm cđa PQ vµ OM Chøng minh R lµ trung ®iĨm cđa PQ Bµi 12: Tø gi¸c ABCD cã trung ®iĨm hai ®¬ng chÐo M, N kh«ng trïng §êng th¼ng MN c¾t AD t¹i P vµ c¾t BC ë Q Chøng minh r»ng: PA.QB = PD.QC Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã gãc ABC = 200 KỴ ph©n gi¸c BI vµ vÏ gãc ACH = 300 vỊ phÝa tam gi¸c TÝnh sè ®o gãc CIH Bµi 14: Gäi AA1, BB1, CC1 lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ABC L lµ giao ®iĨm cđa AA1, vµ B1C1 ; K lµ giao ®iĨm cđa CC1 vµ A1B1 Chøng minh r»ng: BB1 lµ ph©n gi¸c cđa gãc LBK Bµi 15: Bµi 16: Bµi 17: Bµi 18: Bµi 19: Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang 7 7 7 7 7 Bµi 20: Bµi 21: Bµi 22: Bµi 23: Bµi 24: Bµi 25: Bµi 26: Bµi 27: Bµi 28: Bµi 29: Bµi 30: Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi [...]... Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Bài 69: Cho ∆ABC có A=1v AH⊥BC.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E 1 Tính góc DOE 2 Chứng tỏ DE=BD+CE 3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R là bán kính của đường tròn tâm O) 4 C/m:BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính DE E I A D Hình 69 2 1 B 2 4 1 H O 3 C 1/Tính góc DOE: ta... giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp 2.Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K.Tính sđ độ của góc HOK 3.Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp 4.Chứng minh rằng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆HOK A K H S I D P B E M N O Q F C Hình 75 1/Cm ∆ABC là tam giác đều:Vì... là các tam giác vuông ở P và Q.Vì IA=IO(gt)⇒PI là trung tuyến của tam gíac vuông AOP⇒PI=IO.Mà IO=PO(bán kính)⇒PO=IO=PI⇒∆PIO là tam giác đều⇒POI=60o.⇒OAB=30o.Tương tự OAC=30o⇒BAC=60o.Mà ∆ABC cân ở A(Vì đường caoAO cũng là phân giác) có 1 góc bằng 60o ⇒ABC là tam giác đều 2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau) ⇒Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có: POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o⇒HOK=60o... ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45o⇒BFD=45o 2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối 3/C/m EA là phân giác của góc DEF Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(∆ABC vuông cân ở A) ⇒AEB=45o.Mà DEF =90 o⇒FEA=AED=45o⇒EA là phân giác… 4/Nêùu Bx quay xung quanh B : -Ta có BEC=1v;BC cố đònh -Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động trên đường tròn đường kính BC -Giới hạn:Khi Bx≡ BC Thì E≡C;Khi Bx≡AB thì... 69 2 1 B 2 4 1 H O 3 C 1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒Hai tam giác vuông DOB bằng DOA⇒O1=O2.Tương tự O3=O4.⇒O1+O4=O2+O3 Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v⇒ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC =90 o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) và DE=DA+AE ⇒DE=DB+CE 3/Do ∆DE vuông ở O(cmt) và OA⊥DE(t/c tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt)... tiếp⇒BCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2v⇒JIA=ACB.Theo chứng minh trên có ACB=CBA⇒CBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BC⊥OA⇒JI⊥OA Mà OM⊥JI ⇒OM≡ OA⇒M là điểm chính giữa cung BC ÐÏ(&(ÐÏ Trêng THPT Ninh Thạnh Lợi GV: Phạm Quang Sang Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D 1/Chứng minh... cùng nằm trên một đường tròn 2/Chứng minh:COD=AOB 3/Chứng minh:Tam giác COD cân 4/Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH ⊥BK.Gọi I là giao điểm của AH với PK.Chứng minh AI=IH C K A I Q H M O P D Hình 79 B 1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OM⊥CD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta có: Do OMAC nt⇒OCM=OAM(cùng chắn cung OM) Chứng minh tương tự ta có OMDB nt⇒ODM=MBO(cùng chắn cung OM) Hai tam giác ... CM MD phân giác góc góc góc AMB: -Do AB⊥CD trung điểm O AB CD.⇒Cung AD=DB=CB=AC =90 o ⇒sđ AMD= sđcungAD=45o D Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân... Hình 69 B H O C 1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒Hai tam giác vuông DOB DOA⇒O1=O2.Tương tự O3=O4.⇒O1+O4=O2+O3 Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v⇒ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC =90 o... 1/Cm ∆ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt ⇒Các ∆APO; AQO tam giác vuông P Q.Vì IA=IO(gt)⇒PI trung tuyến tam gíac vuông AOP⇒PI=IO.Mà IO=PO(bán kính)⇒PO=IO=PI⇒∆PIO tam giác đều⇒POI=60o.⇒OAB=30o.Tương