SKNN TOÁN 8

Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số A Mở đầu I Lý chọn đề tài Năm học 2010 -2011 đợc nhà trờng phân công giảng môn toán lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự ca giáo viên trờng, thông qua kỳ thi chất lợng kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện ca cỏc em hc sinh, thân nhận thấy em học sinh cha có kỹ thành thạo làm dạng tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ lý để giải đợc loại tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm phơng pháp thích hợp cho lời giải toán đợc ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức học giải toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt , sáng tạo kiến thức Nếu nh em học sinh lớp thủ thuật kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc nắm bắt phơng pháp để giải dạng toán kiến thức trình học toán vấn đề khó khăn Để giúp đỡ em học sinh tiếp cận khai thác lời giải toán phân tích đa thức thành nhân tử toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trình giải, nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt môn toán đồng thời phát huy đợc trí tuệ học sinh Qua trình giảng dạy môn Toán mạnh dạn đa sáng kiến giải pháp thực việc Rốn k nng gii bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t nhằm giúp em nắm vững số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, số tập nâng cao, số tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc công cụ đắc lực giải số loại toán Và qua nhằm phát huy trí lực học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học II/ Mục tiêu sáng kiến 1/ Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử , giúp học sinh nắm đợc phơng pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải toán loại nhằm phát tiển lực t duy, lực sáng tạo học sinh Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số 2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo ngời nghiên cứu khoa học c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức phân tích đa thức học sinh thấy đợc tác dụng nhiều kiến thức giải số dạng tập, đồng thời qua phát triển trí tuệ học sinh, kĩ vận dụng kiến thức học kiến thức tiếp theo, t logic toán học, tính sáng tạo III Đối tợng phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp Phạm vi nghiên cứu: Một số phơng pháp, số toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử môn toán lớp IV Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa Đaị số - Sách giáo viên Đại số - Sách tập đại số - Sách toán bồi dỡng học sinh lớp - Các dạng toán đại số - Nõng cao v phỏt trin toỏn _ Tp Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số B.nội dung ChơngI:Các phơng pháp I Phơng pháp đặt nhân tử chung Khi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thờng làm nh sau: - Tìm nhân tử chung - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, nhân tử khác Viết nhân t chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng Khi phân tích phơng pháp ta dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) Vớ d 1: Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: x4 + x3 + 2x2 + x + Gii: x4 + x3 + 2x2 + x + = (x4 + 2x2 + 1) + (x3 + x) = (x2 + 1)2 + x (x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 + x + 1) Vớ d 2: Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: P = x2(y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y) Gii: Cỏch 1: Khai trin cỏc hng t cui ri nhúm cỏc hng t lm xut hin nhõn t chung y z P = x2(y - z)/ + y2z xy2 + xz2 yz2 = x2 (y - z) + yz (y - z) x(y2 z2) = (y - z)(x2 + yz xy - xz) = (y - z)[ x (x - y) z (x - y)] = (y - z)(x y )(x - z) Cỏch 2: Tỏch z x thnh [ (y - z) + (x - y) ], ta cú: Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số P = x2 (y - z) y2 [(y - z) + (x - y)] + z2 (x - y) = (y - z) (x2 y2 ) (x - y)(y2 z2) = ( y - z)(x + y)( x - y) /-/ (x - y)(y + z)(y - z) = (y - z)(x - y)(x + y y - z) = (y z )(x - y)(x z ) II Phơng pháp dùng đẳng thức áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức : Bình phơng tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2 Bình phơng hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2 Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) Lập phơng tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3 Lập phơng hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3 Tổng hai lập phơng : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 ) Hiệu hai lập phơng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13 Giải 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - ).(4x2y4 + 2xy2 + 1) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Giải 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 y + y2 = ( 5x2 + y)2 III phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Khi sử dụng phơng pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử kết hợp hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng dẳng thức xuất nhân tử chung nhóm dùng phơng phap biết để phân tích đa thức thành nhân tử Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y Giải 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2 Giải x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z) IV Phối hợp nhiều phơng pháp Thờng đợc tiến hành theo trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức lại đơn giản dễ nhận xét + Nhóm hạng tử + Dùng đẳng thức Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz yz Giải x2 + 2xy + y2- xz yz = (x2 + 2xy + y2) (xz + yz) = (x+y).(x+y-z) Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy Giải 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)] = 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt I phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Trong số trờng hợp phơng pháp học giải đợc mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng đợc phơng pháp biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Giải Cách : x2- 6x + = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4) Cách : x2- 6x + = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4) Cách : x2- 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách : x2- 6x + = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4) Có nhiều cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử khảc có cách thông dụng : Cách : Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 Giải 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Hoặc =9x2-6x+1 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Nh tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau : - Tìm tích a.c - Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 + Tích a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12 Từ ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Ví dụ : Khi phân tích đa thức x x -6 thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b=-1 < (để tổng hai thừa số -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 Từ ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, không bình phơng số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách hai II Phơng pháp thêm bớt hạng tử Khi đa thức cho mà hạng tử đa thức không chứa thừa số chung, dạng đẳng thức nh nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng đợc phơng pháp phân tích biết Thờm v bt cựng mt hng t lm xut hin hiu ca hai bỡnh phng Ví dụ : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2) 4x2= (x2+2)2 (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) Thờm v bt cựng mt hng t lm xut hin nhõn t chung Vớ d 7: Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x5 + x Gii: Cỏch 1: x5 + x = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x = x3 (x2 x + 1) + x2 (x2 x + 1) (x2 x + 1) = ( x2 x + 1) (x3 + x2 - 1) Cỏch 2: Thờm v bt x2: x5 + x = x5 + x2 x2 + x = x2 (x3 + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1) [ x2 (x + ) ] = (x2 x + 1) (x3 + x2 - 1) III Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy đặt x2 + x = y có đa thức đơn giản y2 + 4y -12 tam thức bậc hai biến y Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2) =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ] Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số =(x2 + x+6)(x+2)(x-1) *Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = = 1.6 =2.3 hai thừa số có tổng - cách phần I) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- thành nhân tử Giải Đặt (x2+ 3x + 1) = y Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- =y(y + ) - = y2 + y - = y2 + 3y - 2y - = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + +3)( x2+ 3x + -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1) IV Phơng pháp tìm nghiệm đa thức ( phơng pháp hạ bậc đa thức ) Tổng quát : cho đa thức f(x); a nghiệm f(x) f(a) = nh f(x) chứa nhân tử x - a a phải nghiệm đa thức Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử x-1 Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức chứa nhân tử x + Ví dụ : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân Nếu đa thức có nghiệm a nhân tử lại có dạng x2 + bx +c Suy ra: a.c = -4, tức a phải ớc -4 ( 1; 2; 4) Kiểm tra thấy nghiện đa thức Nh đa thức chứa nhân tử x Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1) =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số ví dụ ta nhận thấy tổng hệ số đa thức 1+3-4 = nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x - thành nhân tử Các ớc -3 : ; mà 1; không nghiệm đa thức Nh đa thức nghiệm nguyên Nhng đa thức có nghiệm hữu tỉ p *Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q với p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao Nh đa thức nghiệm hữu tỉ có : -1 ; - ;-3;2 Kiểm tra thấy x= x- nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tử hay 2x-1 Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1 Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x - =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3) V Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+ m) = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Đồng đa thức với đa thức cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc: 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Suy : a.c = ; ad+bc = -5 ; am+bd = ; b.m = -3 Có thể giả thiết a>0 (vì a b Xét b = - m = => d = - thoả mãn điều kiện => a = ; b = - ; c = ;d = - ; m = Vậy 2x3- 5x2+ 8x - = (2x-1)(x2-2x+3) VI Phơng pháp xét giá trị riêng Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a b P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b vai trò a,b,c nh đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp biến số nên thơng số k ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức cho ta biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2) = -2k => k=-1 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a) Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a -b Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò a,b,c nh đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc tập hợp biến đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp biến số nên thơng số k (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Cho biến nhận giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) 18 = k => k=3 11 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trò biến nh đa thức ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh Chơng III phát huy trí lực học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử I Bài toán chứng minh chia hết Ví dụ : Chứng minh : x3 - x chia hết cho3 với số nguyên x Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1) Vì x nguyên nên x+1,x-1 số nguyên Do đó: P = (x+1) x (x-1) tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Vậy P x Z Ví dụ : Chứng minh : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với số nguyên x Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x = x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4) =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) M Là tích số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5 Vì M M nên M ( BCNN 2và 4) Vậy M 8.3.5 =120 ( 3;8;5nguyên tố đôi ) Ví dụ : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải toán phân tích đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau tiếp tục sử dụng kiến thức tính chia hết suy điều phải chứng minh 12 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Khi chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh ậ ví dụ ta chứng minh cách thực phép chia, số d dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d ) Hoặc chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Nhng cách làm dài, đơn điệu phức tạp so với cách làm ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích biểu thức cho chia hết cho nhân tử cho tích làm cho phép giải toán nhanh lời giải thông minh II Bài toán chứng minh biểu thức dơng, âm, không âm Bài toán kích thích t học sinh phải tìm đờng lối giải giải phải nắm đợc kiến thức: - Biểu thức dơng ( lớn ) tử thức mẫu thức dấu - Biểu thức không âm ( lớn ) biểu thức cho luỹ thừa bậc chẵn biểu thức khác - Bên cạnh cần ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dơng âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu dấu nguyên Ví dụ : Cho biểu thức P = 4x - 12x + Chứng minh P không âm với x Giải : Ta có P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 Vậy P với x Hay biểu thức P không âm với x Ví dụ : Chứng minh biểu thức M = x4 x3 x + x + x + 3x + x + không âm với x Giải Ta có : M = x4 x3 x + x ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1) = = x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + ( x 1) ( x + x + 1) ( x 1) = = ( x + 2)( x + x + 1) ( x + 2) Vì x2 +x +1 = x2 +x + 3 + =(x+ )2 + >0 x 4 Mặt khác (x-1)2 x x2 +2 > x 13 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Vậy M x Hay M không âm x Với toán em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em đợc rèn luyện phát triển với kỹ giải toán khác III Bài toán rút gọn tính số trị biểu thức Đây toán áp dụng gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đờng lối giải vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau rút gọn thành nhân tử chung rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh sử dụng số tính chất toán học khác để giải Sự kết hợp có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp em thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh t logickhoa học em Ví dụ : Cho P = 5x + x + 8x + a/ Rút gọn P Giải P = 5( x 1) 5( x 1) 5x + 5 = = = x + x + ( x + x ) + (7 x + 7) x( x + 1) + 7( x + 1) x + ( với x -1; x -7) b/ Tính giá trị P với x=2001 Giải IV P= 5 = = x + 2001 + 2008 Bài toán chứng minh đẳng thức Loại toán đờng lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế nhng có ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán toán rút gọn biểu thức Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : Giải Biến đổi VT ta có : VT = 5x + 5 = x + 8x + x + 5( x + 1) 5x + 5 = = =VP x + x + ( x + 1)( x + 7) x + Vậy đẳng thức đợc chứng minh 14 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số x3 + 2x Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau = x (1 x)( x x + 4) Giải x3 + ( x + 2)( x x + 4) x + Biến đổi VP ta có : VP = = = (1 x)( x x + 4) (1 x)( x x + 4) x Biến đổi VT ta có : VT = x ( x + 2) x + = = x x 1 x VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh Với học sinh em thích thú với dạng tập em cho dạng toán cho sẵn kết V Bài toán tìm giá trị biến số để biểu thức có giá trị nguyên Để giải toán đờng lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản ( Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ớc tử thức Từ ta tìm đợc giá trị biến Ví dụ : Cho P = Giải: 5x + x + 8x + Theo VD1 IV -3 ta có: P= Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên 5x + 5 = x + 8x + x + P đạt giá trị nguyên x+7 ớc ( 1; 5) Do x+7 =-1 x=-8 x+7 = x=-6 x+7 =-5 x=-12 x+7 = x=-2 Vậy biến số nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyên 15 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số C kết đạt đợc: áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trờng THCS Phỳ Yờn năm học 2010 2011 thu đợc kết khả quan Kết học tập học sinh đợc nâng lên qua học, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Một số em học sinh biết sử dụng phơng pháp phân tích thông thờng cách thành thạo, số em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phơng pháp phân tích đợc nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phơng pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng toán khó kiến thức nh việc hình thành số thủ thuật trình học tập giải toán học môn toán D Kết luận Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hớng phơng pháp làm cha có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ giáo viên thân nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để từ đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều toán hay để hớng dẫn học sinh làm, tung cho học sinh làm, phát cách giải 16 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số khác nh cách giải hay, tính tự giác học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải: Một vài phơng pháp phân tích đa thức có hữu hiệu giúp học sinh trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức mà viết có lẽ nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ cho việc giảng dạy học sinh Phỳ Yờn , ngày tháng năm 2011 Ngời thực LNG TH DUNG 17 [...]... phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, tung ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải 16 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra... + 7 20 08 Bài toán chứng minh đẳng thức Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : Giải Biến đổi VT ta có : VT = 5x + 5 5 = x + 8x + 7... x + 8x + 7 2 Theo VD1 ở IV -3 ta có: P= Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên 5x + 5 5 = x + 8x + 7 x + 7 2 P đạt giá trị nguyên x+7 là ớc của 5 ( 1; 5) Do đó x+7 =-1 x= -8 x+7 = 1 x=-6 x+7 =-5 x=-12 x+7 = 5 x=-2 Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12; -8; -6;-2} thì P đạt giá trị nguyên 15 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 C... x 13 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Vậy M 0 x Hay M không âm x Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khác III Bài toán rút gọn và tính số trị của biểu thức Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối... tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5 Vì M 2 và M 4 nên M 8 ( 8 là BCNN của 2và 4) Vậy M 8. 3.5 =120 ( vì 3 ;8; 5nguyên tố cùng nhau từng đôi một ) Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử (... Biến đổi VT ta có : VT = 5x + 5 5 = x + 8x + 7 x + 7 2 5( x + 1) 5x + 5 5 = = =VP 2 x + 8 x + 7 ( x + 1)( x + 7) x + 7 Vậy đẳng thức đợc chứng minh 14 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 x3 + 8 2x Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau = x 1 (1 x)( x 2 2 x + 4) Giải x3 + 8 ( x + 2)( x 2 2 x + 4) x + 2 Biến đổi VP ta có : VP = = = (1 x)( x 2 2 x + 4) (1... chứng minh Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là dạng toán đã cho sẵn kết quả V Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở dạng đơn giản hơn ( Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức đơn giản hơn ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử của... k(0+1)(1+2)(2+0) 18 = 6 k => k=3 11 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong đa thức thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên Chơng III phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử I Bài toán chứng minh sự... nghiệm Bên cạnh đó các phơng pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán D Kết luận Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bài khi... nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, ... nhân tử Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y Giải 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) =... tổng b Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh môn Đại số Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x -8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 + Tích a.c =9.( -8) =-72 + Phân tích... nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) Thờm v bt