LTĐH SỐ PHỨC

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC KIẾN THỨC CƠ BẢN ðịnh nghĩa số phức ( dạng đại số ) : z = a + bi Trong : - a, b ∈ ℝ - - a phần thực Kí hiệu : Re ( z ) b phần ảo Kí hiệu : Im ( z ) - i đơn vị ảo, i = −1 Tính chất - z số thực ⇔ phần ảo z ( b = ) - z số ảo ⇔ phần thực z ( a = ) a = a ' Hai số phức : a + bi = a '+ b ' i ⇔  ( a, b, a ', b ' ∈ ℝ ) b = b ' Phép cộng hai số phức : ( a + bi ) + ( a '+ b ' i ) = ( a + a ' ) + ( b + b ' ) i Phép trừ hai số phức : ( a + bi ) − ( a '+ b ' i ) = ( a − a ' ) + ( b − b ') i Phép nhân hai số phức : ( a + bi ) ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i Phép chia hai số phức : a + bi ( a + bi )( c − di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad = = = + i c + di ( c + di ) ( c − di ) c2 + d c + d c2 + d Số phức liên hợp : Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp z z = a − bi Mơđun số phức : z = a + bi , suy mơđun số phức z z = a + b 10 Các tính chất : ● z + z = 2a ● z z = z ● z ≥ ∀z ∈ C , z = ⇔ z = ● z z ' = z z ' ● z + z' ≤ z + z'  z' z'  = z z z' z' ● = z z 11 Căn bậc hai số phức : Cho số phức z = a + bi Tìm bậc hai - Gọi ω = x + yi bậc hai số phức z = a + bi ● - Ta có : ⇔ ω = z ⇔ ( x + yi ) = a + bi ⇔ (x − y ) + xyi = a + bi trang Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH  a + a + b2  x = x − y = a ⇔  ⇔  xy = b b  y =  2x Tính chất : ● z = có bậc hai ω = ● a > có hai bậc hai ± a ● a < coa hai bậc hai ±i a 12 Giải phương trình bậc hai tập số phức : Cho phương trình bậc hai : Az + Bz + C = Trong : A, B, C số phức cho trước, A ≠ Tính ∆ = B − AC −B ± δ + ∆ ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt : z = , δ bậc hai ∆ 2A −B + ∆ = Phương trình có nghiệm kép : z = 2A Tính chất : (ðịnh lý Viet cho phương trình bậc hai) Cho phương trình bậc hai : Az + Bz + C = Trong : A, B, C số phức cho trước, A ≠ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình, −B C : z1 + z2 = z1.z2 = A A 2 DẠNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Bài Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, mơđun số phức sau : 1) z= + i + 2i − − 2i − i 2) (4 − i) (1 + i ) z= (1 + i )(1 − 2i ) + 2i − ( − 2i ) 3) Bài z = + 3i − Tính i n với n ∈ ℕ* Từ tính giá trị biểu thức sau : 2011 1) A = + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) B = + i + i + + i 2011 i5 + i + i + + i 2009 3) C= i + i + i + + i 2010 Tìm số n ngun 2) Bài 1) (1 + i ) n = (1 − i ) n Bài n n  1+ i   1− i  2)   +  =  2  2 Cho số phức : z = − + i Tính : z + z + 2 () Bài Cho số phức : z = + i Tính : z + z Bài Cho số phức : z = (1 − 2i )( + i ) Tính giá trị biểu thức : A = z.z Bài Cho số phức : z = + 3i Tìm số nghịch đảo số phức : ω = z + z.z trang 2 Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài Tìm phần thực phần ảo số phức : ω = Bài (1 − 3i ) Cho số phức z thỏa mãn : z = 1− i Bài 10 Tìm phần ảo số phức z biết : z = ( ( z+i , : z = − 2i z −i Tìm mơđun số phức : z + iz +i ) ) (1 − 2i ) Bài 11 Tìm số phức z cho : A = ( z − ) z + i số thực Bài 12 Tìm mơ đun số phức : z = x − y + 2xyi xy + i x + y z Bài 13 Cho z, z hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện z số thực z − z = Tính z Bài 14 Cho z1 , z ∈ C , cho : z1 + z = 3; z1 = z1 = Tính : z1 − z 4 z  z  Bài 15 Cho z1 , z ∈ C , cho : z1 − z = z1 = z > Tính : A =   +    z   z1  Bài 16 Tìm phần thực số phức z = (1 + i ) , biết n ∈ ℕ thỏa mãn phương trình n log ( n − 3) + log ( n + ) = DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Bài Bài Giải phương trình sau tập số phức : 1) z2 − z + = 2) z + 2z − = 3) z − (1 − i ) z + 63 − 16i = 4) (1 + i ) z − ( − i ) z − − 3i = ( ) Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình : z − + i z + − 3i = Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau : Bài 1) A = z12 + z 22 2) B = z13 + z32 3) C = z14 + z 24 4) D = z13z + z1z32 5) E= z1 z + z z1 6) 1 2 1 2 F = z1  +  + z  +   z z1   z1 z  Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình: z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z B = Bài z12 + z 22 z1 + z 2 Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình : z + 2z + 10 = Tính biểu thức 1) z1 + z 2) z1 + z 2 trang Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 3) Bài z1 + z 4 Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai z + Bz + i = có tổng bình phương hai nghiệm −4i Bài Trên tập số phức, tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1 , z thỏa mãn điều kiện : 1) z − mz + m + = , với z12 + z 22 = z1z + 2) z − 3mz + 5i = , với z13 + z 32 = 18 z+i Bài Tìm số thực B, C để phương trình : z + Bz + C = nhận z = + i làm nghiệm Tìm nghiệm lại phương trình Bài Tìm B để phương trình : (1 − i ) z + ( − 2i ) z − 12 − Bi = có nghiệm phức z = + i Tìm nghiệm lại Bài 10 Cho số phức z nghiệm phương trình : z + z + = Rút gọn biểu thức Bài Cho số phức z thỏa mãn : z − 6z + 13 = Tính z + 2 2 1  1  1  1  P =  z +  +  z +  +  z3 +  +  z +  z  z   z   z   DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Tìm số phức z biết : 1) z + 2z = + 2i 2) 3z + = 2iz + 11i 3) z + 2z = − 4i 4) z2 + z = 5) ( − i ) z + + i   iz +  =   2i  6) (1 + i ) ( − i ) z = + i + (1 + 2i ) z 7)  z+i   =1  z−i  8) 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i 2)  z − 12  z − 8i =    z − =1  z − 4) 2 z − i = z − z + 2i   2  z − z =  Bài Bài trang Tìm số phức z biết : 1)  z −1  z −i =1    z − 3i =  z + i 3)  z − 2i = z   z − i = z − Giải phương trình sau tập số phức : Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 1) z − z3 + 6z − 8z − 16 = 2) z − z3 + z + z + = 3) z + 2z3 − z + 2z + = 4) z − 2z3 − z − 2z + = 5) z − + z3 + + z − + z + = 6) z − 4z3 + 6z − 4z − 15 = 7) z + (1 + i ) z + + 6i = 8) (z 9) z − 16 = 10) z + 16 = 11) z5 − = 1) Tìm số thực a, b cho : z − 4z − 16z − 16 = ( z − 2z − )( z + az + b ) ∀ z ∈C 2) Giải phương trình : z − 4z − 16z − 16 = ( ) ( ) ( ) + z ) + ( z + z ) − 12 = Bài 5* Giải phương trình : 2z3 − 5z + 3z + + ( 2z + 1) i = , biết phương trình có nghiệm thực Bài 6* Giải phương trình : z3 − (1 − 2i ) z + (1 − i ) z + 2i = , biết phương trình có nghiệm ảo Bài Giải hệ phương trình sau tập số phức : 1) 3) 5) z1 − z − z1z =  2 z1 + z = −1 z1.z = −5 − 5i  2 z1 + z = −5 + 2i 2) 4) z1 − z = 3i  2 z1 + z = −3 − 2i 6) z1 + z = + i  2 z1 + z = − 2i z1 − z + =  z − z1 + = z1 + z = (1 + i )  3 z1 + z = ( −1 + i ) DẠNG TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 1) z −1 z − 3i = =1 z −i z+i 2) z − ( + i ) = 10 z.z = 25 3) z = z số ảo 4) z = z + z 5) z + 2i = z − + i 6) z − 3i = − iz z − 7) z = 5; z + 7i số thực z+z 8) z = 9) z + + 2i = z − + i z − i = 10) z + z = z = () =1 z +1− i số ảo z + 2i số ảo z z z + =1 z z trang Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài Tìm số phức z thỏa mãn : z = z Bài Cho số phức z thoả mãn : z − 2i = z z − i = z − Tính P = z 2010 + ( z −1 ) Bài Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : ( z − 1) z + 2i số thực z nhỏ Bài Trong tất số phức z thỏa mãn : z − + 2i = Bài ( 1) Tìm số phức z cho z nhỏ 2) Tìm số phức z cho z lớn 2010 ) Trong tất số phức z thỏa mãn : z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z cho z nhỏ DẠNG TÌM TẬP HP ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Cho số phức : z = a + bi ; a, b ∈ ℝ a = Tập hợp số phức cần tìm trục ảo b = Tập hợp số phức cần tìm trục thực Aa + Bb = C , với A, B, C ∈ ℝ Tập hợp số phức z cần tìm đường thẳng có phương trình : Aa + Bb = C 2 ( a − x0 ) + ( b − y0 ) = R Tập hợp số phức z cần tìm đường tròn tâm I (biểu diễn số phức x0 + y0i ), bán kính R 2 ( a − x0 ) + ( b − y0 ) ≤ R Tập hợp số phức z cần tìm hình tròn tâm I (biểu diễn số phức x0 + y0i ), bán kính R 2 ( a − x0 ) + ( b − y0 ) < R Tập hợp số phức z cần tìm phần bên hình tròn tâm I (biểu diễn số phức x0 + y0i ), bán kính R r < ( a − x0 ) + ( b − y0 ) < R Tập hợp số phức z cần tìm hình vành khăn giới hạn hai hình tròn Bài Bài trang k + 9i số thực 1− i Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện: 1) 2) z + 2i số thực z − + i số ảo z 3) 4) z − ( − 4i ) = = k , k số thực dương z −i Tìm số thực k, để bình phương số phức : z = ( ) 5) z.z = 6) ω = ( z − ) z + i số thực 7) z = z 8) z+ 9) z −z = 10) z − i = (1 + i ) z +i =2 z Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 11) Bài Bài ( ) log + z + i + log 27 ( + z2 − i ) = 12) z − i + + z + i −1 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện: 1) z−2 − z+2 >3 2) Re z ≥ c 3) Im z < 5) z − + i u − z − + i u + > 0, ∀u ∈ ℝ 6) 4) z = Re z + z −1 ≥ z − i ( ) Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức : ω = + i z + biết số phức z thỏa mãn : z − ≤ HẾT trang ... 1) Tìm số phức z cho z nhỏ 2) Tìm số phức z cho z lớn 2010 ) Trong tất số phức z thỏa mãn : z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z cho z nhỏ DẠNG TÌM TẬP HP ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Cho số phức :... số phức : ω = Bài (1 − 3i ) Cho số phức z thỏa mãn : z = 1− i Bài 10 Tìm phần ảo số phức z biết : z = ( ( z+i , : z = − 2i z −i Tìm mơđun số phức : z + iz +i ) ) (1 − 2i ) Bài 11 Tìm số phức. .. B, C số phức cho trước, A ≠ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình, −B C : z1 + z2 = z1.z2 = A A 2 DẠNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Bài Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, mơđun số phức sau