Luyện siêu tư duy casio chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số và vô tỷ

Trang 1

DOAN TRI DUNG - HA HOU HAI - NGUYEN TAN SIENG - HO XUAN TRONG

(Giáo viên chuyên luyện thí THPT Quốc Gia)

LUVEN SHEU TUDUY CASIO

CHUYEN DE

Dành cho học sinh lớp 10, 11, 12 luyén thi THPTQG Phân tích, bình luận chỉ tiết, giải nhiễu cách

Tài liệu tham khảo cho quý thấy, cô giáo

ôi dưỡng học sinh giỏi

NHÀ XUẤT BẢN

Trang 2

LOI MO ĐẦU

Bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vốn di luôn được coi là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy Trung học phổ thông nói chung cũng như đánh giá năng lực học sinh trong mỗi kì thi Trung học phổ thông Quốc Gia nói riêng

Các bài tập thuộc dạng toán này đời hỏi học sinh cẩn tư duy theo nhiều hướng

khác nhau, sử đụng các phương pháp khác nhau để có thể tìm được mẫu chốt vấn để, một trong số đó là phương pháp sử đụng máy tính Casio

Trên cơ sở các kĩ năng xử lí máy tính Casio sẵn có, tác giả cuốn sách đã nghiên cứu và tìm ra những phương pháp xử lí mới, độc đáo từ đó đúc kết thành 2 phần chính trong cuốn sách này:

« Phần 1: Phân loại các kĩ thuật giải bài toán phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình

* Phan 2: Tong hop các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hay và khó trong các để thi thử trên toàn quốc Phẩn tổng hợp được đưa ra trong hai chủ để cuối cùng,

Hi vọng cuốn sách này sẽ là cẩm nang giúp các em học sinh Trung học phổ thông có thể có thêm 1 hướng tiếp cận mới với bài toán phương trình, bất phương

trình, hệ phương trình từ đó nâng cao khả năng tư duy và xử lí nhanh nhạy các

tình huống tương tự

Trong quá trình hoàn thành cuốn sách, chúng tôi xin gửi lời chân thành cảm ơn

tới thầy Võ Quang Mẫn, thẩy Nguyễn Đỗ Chiến, thầy Trẩn Đình Khánh cùng toàn

thể các em học sinh đã góp ý, giúp chúng tơi hồn thiện cuốn sách này Xin chan thanh cam on

Nhóm tác giả

Đoàn Trí Dũng (Casio Man) (Chủ biên)

Trang 3

Luyén siéu tu duy Casio

L Ky nang 1: Kỹ năng nâng lãy thừa:

Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán mà trong quá trình giải toán, ta vẫn thường gọi với những tên quen thuộc như “bình phương hai vẽ”, “lập phương hai vế” Học sinh cẩn nắm vững các hằng đẳng thúc cơ bản về nâng lũy thừa như sau:

(axb) =a" +b" +2ab * (ax) =a +307 +3al 4B a+b+c) =a +b? +c? +2(ab+be+ca) ® ( (a+b+c)° =P +b +8 +3(a4b\(bt+e)(c+a)

(z+b+e)" =a +bŠ +c? +3(a+b +c)(ab + bc + ca)— 34bc

Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng máy tính Casio để hỗ trợ với những biểu thức bậc không quá lớn và hệ số nhỏ như sau:

Vi du: + #x+3=(x+1)Nx-1

(x41) (x-1)

2

Bình phương hai vế của phương trình ta có: (# +x+ 3} Thay x = 100 vào hai vế: : lo +x+3Ÿ = 102070609 = 1-02-07 ~ 06-09 =x" +2x5 +727 46x49 (x +1) (x=1)=1009899 = 1-00-98 -99 = 2° + 98x +99 Chú ý rằng hệ số của x trong vế phải không thể lớn như 98 và 99, do đó thay 98 =100-2=x-2 va 99=100-1=x~-1 Ta có (x+1(x-1)=#` +98x+99=x? +Íx~2)x+(x~1)=x”+x”=x~1, Do đó ta được: (2 +x+3Ÿ =(x+1Ÿ(x-1)©+' +23) +7+2+6x+9 =x2 +3?~x—1 Ví dụ 2: 2x?~x—3=(x+2)\jx—2

Trang 4

Khangvietbook.com.vn - Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xưân Trọng Do đó (2x7 -x-3) -+2Ÿ (x~2)= 3+" +94x2+872 + 10x +17 =|£# -x-3) -(x+2}Ỷ (x-2)=3x!+ (x-8)* +(x-13)+? +10x+ 17 =2 -x-3} -(x+2Ỷ (x~2)=4x* ~ 5x? -13x? +10x4+17

Kỹ năng đọc số liệu của may tính từ đó chuyển thành đa thức ta gọi là tư duy

chuuển hóa số liệu của máu tính

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH

THAY SỐ VÀO BIẾN THƠNG QUÁ CÔNG CỤ.CALC

Để có thể thay x ='100 thông qua

may’ tính Casio chúng tả tiến (x? +2X+9]) | 2 Math hành bấm máy tinh, (x?+2x +3) Sau d6 bain CALC,-tndy tính hỏi wath a R? bam mit “=” oe 1nn gia trị của biến: X, ta nhập 100 rổi Math & Nhận kết quả 1~ 04 = 10~ 13+ 09, (x2 42x43) * 104101209 Do đó ta có: (2 +2x +3) 2x ede? 104? 1G BAI TAP TU LUYEN ne + wy 4 2 3 2.4% Bài 1: Rút gon biéu three: (x+2)" +(2x+1) +(x +1) - Đáp an: x‘ + 8x? +15x? +10x+6 2 Bài 2: Rút gọn biểu thức: (2 +2x+ 3) -(x+ 2Ÿ (3z—5) Đáp ám: xÃ + x) +3x2 +20x+29, 3 2 Bài 3: Rút gọn biểu thức: (2 +2) -# +2} +22 +z+1Ì(x=2} - Đáp ám 6x2 — 2x) +10x2—2x

11 Kỹ năng 2: Dò nghiệm và phân tích nhân tử phương trình bậc cao:

Khí gặp một bài toán chứa căn thức hay còn gọi là phương trình vô tỷ, một trong các vấn để đầu tiên có thể suy nghĩ tới đó là phương pháp nâng lũy thừa của biểu

thức Nếu như phương trình có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ, việc phân

Trang 5

Luyện siêu tư duy Casio

Kỹ năng này sẽ cung cấp cho các em một kỹ thuật xử lý các bài tốn có chứa nghiệm vơ tỷ để các em có một công cụ tốt và không ngẩn ngại khi phải nâng lãy thừa loại bỏ căn thức Chúng ta cẩn ghỉ nhớ các điểu sau:

Tự duy vé định lý Viet đảo: Nếu một đa thức P(x) có các nghiệm phân biệt x,,x, thì đa thức P(x) chia hết cho x’ ~Sx+P trong đó ta có: S=xị +x„„P= Xi;

Tự duy phân tích nhân tử qua chia da thite: Néu P(x) chia cho x? -Sx+P duge két

qua la Q(x) thi P(x) =(x* —Sx+P)Q(x) `

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH

DỊ NGHIỆM THƠNG QUA CÔNG CỤ SOLVE

Để dò nghiệm của phương trình: Math 4

x2+vx+3=9 wŠ+ r3 =1

Ta tiến hành bẩm máy tính:

X?+ Jx13 =9

Sau đó sử dụng công cụ SOLVE

bang cach bam: SHIFT + CALC Wath á

Máy tính hỏi X, tanhap 1gié tej | SOlWe for &

bất kỳ thỏa mãn điểu kiện xác a

dinh, chang han ta chon X=2 va bẩm “=”, Máy tính trả về kết quả là một s„ 2-978034734 + id= Wath & nghiệm của phương trình Tsp Lot be PB Chẳng hạn trong phượng trình này ta thu được: x~2.576534724 Vi dụ: Giải phương trình: 2(x? + 2) =Byr +1 Phân tích Đẩu tiên, bình phương hai vế ta thu được kết quả như sau: a(x? +2) =25(x” +1) = dx* -25x* + 16x? -9=0

Trang 6

tbook.com.vn langvie ^ | a I Kì ~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng Bài giải Điều kiện xác định: x>-1 2 Ta có: 2(s +2)=5 x2+1 aa +2) 25(x" +1) > At +162? +16 = 252° +25 (x? ~5x—3)(42?-5r+3)=0e reset

Trường hop 1: Voi x* -5x-3=0-> x= af (Thỏa mãn điểu kiện)

Trường hợp 2: Với 4+? —5x+3=0, phương trình này vô nghiệm

Kết luận: Phương trình có nghiệm x= si

HƯỚNG ĐẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH -

CHIA-DA THUC THONG QUA CONG CU CALE 160

Để thực hiện phép chia đa thức mà

trong, bài toán trên, ta bẩm máy 4x4 —75x5415x%2~-9 tinh: x2 -5R-3 4X*—95xX° 416X?-9 X?-5X-3

Sau đó bấm CALC, máy tính hỏi 49 Nath a

giá trị của biển X, ta nhập 100 rồi

bam nut “=”, 100

Máy tính trả về kết quả 3 — 95 —.03

Math &

Trang 7

Tu duy Viet dao: x, +x, =3,x,x,*-1 Nhén th thu duge: x? -3x-1 Vay: (x -3x-1](x4 +27 +3x7 +2+7)}=0 Vi xt tah 48x txt 7a at(xt 4x4) 4 (20? +x47)>0 vreR Do dé (*) > x? -3x-1=0 3413 2 Với x? -3x-1=0ex= Thử lại nghiệm ta được x= là nghiệm duy nhất thỏa mãn 34-13 2 34413 2

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x= Bài 2: Giải phương trình: 2x2 ~6x~1=/4x+5 Điểu kiện xác định: x> 3 ` Ta có: 2x” =óz—1= 4x +5 e> (2x? ~&x-1Ÿ =4x+5 ox! —6x° +8x7 +2x-1=0 x, © 2.414213562 +; “~0.414213562 #; © 3.732050808 x, # 0.2679491924

Sử dụng máu tính Casio ta thu được:

Trang 8

Khangv etbook,com.vn

Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải

- Nguyện Tấn Siêng- Hồ 'Xuân Trọng

ceed et 4901159709

BAI TAP TỰ LUYEN

Bai 1: Giải phương trình: z°—6x~2=Jx+8 Đáp số: x= 5—41 2 vx= 7+3V5 2 Bài 2: Giải phương trình: z”~3xz~2=(x— 1N2x+T Đáp số: x=3+2\/3vx=1-2 Bài 3: Giải phương trình: 15x? =x eave exalt 5 w _ltvi3_-1-y29 Đáp số: x= P 6 = 10 Bài 4: Giải phương trinh: 2x +2= 42x+1+6x+5 Đáp số: x=1+ *° Bài 5: Giải phương trình: 3x2 =Äx” +4x+2 xt sứ Đáp số: x=

1H Kỹ năng 3: Phân tích nhân tử biểu thức chứa một căn dang co ban: = Vi du: Phan tich nhân tử: x+2jx+3

Đặt 4x3 =t=x=-3 Khi do: x+2¥x+3 = +2t-3= (- 1)(t+3)

Trang 9

Luyén siéu tu duy Casio

BAI TAP TU LUYEN

Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x+4—5vx41

Đáp án: (2 xed -1}(o+1-2}

Bai 2; Phan tich nhan tit: 22+5+7V2x—1

Đáp an: (Wx=1+1|(45x=1+6)

IV Kỹ năng 4: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn:

“Vi dự 1: Phân tích nhân tử: x2~2xy+y2+x+ (Tối đa là bậc 2)

Thay y=100, biểu thức trỏ thành: x2~2xự+wˆ~x+w=z?~201x + 10100

Bấm máy phương trình bậc 2 ta được 2 nghiệm: + =100,x =101

Do đó: z2 ~201x+10100=(x—100)(x—101)

Vi 100 =y,101=100+1=y+1, vay: x7 -2xy+y? -x+y=(x—y)(x-y-1)

Vi dy 2: Phan tich nan tits x9 + 2x?y+ xy" +y? + ay + 3x $3y

“Thay y=100, biểu thức trở thành:

+xŠ +22 + xự? + JỀ + xụ + 32 + 3y = xˆ +200x2 + 10103x + 10300

Sử dụng SOLVE ta được x=~100=- Ta có hai cách xử lý sau: Cach 1: S@ dung CALC: +2 +2xÊu + xự? + ý + xự + 3x +3 1 Thay x=1000,/=—— ta có: y #108 xiự =1000013.01 =1000? +1000 2-434 100 100 =% +xW+u+3

Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả: x+2x?y+xự? +ự? +xy+3x+3=(x+)[s° +ay+y+3) Cach 2: So dé Hoorne: “ ~100 1 100 103 0 3 2 Vay + +200x SHOES OE =v +100x4108 xt+

Hay P42 yay? sy +ay+3x+3y=(x4y)(x? 2y+y+3)

Chú ý: Phương pháp nay rất có ích cho các bài toán về chủ để tương giao đồ thị

hàm số bậc 3

gvietbook.com.vn wd

Trang 10

- Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích nhân tử: +? - 3xy + 2y? ——1

Đáp ám: (x—w+1)(x—2y—1)

Bài 2: Phân tích nhân tử: 2° + 2xy? —2y? +x? ~ xy—2y? —x-y-1

Dép dn: (? —y— a(x +2y +1)

Trang 11

VỊI, Kỹ năng 7: Khai căn biểu thức hai biến:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: QJx +2x2w+ 2 +2x? +2y+1 a uty Yy

Gan x= 1000,y = ta CÓ:

vjxÊ+232y+ y2 +2x2 +2y+1 =1000001.01.= 10007 += +y+1|

Ta cũng có thể viết: x° + 2x2+ yŸ + 232 +2y+1=(#` +y+1Ÿ

ị Vi du 2: Rut gọn biểu there fx" +(y#?)z+2+2(x+0xšz+1 Gán x=y=1: vjx? +(y+2)x+2+2(x+1)\ày+1 =3.414213562=2+ V2 Gần x=2,y=1: vb2+(y+2)x+2+2(x+1) ấy +1 =4732050808 =3 + V3 Chú ý rằng: xxy=1> iyi =v Do đó xét: x=2„y=1=>Jšy+1= 3 x?+(y+2)x+2+2(x+1)Jxy+1—sjxu+1 CALC x=1080,y= 0n x?+(y+2)x+2+2(x+1)jzy+1~ajxy+1=1001=x+1 Vậy: d2 +(y+2)x+2+2(x+1)jsy+1 =E+1+ li Ta cũng có thể viết: x2 +(y+2)x+2+2(x+1)jxu+1 =(x+1+ ø +1} BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn biểu thức: i? +2xy+ˆ+2x+2/+1 Đáp án: Je +2xy+ˆ2+2x+2w+1 =|x + +] Bài 2: Rút gọn biểu thức: f(x+ 1Ÿ +2/+2x.|2x+2y+1

Dap dn: {+17 +2y+2x~|2x+2+1 =|x+.Pz+2y1|

11

Trang 12

Khangvietbook.com.vn ~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng Chet 2 CAC PHUGNG PHAP x7 1 CHUA NGHIEM PCN E 1 Giới thiệu phương pháp nhân liên hợp: Liên hợp căn bậc 2: Liên hợp căn bậc3 Liện hợp căn bậc 3- — - c "" a abo? SP abe?

Chit: a tab +b? 50? 420? +3(a2b) >0,v,b khong dng thoi bing 0

Nếu 2 căn có giá trị bằng nhau, ta có thể liên hợp 2 căn oồi tham

1I Ý nghĩa của phương pháp nhân liên hợp:

Giả sử phương trình ƒ(x)=0 có nghiệm z=3 và trong phương trình có chứa căn

thức ¥x+6, khi dé voi x=3 > Vx+6 =3

Vậy nếu sử dụng liên hop: det6ca= = Tân 3 khi đó sẽ xuất hiện

x+6+ x+6+

nhân tử (x—~3) và có thể rút ra làm nhân tử chung

Tuy nhiên, vì x=3 nên ta cũng có thể đánh giá ŸJx+6 =3=x 2—x~ —3)(x+2 Vậy nếu sử dụng liên hợp: aero nz +?) ta cũng rút được xX†Nx+6_ x+\x+6 nhân tử (x-3)

Nhu vay ban chất của phương pháp nhân liên hợp là rút ra nhân tử chưng để chỉ ra

nghiệm của phương trành Khi hai đại lượng a 0à b có giá trị bằng nhau, ta có thể sử dụng nhân liên hợp giữa hai đại lượng nàu

II, Sử đụng chức năng TABLE để phát hiện nghiệm của phương trình:

Để biết phương trình x2 +xjx+7 =7 có nghiệm gì, ta có thể sử dụng máy tính Casio

để biết nghiệm của phương trình thông qua công cụ SOLVE, tuy nhiên nếu muốn

biết chính xác phương trình có bao nhiêu nghiệm ta nên ưu tiên sử dụng công cụ

TABLE (Công cụ hình dung sẵn đúng hình đáng của đồ thị hầm số) như sau:

Trang 13

L.uyên siéu tu duy Casio Khangvietbook.com.vn

Bude 2: Lya chon START =~7 g tar tạ Math

START [a gid trị khởi điểm của hàm '

số bạn muốn bắt đầu Vì điểu kiện -4

x>-7 nên ta lựa chọn START =~7

Bước 3: Lựa chọn END=2 End? Meth

END là giá trị kết thúc với biển z„ '

théng thwong ta chon END theo 2

công thức: END = START + 9

Bước 4: Lựa chọn STEP=0.5 Step? Nath STEP 1a gia tri yêu cầu các biến x ‘

sẽ cách nhau một giá trị là bao ũ 5

nhiêu?

Thông thường lựa chọn STEP=0.5

BEuớc 5: Nhận bảng giá trị và kết m=Ì? nà Math

luận: CR5, 381

Thông qua bảng giá trị hàm số ta b -B -? nhận được, ta thấy phương trình có

nghiệm duy nhất x=2 Ñ F a ‘ath

Các câu hỏi thường gặp: q = aed

Câu hỏi 1: Nếu hàm số có tập xác B nu -4,.5

định D=E thì lựa chọn thế nào? aan

Trả lời: Khi đó ta chọn START=-9 1 H “4 ithe

, END=9, STEP=1 để quét hầu hết a ee ‘te 1208

cac gia tri -3

Câu hỏi 2: Nếu tập xác định của ñ Wath hàm số nhỏ chẳng hạn Dz[2;35] 10 tas nha

thì lựa chọn thế nào? là mm ao aa

Trả lời: Khi đó ta chon START=2, 71.5 END =35, STEP=0.1 2 m wath

Câu hỏi 3: Nếu không thấy nghiệm F| ee

của phương trình thi ta nén tu duy | | [5 wma |, 33 a Ta sao?

Trả lời: Khủ đó có 2 tình huống: # jew po

| 1 Nếu có 2 vùng x=z,x=b hàm số 11 are wea

đổi đấu thì phương trình có IB Pin; BẠN 1.5 nghiém trong (a; b), quay lai =m

MODE 1 va SOLVE voi giá trị khởi mm fo 14

dau x=ce(a;b) | | ee

I8 2 ũ

Trang 14

~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng

chẳng hạn 02,01 để khảo sát kỹ

hơn hoặc dùng SOLVE hỗ trợ tìm nghiệm Nếu vẫn không tìm ra thì

chứng tỏ phương trình vô nghiệm

Câu hỏi 4: Nếu hàm số đổng biến

hoặc nghịch biến được phát hiện qua TABLE thì sao?

Trả lời: Trong trường hợp đó, ta chú ý rằng khi ƒ (x) đơn điệu hay f'(x)20 hoae f'(x)<0,vxeD, khi đó:

© Phuong trinh: f(x)= f(y) co t6i da mét nghiém x=yeD » Bất phương trình: ƒ(x)> ƒ(v),ƒ'(x)>0,Vx,ueDœx>w © Bất phương trình: ƒ(x)> ƒ(y),ƒ'(x)<0,Vx,«Dex<w 5 Bất phương trình: ƒ(x)< ƒ(y),ƒ'(x)<0,Vx,ueD«ex>w » Bất phương trình: f(x)< f(y), f'(x)20,vz,yeDox<y » Bất phương trình: ƒ(x)> ƒ(v),ƒ'(x)>0,Vx,vsDx>w » Bất phương trình: ƒ(x)> ƒ(w),ƒ'(x)<0,Vx,usD©x<w » Bất phương trình: ƒ(x)< ƒ(w),ƒ'(x)<0,Vx,u<D©x>w © Bất phương trình: ƒ(x)< f(y), f'(x)20, vz, yeDoxsy

Sử dụng TABLE là một nghệ thuật trong giải phương trình, bất phương trình Bạn đọc cẩn thực hành qua nhiều bài tập để thành thạo kỹ năng nâu

Trang 15

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức trong ngoặc 1 1 8 z x x : #+#———— ————— vẫn còn chứa dấu âm, lế nào vẫn còn nghiệm? xx-1+1 xx+2+2 6 Thực chất khi sử đựng máy tính Casio từ đẩu, phương trình chỉ có duy nhất 1 1 ^ ` Spee Ƒ=== không còn \z-1+1 jx+2+2 8

nghiệm nào Để chứng minh biểu thức vô nghiệm, ta có 2 cách:

nghiệm x=2 vì vậy chắc chẵn biểu thức x+

max — = 0.5 = 1

Nx+242 2

ú ý rằng: = ì biết Math

Chu y rang: maxA=a thì biểu Fab thức (ø— 4)>0 luôn đúng 4 aie eel aha

Đo đó nếu sau khi liên hợp: 3 110.3838 _ Xuất hiện (A-), ta tim minA Math at hién (— i Fan Xuất hiện ( A); ta tìm maxA y tos asi ElenHl |D 2182 0.5 ôâ Cỏch 2: S dng đánh giá phụ: i <i vi 420,b>0 Do dé ta tim duge: va+b b 1 1 cất 1 1 —=—=—=———<~„ do đó ta tạo biểu thức: | ~—=————— | jxt2+2 2 Ta) Do đó: Bất phương trình ©(x~2)) x1 —2|1-—EL Jeo 2 vx-1+1 (2 vdx+2+2 =(x-2) yy eH <0 2 x-1+1 2(ve+2+2)] 1 1 ¥x4+2 VÌ: xe —+———==——+———————>0,Vx>1 Do đó: 1<x<2 2 vx-1+1 2(Wxt2+2)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: 6 =| 1;2 ]

Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để nhân liên hợp mà không bị mang dấu âm? Để trả

lời câu hỏi này, ta cẩn biết đến Phương pháp nhân liên hợp truy ngược dấu cấp độ 1 như sau:

Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa (-va) đồng thời có đánh

giá Xã=b thì sử dụng liên hợp Va(Ja-t) sa-bya Ví dụ: ¥x+1=2 khi do ta su dung lién hop:

ýx+1(Vx+1~2]=x+1~2ýx+1,

l§

Trang 16

Khangvietbook.com.vn

- Nguyễn Tấn Siêng - H Xuõn Trng

ôâ Nu trong phương trình hay bất phương trình có chứa (-#) đồng thời Ya=b thi sử dụng liên hợp (fa -2)(¥a +0) ¥a = av Ya Ví dụ: Ÿx+5 =2 khi đó ta sử đụng liên hợp: (Wz+5-2)(Wx+5+2)Ñx+5=x+5~4Äfx +5 Cách 2: Sử đựng truy ngược dấu cấp độ 1; Điều kiện xác định: x>1 Ta có: (x1 +xz—1—-jx+2<0 œ2(x—1ÿ +2/X—1—2x+2<0 =(2z2~5x+2)+2(dx~1~1]+Íx+2~2x+2)<0 (2-2) 20-1), fe+2(Ve+2 ~2}<0 ` 2 Nx+2 «>|x-2J 2x-1+-————+-———_ |0 ( i jx-1+1 ¥x+2 2] Vi: 2x14 NAH >0,vx>1.Do đó: 1<x<2 dxz-1+1 Ax+2+2

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: S=[1;2 |

Câu hỏi đặt ra: Điểm yếu của truy ngược dấu cấp độ 1 là việc phải nhân thêm với hệ số nếu muốn sử dụng Vì vậy ta cẩn làm thế nào để vừa có thể nhân liên hợp sao cho biểu thức bên trong mang dấu không âm mà vẫn hạn chế được việc nhân thêm hệ số?

Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết đến Phương pháp nhân liên hợp truy ngược đấu cấp độ 2 như sau: Giả sử bài toán chứa -/x+3 và phương trình có nghiệm x=1 Khi đó ta đánh giá như sau: Ýx+3=2=x+1=2x=x”)+1=24” = Do đó ta có thể sử dụng các phương án liên hợp sau: - x2+x—Ð2 (x~1)(x+2) 12 Khê TƯ SẺ tr V vi =6 Tin x#1#Wx+3 x†1‡ljx#3 : 4i2-+-3 z-U(4+2) ‘bye [ppg eS ee —: Tin '2x#Jx+3- ‹02x+jX+3 CD lưng -E 3382 _x-3 _ rẻ xex2) ? x°+1+vx.t3: #2+1+Jx+3 : oe liệt " (x=1)|4£ aay? +4243) - 292 +2Jx+3, © Oe? afr :

Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và người sử dụng liên hợp trong quá

trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết phối hợp giữa các điểu kiện bài toán đưa ra ban đầu để từ đó quyết định đâu là liên hợp cẩn tìm

Trang 17

Cách 3: Sử dụng truy ngược đấu cấp đô 2: Điều kiện xác định: x>1 Ta có: (z-W+Jx-1-dz+2<0 mo +>(x-1)(x-2)+ x-2 x7 c2 rer Nx mình x+ a oleate + eh fee Vì: x«.112-=C—+—X*— pee Do đó: 1<x<2 x*x-1+l x+x+2

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: §=[1;2]

Câu hói đặt ra: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta có thể hóa giải các bài toán phương trình, bất phương trình bằng những phương pháp nào?

'Trá lời: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta có thể hóa giải bằng:

Đặt ẩn phụ

Thần tích nhân tử, nhóm hằng đẳng thức

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cách 4: Sử dụng tính đơn điều của hàm số: Điều kiện xác định: x>1

Nhận thấy với x=1, bất phương trình luôn đúng

Với x>1 Xét hàm số: i ()=# ~2x+1+Jx~1-.Jx+2 tại D=(+e) Ta có: ƒ'(x)=2x~-2+>—== 2(x=1)+ Xxt2 h1 vA si mì xi Pelee a eae eh Do đó ƒ(x) là hàm số đồng biến và liên tục trên D=(1;+0) Nhận thay rang f(2)=0, do đó: (- +xx=1-xx+2 <0

©f(x)</(2)<x<2 Kết hợp điểu kiện ta có: 1<x<2 Khangvietbook.com.vn

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: S=[1;2] V, Tóm tất lý thuyết: ° ° ° °

Công cụ đò nghiệm: SOLVE và TABLE kết hợp

Nếu căn mang đấu dương, ta liên hợp căn với số điên hợp cơ bản)

Nếu căn mang dấu 4m, ta sử dụng truy ngược dau Ị

vÝn =b: Xét liên hợp (=~bz]={z(da —v]

|

Ya =b: Xét liên hợp {ava} = Ya(Ya—0)( Yo +0} |

Trang 18

- Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng

'e_ Nếu hai căn có cùng giá trị, ta liên hợp hai căn thức đó với nhau

Trang 19

Luyện siêu tư duy Casio Phân tích « Sử dụng TABLE tìm được: x=1 Ÿy-9=-2=x~3 V5x—1=2=2x,2V5x-1=4=5x-1 Bài giải © Nhân tử có thể sử dụng: | Cách 1: Nhân liên hợp cơ bản: Điểu kiện xác định: x> : Ta có: Ÿx~9 +2x7+3x=v/5x—1+1 +(#=9+2)-(V5x“1~2]+ (2x? +3x~6)=0 2(x~1) 5(x-1) ° +(x~1)(2x+5)=0 © (x-1) " _ =0 (=9 -2zW-3+4 v5x~1+2 ©(x-1) 2 +2x „55x—1+ổ (&=5-1Ÿ +3 xx~1+2 =0<>x=1 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S={1}

Cách 2: Truy ngược đấu cấp độ 1: Điểu kiện xác định: x> i - Ta có: Ÿx—9+2x2+3x=j5x—1+1 ©2ÄZ~9+4x2+6x~2s5x~1~2=0 <2(Ya-9-+2)+(5x-1-2V5x—1]+ 4x? +2520 2(x-1) 5(x—1)\j5x—1 œ————————r+ (W“9} -z#x-s a4 VSX-1+2 +(x-1)(4x +5) 2 5Y5x-1 ©(x-1 m1 ( la A5x—1+2

Trang 20

Bài giải

Cách 1: Nhân liên hợp cơ bản:

Điều kiện xác dinh: 2x7 +4720 x20vx5-2 a Tac: 2x" ~x42 -V2x" +4x =x-2 eo 2 ort yn 24Jx?~x+2+232+4x “2Í ta 24x2~x+2+42x2 +4+ = (x~2)(2x-+-2M# —x+2- 2+? +âx) =0

Trường hợp 1: z=2 (Thỏa mãn điểu kiện xác định)

Trường hợp 2: 2x—4=2\x?~x+2 +42x2 +4x, Kết hợp với phương trình ban đầu ta có: Tu —x+2+2x” +4x ; x-2=2\x? =x+2 —x|2x2 +âx Để giản ước căn thức, ta cộng vế với vế (hoặc trừ hai vẽ cũng được) ta có: x>2 3x~6=4\|x?~x+2 | (3-6) =16(x2 -x+2)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $= {2} Cách 2: Nâng lũy thừa: Điểu kiện xác định: 2x2 +4xz>0<>x>0vx<-2 (Vô nghiệm) Ta cb: 2x2 -x+2 ~J2x? +4x=x—~2 œ2>?~x+2 =(-2)+2x2 +4x Bình phương hai vế ta được: 4(s°~x+2)=(x~2))+2x2 +4x+2(x~ 2)J2x” + Ax 2 2 x=2 —2} =2(x-2ÌN2 4 ol ) ữ ) “eee x-2=2\2x?+4x x=2 (x _ ay - alo? 4x) <> x=2 (Théa man diéu kién xdc dinh) eo

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $ ={2}

Như uậu uới những bài tốn có căn uừa ồ nhỏ, hệ số không quá lớn, 0iệc lựa chọn

Trang 21

Luyện siêu tư duy Casio Bài giải Cách 1: Nhân liên hợp cơ bản: x14 4 Điều kiện xác định: #> 2v xe — Ta có: x+\x?—3=42x2—7 +32x2—4 e(đaể~z =Ù2~3)»[ đa" =a~x)=0 4 4 © eee ee $ Vox?-7+ 022-3 Vox? 442 2 gf ee} = Gees

oles) Si FES [at lea [ae -ax)

coe (Vas? <4 vx Vax? 7 +s? 3 }=0

Trường hợp 1: x2=4=x=+2 Thử lại nghiệm ta thấy nghiém x=-2 không phải

nghiệm của phương trình, còn nghiệm xz=2 thì thỏa mãn

Trường hợp 2: Vox? 4 4x4 Vor? 7 +x? 3 =0, Vì chưa khẳng định được

phương trình này vô nghiệm do đó ta kết hợp với phương trình ban đầu ta có:

( + Var —4 + vox? 7 + Ve—3 =0 x— 2x? 4 - Vox? 7 + Je—3 =0 ,

Triv vé' voi vé ta duoc: 2V2x? -4+.2V2x" -7 =0 (V6 nghiém)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là 5={2}

Cách 2: Nâng lũy thừa: =0 cty vie Diéu kién xac dinh: x2 ——v xs -—— Ta có: xe? ~3=/2x2 -7 5 las _4 to bệ ~7 = 2x2 4-2-3 Binh phương hai vế của phương trình ta được: x2~2x42x2—7 +2x2S~7=2x2~4~2 (2z? -4)?~3]+a?~3 ®x|2x2~7= [ox -4)( (? -3) “Fe _p )=|s#~4)# -3}

x=2(Thỏa mãn điểu kiện)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S={2}

Qua các bài tập trên ta nhận thấu:

se Phương pháp nâng lũy thừa là một phương pháp giải tốt, hồn toần khơng thua kém gì so uới các phương pháp giải khác

21

Trang 22

nhm được bậc không quá lớn sau khi nâng lũy thừa

nữa (Gọi là nghiệm ngoại lai), ta cầu thử lại để kiểm tra tính đúng đắn của nghiệm : Bài 5: Giải phương trình trên tập số thực: : Nãy-2—jx+1=2x2 —=x-3 | (Trich dé thi Học sinh giỗi tỉnh Quảng Nam 2014) WOE soe onsen tne + CƠ nàn HN TƯ ® Sử dụng TABLE tìm được: x= 5 e Nhân tử có thể sử dụng: v3x-2 =xx+ io 2 ee Bài giải > Điểu kiện xác định: ¬ = Ta có: V3x—-2~Jx41 =2x? ~x-3 OC oe ei) , ee a x* - x -3 sẻ (Mz-2+x+1) oO 2x-3 1

“em 69:9 were ent ee |e

Trường hợp 1: Với 2z~3=0 c>x -3 (Thỏa mãn điểu kiện)

Trường hợp 2: Với x+1- ope 0

(x-2+Jy+1)

@(x+1)( 5x~2+Wx+1)=1, Vì 222 do dé:

(<4 1)( ETA) (et Were SF

Vậy phương trình x+1 -=—L —— =0 vô nghiệm

(v3x-2 + Vz+1)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S= li:

Bài 6: Giải phương trình trên tập số thực: dzz1-2Vi=z-Œ-5) 2x? +18

_(rích để thi thử Đại học Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2013)

Trang 23

Luyén siéu tu duy Casio Phan tich © Sử dụng TABLE tìm được: x=3 =2 « Nhân tử có thể sử dụng: [vex a xe1=2V4—x 5 Ves x=1 « Tinh don diéu: Ham sé don điệu Bài giải Cách 1: Nhân liên hợp cơ bản: Điểu kiện xác định: -1<x<4 Ta có: ¥x+1-2 iy 2-9) = ox? +18(Vx+1-V16-4x)=5(x-3) x°+ 5(x-3)¥2x? +18 5(x~3)= x=3 —— ——-š5(zx- Ax+1+Ïl6=4x v2x? +18 =v/x+1+v16—4z Trường hợp 1: x=3 (Thỏa mãn điểu kiện xác định) Thay vào phương trình ta thấy -

đây là một nghiệm thỏa mãn

Trưởng hợp 2: 232 +18 = jx+1+:v16—4z Bình phương hai về ta được:

c>2xh+e3x+1=4lz+1)(4—x) Arr 4 22x? tẩy kT 2 2 2 ; “ine = D08 ren) off x3) (22 +7x+21)=0 2x2+3x+1>0 2z?+3x+1>0 ©x=-Ivx# 23 „ Thử lại tạ thấy các nghiệm này không thỏa mãn phương trình bạn đầu

Kết luận: Tập nghiệm c của bất phương trình là s={3} Cách 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Trang 24

Do dé: = f'(x)>0,vxe(-1;4) Vay f(x) 1a ham sé đổng biến và liên tục khi

ze(-1;4) Do đó phương trình ƒ(x)=0 có tối đa một nghiệm

Mặt khác ƒ(3)=0 do vậy x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là 3= {3}

Chú ý: Céng cu TABLE tim max, min cé hiéu qua rét tốt trong oiệc xử lý chứng minh che phuong trinh v6 nghiệm hoặc các hầm số đơn điệu

Bài 7: Giải phương trình trên tập số thực: : 3x2 +10x+-Í3x+3=z+°+26+J5—2x SỐ Phân tích s Sử dụng TABLE tìm được: x=2 3x43 =3=x41 V8—2x =1=5-2x Bài giải © Nhân tử có thể sử đụng: | > Điểu kiện xác định: 3x4320 1x <Š, 5-2x20 2 Ta có: 3x? +10x+x/3x+3=x°+26+2/5—2x sex" =342 =10x+24—{J3z+3~3)+(J5~2z =1)=0 3(x-2) _ 2(x~2) =g 43x+3+3 1+5-2x 7 S-3)|#-z-ø-=S— 2 F vAxt3+3 x5-2x+1 ©(#?~z-12)(x~2)~ =(x-2) [:-2)-2- 2 =0 2) 4 f3x4343 đ5-2x+1 5 1) 4

Vi visxs5 do dé: (-;) _ vậy z=2 là nghiệm duy nhất

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là s={2}

Khangvietbook.com.vn Bais: Giải pHương trình Eếntập số thục: ? nàn Đ

Trang 25

Luyện siêu tư duy Casio | V3? ae +2 ~1}+ (8x41 2) +(V2e= 1-1) + 6x? -727 41-0 © 3x7 —4x4+1 eS 3x=3,_2x-2 V3x? ~4x+241 V3x4142 A2x+1+1 @œ-1@x-1 , 3œ-D) „ 2z-9_ eo NET) —) X3x?~4x+2+1 V3x+14+2 _ velar mes eee) V3x2-4x4+241 VOx4142 V2x4141 +6x° -7x° +1=0 +(x-1)(6x? +6x-1)=0 @(x-1) et, pent) 2 =0 3x? ~4x+2+1 Jenna" teeta 2} 2 1 1Ý 5

Vì x25 do đó: s|x‹3] -s>0 Vậy x=1 là nghiệm duy nhất

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S= {1} Bài 9: Giải bất phương trình trên tập số thực: 5+3? +x+4>vJ3x+4 +19 # Phân tích ø Sử dựng TABLE tìm được: x=2 se Nhân tử có thể sử dụng: 5-20 fe +xt4=V3x+4 x Bài giải

Điều kiện xác định: xe [4 ae) \Ø}

Trang 26

ta

eae

~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng _ Bài 10: Giải phương trình trên tập số thực: VẺ+15<3x—2+ (#18 ị Phantich — « Sử dụng TABLE tìm được: x=1 te Nhân tử có thể sử dựng: vx? £15 = 4542 48 = 3:34 =3 Bai giai Điều kiện xác định: D=R Ta c6: Vx? +15 =3x-24Vx¥748 S x +15—4=(Ve? 48-3) + (3x-3) 2 2 x1 - x1 +3(x-1) eae Vx7 41544 yx74+843 (et) petal ao Vx? 41544 yx? 4843 3|=0 <(x- ilo eda (e+y[ Vr v8 i? 5-1) ar Ca x +8 +3) fe

_ Điều kiệnc có nghiệm; Mi ae #15 I +8

Trang 27

ye siéu tu duy Casio (x-3)+ x-3 ,-3)Nx~2 x3) 4% 3)Nx~ 2 2(x—3)N2a 3)j2x—5 So ) 1+44-x xx—2+1 ae —=5+l ©(x-3) 2(x- 1)+ _Nx-~2_ + 2v2x—5_ Tư x "Ye-241 -2+1 “y- 5+1 -2_., 2j2x-5_ Vì 2(x-1)+————=+_-X=“- >0,vxe|2;4] * 2(x- "tr x VK “241 V2x-541 xel j

Do đó: x=3 (Thỏa mãn điểu kiện xác định)

Trang 28

- Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng ( a 15 #-c|+— 2 4 (x-5)vx-8 +4 < 2 (e926 (x~5)Vx-8 BE) 0 (0-9) 2+ +4 0 ©+<9 Kết hợp điều kiện ta có: 8<1<9

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là s= [8:9)-

Bài 14: Giải bất phương trình trên tập số thực: sói 3y<4+x?+2>3x+Jx : Phân tích e Sw dung TABLE tim duoc: x=2 e Nhan tir cé thé sử dụng: V3x-4=<x Bài giải Điều kiện xác định: x> : s Ta có: V8x—4 437 +2> 3x4 oo (3x4 Jz} +(x? -ax42)>0 ° 2(x-2) ( 2 ) ©—=—— -t|x-1)(x-2}>0 ©(x-2Ì|————>+=+x-—1 |>0 E V3x—4 +x ( X ) ( ERE © ~2)/ 4 4] x-=]+2]>0 2 4) 1 2 (x Í 2=: 3)*3J> «x>2

š Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S= (3+=)-

© Bai 15: Giải bất phường trình trên tập số thực: P 6 Pp 2 Ý2x+3~x+4+2x) +3x<85- TT TC VU Phan tich =s ® Sử dụng TABLE tìm được: x=1 ES) + Nhân tử có thể sử dụng: J2x+3=xx+4 c Bài giải CC - Điểukiệnxácdịh ra Ở see - & iểu kign xdc dinh: x2 —3 xế Ta có: v2x+3—Ax+4+2x?+3x< 5 =(Wx+3~Js+4)+(2x?+3+—5)<0 x-1 —=——~ r===+(2x+5](x—1]<0 - Trai x+3)#-1)< =ars]<0 SVS

(xt pat panes (axea)e2)-o oxcl,

Két hop diéu kién ta có: ~$sx< 1

Kết luận: Tap nghiém của bất phương trình là S= [šn }

Trang 29

Luyện siêu tự duy Casio

Bài 16: Giải bất phương trình trên tập số thực: 2x+14+v3x+1>(x+8)Ä|x+3 Phân tích e Sử dụng TABLE tìm được: x=1 « Nhân tử có thể sử dụng: Vx+3=2,v3x+1=2 Bài giải Điều kiện xác định: x> 5 : Ta có: 2x+14+v3x+1 >(x+8)jx+3 x+3~2}-[NBx+1~2)<0 pts aa} 3 vx+342 —@3x+1+2 ee _xt8 2)(2- 3 <0 Vev3+2 2) (2 đÄxt1+2 lâm TH Ýz+3+2) “a2 4x? +31x+73 3V3x41 <2 (x-1)] — 4 ( án +2)(2x+10+3jx+3) v3x+1+2 Kết hợp điểu kiện ta có: -3 <x<1,

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S -|-4:) :

Trang 30

2 Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng

Bài 18: Giải bất phương trình trên tập số thực: +x—1+33x+1++|x°+x?~2 <2x - Phân tích s« Sử dụng TABLE tìm được: x=1 © Nhân tử có thể sử dụng: ý3x+1=2 Bài giải Điểu kiện xác định: x>1 Ta có: Jx~1+AJ3x+1+a2+32—2<2x eœ#~1+(j3x+1~2)+Jš? +x?=2~2(x~1)<0 - X=1+(dsz+1~2)+[Vx~T =— 3(x-1 2 71+ RU), RT| -2T) <0 v3x+142 3/x—1 x? -2x+6 ©xxz-1l1+—=—+'——— — dày 12C x?+2x+2+2wx =|

~1<0 (Bất phương trình vô nghiệm)

Kết bệ, Tập nghiệm của bất phương trình là S= =Ø

i bat phường tình tiên tập số ïthực: (bán x 1)s2 248-142 Phan tich © Su dung TABLE tim duge: x=3 Bai giai Diéu kién xdc dinh: x<3 - DAt V3 2x28; lạ có: x=3-PS (1 #)(s Jet) 2142

erie (le NỈ+1<042321x1<jExr1+l+1<0

colina a(t FAA alts inl, Fico

At+1+l

@el23=x aR SRE Tai) stees =x+1+ s3 Tx+1 x+ } =<x*

Trang 31

Trang 32

Khangvietbook.com.vn -ˆ _Nguễn Tấn n Siéng - Hồ Xuân Trọng - ae Baar? Pe ssfoe oe ‘Phan tich _ © Sử dụng TABLE tim được: x=2 » Nhân tử có thể sử dụng: Ýx~1=1Äx+2=2 Bài giải Điều kiện xác định: x>1 Ta có: Jx-1+2jx+2>5+(2x?~5x+2)jx+3 ©(x-2)(2x~1)jx+3~(dx~1~1)~2(dx+2~2)<0 o>(s-2) (2x13 E20 =(-zJ[fx-1)e) rea gers rảnh 2(e-2) [oleae Aa 2] EE + Ro Chú ý rằng: (2(x~1)+1)\j(x~1)+4~2>0,vz>1 Vậy 1<x<2

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là §=| 1;2)

Trang 33

Bài 24: Giải bất phương trình trên tập số thực: Äz+22+z 3[tzt+-jể +24x) dx+34—Jx 12+x+xjx?+24x Phân tích e Su dung TABLE tim duoc: x=3 Diéu kiện xác định: x>0 [ 8|12+x-3? +24x Tã có: x+24 + S{ ) xx+24 Vestas 1844 4 24x on Merete 8(x+24~2xx+24+z) ead xà VN x+24+2Nx4Ìx+24+x 2 „em _s(#+t—}

“ra Vera (Jedd vey

Trang 34

Khangvietbook.com.vn - Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng Bài giải Điều kiện xác định: x>-2;x+0 2 Ta có: zŸ +2x+Š-*ÉXtỂ (42 +x+6]jX+2 # s(+)-e+a)Mirs+22)ES® -(yya)dyrzso o(< vat 2) ser -1}-0 of —— Í?+2zx-(x+4)#+2)>0 =Í“ ue [(c-#+2)#2+xk+2+x+2)+2(x~dz+2))>o of — Íz-Wx+2)(š°+xVX+2+x+4)>0 af 52 | esal(av vanleeBeares}>0 [2 rae valida asst enee)o0 x-x+ y 2 1Ý 23 =hš x+2) (=3) Bo 2x 2 4 xeVx+2 _ [x?-x-240 -Ầ © ©&x+x>0,x#2 x>0 x>0 5

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là s =(0;+s)\42}

Trang 35

Luyện siêu tư duy Casio Phân tích « Sử dụng TABLE và SOLVE fim được: x= = e Nhân tử có thể sử dụng: 2/x~1=9, Bài giải Điều kiện xác định: z>1;xz3;xz = : x—2+xJx~1+xz2 31211 x-3 Ta có: 3x-5-dvếi _.— 7 (W=2+š=2x=1)+ (ve vast) (x-3\( x— x- x=2+1) 5 mm mem 6(x—3) Ẳ (dx~>+1)(Wx~1+1) ee (2vx=1-3)(Jx-1+1) 6 1 1 2¥x-1-9 85 ee ed <0o- 3< ~1 st x<— 2jx-1-3 6 6(2jx—1 6(ajx~1-3} <5 i 4°

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là 5= (24)

Trang 36

~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng Bài giải Điều kiện xác định: 2= Chú ý rằng: Vit 421 —x> Vx? =x>||~x>x=x>0, 21(x3-3x+1) Xà? +21~x cz?~3x+1> x2 +21<~x x2 S—2x+1—x” +21 >0 ol ~2x-4)-(Ú° ¥21-5)>0 S-2#+ara-ES2 ba vit #2145 @(x- 2Íe= '- c7)" =(x-2) (esa) + 12113-> Vx? 42145 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $= (2+=) Do đó ta có: (È =3x+1)|dšˆ+21+>)>21 Ầ >21 essa Bài 29: Giải bất phương trình trên tập số thực: (x- 6)jx-1- 2x+8 „2x=1~5 5 x~8+xx—1 oP Phan tich e Ste dung TABLE tim duoc: x=5 Bai giai Điểu kiện xác định: x2 1;x #2 &- -6)jx~1~2z+8 2x+8 „X2x~1- 5 x-Bevr-1 2 (x~1)jx-1-2(x-1)¬5 x-1+6 v2z-1-5 2 S mef T2” (&-1-3(&-1-1)W- T3) JycT-: rita? 22 2|Vr-1-3)<2x-1-5 < 2x1 41> 2Vr-1 ©2x+2Í2x—1>4x—4©3J2x—1>x~=2©1<x<5 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là S=[ 1;5 ]\ {2} Do đó ta có: - KhangvletbooKsco men

'VH Phương pháp giải bai toán có từ hai nghiệm hữu tỷ đơn trở lên:

Trang 37

Tìm ra các gid tri a,b la: a=b=1, ta sie dung liên hợp: (ax +b-V3x+1} hay

(x+1-V3r+1)

Bài 30: Giải bất phương trình trên tập số thực:

4222—+x+3—vJ21x~17 >x—x2

Phân tích

e Nhan tér can tim: (¿ -x+3 -x~1)|3~1-x=f7) Bài giải: | Điểu kiện xác định: x> m Ta có: v2x2~x+3~xJ21x~17 >x—xˆ ©=x2~x+42x2~x+3~—21x—17 > 0 c e2 3r+2)a (Ea =x+3=x~1)x[sx~1~.V2Ix=17)z0 > (2 3 2) 2x? —x43-(x+1) (ax-1)’ -(21e-17) |, Ee (x? -3x42)4 5 et đ222-xc34xil 3x-1£2ix 17 S 2 9(x* 3x42 ‘ =Í#-3z+2+»———^—— =2 6 ng) ) >0 _ 42x2—x+3+x+1 3x-14+V21x-17 @ 1 1 A42x?—x+3+x+L 3X-1+21x-17 ˆ shea? 3 1 1 9 wv Vì x>— nên 1+~——————————†————==—==> om 21 Ý242—x+3+x+l 3#—1+21x~17 > xo V7 exvet 17 a Do dé 21 =I21 ` =xel ||) c= z?-3x+2>0 [x22 © oo 17 J - =

Trang 38

~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng | xix +4 -2z)+| x*°+20x?+4 ~5x}=0 xtax? 44-49? x1+20x?+4-25Y2 - ©—=' -—— U Xxt<x2+4+2x 1x +20x2+4+5x +z1~5x2+4 xt 5x7 44 ©—' r-——— ~( Nxt ax? +4422 Ÿ|x!+20x2+4+-5x 1 1 (xt 5x? 44 (es ee? ( eosin vx! +20x? +4 +52 Vì x>0 ta có: — ———+———— 1 1 >0 xt x? 4442x xựt+20x?+4+5x 4 5y? = = Do đó: {* 5x +4 0 _|* 1 x20 x=2

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: S= {1,2}

Bài 32; Giải phương trình trên tập s@thuc 3x?7~x+3=vJ3x+1+A|5x+4

Trang 39

Trang 40

~ Nguyễn Tấn Siêng - Hồ Xuân Trọng (6-1) -28437 6~t+x|28—3/2 4( ~3t +2) 6—i+428—32 4 «S|-3t+2Ì|7t+9+—————— |= i nie 78 128 -13¢+18+ 2 (78+9)(P —3t+2)+ =0 Khangvietbook.com.vn Bai giai:

Định dạng
Số trang	304
Dung lượng	5,58 MB