SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn thi: TOÁN – Khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) y= Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số x−2 , x +1 (C ) có đồ thị (C ) Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C ) (C ), Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình π (tan x.cot x − 1)sin(4 x + ) = − (sin x + cos x) 2 Giải hệ phương trình 2 x − x( y − 1) + y = y 2 x + xy − y = x − y I =∫ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ x +1 dx x + x −1 ABC A ' B ' C ' ( A ' BC ) có A ' ABC hình chóp tam giác đều, AB = a (C ' B ' BC ) góc mặt phẳng cosϕ = tam ϕ Gọi A '.BCC ' B ', mặt phẳng Tính theo a thể tích khối chóp biết a a, b, c a + b2 + b b2 + c2 + Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương Chứng minh II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình Câu VIa (2,0 điểm) (E) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip hai điểm phân biệt có toạ độ số nguyên x2 y + = Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thoi ABCD A, B, C , D có diện tích dương Tìm toạ độ Câu VIIa (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) 12 2, hai đỉnh B D thuộc đường thẳng z −7 z−2 Viết phương trình đường thẳng d cắt d: z +1 = c2 + a2 ≤ (E) Oxy, đỉnh C thuộc mặt phẳng c z + 2i z −i Tính đỉnh A thuộc trục Oz, x y z +1 = = 1 B có hoành độ (C1 ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C2 ) : ( x + 1) + ( y + 3) = 2 điểm A, B thoả mãn (C1 ) ∆ Viết phương trình đường thẳng AB = tiếp xúc với d: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( P) : x + y − z − = Viết phương trình đường thẳng d ∆ ∆ (C ) cắt x −1 y + z = = 1 hai mặt phẳng thuộc (P), vuông góc với d có khoảng cách x + mx + m x+2 y= Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A,B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Điể m Đáp án (1,0 điểm) Khảo sát… y' = D = ¡ \ {−1} ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D 0,25 Tập xác định Ta có: lim y = lim y = 1; lim − y = +∞, lim + y = −∞ x →−∞ Giới hạn: x→+∞ x→−1 0,25 y = x = −1, Tiệm cận: TCĐ: x→−1 TCN: Bảng biến thiên: y' +∞ + y +∞ 0,25 + −∞ ( −∞; −1),( −1; +∞) Hàm số đồng biến khoảng Hàm số cực trị C’ M B’ A’ C A •O • I B Câu Điể m Đáp án –1 Đồ thị: 0,25 y (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến … x −2 y= ( x − x0 ) + , ( x0 + 1) x0 + x0 O( hoành độ xtiếp điểm) Phương trình tiếp tuyến d có dạng Gọi I giao hai tiệm cận; A B giao d với hai tiệm cận.−2 x −5 I (−1;1), A( −1; ), B(2 x0 + 1;1) x0 + Ta có IA = ; IB = x0 + ⇒ IA.IB = 12 x0 + r= 0,25 0,25 IA.IB IA.IB IA.IB = ≤ = 2 IA + IB + AB IA + IB + IA + IB IA.IB + IA.IB + Bán kính 0,25 IA = IB ⇔ x0 = −1 ± Dấu xảy y = x+2−2 II (2,0 điểm) y = x + + 0,25 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: (1,0 điểm) Giải phương trình sin x ≠ Điều kiện: Phương trình cho tương đương với sinx.cos x − sin x.cos x cos4 x = − (1 − 2sin x.cos x) sin x.cos x ⇔ 0,25 cos4 x sin 2 x = − (1 − ) ⇔ cos x − 7cos 2 x + cos2 x + = −2cos x 2 t = cos2 x, −1 < t < Đặt 0,25 t − 7t + t + = ⇔ t ∈ {1;3 − 14;3 + 14} Ta có phương trình t = − 14 ⇔ x = ± arccos(3 − 14) + k π, k ∈ ¢ chiếu điều kiện ta (1,0 điểm).Giải hệ phương trình …… 2 x − xy + y = y − x 2 x + xy − y = x − y Hệ cho tương đương với y = ⇒ x = Th1: y (2t − t + 1) = y (3 − t ) (1) x 2 t = ⇔ x = ty y y ≠ 0, y (t + t − 3) = y (t − 2) (2) Th2: đặt thay vào hệ: , đối 0,50 0,25 0,25 Câu Điể m Đáp án 3t − 7t − 3t + = ⇔ t ∈{−1;1; } 0,25 Từ (1) (2) ta được: (0;0);(1;1);( −1;1);( ; ) 43 43 0,25 Hệ có bốn nghiệm III Tính tích phân……… (1,0 điểm) I= ∫ ∫ x + 1( x − x − 1)dx = x x + 1dx − 1 2 ∫ I1 = ( x + − 1) x + 1dx = ∫ ( x + 1)( x − 1)dx =I1 − I 0,25 ( x + 1) dx − ( x + 1) dx ∫ 1 t = x − 1, ∫ 2 = ( x + 1) 2 − ( x + 1) = − 15 0,25 1 2t 4t 26 I = ( x + 1) x − 1dx = (t + 2)t.2tdt = ( + ) = 15 ∫ ∫ 0 Đặt 0,50 I= 26 − − 15 15 Vậy IV Tính thể tích khối chóp … (1,0 điểm) Gọi x độ dài cạnh bên, O tâm tam giác ABC, I M trung điểm BC B’C’ A ' O ⊥ ( ABC ); A ' M = AI = a a2 ; A ' I = x − ; IM = x Ta có AI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A ' AIM ), A ' I ⊥ BC suy ϕ = ∠A ' IM , ϕ = 180o − ∠A ' IM ϕ = ∠A ' IM 0,25 ta có: TH1: 8 x − 11a x + 3a = = x2 − + x − .x x − ⇔ ⇔ x = a a2 4 x2 ≥ 3a 0,25 a2 a2 0,25 a3 V A '.BCC ' B ' = 2.V A ' ABC = A ' O.S ∆ ABC = ϕ = 180o − ∠A ' IM , TH1: 0,25 ta có: 8 x − 11a x + 3a = 3a a2 a2 a 2 =x − + x + .x x − ⇔ ⇔ x= a 4 2 x2 ≤ Câu Điể m Đáp án a3 V A '.BCC ' B ' = 2.V A ' ABC = A ' O.S ∆ ABC = 24 V (1,0 điểm) Chứng minh rằng… 1 b c a VT = + + ;x = , y = ,z = , a b c + x2 + y2 + z2 xyz = 0,25 ta có: x = max{x, y, z} ⇒ x ≥ 1; yz ≤ Giả sử Khi đó: 1 ( y − z ) ( yz − 1) 1 + − = ≤0⇒ + ≤ 2 2 2 + y + z + yz (1 + y )(1 + z )(1 + yz ) 1+ y 1+ z + yz VT ≤ 0,25 1 1 2 + 2( + )≤ + ≤ + 1− 2 1+ y 1+ z 1+ x + yz + x 1+ x 1+ x 0,25 Suy ra: t= Đặt 1 ,0 < t ≤ ⇒ VT ≤ 2t + − t = f (t ) 1+ x VI.a (2,0 điểm) − 2t − ≥0 1− t Ta có: f (t ) ≤ f ( ) = 2 (0; ], đồng biến f '(t ) = VT ≤ f (t ) , suy Vậy a = b = c Dấu xảy (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng cắt elip… M ( x; y ) ∈ ( E ), x2 y + = ⇒ y2 ≤ x ∈ ¢ , y ∈ ¢ Gọi với Ta có: y ∈ ¢, y ∈ {0;1; −1} Kết hợp với ta y = 0, y = ±1, x = ± ∉¢ x = ±2 Với ta (loại); với ta M (2;1); M (2; −1); M (−2;1); M (−2; −1) Bốn điểm thuộc (E) có toạ độ nguyên x = 2; x = −2; y = 1; y = −1; x − y = 0; x + y = Có đường thẳng thoả mãn là: (1,0 điểm) Tìm toạ độ A, B, C, D uuu r r A(0;0; a); C (b; c;0) AC = (b; c; −a ), d u = (1;1;2), Gọi Ta có: có vectơ phương toạ độ b c a I ( ; ; ) 2 trung điểm I AC uuu rr AC.u = ⇔ a = b = c = 2, I ∈ d A(0;0;2); C (2;2;0) I (1;1;1) Ta có S= AC.BD = 12 2, Diện tích hình thoi BD = ⇒ IB = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 suy IB = ⇔ t = ⇒ B (3;3;5); D( −1; −1; −3) Khi đó: Tính môđun …… AC = mà B ∈ d ⇒ B(t; t; −1 + 2t ), t > VII.a 0,25 0,25 Câu Điể m Đáp án (1,0 điểm) z − z + = (1) z ≠ Điều kiện 0,25 Từ giả thiết ta có: ∆ = − 20 = −16 = (4i) ; z = − 2i phương trình (1) có nghiệm z = − 2i, Với Với (2,0 điểm) 0,25 z + 2i 1 = = = z −i 1+ i 1+ i 0,25 z + 2i + 4i + 4i 17 = = = z −i − 3i − 3i 10 0,25 ta được: z = + 2i, VI.b z = + 2i ta được: (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… R1 = 5; (C2 ) I1 (1; −2) (C1 ) có tâm bán kính d ( I1 ; ∆) = (1) Ta có: có tâm R2 = bán kính 0,25 AB = R22 − h ⇔ h = (2) h = d ( I ; ∆ ), Gọi I (−1; −3) 0,25 ta có: I1 I ∆ M (0; − ) ∆ I1 I Từ (1) (2) suy song song với qua trung điểm (C1 ) ∆ / / I1 I , ∆ Vì M nằm nên không xảy khả qua M, suy phương 5+m d ( I1 ; ∆ ) = ⇔ = ⇔ m = ∨ m = −10 x − y + m = 0, ∆ trình có dạng đó: (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng thuộc (P) vuông góc với d… uu r uuur uu r uuur uu r u = n , u ∆ ( P) d = (1; −1; −1) ud = (2;1;1); n( P ) = (1; 2; −1), 3 ∆ có vectơ phương uuur r uu r uu n( Q ) = − u∆ , ud = (0;1; −1) 3 ∆ Gọi (Q) mặt phẳng chứa song song với d, ta có: y − z + m = A = (1; −2;0) ∈ d , Phương trình (Q): Chọn ta có: d ( A,(Q )) = ⇔ m = ∨ m = ∆ = ( P) ∩ (Q) m = 0, Với ∆ = ( P) ∩ (Q) m = 4, Với VII.b nên nên ∆ ∆ B = (3;0;0), qua qua phương trình 0,25 0,25 0,25 ∆: x −3 y z = = −1 −1 0,25 ∆: x−7 y z −4 = = −1 −1 0,25 phương trình C = (7;0;4), 0,25 Tìm m để hàm số (1,0 điểm) D = ¡ \ { 2} 0,25 Tập xác định: Hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu đồ thị hàm số không cắt trục hoành phương trình 0 ... ; ; ) 2 trung điểm I AC uuu rr AC.u = ⇔ a = b = c = 2, I ∈ d A(0;0 ;2) ; C (2; 2;0) I (1;1;1) Ta có S= AC.BD = 12 2, Diện tích hình thoi BD = ⇒ IB = 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 suy... IM 0 ,25 ta có: TH1: 8 x − 11a x + 3a = = x2 − + x − .x x − ⇔ ⇔ x = a a2 4 x2 ≥ 3a 0 ,25 a2 a2 0 ,25 a3 V A '.BCC ' B ' = 2. V A ' ABC = A ' O.S ∆ ABC = ϕ = 180o − ∠A ' IM , TH1: 0 ,25 ta... x2 + y2 + z2 xyz = 0 ,25 ta có: x = max{x, y, z} ⇒ x ≥ 1; yz ≤ Giả sử Khi đó: 1 ( y − z ) ( yz − 1) 1 + − = ≤0⇒ + ≤ 2 2 2 + y + z + yz (1 + y )(1 + z )(1 + yz ) 1+ y 1+ z + yz VT ≤ 0 ,25 1 1 2