Phòng Giáo dục & Đào tạo Huyện Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử a/ x 3 - x 2 - 2x + 2. b/ (x - a)b 3 - (x-b)a 3 + (a- b)x 3 . Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình: a/ 2 2 2 2 4 1 4 2 2 x x x x x x − − = − + − b/ 67 88 33 11 12 89 33 12 67 89 88 11 x x x x x x− − − − − − + + = + + Bài 3: ( 2 điểm) a/ Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương. b/ Cho các số dương x, y thoả mãn x 3 +y 3 = x-y. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 < 1 Bài 4: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 1 3 BC. Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho CN = 1 2 BC. AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K. Chứng minh: KM ⊥ AC. Bài 5: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trung tuyến AM, phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm M vẽ tia Ax sao cho AD là tia phân giác của · xAM . Ax cắt BC tại N. Chứng minh rằng : 2 2 NB AB NC AC = . **************Hết************** Hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 Năm học 2008 - 2009 Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử a/ x 3 - x 2 - 2x + 2 = x 2 (x-1) - 2(x-1) 0.25đ = (x-1)(x 2 -2) 0.25đ = (x-1)(x- 2 )(x+ 2 ) 0.25đ b/ (x - a)b 3 - (x-b)a 3 + (a- b)x 3 = (x - a)b 3 -xa 3 + ba 3 + ax 3 - bx 3 0.25đ = (x - a)b 3 +ax(x 2 -a 2 ) - b(x 3 -a 3 ) 0.25đ = (x-a)(b 3 + ax 2 + a 2 x - bx 2 -abx - a 2 b) 0.25đ = (x-a)(x-b)(a 2 +ax-b 2 -bx) 0.25đ = (x-a)(x-b)(a-b)(a+b+x) 0.25đ Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình: a/ 2 2 2 2 4 1 4 2 2 x x x x x x − − = − + − ĐKXĐ: x ≠ ± 2; x ≠ 0. 0.25đ Quy đồng mẫu, khử mẫu được: 2x - (x-4)(2-x) = x+2 0.25đ ⇔ (x-2)(x-3) = 0 0.25đ ⇔ 2( «ng tho¶ m·n §KX§) 3( ¶ m·n §KX§) x Kh x Tho = = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. 0.25đ b/ 67 88 33 11 12 89 33 12 67 89 88 11 x x x x x x− − − − − − + + = + + ⇔ 100 100 100 100 100 100 33 12 67 89 88 11 x x x x x x− − − − − − + + = + + 0.25đ ⇔ 1 1 1 1 1 1 ( 100) 33 12 67 89 88 11 x − + − − − + ÷ = 0 0.25đ ⇔ x – 100 = 0 0.25đ ⇔ x = 100 Vậy phương trình có một nghiệm là x = 100. 0.25đ Bài 3: ( 2 điểm) a/ Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là a, a+1, a+2, a +3 (a ∈ N*). 0.25đ Tích của chúng là P = a(a+1)(a+2)(a+3) = (a 2 +3a)(a 2 +3a+2) 0.25đ P = (a 2 +3a) 2 +2(a 2 +3a) >(a 2 +3a) 2 (Do a là số nguyên dương). 0.25đ P = (a 2 +3a+1) 2 - 1 <(a 2 +3a+1) 2 . Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.0.25đ b/ Do x, y dương nên có x-y = x 3 +y 3 > x 3 -y 3 đo đó x - y > (x-y)(x 2 +xy+y 2 ) 0.25đ ⇔ (x-y)(x 2 +xy+y 2 -1) < 0 . 0.25đ Do x, y dương nên x-y = x 3 +y 3 > 0 suy ra x 2 +xy+y 2 < 1 0.25đ ⇒ x 2 + y 2 < 1 ( do xy > 0) 0.25đ Bài 5: ( 2 điểm) K I P A B D C M N Bài 4: ( 2 điểm) Kẻ NH, MK lần lượt vuông góc với AB và AC ( H thuộc AB, K thuộc AC) Dễ thấy các tam giác ANH và AMK đồng dạng nên có AM MK AN NH = . 0.25đ Lại có . . AMC ANB S CM MK AC BN S NH AB = = 0.5đ ⇒ . . CM AM AC BN AN AB = 0.25đ Tương tự có . . CN AN AC BM AM AB = 0.5đ ⇒ 2 2 . CM CN AC BN BM AB = 0.25đ Mà BM = CM nên 2 2 NB AB NC AC = 0.25đ **************Hết************** . Phòng Giáo dục & Đào tạo Huyện Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. **************Hết************** Hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 Năm học 2008 - 2009 Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử a/ x