Trong không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm tất cả các tập dạng
a+ pNZp = x ∈ Qp ||x−a |p≤ 1 pN với a ∈ Qp và N ∈ Z.
Mỗi tập như thế được gọi là "khoảng". Chú ý rằng mỗi khoảng như vậy vừa đóng vừa mở. Điều này có nghĩa là mọi tập hợp của Qp đều là hợp của các tập mở kiểu như trên.
Để tiện lợi trong trình bày chúng ta ký hiệu a+pNZp = a+ (pN).
Phần bù củaa+(pN)là tập hợp tất cả cáca0 ∈ Qpsao choa0 ∈/ a+(pN),
nghĩa là |a0−a|p > 1 pN.
TậpZp là tập compac dãy. Điều này có nghĩa là mọi dãy các số nguyên p-adic đều trích được một dãy con hội tụ.
2.3.1. Định nghĩa
Giả sử X, Y là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f : X −→ Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X có một lân cận U
sao cho f(U) là một phần tử. 2.3.2. Nhận xét
(i). Một ánh xạ f : X −→ Y là hàm hằng địa phương thì nó liên tục trên X.
(ii). Với X là tập con compac mở của không gian mêtric Qp (thường là Zp hoặc Z∗p = {x ∈ Zp || x |p= 1}). Khi đó f : X −→Qp là hàm hằng địa phương khi f là tổ hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của tập mở X. 2.3.3. Định nghĩa
Giả sử X là tập con compac của Qp (X = Z,Zp). Một phân phối p- adic µ trên X là một đồng cấy từ Qp - không gian véc tơ tuyến tính của các hàm hằng địa phương trên X đến Qp. Nếu f : X −→ Qp là hàm hằng địa phương, ta ký hiệu µ(f) = R fµ là giá trị phân phối µ tại f.
2.3.4. Định nghĩa tương đương
Một phân phối p-adic µ trên X là một ánh xạ cộng tính từ các tập mở compac trong X đến Qp, điều này có nghĩa là nếu U ⊂ X là hợp của các tập con mở compac, đôi một rời nhau U1, U2, ..., Un thì
µ(U) = µ(U1) +µ(U2) +...+µ(Un).
2.3.5. Mệnh đề ([5])
Với mọi ánh xạ µ từ tập các khoảng được chứa trong X đến Qp cho bởi µ a+ (pN) = p−1 X b=0 µ a+bpN + (pN+1)
Với mọi a + (pN) ⊂ X, có một mở rộng duy nhất đến một phân phối p-adic trên X.
2.3.6. Các ví dụ ([5])
Phân phối Haar được xác định bởi công thức:
µHaar a+ (pN)= 1 pN
Phân phối này mở rộng đến một phân phối trên Zp vì:
p−1 X b=0 µ a+ bpN + (pN+1) = p−1 X b=0 1 pN+1 = 1 pN = µHaar a+ (pN)
Đây là sự phân phối duy nhất (sai khác một nhân tử hằng số) sao cho với mọi a ∈ Zp, ta có
µHaar(a+U) =µHaar(U), trong đó a+U = {x ∈ Zp | x−a ∈ U} (ii). Phân phối Dirac
Phân phối Dirac µα tại α ∈ Zp, α cố định, được định nghĩa bởi
µ=
1, nếu α ∈ U
0, trong trường hợp ngược lại
Dễ dàng kiểm tra được µα là cộng tính. Chú ý rằng R f µα = f(α) với mọi hàm hằng địa phương f.
(iii). Phân phối Mazur
Sử dụng ký hiệu a+pNZp = a+ (pN), giả sử rằng α là một số nguyên nào đó nằm giữa 0 đến pN −1. Ta định nghĩa
µM azur α+ (pN) = α pN − 1
2.
2.4. Phân phối BernoulliXét hàm hai biến t và x sau