Nội suy padic của zetahàm riemann

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giá trị tuyệt đối 1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ Q 1.3 Trường số hữu tỷ p-adic Qp 10 1.4 Trường số phức p-adic Cp 13 CHƯƠNG NỘI SUY P-ADIC CỦA ZETA-HÀM RIEMANN 15 2.1 Công thức tính ζ(2k) 15 2.2 Nội suy p-adic hàm f (2k) = as 21 2.3 Phân phối p-adic 25 2.4 Phân phối Bernoulli 27 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Bài toán nội suy hàm p-adic quan tâm từ lâu có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác giải tích hàm lý thuyết hàm p-adic Tuy nhiên, trước năm 1979 kết tập trung chủ yếu vào việc nội suy hàm giới nội Năm 1979, công trình Hà Huy Khoái lần đưa lý thuyết tổng quát cho việc nội suy hàm không thiết giới nội Lý thuyết có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu L-hàm p-adic kết hợp với việc nghiên cứu đường cong elliptic dạng modular Về sau công trình Hà Huy Khoái Mỵ Vinh Quang, lý thuyết nội suy p-adic sử dụng để xây dựng tương tự p-adic lý thuyết Nevanlinna Do phát triển lý thuyết này, đòi hỏi tự nhiên phải xây dựng trường hợp nhiều chiều lý thuyết Nevanlinna p-adic Để làm sở cho vấn đề đó, cần thiết phải phát triển lý thuyết nội suy lên trường hợp hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến Với lý đó, chọn đề tài Nội suy p-adic zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function) Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống khái niệm, kết zeta-hàm Riemann tìm hiểu phép nội suy zeta-hàm Riemann trường hợp riêng Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Các kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số khái niệm, kết trường định giá, phương pháp xây dựng trường số phức p-adic Chương Nội suy p-adic zeta-hàm Riemann Nội dung chương bước đầu tìm hiểu số khái niệm, tính chất zeta-hàm Riemann, đồng thời trình bày chứng minh chi tiết số tính chất zeta-hàm Riemann, hệ số Bernoulli trình bày phép nội suy p-adic zeta-hàm Riemann trường hợp riêng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học TS Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy giáo, Cô giáo tổ Đại số - Lý thuyết số Khoa Toán Trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy giáo, Cô giáo Phòng Sau đại học - Trường Đại học Vinh, tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn này./ Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến góp ý Thầy giáo, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn ! Nghệ An, tháng 06 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trước hết giới thiệu số khái niệm, kết trường định giá, phương pháp xây dựng trường số p-adic 1.1 Giá trị tuyệt đối 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối υ K hàm số từ K vào R (ký hiệu υ(x) = |x|υ , ∀x ∈ K), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: (i) |x|υ ≥ 0, với x ∈ K |x|υ = x = (ii) |xy|υ = |x|υ |y|υ , với x, y ∈ K (iii) |x + y|υ ≤ |x|υ + |y|υ , với x, y ∈ K Một hàm giá trị tuyệt đối υ K thỏa mãn điều kiện: |x + y|υ ≤ max {|x|υ , |y|υ } , ∀x, y ∈ K, gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Acsimét 1.1.2 Chú ý (i) Khi làm việc với giá trị tuyệt đối, ta viết |x| thay cho |x|υ nói | · | giá trị tuyệt đối trường K (ii) Giá trị tuyệt đối trường K xác định tôpô, (K, υ) gồm trường K giá trị tuyệt đối υ K gọi trường định giá 1.1.3 Nhận xét Với trường K tùy ý, có giá trị tuyệt đối tầm thường x = |x| = x = 1.1.4 Định lý ([2]) Giả sử | · |υ1 = | · |1 , | · |υ2 = | · |2 , hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trường K Chúng phụ thuộc lẫn (hay tương đương) từ hệ thức |x|1 < suy |x|2 < Nếu chúng phụ thuộc tồn số thực λ > cho |x|1 = |x|λ2 với x ∈ K 1.1.5 Định lý ([2]) Giả sử (K, | · |) trường định giá với đơn vị e, điều kiện sau tương đương (i) | · | phi Acsimét (ii) {x ∈ K : |x| < 1} ∩ {x ∈ K : |e − x| < 1} = ∅ (iii) Tập số tự nhiên N bị chặn (iv) |2| ≤ 1.1.6 Định lý ([2]) Giả sử K trường | · |1 , | · |2 , · · · , | · |s , giá trị tuyệt đối không tầm thường, đôi độc lập (hay không tương đương) K Nếu x1 , x2 , · · · , xs phần tử thuộc K, với ε > 0, tồn phần tử x ∈ K cho: |x − xi |i < ε, với i = 1, 2, · · · , s 1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ Q 1.2.1 Định nghĩa Với p số nguyên tố, a số nguyên khác Khi bậc a theo p (chỉ số lũy thừa a theo p), ký hiệu ordp a số nguyên m lớn cho a ≡ (modpm ) Quy ước: ordp (0) = ∞ Nhận xét Nếu x số hữu tỷ, a x = pα , a, b ∈ Z, b = 0, p a, p b b ordp x = α 1.2.2 Mệnh đề Giả sử x, y ∈ Q, p số nguyên tố Khi (i) ordp (xy) = ordp x + ordp y x = ordp x − ordp y, y = (ii) ordp y (iii) ordp (x + y) ≥ {ordp x, ordp y} Chứng minh a1 a2 , y = pα2 , với a1 , b1 , a2 , b2 số nguyên không b1 b2 chia hết cho p Suy ordp x = α1 , ordp y = α2 p a1 a2 , p b1 b2 , Giả sử x = pα1 p a1 b2 , p a2 b1 (i) Ta có xy = p(α1 +α2 ) a1 a2 , suy b1 b2 ordp (xy) = α1 + α2 = ordp x + ordp y (ii) Ta có x a1 b = p(α1 −α2 ) , suy y a2 b ordp x y = α1 − α2 = ordp x − ordp y (iii) Đặt α = {ordp x, ordp y} Khi x + y = pα pα1 −α a1 b2 + pα2 −α a2 b1 b1 b2 Từ đẳng thức suy ✷ ordp (x + y) ≥ {ordp x, ordp y} 1.2.3 Mệnh đề Ánh xạ |.|p : Q −→ R+ |x| −→ |x|p = giá trị tuyệt đối phi Acsimét Q p -ordp (x) x = x = Chứng minh Với x, y ∈ Q, ta có - Nếu x = suy |x|p = - Nếu x = suy |x|p = p−ordp x > - Nếu xy = |xy|p = |x|p |y|p = - Nếu xy = 0, suy |xy|p = p−ordp (xy) = p−(ordp x+ordp y) = p−ordp x · p−ordp y = |x|p · |y|p a c Vì x, y ∈ Q, suy x = , y = Khi b d ad + bc ordp (x + y) = ordp = ordp (ad + bc) − ordp (bd) bd ≥ {ordp (ad), ordp (bc)} − ordp (bd) = {ordp (ad) − ordp (bd), ordp (bc) − ordp (bd)} = {ordp a − ordp b, ordp c − ordp d} = {ordp x, ordp y} Khi với x, y cho x = 0, y = 0, x + y = 0, ta có: |x + y|p = p -ordp (x+y) ≤ pmax{ -ordp x, -ordp y} = max {|x|p , |y|p }} ✷ Ta gọi | · |p giá trị tuyệt đối p-adic 1.2.4 Nhận xét Với x, y, z ∈ Z |x − y|p < |y − z|p |z − x|p = |y − z|p 1.2.5 Định lý (Ostrowski Theorem) Mọi giá trị tuyệt đối khác tầm thường Q tương đương với giá trị tuyệt đối |.|p p số nguyên tố giá trị tuyệt đối thông thường |.|∞ Q Chứng minh Giả sử |.| giá trị tùy ý Q, khác tầm thường Khi tồn x ∈ Q : |x| > ∪ |x| ≤ Xét hai khả xảy Khả Tồn số nguyên dương n mà |n| > Gọi n0 số nguyên dương bé cho |n0 | > (n0 tồn tập số tự nhiên N tập thứ tự tốt) Suy ra, tìm α ∈ R thỏa mãn |n0 | = nα0 Ta viết số tự nhiên n hệ đếm số n0 n = a0 + a1 n0 + a2 n20 + · · · + as ns0 , ≤ aj < n0 , as = Khi |n| ≤ |a0 | + |a1 ||n0 | + · · · + |as ||n0 |s ≤ + nα0 + · · · + nsα s α s ≤ ≤ nsα c ≤ n c (do n0 ≤ n) α n0 Trong bất đẳng thức trên, thay n nN nhận nsα |n|N ≤ cnN α Hay |n| ≤ Vì c > nên lim N →∞ √ N √ N c.nN α = √ N c.nα c=1 Bởi |n| ≤ nα (1) Mặt khác, theo cách biểu diễn n hệ đếm số n0 , ta có: ns+1 > n > ns0 Vì s+1 |ns+1 − n + n| ≤ |ns+1 − n| + |n| | = |n0 Từ s+1 − n| |n| ≥ |ns+1 | − |n0 α(s+1) ≥ n0 −n − ns+1 α α (do (1): ns+1 − n ≤ ns+1 −n ) 0 ≥ α(s+1) n0 α(s+1) ≥ n0 1− 1− n0 α c Trong bất đẳng thức cách thay n nN cho N → ∞, ta có |n| ≥ nα (2) Từ (1) (2) suy |n| = nα Trong trường hợp theo Định lý 1.1.4 suy |.| tương đương với |.|∞ Khả Giả sử |n| ≤ 1, với n ∈ N Ta tìm số tự nhiên bé n0 mà |n0 | < Rõ ràng n0 = p số nguyên tố (vì n0 hợp số, suy n0 = p1 p2 , với p1 , p2 số tự nhiên lớn p1 < n0 , p2 < n0 , |n0 | = |p1 ||p2 | < 1, suy {|p1 |, |p2 |} < điều mâu thuẫn với cách chọn n0 ) Đặt ρ = |p|, < ρ < Nếu q số nguyên tố, q = p giả sử |q| < suy tồn m, n số tự nhiên cho 1 |q m | < , |pn | < 2 Vì (p, q) = nên tồn u, v ∈ Z thỏa mãn upn + vq m = Bởi 10 = |upn + vq m | ≤ |u| |pn | + |v| |q m | ≤ |pn | + |q m | 1 < + = Điều vô lý 2 Vậy q số nguyên tố khác p |q| = Giả sử a số nguyên bất kỳ, a = a = ±pα1 pα2 · · · pαk k dạng phân tích tắc a Ta có ραi pi = p, ∀i = 1, 2, |a| = pi = p a Giả sử x ∈ Q, x = x = , a, b ∈ Z Khi b x = ±x = pk11 pk22 · · · pkmm suy  |x| =  pi = p, ∀i = 1, 2, x ρki = ρordp pi = p Do < ρ < suy tồn λ > cho ρ = p−λ Nên suy  |x| =  pi = p, ∀i = 1, 2, p-ordx λ pi = p Do với x ∈ Q |x| = (|x|p )λ Vậy khả giá trị tuyệt đối khác tầm thường Q tương đương với giá trị tuyệt đối p-adic | · |p 1.3 Trường số hữu tỷ p-adic Qp 1.3.1 Dãy Cauchy (Dãy bản) Giả sử p số nguyên tố cố định, dãy số hữu tỷ {xn } gọi dãy Cauchy theo giá trị tuyệt p-adic |.|p với ε > tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho với m, n ≥ n0 , ta có |xm − xn |p < ε 16 B2k+1 = 0, ∀k ≥ 1, Bk xác định định nghĩa 2.1.2 Chứng minh x x + x , trước hết ta chứng tỏ hàm số f (x) e −1 hàm số chẵn tập số thực R Thật Ta xét hàm số f (x) = ∀x ∈ R, suy −x x − −x e −1 x xex =− + − ex x x(ex − 1) + x =− − ex − x x = f (x) = + x e −1 Từ Định nghĩa 2.1.2 ta có f (−x) = ∞ x xk x x Bk + x = + e −1 k=0 k! ∞ xk x Bk ⇒ g(x) = f (x), ∀x ∈ R, suy g(x) hàm Đặt g(x) = + k=0 k! số chẵn Vì g(x) − g(−x) ≡ hay ∞ xk − (−1) Bk ≡ 0, ∀x ∈ R k! k x+ k=0 ∞ x2k+1 ⇔ (1 + 2B1 )x + B2k+1 ≡ 0, ∀x ∈ R (2k + 1)! k=1 Từ đồng thức cuối suy Mệnh đề 2.1.4 chứng minh 2.1.5 Định lý 22k−1 B2k ζ(2k) = (−1) π − (2k − 1)! 2k k 2k Chứng minh 17 Theo Bổ đề 2.1.3, ta có ∞ πx n=1 x2 1+ n = sinh(πx) (1) Lấy logarit tự nhiên hai vế (1), vế phải, ta có: eπx − e−πx +) lnsinh(πx) = ln eπx = ln − e−2πx = ln eπx − ln + ln − e−2πx = πx − ln + ln − e−2πx Trong vế trái (1) (với < x < 1), ta có ∞ +) ln πx n=1 x2 1+ n ∞ = ln(πx) + ln 1+ n=1 ∞ (∗) x2 n2 x2 = ln π + ln x + ln + n n=1 ∞ ∞ k+1 = ln π + ln x + (−1) n=1 k=1 ∞ = ln π + ln x + k+1 x (−1) 2k ∞ k k=1 ∞ n=1 n2k 2k x ζ(2k) k (∗∗) x2k ζ(2k) k (2) (−1)k+1 = ln π + ln x + x2k kn2k k=1 Từ (*) (**), suy πx − ln + ln − e−2πx = ln π + ln x + ∞ (−1)k+1 k=1 Đạo hàm hai vế theo x đẳng thức (2) Trong vế phải đẳng thức (2), ta lấy đạo hàm số hạng tính hội tụ chuỗi miền < x < − ε, ∀ε > Do ∞ − e−2πx π+ = +2 (−1)k+1 x2k−1 ζ(2k)k −2πx 1−e x k=1 18 ∞ 2πe−2πx (−1)k+1 x2k−1 ζ(2k) π+ = +2 −2πx 1−e x k=1 Nhân hai vế đẳng thức với x, ta ∞ 2πxe−2πx πx + (−1)k+1 x2k ζ(2k) =1+2 −2πx 1−e k=1 ∞ 2πx πx + 2πx =1+2 (−1)k+1 x2k ζ(2k) e −1 k=1 Thay x cho x, ∞ 2k πx πx k+1 x + πx =1+ ζ(2k) (−1) 2k−1 e −1 k=1 (3) Theo Định nghĩa 2.1.2, ta suy ra: πx = eπx − ∞ πx (πx)2 (πx)k 1+ + + + + 2! 3! (k + 1)! (πx)k = Bk k! k=0 Thay vào (3), ∞ ∞ 2k (πx)k πx k+1 x + =1+ ζ(2k) Bk (−1) 2k−1 k! k=0 k=1 ∞ ∞ (πx)2k x2k ⇔ B0 + πx + B1 + B2k = 1+ (−1)k+1 2k−1 ζ(2k) (4) (2k)! k=1 k=1 B2k+1 = 0, ∀k ≥ (Mệnh đề 2.1.4) Vì B0 = 1, B1 = − nên từ (4) suy ra: ∞ B2k (−1)k+1 π − 2k−1 ζ(2k) x2k ≡ 0, ∀x ∈ R (2k)! 2k k=1 Do B2k (−1)k+1 π = 2k−1 ζ(2k) (2k)! 2k 19 Hay 22k−1 B2k ζ(2k) = (−1) π − (2k − 1)! 2k ✷ k 2k 2.1.6 Mệnh đề ζ(s) = pi , với s > 1, pi số nguyên tố, i=1,2,3, − p−s i Chứng minh Theo định nghĩa zeta-hàm Riemann, ∞ ns ζ(s) = n=1 Giả sử p1 số nguyên tố, ∞ ζ(s) = n=1,p1 |n ∞ = n=1,p1 |n ∞ = n=1,p1 |n ∞ = = ps1 + ns + ns n=1,p1 n n=1,p1 n ns n=1,p1 n ∞ n=1,p1 n ∞ ∞ ns n=1,p1 n ∞ 1 + · ps1 ns ζ(s) + ps1 ζ(s) = − p−s n=1,p1 n ∞ + ps1 ns n=1,p1 |n Suy ∞ ns ns ns ns Hay ζ(s) = ∗ −s ζ (s) − p1 (1) Trong ∞ s n=1,p1 n n Giả sử p1 = p2 , p2 | n, p2 số nguyên tố, phương pháp tương tự, ζ ∗ (s) = 20 ta ζ (s) = − p−s ∞ ∗ n=1,p1 n,p2 n ns (2) Từ (1), (2) lập luận tương tự ta ζ(s) = −s − p i p ✷ i 2.1.7 Mệnh đề ζ(2s) = ζ(s) p 1 + p−s Chứng minh Từ Định lý 2.1.5, suy ζ(2s) = p = p = p 1 − p−2s 1 − p2(−s) (1 − p−s ) (1 + p−s ) Do ζ(2s) = ζ(s) p 1 + p−s 2.1.8 Định nghĩa ∞ xs−1 e−x dx Hàm số Gamma hàm số xác định sau Γ(s) = 2.1.9 Mệnh đề ([5]) ∞ xs−1 e−x dx có tính chất sau Hàm số Gamma Γ(s) = (i) Γ(1) = (ii) Γ(s + 1) = sΓ(x), ∀s > (iii) Γ(k + 1) = k!, ∀k = 1, 2, 3, 2.1.10 Nhận xét Từ Định nghĩa Hàm số Gamma suy Γ(k) = (k − 1)!, với 21 số nguyên dương k 2.1.11 Mệnh đề ([5]) Với số thực s > 1, ta có ζ(1 − s) = 2cos (πs/2) Γ(s) ζ(s) (2π)s 2.1.12 Mệnh đề B2k , 2k Trong k số nguyên dương tùy ý ζ(1 − 2k) = − Chứng minh Từ Định lý 2.1.5, ta có 22k−1 B2k ζ(2k) = (−1) π − , (2k − 1)! 2k sử dụng Mệnh đề 2.1.11 (khi s = 2k), nhận được: k 2k 2cos (πk) Γ(2k) ζ(2k) (2π)2k 2cos (πk) Γ(2k) = ζ(2k) (2π)2k 2k−1 2.(−1)k (2k − 1)! k 2k = (−1) π (2π)2k (2k − 1)! B2k =− ✷ 2k ζ(1 − 2k) = 2.2 Nội suy p-adic hàm f (s) = as Trước hết, a số thực dương không đổi, hàm f (s) = as hàm số liên tục tập hợp số hữu tỷ s Ta "nội suy" hay "mở rộng tính liên tục" theo giá trị tuyệt đối thông thường đến hàm số liên tục tập số thực, số thực giới hạn dãy số hữu tỷ (nói cách khác tập số hữu tỷ trù mật tập số thực) Giả sử a = n số nguyên dương cố định Xem n 22 phần tử Qp Với số nguyên s, số nguyên ns thuộc Zp Vì tập hợp số nguyên không âm trù mật Zp , tương tự Q trù mật R Nói cách khác, số nguyên p-adic giới hạn dãy số nguyên không âm Do vậy, câu hỏi tự nhiên đặt "nội suy p-adic" hay mở rộng hàm f (s) = ns thành hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic vành số nguyên p-adic hay không? Mệnh đề sau câu trả lời 2.2.1 Mệnh đề Hàm số f (s) = ns nội suy p-adic đến hàm liên tục vành số nguyên p-adic Zp , s số nguyên n số nguyên dương không chia hết cho số nguyên tố p n > p Chứng minh Trước hết nhắc lại rằng: - Tập giá trị tuyệt đối Qp {0, pn , n ∈ Z} Vì hàm f (x) gọi liên tục điểm x0 ∈ Qp với ε > nhỏ tùy ý (ta chọn ε = p−N , N số nguyên dương đủ lớn), tồn δ (phụ thuộc vào ε) cho ∀x, x ∈ Qp : |x − x |p < δ suy |f (x) − f (x )|p < ε - Điều kiện |x − x |p ≤ p−N ⇔ a ≡ b modpN ⇔ pN |(a − b) Khi đó, từ giả thiết ta suy (n, p) = ⇔ n ≡ (mod) ⇔ n = + mp, m ∈ Z+ Ta lấy ε = p−N , N nguyên dương đủ lớn, tồn δ = p−N thỏa mãn định nghĩa hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic Thực ∀s, s ∈ Z : |s − s |p < p−N ⇒ s ≡ s modpN ⇔ s = s pN 23 với s số nguyên Không tính chất tổng quát ta giả thiết s > s Ta có |f (s ) − f (s)|p = ns − ns s N = 1−n p = |ns |p − ns −s p s N p = − (1 + mp) p Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta có s pN (1 + mp) s pN (s pN − 1) (mp)2 + · · · + (mp)s = + (s p )mp + N Chúng ta nhận |f (s ) − f (ss)|p = − (1 + mp)s N = − + (s pN )mp + pN N p N s p (s p − 1) (mp)2 + · · · + (mp)s s pN (s pN − 1) N (mp)2 + · · · + (mp)s p = (s pN )mp + p   s pN s pN − N (mp)2 , , (mp)s ≤ max (s p )mp p ,  p pN pN p   p ≤ p−(N +1) < p−N = ε Như từ ∀s, s ∈ Z : |s − s |p < δ = p−N ⇒ |f (s ) − f (s)|p < ε = p−N Nghĩa hàm số cho nội suy p-adic đến hàm liên tục Zp 2.2.2 Nhận xét (i) Khi số nguyên dương n chia hết cho số nguyên tố p nội suy p-adic hàm số f (s) = ns đến hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic Zp Thực vậy, trường hợp ta chọn: s = 0, s = pN +1 ⇒ |s − s |p = p−(N +1) < δ = p−N ⇒ ns − ns p = − ns N p = − np p =1>ε (ii) Nếu ≤ n ≤ p − nội suy p-adic hàm số f (s) = ns 24 đến hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic Zp Thực vậy, ta chọn s, s thỏa mãn điều kiện |s − s|p < p−N Suy s ≡ s modpN hay s = s + s pN , s ∈ Z Khi ns − ns p = |ns |p − ns pN p = > ε 2.2.3 Nhận xét Ta xét zeta-hàm Riemann ∞ ζ(s) = ∞ = n=1 s n=1 n n−s = ∞ fn (s) n=1 fn (s) = n−s Sử dụng phương pháp trên, ta nội suy p-adic hàm fn (s) = n−s ∞ đến hàm liên tục Zp , nghĩa số hạng chuỗi s n=1 n ∞ nội suy p-adic Tuy nhiên lại phân kỳ Zp Đây điều s n=1 n thú vị nhằm khẳng định tính đắn mệnh đề: Tổng vô hạn hàm liên tục hàm không liên tục Vì để nội suy p-adic zeta-hàm Riemann phải tìm đường khác 2.2.4 Nhận xét Theo mệnh đề 2.1.7, zeta-hàm Riemann có khai triển ζ(s) = −s p 1−p Từ 1 ζ(s) = − p−s p=q − q −s 1 Đặt ζ ∗ (s) = , ta nhận ζ(s) = ζ ∗ (s), −s −s 1−p q=p − q tích lấy theo số nguyên tố p q p = q Việc nội suy p-adic zeta-hàm Riemann ζ(s) phụ thuộc vào hệ số Bernoulli 25 Giả sử 2k, 2k ∈ S2k0 (ở 2k0 ∈ {2, 4, , p − 3}) k ≡ k modpN , nhận mệnh đề sau: 2.2.5 Mệnh đề ([5]) − p2k−1 − B2k 2k ≡ − p2k −1 − B2k 2k modpN +1 Do kỹ thuật nội suy phức tạp thời gian, lực thân có hạn nên tìm hiểu số tính chất bản, ban đầu trình nội suy p-adic zeta-hàm Riemann 2.3 Phân phối p-adic Trong không gian mêtric Qp có sở gồm tất tập dạng a + p N Zp = x ∈ Qp || x − a |p ≤ pN với a ∈ Qp N ∈ Z Mỗi tập gọi "khoảng" Chú ý khoảng vừa đóng vừa mở Điều có nghĩa tập hợp Qp hợp tập mở kiểu Để tiện lợi trình bày ký hiệu a + pN Zp = a + (pN ) Phần bù a+(pN ) tập hợp tất a ∈ Qp cho a ∈ / a+(pN ), nghĩa |a − a|p > N p Tập Zp tập compac dãy Điều có nghĩa dãy số nguyên p-adic trích dãy hội tụ 2.3.1 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô Một ánh xạ f : X −→ Y gọi hàm địa phương với điểm x ∈ X có lân cận U cho f (U ) phần tử 2.3.2 Nhận xét 26 (i) Một ánh xạ f : X −→ Y hàm địa phương liên tục X (ii) Với X tập compac mở không gian mêtric Qp (thường Zp Z∗p = {x ∈ Zp || x |p = 1}) Khi f : X −→ Qp hàm địa phương f tổ hợp tuyến tính hàm đặc trưng tập mở X 2.3.3 Định nghĩa Giả sử X tập compac Qp (X = Z, Zp ) Một phân phối padic µ X đồng cấy từ Qp - không gian véc tơ tuyến tính hàm địa phương X đến Qp Nếu f : X −→ Qp hàm địa phương, ta ký hiệu µ(f ) = fµ giá trị phân phối µ f 2.3.4 Định nghĩa tương đương Một phân phối p-adic µ X ánh xạ cộng tính từ tập mở compac X đến Qp , điều có nghĩa U ⊂ X hợp tập mở compac, đôi rời U1 , U2 , , Un µ(U ) = µ(U1 ) + µ(U2 ) + + µ(Un ) 2.3.5 Mệnh đề ([5]) Với ánh xạ µ từ tập khoảng chứa X đến Qp cho p−1 N µ a + bpN + (pN +1 ) µ a + (p ) = b=0 Với a + (pN ) ⊂ X, có mở rộng đến phân phối p-adic X 2.3.6 Các ví dụ ([5]) (i) Phân phối Haar 27 Phân phối Haar xác định công thức: µHaar a + (pN ) = pN Phân phối mở rộng đến phân phối Zp vì: p−1 p−1 N µ a + bp + (p N +1 ) = b=0 b=0 pN +1 = = µHaar a + (pN ) N p Đây phân phối (sai khác nhân tử số) cho với a ∈ Zp , ta có µHaar (a + U ) = µHaar (U ), a + U = {x ∈ Zp | x − a ∈ U } (ii) Phân phối Dirac Phân phối Dirac µα α ∈ Zp , α cố định, định nghĩa µ= 1, 0, α ∈ U trường hợp ngược lại Dễ dàng kiểm tra µα cộng tính Chú ý f µα = f (α) với hàm địa phương f (iii) Phân phối Mazur Sử dụng ký hiệu a + pN Zp = a + (pN ), giả sử α số nguyên nằm đến pN − Ta định nghĩa µM azur α + (pN ) = α − pN 2.4 Phân phối Bernoulli Xét hàm hai biến t x sau text = et − ∞ tk Bk k! k=0 ∞ k=0 (xt)k k! tích này, ta nhóm số hạng chứa tk , với k ta thu đa thức biến x, ký hiệu Bk (x) (Bk (x) gọi đa thức 28 Bernoulli, thứ k ), xác định hệ thức: text = et − ∞ Bk (x) k=0 tk k! 1 Các đa thức Bernoulli : B0 = 0, B1 = x − , B2 = x2 − x + , 3 B3 = x − x + x, 2 Ta giả sử < a < pN Cố định số nguyên không âm k Ta định nghĩa ánh xạ xác định khoảng a + pN Zp = a + (pN ) : µB,k a + pN = pN (k−1) Bk a pN 2.4.1 Mệnh đề ([5]) Một ánh xạ µB,k mở rộng đến phân phối Zp (gọi phân phối Bernoulli thứ k) 2.4.2 Các ví dụ ([5]) µB,0 a + pN µB,1 a + pN = p−N , nghĩa µB,0 = µHaar a = B1 N = N − , p p nghĩa µB,1 a + pN µB,2 a + pN = µM azur a2 a N =p − + p2N pN 29 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Bước đầu tìm hiểu số kiến thức trường số p-adic giải tích trường số p-adic Trình bày cách chi tiết phép chứng minh công thức tính giá trị zeta-hàm Riemann 2k Đồng thời chứng minh số tính chất khác zeta-hàm Riemann, hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số f (x) = ax nội suy p-adic đến hàm liên tục vành số nguyên p-adic Kết luận văn tìm hiểu Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Bổ đề 1.3.6, Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.12, Mệnh đề 2.2.1 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến đường cong chỉnh hình tính hyperbolic Brody p-adic, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Mai Văn Tư (2012), Giải tích p-adic, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] Ha Huy Khoai (1979), p - adic interpolation Ams translation Math Notes Vol1 [4] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p - adic Nevanlinna Cartan theorem,Inter J Math Vol, No.5 [5] N.I Koblitz (1979), P-adic numbers, p-adic analysis and Zeta-function, Springer - Verlag [6] S.Lang (1991), Number theory III, Encyclopedia of Mathematical Sciences - Verlag [7] S Lang (1976), Introduction to Modular Forms, Springer-Verlag [...]... Mệnh đề (i) Mỗi đĩa của tập Cp là tập vừa đóng, vừa mở (ii) Mỗi điểm thuộc một đĩa bất kỳ đều là tâm của đĩa ấy (iii.) Mỗi đĩa mở của Cp đều có vô hạn bán kính (iv) Hai đĩa bất kỳ hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau, hoặc có quan hệ bao hàm 15 CHƯƠNG 2 NỘI SUY P-ADIC CỦA ZETA-HÀM RIEMANN Nội dung chính của chương này bước đầu tìm hiểu một số khái niệm, tính chất của zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function),... chất cơ bản của zeta-hàm Riemann, của hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số f (x) = ax nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành các số nguyên p-adic Kết quả chính của chương này và cũng là kết quả chính của luận văn là tìm hiểu các Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.12 và Mệnh đề 2.2.1 2.1 Công thức tính ζ(2k) 2.1.1 Định nghĩa Zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function)... điều kiện |s − s|p < p−N Suy ra s ≡ s modpN hay s = s + s pN , s ∈ Z Khi đó ns − ns p = |ns |p 1 − ns pN p = 1 > ε 2.2.3 Nhận xét Ta xét zeta-hàm Riemann ∞ ζ(s) = ∞ = n=1 1 s n=1 n n−s = ∞ fn (s) n=1 trong đó fn (s) = n−s Sử dụng phương pháp trên, ta có thể nội suy p-adic hàm fn (s) = n−s ∞ 1 đến một hàm liên tục trên Zp , nghĩa là mỗi số hạng của chuỗi đều s n=1 n ∞ 1 nội suy p-adic được Tuy nhiên... trên trường số p-adic 2 Trình bày một cách chi tiết phép chứng minh công thức tính giá trị của zeta-hàm Riemann tại 2k Đồng thời chứng minh một số tính chất khác của zeta-hàm Riemann, hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số f (x) = ax nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành các số nguyên p-adic Kết quả chính của luận văn là tìm hiểu các Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Bổ đề 1.3.6, Mệnh đề 2.1.4,... (2π)2k (2k − 1)! B2k =− ✷ 2k ζ(1 − 2k) = 2.2 Nội suy p-adic của hàm f (s) = as Trước hết, nếu a là một số thực dương không đổi, hàm f (s) = as là hàm số liên tục trên tập hợp các số hữu tỷ s Ta có thể "nội suy" hay "mở rộng bởi tính liên tục" theo giá trị tuyệt đối thông thường đến một hàm số liên tục trên tập các số thực, bởi vì mỗi số thực là giới hạn của một dãy cơ bản các số hữu tỷ (nói cách khác... mọi số nguyên tố p hoặc q và p = q Việc nội suy p-adic đối với zeta-hàm Riemann ζ(s) sẽ phụ thuộc vào hệ số Bernoulli 25 Giả sử 2k, 2k ∈ S2k0 (ở đây 2k0 ∈ {2, 4, , p − 3}) và nếu k ≡ k modpN , khi đó chúng ta nhận được mệnh đề sau: 2.2.5 Mệnh đề ([5]) 1 − p2k−1 − B2k 2k ≡ 1 − p2k −1 − B2k 2k modpN +1 Do kỹ thuật nội suy quá phức tạp và do thời gian, năng lực của bản thân có hạn nên chúng tôi chỉ tìm... số tính chất cơ bản, ban đầu trong quá trình nội suy p-adic của zeta-hàm Riemann 2.3 Phân phối p-adic Trong không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm tất cả các tập dạng a + p N Zp = x ∈ Qp || x − a |p ≤ 1 pN với a ∈ Qp và N ∈ Z Mỗi tập như thế được gọi là "khoảng" Chú ý rằng mỗi khoảng như vậy vừa đóng vừa mở Điều này có nghĩa là mọi tập hợp của Qp đều là hợp của các tập mở kiểu như trên Để tiện lợi trong... thể nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên Zp 2.2.2 Nhận xét (i) Khi số nguyên dương n chia hết cho số nguyên tố p thì không thể nội suy p-adic hàm số f (s) = ns đến một hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic trên Zp Thực vậy, trong trường hợp này ta chọn: s = 0, s = pN +1 ⇒ |s − s |p = p−(N +1) < δ = p−N ⇒ ns − ns p = 1 − ns N p = 1 − np p =1>ε (ii) Nếu 1 ≤ n ≤ p − 1 thì không thể nội suy. .. k=1 Từ (*) và (**), suy ra πx − ln 2 + ln 1 − e−2πx = ln π + ln x + ∞ (−1)k+1 k=1 Đạo hàm hai vế theo x của đẳng thức (2) Trong vế phải của đẳng thức (2), ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng do tính hội tụ đều của chuỗi trong miền 0 < x < 1 − ε, ∀ε > 0 Do vậy ∞ 1 − e−2πx 1 π+ = +2 (−1)k+1 x2k−1 ζ(2k)k −2πx 1−e x k=1 18 ∞ 2πe−2πx 1 (−1)k+1 x2k−1 ζ(2k) π+ = +2 −2πx 1−e x k=1 Nhân hai vế của đẳng thức với... trong R Nói cách khác, mọi số nguyên p-adic là giới hạn của dãy các số nguyên không âm Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có thể "nội suy p-adic" hay mở rộng hàm f (s) = ns thành hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic trên vành các số nguyên p-adic được hay không? Mệnh đề sau sẽ là câu trả lời 2.2.1 Mệnh đề Hàm số f (s) = ns có thể nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành số nguyên p-adic ... rời nhau, có quan hệ bao hàm 15 CHƯƠNG NỘI SUY P-ADIC CỦA ZETA-HÀM RIEMANN Nội dung chương bước đầu tìm hiểu số khái niệm, tính chất zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function), đồng thời trình... 3 Chương Nội suy p-adic zeta-hàm Riemann Nội dung chương bước đầu tìm hiểu số khái niệm, tính chất zeta-hàm Riemann, đồng thời trình bày chứng minh chi tiết số tính chất zeta-hàm Riemann, hệ... đó, cần thiết phải phát triển lý thuyết nội suy lên trường hợp hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến Với lý đó, chọn đề tài Nội suy p-adic zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function) Mục đích luận văn