chuyên đề phương trình phương trìnhhệ phương trình vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TÂM LUYỆN THI THỦ KHOA Hồ Chí Minh - Năm 2012 www.LuyenThiThuKhoa.vn PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP PHẦN 1: XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Việc biết phương trình có nghiệm, nghiêm nghiệm vơ tỷ hay hữu tỷ vô quan trọng Để biết rõ ta tham khảo phương trình đây: Cho phương trình sau: x  x3  x   x  x  Phân tích: Ta thực việc tìm kiếm lời giải theo bước sau: Bước 1: Sử dụng máy tính cầm tay, truy cập vào chức TABLE (MODE 7) nhập vào hàm số: F  X   X  X  X   X  X  hình bên dưới: Bước 2: Ấn dấu = chọn giá trị START = -2 START giá trị bắt đầu, thường đối chiếu với điều kiện để xác định Bước 3: Ấn dấu = chọn giá trị END = END giá trị kết thúc, thường đối chiếu với điều kiện để xác định Bước 4: Ấn dấu = chọn giá trị STEP = 0.5 STEP giá trị bước nhảy hay gọi khoảng cách giá trị biến số www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt Bước 5: Bấm = để nhận bảng giá trị hàm số với giá trị x tương ứng để chọn Nhìn vào bảng giá trị ta thấy x  f  x   hay x  nghiệm hàm số Ngoài ta thấy hàm số đổi dấu x từ đến 2.5, suy phương trình có nghiệm nghiệm khoảng  2; 2.5  nghiệm x  thấy Vì từ bước nhảy x từ -0.5 đến có x  nghiệm phương trình nên khoảng  0.5;0  phương trình có đổi dấu hay khơng nên khoảng ta khảo sát kỹ TABLE xem Chọn START = -0.5, END = 0, STEP = 0.1 ta nhận thấy phương trình cịn nghiệm nằm khoảng  0.5; 0.4  www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt Bước 6: Bây ta dùng chức SOLVE máy tính cầm tay (ở sử dụng 570VNLPUS) để tìm nghiệm phương trình hai khoảng  0.5;  0.4  2; 2.5   Với x   0.5; 0.4  ta chọn giá trị ban đầu để máy tính dị nghiệm, thường giá trị trung bình khoảng nghiệm  0.5   0.4   0.45 hay ta chọn giá trị khoảng củng được, chọn gần giá trị nghiệm máy tính dị nhanh Ta tìm nghiệm phương trình x  0.414213562    Với x   2; 2.5  ta chọn giá trị ban đầu để máy tính dị nghiệm  2.5  2.125 , tương tự trên, ta chọn giá trị 2.2 hay 2.3 tuỳ bạn Ta tìm nghiệm phương trình x  2.414213562   Như máy tính hỗ trợ ta tìm nghiệm phương trình x  0, x   Khi phương trình ta giải sau: 4 x  x    x  2x  x   4x  2x    2  x  x  x   x  x   x  x   x      x  x3  x  1    x  x3  x     2  x  x   4x  2x   x  1   Vì lại phân tích ta lại tiếp tục đọc phần Ghi chú: Các bạn ý tìm nghiệm cần phân biệt đâu nghiệm hữu tỷ, đâu nghiệm vơ tỷ dùng cách nhân liên hợp biểu thức liên hợp khác hai loại nghiệm Các bạn thấy rõ điều phần hai PHẦN 2: PHÂN BIỆT NGHIỆM ĐƠN - NGHIỆM BỘI VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH Nghiệm đơn Nghiệm đơn x  a nghiệm mà phương trình f  x   phân tích thành nhân tử có dạng  x  a  g  x  g  a   www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt Ví dụ: Cho phương trình sau: 3x2  x 1   x 1 x   * Bằng việc sử dụng chức TABLE để xác định khoảng nghiệm chức SOLVE máy tính ta xác định phương trình có nghiệm x  Giở kiểm tra thêm nghiệm nghiệm đơn hay nghiệm bội Ta đặt f  x   3x2  x    x  1 x  Ta tính f '  x   x   x   x  x  1 x2   f 1   x  nghiệm đơn phương trình  f ' 1  Ta có hệ sau:  Ghi chú: Việc tính đạo hàm hàm số f  x  tính trực tiếp máy tính với chức tính đạo hàm mà khơng cần tính cơng thức f  x  Nhưng trường hợp thi không sử dụng máy tính cầm tay bạn nên tính ln   Ta có phương trình (*)   x  1 3x   x    x  Nghiệm kép Nghiệm kép x  a nghiệm mà phương trình f  x   phân tích thành nhân tử có dạng  x  a  g  x   g  a   Ví dụ: Cho phương trình sau: x3  3x  12 x  20  x  x    x  1 x2  x 1 ** Bằng việc sử dụng TABLE để xác định khoảng nghiệm chức SOLVE máy tính ta tìm nghiệm phương trình x  Ta xác định nghiệm đơn hay nghiệm bội phương trình Ta đặt g  x   x3  3x  12 x  20  x  x    x  1 x2  x 1 2x 1 x  x    x  1 2x 1 x2  x 1  Ta tính g '  x   x  x  12  2 x  x 1 x  x 1  g  2   Ta có hệ sau:  g '    , suy x  nghiệm kép phương trình (**)   g ''     2 Ta có phương trình (**)   x    x   0 x2 x  x 1   Nghiệm bội ba Nghiệm bội ba x  a nghiệm mà phương trình f  x   phân tích thành nhân tử có dạng  x  a  g  x   g  a   Ví dụ: Cho phương trình sau: x3  x   3x2  3x  *** Ta dùng TABLE để rà sát khoảng nghiệm SOLVE để giải tìm nghiệm phương trình khoảng xác định, ta nghiệm phương trình x  Ta xác định nghiệm đơn hay nghiệm bội phương trình Đặt h  x   x3  x   3x  3x  2x 1 Ta tính h '  x   3x   www.LuyenThiThuKhoa.vn  3x  3x  1 Mai Xuân Việt  3x  3x  1   x  1  x  1  x  x  1  3x  x  1 h ''  x   x   3x 2  x  1 4 h     h '     x  nghiệm bội ba phương trình (***) Ta có hệ sau:  h ''      3 h      Ta có phương trình (***)  x3  x   3x  3x   x3 1  0 x 0  x   3x  3x   Và tương tự bạn tìm nghiệm bội bậc 4, bậc 5, bậc 6, … Nhưng khuôn khổ chương trình THPT bạn nên quan tâm tới loại nghiệm đơn, nghiệm kép nghiệm bội ba đủ Chú ý: Nhiều bạn gặp khó khăn xác định nghiệm bội đạo hàm nhiều cấp biểu thức chứa thức nói chung phức tạp tốn nhiều thời gian nên hướng dẫn bạn làm khác tiết kiệm thời gian nhiều Cơ sở lý thuyết: Như bạn biết nghiệm bội lẻ (nghiệm bội 1, 3, 5, 7, …) giá trị biểu thức đổi dấu qua nghiệm nghiệm bổi chẵn (nghiệm bội 2, 4, 6, 8, …) giá trị biểu thức khơng đổi dấu qua nghiệm Mặc khác chương trình THPT cần quan tâm tới việc phân biệt ba loại nghiệm : nghiệm đơn, nghiệm kép nghiệm bội ba Trong nghiệm đơn nghiệm bội ba nghiệm bậc lẻ, nghiệm kép nghiệm bậc chẵn Vậy ta phân biệt sau: Ví dụ 1: Cho phương trình x2   x  Dùng chức SOLVE ta tìm nghiệm phương trình x  2.561552813 Giá trị mặc định lưu biến X máy tính Ta thay biến X biến A đánh vào sau: Bấm CALC nhập X + 0.00000001 bấm = ta kết quả: Bấm CALC nhập X – 0.00000001 bấm = ta kết quả: www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt Dễ thấy f  x  0.00000001 f  x  0.00000001 trái dấu nhau, có nghĩa qua nghiệm x  2.561552813 biểu thức đổi dấu ta chọn đại lượng 0.00000001 đại lượng an toàn để đảm bảo khoảng  x; x  0.00000001 khoảng  x  0.00000001; x  có nghiệm khác Từ ta có khẳng định nghiệm x  2.561552813 nghiệm bội lẻ phương trình, ta cần xác định nghiệm đơn hay bội ba xong Ta xác định sau: - Gán nghiệm X lúc cho biến A để lưu trữ - Tính đạo hàm biểu thức f  x  x  A Ta thấy f '  x  x 2.561552813  suy x  2.561552813 nghiệm đơn phương trình Ta bắt đầu tìm đại lượng để liên hợp Để ý thấy nghiệm vô tỷ khơng biết xác giá trị nên khơng thể tách liên hợp  x  a  mà ta tách liên hợp dựa vào đại lượng vô tỷ khác biểu thức có chứa x Phương pháp làm tính giá trị tất thức có chứa phương trình so sánh giá trị với x để đưa biểu thức liên hợp với Với này, ta có: x   1.561552813 với x  2.561552813 ta suy x    x 1 Vậy phương trình phân tích thành: x  x  4  x   x    x2  x  4    x   x 1   x2  x   1     x  x   1       x 1 x    x   x     Chú ý: Trước giải nhớ ghi điều kiện phương trình, nhiều bạn “vội vã” nên thường quên dẫn tới nhận dư nghiệm Như điều kiện phương trình www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt 5  x    x  Đây cách sử dụng “bí” hướng tư tuý, giúp số bạn trình độ vừa phải giải phương trình - bất phương trình vô tỷ phức tạp hỗ trợ máy tính cầm tay Ngồi xin giới thiệu với bạn cách giải khác sử dụng tư bình thường khơng có hỗ trợ máy tính cầm tay, bạn tham khảo bên dưới: Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Giải phương trình: x2   x  Điều kiện: 5  x    x   x   y   x  y  x  y  1  y   x   Đặt y  x   , ta có hệ phương trình sau:   x    21  x   x5  x x  x        x    x    x    17   x    x  x    Cách 2: Sử dụng phương pháp dồn tổng bình phương Giải phương trình: x2   x  Điều kiện: 5  x    x  2 1 1  1   x 5 x 5    x     x 5   4 2  2   x   1  21   x  x   x    x5  x x  x         1  17 x    x    x    x    x  1 x    2   x  x    x2   x   x2  x  Cách 3: Sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua đẳng thức Giải phương trình: x2   x  Điều kiện: 5  x    x       x   x    x   x  5   x  x    x  x  x  x     x    21  x   x5  x x  x        1  17  x    x    x  1 x     x  x    Cách 4: Sử dụng bình phương giải phương trình bậc  x    x    x  x 5  x5        x  10 x  x  20   x    x  5 x    x  x    x    2     81    1  9  2 x  x   x  x   x   x          0 4  4 2  2   www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt   21  x    x  x   x    x       21   17  1  17 x  x  x   x  x    x  x   2  Nhận xét: Các bạn thấy đó, sử dụng tư cách linh hoạt ta tạo nhiều lời giải hay đẹp Cách giải hỗ trợ máy tính cho ta hướng để giải khơng làm cho giỏi Tốn Ví dụ 2: Giải phương trình x2  3x   x x    x  1 3x  Dùng chức SOLVE máy tính ta tìm nghiệm x  1.618033961 Ta tiến hành kiểm tra nghiệm đơn hay nghiệm bội Cũng tương tự ví dụ 1, ta làm sau: - Gán giá trị x tìm cho biến A để lưu trữ - Đặt f  x   x2  3x   x x    x  1 3x  Ta tính f  A  0.00000001  1.3425  1010 Ta tính f  A  0.00000001  1.3399  1010 Ta có f  A  0.00000001  f  A  0.00000001  hay nghiệm x  A nghiệm bội bậc chẵn phương trình, khn khổ chương trình THPT ta suy nghiệm bội chẵn bậc Ta tiến hành tìm tất đại lượng liên hợp thức chứa phương trình cách tính giá trị tất với giá trị nghiệm x  1.618033961 vừa tìm www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt Thay vào thức ta tính được:   x   1.61803398    3x   2.61893397 Bằng nhìn trực quan, ta có đánh giá sau:  x   x   3x   x  Vậy đại lượng liên hợp cho là:        x 1  x   3x   x  Vì phương trình có nghiệm bội nên nhân tử tách liên hợp có dạng  x 1  x   x  x   x x    x   x   x  x    x  1 x  Ta bắt đầu trình bày lời giải phương trình sau: x2  3x   x x    x  1 3x   x  x   x x    x  1 3x       x  x   x x   x  x    x  1 3x       x 1  x   x  1  x 1  x  3x   x      x x  x   x   x       Nhận xét: Nếu tư khơng tốt khó giải này, với hỗ trợ máy tính cầm tay, tìm lời giải cách tự nhiên mà khơng q khó khăn với người trước cịn “yếu” việc giải phương trình vơ tỷ Ví dụ 3: Giải phương trình x  x  x  3   x3  x  x  1 Phân tích: Đầu tiên ta sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay giải phương trình tìm nghiệm x  Ta kiểm tra nghiệm nghiệm đơn hay nghiệm bội phương trình Ta làm sau: - Đặt f  x   x  x  x  3   x3  x  x  1 Ta định gán nghiệm cho biến máy tính nghiệm hữu tỉ nên ta nhập vô trình tính tốn hai lân cận cho tiết kiệm thời gian Ta có: f 1  0.0001  1.5 1012 f 1  0.0001  1.5 1012 www.LuyenThiThuKhoa.vn Mai Xuân Việt PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH Cơ sở lý thuyết: Cho phương trình có dạng g  x   h  x  n f  x  với f  x  , g  x  , h  x  đa thức Nếu phương trình có nghiệm x  x0 nghiệm biểu thức n f  x   A  x  ln tồn phân tích có dạng: g  x   h  x  n f  x    A  x   n f  x   B  x    Trong toán xét thì:  Bậc thức bậc bậc  Đa thức f  x  , h  x  g  x  có bậc bé  Đa thức A  x  thường biểu thức bậc 1: A  x   ax  b Phương pháp sử dụng: Bước 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm biểu thức A  x  : Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay để tìm nghiệm g  x   h  x  n f  x  , sau lưu nghiệm tìm vào biến máy, chẳng hạn lưu vào biến A Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay để khảo sát hàm số sau: n f  A  AX với giá trị khởi đầu START -10, giá trị kết thúc END 10, bước nhảy lặp nghiệm STEP Ta bảng giá trị với bên giá trị X , bên giá trị f  X  Tại ta lấy giá trị mà X f  X  hai số hữu tỉ (ưu tiên chọn số nguyên nhỏ) Bước 2: Cân tích: n Ta cân hai vế với biểu thức n f  x  , A  x   n f  x    f  x  , An  x  để đưa   phương trình dạng: k  x  An  x   h  x  A  x   k  x  f  x   h  x  n f  x  Trong g  x   k  x   An  x   f  x    h  x  A  x  Tuỳ vào biểu thức g  x  mà ta lựa chọn k  x  phù hợp để cân Thơng thường k  x  hệ số a , biểu thức bậc ax  b , biểu thức bậc ax2  bx  c hay phân thức m … ax  b Chú ý:  Biểu thức A  x  thơng thường bậc biểu thức bậc cao ta phán đoán A  x  dựa vào toán Ki tốn có nhiều nghiệm lẻ ta sử dụng nghiệm để cân bằng, thông thường nghiệm lẻ cho ta biểu thức cân khác Dù biểu thức cân khác kết cuối  Với toán sau khảo sát TABLE ta thấy có nhiều cặp nghiệm ngun việc lựa chọn biểu thức cân phụ thuộc vào hệ số luỹ thừa lớn có tốn, ta chọn hệ số x ước hệ số luỹ thừa lớn Nếu chọn hệ số không ta khơng cần biểu thức ta chứa nghiệm dẫn tới nghiệm giải khơng triệt để khó khai triển cho biểu thức lại Điều em dễ dàng kiểm nghiệm với phương trình có nghiệm nguyên nhiều cặp  x; f  x   số nguyên www.LuyenThiThuKhoa.vn 21 Mai Xuân Việt Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình x    x2 * Phân tích: Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay, ta tìm nghiệm phương trình x  0.6180339887 ta gán nghiệm tìm cho biến A Sử dụng chức TABLE máy tính để khảo sát hàm số F  X   A   AX với giá trị START = -10, END = 10 STEP = Xem xét bảng giá trị nhận ta có cặp giá trị nguyên X  F  X   Khi ta suy A  x   x  hay x   x  Ta viết lại phương trình cân sau: *   x2  x  x  x  :  x  1  x  Đầu tiên ta cân cho Khi vế trái cịn thừa lại   x    x  1   x  x Do biểu thức cân có bậc bậc biểu thức thừa nên ta cân sau: a  x  1   x  1  a  x    x  ** Khi để (**) tương đương với phương trình (*) a  x  1  a  x     x  x , đồng hai vế ta a  1 Lời giải: Điều kiện: x  2 Ta có: *    x  1   x  1    x    x  2   x     x  1    x    x  1        x   x 1  x   x 1 x2  x 0   x    x    x  1   1  x  x  x       x0   x      x  x     Vậy phương trình cho có nghiệm x  1;  1        Giải phương trình: x2  x    x  1 x  * Phân tích: Làm tương tự ta tìm biểu thức cân A  x   x  hay x   x  Ta tiến hành cân cho x  x  sau:  x  1 x  1   x  1 x  Do x  nhân với  x  1 nên vế trái ta nhân với  x  1 Lúc biểu thức thừa lại vế trái  x  x     x  1 x  1  x  x  Ví dụ 2: Ta tiếp tục cận cho  x2  n  x   x  1 (chính cân  n f  x   An  x  )   Do bậc biểu thức cân biểu thức thừa bậc nên ta cân bằng: a  x  1   x  1 x  1  a  x     x  1 x  2 Khi ta suy a  x  1  a  x    x  x  Đồng hệ số ta a  Lời giải: Điều kiện x  2 Ta có: www.LuyenThiThuKhoa.vn 22 Mai Xuân Việt *   x  1   x  1 x  1   x     x  1 x  2   x  1   x      x  1  x  1  x       x   x 1  x 1 x  2x  x      x   2 x   x  1  1   x    x    x  1     33   x  x      x    2 x    1   33   Vậy phương trình cho có nghiệm x   ;         Giải phương trình: x3  3x  3x  Ví dụ 3:  x  1 0 * Phân tích: Ta sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay để tìm nghiệm chức TABLE để tìm biểu thức cân sau xem xét bảng giá trị X , f  X  nhận thấy khơng có cặp giá trị hữu tỉ Thực chất làm ví dụ trước ta mặc định hệ số ứng với thực tế biểu thức cân thức phải có dạng k f  x   ax  b Cụ thể toán này, với giá trị k  ta khơng tìm thấy biểu thức cân cho x   ax  b , ta tiếp tục thử với k  , tức biểu thức ta cần khảo sát TABLE f  X   A   AX với A nghiệm phương tìm SOLVE Lúc ta thu biểu thức cân x    x Ta tiến hành cân tích sau: *  x3  3x2  3x  2  x  1 x  Ta cân cho x x  :   x  1  x     x  1 x  Biểu thức thừa lại vế trái là:  x3  3x  3x    x  1 x  x3  x  x   Ta cân tiếp cho   x  x    x  1 Nhưng biểu thức thừa bậc mà 2 lượng cân bậc nên ta tiến hàng cân với biểu thức bậc ax  b :  ax  b  x2   x  1  x    ax  b   x  1   x  1 x 1 a  b  Chuyển vế đồng hệ số:  ax  b  x   ax  b   x  1  x3  x  x   Lời giải: Điều kiện: x  1, ta có: *  x.x2   x  1  x   x.4  x  1   x  1  x  x   x  1    x  1  x  x      x   x   x 1   x x  x  x  x    x  1 x  x     x2     x  1 2x x    x  x 1 x  x 1  www.LuyenThiThuKhoa.vn x  x 1  2 x    x 0   x  x    x   x 23 Mai Xuân Việt   x   x    x   2  4  x  1  x  x  x       1 x  x    x     2   x   x  x  x       Vậy phương trình cho nghiệm x  2  2;    1     Ví dụ 4: Giải phương trình: x3   x  * Phân tích: Sử dụng máy tính cầm tay ta nghiệm x  x  0.6180339887 , ta lưu nghiệm lẻ vào biến A, tiến hành khảo sát TABLE tìm biểu thức cân 2x 1  x Ta bắt đầu cân cho 2x 1 x sau: 2x  x 1 Khi vế trái cịn thừa lại:  x3  1  x  x3  x  Do biểu thức thừa lại bậc với biểu  2x 1  thức cần cân thứ hai x3 Ta tiếp tục cân cho  2x 1  nên ta cân với hệ số bậc a  x  x3 : ax3  x  a  x  1  x  Chuyển vé đồng hệ số: ax3  a  x  1  x  x   a  Lời giải: Điều kiện x  , ta có: *  x3  x   x  1  x    x3   x  1   x  x       x  x   x  x x    x  1        x  x   x  x x    x  1   x  x   x  2x 1     x  1     1         Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; Ví dụ 5: Giải phương trình x3  x2  5x  5x2  * Phân tích: Sử dụng chức SOVLE máy tính cầm tay ta tìm nghiệm phương trình x  Vì nghiệm nguyên nên trình khảo sát nghiệm TABLE, ta nhận thấy có xuất nhiều cặp nghiệm nguyên  x, f  x   , vấn đề đặt ta nên chọn biểu thức phù hợp Do biểu thức cần tìm có dạng x   ax  b Việc lựa chọn a tuỳ thuộc vào hệ số luỹ thừa lớn x3 , a ước hệ số này, với hệ số x3 a ước 1, ta chọn a  Như ta chọn biểu thức cân x   x  Ta tiền hành cân tích cho x  x  sau:  x  1  5x2  Khi vế trái thừa lại: x3  x  x   x  1  x3  x  3x  Ta cân tiếp cho  5x2    5x  3x  x  1 3 : a  x  1   x  1  a  x  3  x  3 www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Mai Xuân Việt Chuyển vế đồng hệ số: a  x  1  a  5x  3  x3  x  3x   a  Lời giải: Điều kiện x  , ta có: *   x  1      x  1   5x  3  5x    x  1   5x  3  x   5x    2    x   x   x  1   x  1 x    x  3       x   x   x3  x  3x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Ví dụ 6: Giải phương trình: x  x    x  x  x  x * Phân tích: Do biểu thức có dạng phân thức nên ta nhân thêm x vào để đưa dạng đa thức , tức phương trình  x2  x    x   x3  3x với lưu ý x  Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay ta tìm hai nghiệm phương trình x  x  Do biểu thức cân có dạng: x  3x  ax  b , thay hai  13  3.1  a.1 b a  b  a     x3  3x  x 3a  b  b    3.3  a.3  b nghiệm vào ta hệ:  Ta cân tích cho 2x x  x sau:  x   x   x   x3  3x Khi vế trái cịn thừa lại x  x    x   x  x  x  Ta cân tiếp cho  x   x  x3  3x   x3  3x Do phần thừa lại vế trái bậc mà biểu thức cần cân lại bậc nên ta cân với phân thức a (do hai lượng cân x a a x   x   x   x  3x    x   x  3x x x a a Chuyển vế đồng hệ số: x   x  3x   x  x   a  2 x x Lời giải: Điều kiện: x  2 *   x2   x   x    x3  3x    x   x3  3x x x 2      x   x3  3x     x   x  x  3x   x  x  3x  x   x  3x   x x    x    x3  3x  x x   x  x  3x   (do điều kiện x  )    x3 x  3  x   x3  3x  x  3x      x  x3  x  12 x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1;3 có nhân tử x ) :     Ví dụ 7: Giải phương trình:  x  1 x  1   x  1 3x   x  x * Phân tích: Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay ta tìm hai nghiệm phương trình x  x  Ta tìm biểu thức cân 3x   x  x2 *  x4  2x3  x2  5x     2x  1 www.LuyenThiThuKhoa.vn 3x  25 Mai Xuân Việt Khi ta cân cho 7x  x2 3x  :   x  1 x  1    x  1 3x  Khi vế trái cịn thừa lại:  x  x3  x  x  1   x  1 x  1  x  x3  3x  x Ta cân tiếp cho  x  1  3x    x  Do biểu thức thừa vế trái bậc mà lượng cân lại bậc nên ta cân với biểu thức ax2  bx  x sau:  ax  bx  c   x  1   x  1 x  1   ax  bx  c   3x  1   x  1 3x  Chuyển vế đồng nhất:  ax2  bx  c   x  1   ax  bx  c   3x  1  x  2x3  3x  2x Ta tìm a  1, b  1, c  hay biểu thức cân x2  x  2 *  x  x   x  1   x  1 x  1  x2  x  3x  1   x  1 3x  Lời giải: Điều kiện: x           x  x    x  1   3x  1    x  1 x   3x        x   3x   x3  x    x  x   3x    1   x   3x    x3  x    x  x   3x   x    3   x  1  x  1 x   3x   x      x   x  x  x  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  0;1 Ví dụ 8: Giải phương trình  x  1 x  1  x2  x  x3  * Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay, ta giải nghiệm phương trình x  2.7320 Sử dụng chức TABLE máy tính ta tìm đại lượng cân x   x  Khi phần thừa vế trái  x  1 x  1  x  x   x  x3  x  x  Ta tiếp tục cân cho  x3    x3   x  1 Do đại lượng cân bậc mà phần dư vế trái lại bậc nên ta cân với lượng ax  b sau:  ax  b  x  1   x  1   ax  b   x3  1  x3  Chuyển vế đồng nhất:  ax  b  x  1   ax  b   x3  1  x4  x3  x2  x  2 Sau đồng ta khơng tìm giá trị a, b thoả mãn Khi điều xảy hiểu biểu thức ta tìm chưa Ta thay đổi suy nghĩ chút: Ta biết phương trình ln có nhân tử dạng x3   A  x  biểu thức bậc 1: A  x   ax  b , bậc phương trình nên ta nghĩ đến A  x   ax  bx  c nghĩa biểu thức cân bậc Để ý thấy bậc luỹ thừa lớn  x  nên ta chọn a  , biểu thức cân có dạng: x   x  bx  c Ta khảo sát TABLE với hàm f  X   A3   A2  AX với A nghiệm phương trình tìm trên, ta tìm giá trị X  1, f  X   1 Ta suy biểu x3   x  thức cân cần tìm Lời giải: Điều kiện: x   www.LuyenThiThuKhoa.vn , ta có: 26 Mai Xuân Việt  *  x  x  x       x    x   x  1   x  x     x  x3  x   x3   x  x   x3    x3     x    x3   x     x  1 3  x  x  x    Vậy phương trình cho có nghiệm x   Ví dụ 9: Giải phương trình:  x  1 x     x * Phân tích: Bài tốn chứa khơng phải dạng để ta cân tích biểu thức bậc 1, đơn giản bình phương biểu thức thu tối đa bậc Nên ta bình phương hai để đưa dạng cân tích sau: *  2  x  1 x   1   x  x3  x   x  1 x   Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay để giải phương trình ta tìm nghiệm x  0.809016994 Dùng TABLE khảo sát ta tìm biểu thức cân 2x   2x Lời giải: Điều kiện:   x  , ta có: *  x3  3x   x  1    2x    2x  2x  4x2  4x   2x 2x     x  x    x  x   x x    x  1  x  x   x  1  2x   2x   x 4 x  x   1   Vậy phương trình cho có nghiệm x      Giải bất phương trình x3  x   x   Ví dụ 10:       * 2x   Phân tích: Xem bất phương trình phương trình, ta dùng chức SOLVE máy tính cầm tay giải nghiệm x  1 x  1.4142 Lưu nghiệm lẻ vào biến A dùng TABLE khảo sát ta tìm biểu thức cân 2x   x  Lời giải: Điều kiện: x   , ta có:   *  x  x  x    x     2x   x   2x  x2  2x   x 2x    x   2x   2    x   x   x  1  x  x  0    x  12  x  x   Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   2;   1      Ví dụ 11:   x    0  x  1 Giải bất phương trình  x  1 x    x3  x  * Phân tích: Dễ thấy bất phương trình có nhân tử chung x  1, ta tách thành: *   x  1 2 x   x  1 www.LuyenThiThuKhoa.vn x    27 Mai Xuân Việt   Dùng kỹ thuật cân tích ta tính x   x  1 x   x   2 x  x   x   nên x   x   , bất phương trình tương đương với  x  1 x   2 x   Bài toán trở nên đơn giản nhiều Do điều kiện x     Lời giải: Điều kiện: x   Ta có: *   x  1 2 x   x  1    x      x  1 x   2 x  x   x   nên bất phương trình tương đương với:   x    x    x   2 x     x  1 x   2 x      x      x      x   2 x    Do 2x   2x   với x         Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   3;1   3;  Ví dụ 12: x2  x  x    x2  x  2 Giải bất phương trình * Phân tích: Ta bình phương hai vế cho bất phương trình đưa thức áp dụng cân tích *   x2  x  x     x  x    x  x   x3  x  x Dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức cân Ta cân tích cho  x   x3  x  x  x   x  x  x  x3  x  x : x   x3  x  x Biểu thức dư vế trái là:  x  x     x    x  x   Ta tiếp tục cân cho x     x  x Vì biểu thức cịn dư bậc trùng với bậc với đại lượng cân nên ta cân bất phương trình với hệ số a sau:   a x 1  2x   a  x2  2x  x3  x  x   Chuyển vế đồng hệ số: a x   a   x  x  x  x   a  1 Lời giải: Điều kiện: x   Ta có: *      2   x  x  2x x  x  x   x  x   x   x   x  x   x  x  x   x  x    x   x  x   x 1  2x     x 1  x 1   x2  x 2 2 2  x2  6x      x   13 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1  3;3  13  www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Mai Xuân Việt Bài tập tự luyện:  Bài 1: 2x 1  x2  3x    Bài 2: 4x2 13x   3x    Bài 3: x  15 x   x   Bài 4: x2  x    x  2 x  x   Bài 5: 4x2  2x   8x   Bài 6: 3x2  3x    x   3x2  x   Bài 7:  x  2 x2  x   x2  5x   Bài 8: x2  x  10   x   x    Bài 9: x2  x   3x  3x  3x   Bài 10: x2  3x    x  3 x2   Bài 11:  x  1 x3   x3  x   Bài 12: 2 x    x  x  16  Bài 13: x3 15x2  78x 141  2x   Bài 14: x3  x  12 x    x3  x  19 x  11  Bài 15: 2 x3  10 x  17 x   x x  x  Bài 16: x  3x  x   x x   x  Bài 17: x3  3x  x    x  3x  x   Bài 18:  x  1  3x  1   x  1 x  x  1 x  Bài 19: x3  x    x  x   x   Bài 20:  5x   x    x  5 3x    Bài 21: x3  3x  x   x  x   Bài 22:  x  x    x3   Bài 23: x  15 x   x  x  20  x   Bài 24: x  x   x   3x  x  19   Bài 25: x3  x    x  x  1 x    Bài 26: x2  x    x  3 x   Bài 27: x  x3  x  x x  x2  x  Bài 28:  x    x3  x2  5x   x3  x  x x  x3  x  Bài 30: x     x  1  x  1  Bài 29: www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Mai Xuân Việt PHƯƠNG PHÁP TẠO TÍCH NHÂN TỬ Cơ sở lý thuyết: Đưa phương trình vơ tỉ dạng tích phương trình vơ tỷ Phương pháp chủ yếu dựa vào việc nhóm nhân tử thơng qua phương pháp liên hợp hay có nói cách khác cách ngược để tìm liên hợp Ưu điểm phương pháp hạn chế việc bạn đánh giá biểu thức sau liên hợp Chú ý: Phương pháp thực hiểu với phương trình - bất phương trình vô tỷ dạng thức nên muốn sử dụng phương pháp cần chuẩn hố phương trình - bất phương trình đưa thức hết Phương pháp áp dụng: Bước 1: Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình vơ tỷ lưu nghiệm vơ biến nhớ máy tính từ A đến M Ở lưu biến A chẳng hạn Cịn bạn thích lưu biến sử dụng biến nhé, khơng bắt buộc Ví dụ tìm nghiệm phương trình: x   2x2  x  www.LuyenThiThuKhoa.vn 30 Mai Xuân Việt Bước 2: Tìm nhân tử chung phương trình - bất phương trình Nếu phương trình có nghiệm vơ tỷ Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay khảo sát hàm f  X  có dạng sau: f  X   n g  A  AX A nghiệm phương trình tìm lưu vào đây, g  x  biểu thức Lưu ý phương pháp giải nghiệm đơn nghiệm kép, nghiệm bội ba trở lên khơng nên sử dụng phương pháp Với giá trị START 20, END -20 STEP Ta chọn số tương đối lớn để đảm bảo khảo sát hết, tránh xót trường hợp Xem xét bảng giá trị TABLE, chọn giá trị TABLE mà f  X  ngun, ví dụ ta có cặp  X  m, f  X   n  nguyên, biểu thức liên hợp tìm n g  x   mx  n Ví dụ: Tìm liên hợp phương trình:  x   x   x3  x  x  Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay, ta tìm nghiệm phương trình x  3.302775638 lưu nghiệm vào biến A Dùng chức TABLE khảo sát hàm số f  X   A   AX Cuối ta có bảng giá trị TABLE, chọn giá trị f  X  nguyên để tạo nhân tử Dựa vào bảng giá trị TABLE ta thấy với x  1 f  x   1 cặp số nguyên ta cần tìm Khi nhân tử cần nhóm là: x   x 1 Chú ý: Nếu nghiệm nghiệm bội bậc n nhân tử có dạng:   n f  x   ax  b Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ: *** Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ a nghiệm nghiệm bội n phương trình n phương trình ln có nhân tử  x  a  phân tích www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Mai Xuân Việt Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x   x2  x  * Phân tích: Dùng chức TABLE khảo sát khoảng nghiệm dùng chức SOLVE máy tính cầm tay ta tìm nghiệm phương trình x  Sau kiểm tra ta nhận thấy nghiệm đơn phương trình Ta thay nghiệm x  vào x  ta có x   , phương trình có nhân tử x   Lời giải: Điều kiện: x  2 , ta có:  *  x2 x    x  x  10  x22   x   x        x  2  2x       x   2  x    x2 2   x  1 Với x  2  x    x22 x  1  0 x   2  nên phương trình cho  x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 Giải phương trình sau:  x  x  10  x   x3  x  x  85  * Ví dụ 2: Phân tích: Dùng chức TABLE khảo sát khoảng nghiệm dùng chức SOLVE máy tính cầm tay ta tìm nghiệm phương trình x  Sau kiểm tra ta nhận thấy nghiệm kép phương trình, tức phương trình có nhân tử  x   Thay x  vào có phương trình, ta có trình thành  x 1    x   x  tính chất nghiệm kép Lời giải: Điều kiện: x  Ta có: *   x  x  10   x     x  5 x  x  10  x   x 1 Ta có 3x   x   hay ta tách nhân tử phương  x    x  x  x  85    x    x  x  10  x  x  10  2    x  5  3x  8   x  5  3x   0 x   x 1   x  x  10 x   x 1  x  26 x  14   3x  8 x  x   x 1 Khi phương trình tương đương với  x  5   x   với x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  5 *** Nếu phương trình có nhiều nghiệm hữu tỷ, xét trường hợp hai nghiệm hữu tỷ, trường hợp nhiều nghiệm tương tự trường hợp Giả sử phương trình có hai nghiệm hữu tỷ x   x   thực tế ta phân tích nghiệm theo nhân tử  x     x    với m, n bậc nghiệm tương ứng  ,  trường hợp nghiệm trên, làm khiến tốn nhiều thời gian phân tích nhân tử giải khơng ngắn gọn Để giúp điều đưa giải pháp đặt nhân tử mang tính tối ưu triệt để cho toán đơn giản ngắn gọn Ta có m  n tổng bậc hai nghiệm, thức có liên hợp với đa thức có có bậc m  n  , tức phương trình có nhân tử viết dạng  p g  x    a0 x m n 1  a1 x m n 2   am n 1   m n   Ví dụ 1: Giải phương trình x   3x  8x  * Phân tích: Khảo sát chức TABLE để xác định khoảng nghiệm phương trình, dùng chức SOLVE máy tính cầm tay ta giải tìm hai nghiệm phương trình x  www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Mai Xuân Việt x  Sau kiểm tra ta thấy hai nghiệm nghiệm đơn, tức phương trình có nhân tử x  x  3  x  3x Đối với học sinh có tư tốt dựa vào nhân tử nhóm phương   trình lại thành: *  x   x    3x  x   Nhưng phương pháp đề cập để giúp tất em, kể học sinh yếu chuyên đề làm được, đặc biệt phương trình chức nhiều việc phân tích tư em có học lực trung bình gặp khó khăn Chính vậy, ta làm sau: Do bậc nhân tử tìm x  x  3 bậc nên liên hợp có dạng: x   ax  b Thay hai nghiệm x  x  vào liên hợp, giải hệ phương trình, ta được:     a.0  b a       a  b b   Lời giải: Điều kiện: x  1 Ta có:  *   x  x    x   x 1  x3 hay x   x   x     x  3x   x  3x x   x 1 x      x  3x       x  3x    x  x   x 1    Vậy phương trình cho có nghiệm x  0;3 0 Ví dụ 2: Giải phương trình x3  5x  10 x  12    x  x   * Phân tích: Dùng TABLE để khảo sát khoảng nghiệm phương trình dùng chức SOLVE máy tính để giải, ta tìm nghiệm phương trình x  1, x  2, x  Sau kiểm tra tính chất nghiệm bội ta thấy nghiệm nghiệm đơn phương trình Tức phương trình có nhân tử  x  1 x   x  3  x  x  11x  Tới bạn có tư tốt dễ dàng nhóm nhân tử này: *   x3  x  11x     x  x     x  3 x    Ta biến đổi theo cách tổng quát để tìm liên hợp cho có phương trình Nếu biểu thức có có nhân với biểu thức khác ta lấy ln ngun cụm biểu thức ln bạn Do phương trình có ba nghiệm nên theo cơng thức tổng qt liên hợp tạo thành có dạng sau:  x  3 x   ax2  bx  c Thay nghiệm vào ta có hệ phương trình: 1  3 7.1   a  b  c a  b  c  6 a        3 7.2   4a  2b  c  4a  2b  c  4  b  1   x  3 x   x  x     9a  3b  c  c  6    3 7.3   9a  b  c Lời giải: Điều kiện: x   Ta có: *   x  x  11x     x  x     x  3 x        x  1 x   x  3   x  3 x   x       x  1 x   x  3 1  0 x   7x     2   x  1 x   x  3  1   x     x   x   x  7 x   7x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; 2;3 www.LuyenThiThuKhoa.vn 33 Mai Xuân Việt Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x4  33x3  x2  75x  50   x  1 x  5 3x   * Phân tích: Dùng chức TABLE để khảo sát khoản nghiệm chức SOLVE máy tính ta giải tìm nghiệm phương trình x  x  Kiểm tra ta thấy x  nghiệm kép phương trình x  nghiệm đơn Tức phương trình có nhân tử  x  1  x  5  x3  x  11x  Nếu giải tư tới bước ta lấy đa thức x4  33x3  x2  75x  50 chia cho đa thức x3  x2  11x  ta thương x  số dư  x2  6x  , tức x  33x3  x  75 x  50   x3  x  11x    x     x  x   Hay ta có *   x3  x  11x  5  x     x  x     3x   giải kết Theo cách làm tổng qt ta làm sau: Do bậc nhân tử chung ta tìm bậc ba nên theo cơng thức liên hợp có dạng:  x  1 x  5 3x   ax2  bx  c Do phương trình có nghiệm kép x  nên x  nghiệm phương trình đạo hàm Thay nghiệm đạo hàm nghiệm kép, ta có hệ phương trình:  1  11   3.1   a  b  c a  b  c  a       1   3.5   25a  5b  c  25a  5b  c   b  6 d  c  2a  b  4    x  1 x   3x    2a  b   x   dx   x  1 x  5 3x   x  x  nhân tử cần tìm phương trình *  x  33x  3x  69 x  45   x  1 x   3x    x  x    Lời giải: Điều kiện: x  Ta có:   x  1  x  5 x     x  1 x     x      x  1   x  5  x    x 1  x   2   x  1  x     x    x      3 3x    x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1;5  0 3x    Bài tập tự luyện:  Bài 1:  x   x  10  x3  x2  11x  Bài 2:  x  4 x   x3  x2  x   Bài 3: 10 x2  3x    3x  1 x    Bài 4: x  x   x3   Bài 5:  x  x   x   10  x  x  Bài 6: x3  x  x  10  x  11  Bài 7: 15x2  12 x  12  10  x  1 x2    Bài 8: x  x   x3  x  x   Bài 9: x3  x x   x  4 x  5   Bài 10:  3x   x  x   15  x  x www.LuyenThiThuKhoa.vn  34 Mai Xuân Việt  Bài 11:  x  2 x2  x   x2  5x   Bài 12: x2  x    x  1 x2  x   Bài 13: x  3x   x  x   x    Bài 14: x2  3x   x  2 x2  x   Bài 15: x2  2x    x  1 x2  2x    Bài 16:  5x  16 x   x2   x  20   x2 2 5x   Bài 17:  x  12 x   x   x3  22 x  11x   Bài 18: x3  15 x  x    3x  x  1 x  x   Bài 20:  Bài 21:  Bài 22:  Bài 23:  Bài 24: x   x 1   Bài 19: x 1 4 x   x   2x 3 x 2x2  x   3x x  3x  x  x8  4x  3x  3x  x2  x   3x  x   x 2x  x2  x  2x   Bài 25: 3x2  x    3x  1 x2   Bài 26: x2  x    x  1 x2   Bài 27: 2x2  3x   x 3x   Bài 28: x3  3x2   x   x   x  Bài 29: x   x x  x  Bài 30:  x   x   x  x   Bài 31: x3  x   3x    3x       Bài 32: 3x  x    x    x  x    Bài 33: x3  x  x   x  x   Bài 34: x3  3x  x  11   x   Bài 35: x    x x   x    Bài 36:   6 3 x 2 x  Bài 37: x   x    x  Bài 38: x 1   x  3x2  30x  71   Bài 39: x3  x   x  1 x    Bài 40: x  x  1   x  3  x  www.LuyenThiThuKhoa.vn 35 Mai Xuân Việt ...PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP PHẦN 1: XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Việc biết phương trình có nghiệm, nghiêm nghiệm vơ tỷ hay hữu tỷ vô quan trọng Để biết rõ ta tham khảo phương trình. .. điểm phương pháp hạn chế việc bạn đánh giá biểu thức sau liên hợp Chú ý: Phương pháp thực hiểu với phương trình - bất phương trình vô tỷ dạng thức nên muốn sử dụng phương pháp cần chuẩn hố phương. .. tử có dạng:   n f  x   ax  b Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ: *** Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ a nghiệm nghiệm bội n phương trình n phương trình ln có nhân tử  x  a  phân tích