chuyên đề hình học xạ ảnh

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành của sinh viên ngành toán tại các trường đại học, đặc biệt là trường ĐHSP trên cả nước. Mục đích môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quát về hình học và mối quan hệ giữa chúng, đồng thời hình học xạ ảnh còn giúp chúng ta có thêm một số phương pháp suy luận, phương pháp sáng tạo một số bài toán ở trường phổ thông.

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước Mục đích của môn học cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan

hệ giữa chúng, đồng thời hình học xạ ảnh còn giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích yêu cầu quan trọng trong công tác giảng dạy sau này

Trong chương trình đã học, chúng ta đã được làm quen với môn hình học

xạ ảnh và thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh Trong hình học sơ cấp có những tính chất xạ ảnh nhiều khi ẩn náu đằng sau những tính chất không xạ ảnh Nếu ta có thể phân biệt rõ ràng những tính chất xạ ảnh với những tính chất không xạ ảnh thì ta có thể áp dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp một cách hiệu quả Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip, hình parapol hay hybebol mà ta đã gặp ở phổ thông hay trong giải tích thì tính chất

“ là tròn ”, “ là elip”, “ là parabol”, “ là hypebol” không phải là những tính chất xạ ảnh nhưng tính chất “ là đường bậc hai” là một tính chất xạ ảnh Hay trong khái niệm “ đường thẳng ở vô tận” thì tính chất “ở vô tận” không phải là tính chất xạ ảnh nhưng khái niệm “đường thẳng” thì là một khái niệm xạ ảnh và đường thẳng này đóng vai trò bình đẳng so với các đường thẳng khác Hay trong khái niệm tọa

độ Đêcac thì những khái niệm không xạ ảnh nhưng khái niệm tỉ số kép mà ta có thể dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac thì cũng là một khái niệm xạ ảnh

Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về mô hình

xạ ảnh của mặt phẳng afin và đưa một số ví dụ trong mặt phẳng xạ ảnh, chuyên

đề gồm 2 phần:

Phần A: Một số kiến thức cần nhớ về hình học xạ ảnh và hình học afin Phần B: Ứng dụng và ví dụ liên quan

trong đó, aij K, aij = aji và có ít nhất một aij khác không

Trong không gian xạ ảnh , với mục tiêu {Si ; E} (I), tập hợp gồm những điểm X có tọa độ (x0 : x1 : … : xn) trong mục tiêu (I) thỏa mãn phương trình (1) được gọi là một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1), kí hiệu là (S) Nếu (S) một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1) thì phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai (S) trong mục tiêu (I)

Kí hiệu ma trận A = (ai,j), i, j = 0,1,2,…, n, thì A= và hạng A 1

Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu đã cho

Nếu det A 0, tức ma trận A không suy biến, thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi

là không suy biến, ngược lại nếu det A= 0 thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi là suy biến

Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S‟) với các ma trận A và A‟ tương ứng được xem

là trùng nhau khi và chỉ khi có số k K\{0} sao cho A = kA‟

1.2 Dạng chuẩn tắc trong không gian xạ ảnh thực

Trong không gian xạ ảnh thực (R) đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt (S) có phương trình:

A(X) = 0

A(X) = ∑ là một dạng toàn phương trong không gian vecto

, ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính (X‟) = B(X) sao cho dạng toàn phương ấy trở thành dạng chính tắc Lại xem phép biến đổi tuyến tính đó như là một phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của , ta đi đến định lí sau :

Định lý: Với mỗi siêu mặt bậc hai (S) trong khôn gian xạ ảnh thực (R), luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho trong mục tiêu đó, phương trình của (S) có dạng chuẩn tắc :

- - - … - + + … + = 0,

( có p dấu „„ – ”và q dấu „„ + ‟‟ trong đó 1 q)

Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một dạng toàn phương chuẩn tắc

Siêu mặt bậc hai (S) trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số (p,q)

2.Phân loại siêu mặt bậc hai trong (R), (R) và tên gọi của chúng

Trong (R) ta có 5 loại đường bậc hai sau đây :

1) + + = 0

Nó được gọi là đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào Trong mặt phẳng phức mở rộng của (R) thì phương trình trên xác định một đường bậc hai không rỗng

2) - + + = 0

Nó được gọi là đường ôvan, hay đường conic

3) + = 0

Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liên hợp Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất là điểm (0 : 0 : 1)

4) - + = 0

Đây là cặp đường thẳng có phương trình : x0 + x1 = 0 và – x0 + x1 = 0

5) = 0

Đây là cặp đường thẳng trùng nhau

Trong (R) ta có 8 loại mặt bậc hai sau đây :

1) + + + = 0, được gọi là mặt trái xoan ảo

2) - + + + = 0, được gọi là mặt trái xoan

3) - - + + = 0, được gọi là mặt kẻ bậc hai

4) + + = 0, được gọi là mặt nón ảo Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất (0 : 0 : 0 : 1)

5) - + + = 0, được gọi là mặt nón

6) + = 0, được gọi là mặt phẳng ảo liên hợp

Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là {

7) - + = 0 Đây là cặp mặt phẳng có phương trình x0 + x1 = 0 và - x0 + x1 = 0

8) =0 Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau

3) Liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học afin

a) Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin

Ta xét không gian xạ ảnh với mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, … , Sn ; E} (I) và không gian afin = \W, trong đó W là siêu phẳng vô tận, tức W có phương trình trong mục tiêu (I) là x0 = 0

Giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai trong có phương trình trong mục tiêu (I)

là :

∑ = 0 (*)

Gọi (S‟) = (S)\W thì các điểm của (S‟) có tọa độ afin ( đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn) thỏa mãn phương trình :

∑ + ∑ + = 0 (**)

Nếu các aij (i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời bằng không thì (S‟)là một siêu mặt bậc hai afin trong khôn gian Khi đó, ta nói rằng siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin (S‟)

Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin (S‟) trong đều được sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) duy nhất trong

Thật vậy, nếu (S‟) có phương trình (**) trong mục tiêu afin của thì bằng cách thay Xi bằng ta được phương trình (*) xác định cho ta một siêu mặt bậc

hai xạ ảnh (S) đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin đã cho

Ta hãy lấy một điểm C nằm trên giao S W khi đó C có tọa độ xạ ảnh

C( 0 : c1 : … : cn) mà ∑ = 0 Bởi vậy điểm vô tận C xác định

⃗ = (c1, c2, …, cn) chính là phương tiệm cận của siêu mặt afin (S‟) = (S)\ W

3 Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol, khi đó hai tiếp tuyến với

conic là hai đường tiệm cận của hypebol Các đường tiệm cận này cắt nhau

tại tâm của hypebol

4 Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol hoặc elip (là những đường

bậc hai có tâm) thì đường thẳng vô tận là đường đối cực của tâm đường bậc

hai và dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của đường bậc hai đó

5 Hình bình hành trong mặt phẳng afin là một hình bốn cạnh toàn phần trong

mặt phẳng xạ ảnh có hai đỉnh đối diện thuộc đường thẳng vô tận

II Mô hình xạ ảnh của không gian afin

1 Định nghĩa mô hình xạ ảnh của A n

Cho không gian xạ ảnh Pn ( ) trên trường số K và một siêu phẳng của

Pn Đặt Lấy một mục tiêu xạ ảnh (S0, …, Sn; E) của Pn mà

Điểm M(x0: … : xn) thuộc khi và chỉ khi x0 0, tức là khi và

chỉ khi M(1: ) Bộ số (X1, … , Xn) mà gọi là tọa

độ không thuần nhất của M đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho, kí hiệu M(X1,…,Xn)

Xét không gian vectơ n chiều Kn (trên trường K) Có thể lập ánh xạ theo quy tắc: Cho M(X1,…,Xn), N(Y1, …,Yn) theo tọa độ

không thuần nhất thì Ánh xạ thỏa

mãn hai tính chất:

(i) Cho ⃗⃗ thì có duy nhất N để ⃗⃗

(ii) Cho M, N, L thì

Vậy là một không gian afin lien kết với Kn bởi Ta gọi không gian afin

này là mô hình xạ ảnh của không gian afin n-chiều tổng quát trên trường K và kí

hiệu là

Siêu phẳng gọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô

hình Mỗi điểm của gọi là một điểm vô tận đối với (hay của)

Nếu là một hình (tập điểm) của mà là một hình (tập điểm) của Ta nói hình được sinh ra bởi hình mà mỗi điểm của là một điểm vô tận đối với

2 Một số kết quả cơ bản

a) Mỗi m – phẳng của mà không nằm trong sinh ra một m – phẳng của Ngược lại, mỗi m – phẳng của được sinh ra bởi một và chỉ một m – phẳng của

b) Hai đường thẳng song song phân biệt của được sinh ra bởi hai đường thẳng phân biệt của cắt nhau trên

c) Tọa độ không thuần nhất (X1, …, Xn) của điểm là tọa độ afin của điểm M đối với mục tiêu afin có gốc là S0, các vectơ cơ sở là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , trong đó Ei

có tọa độ không thuần nhất (0, …, 1, …, 0) (Ei là giao của đường thẳng xạ ảnh

S0Ei với siêu phẳng xạ ảnh đi qua E và các điểm Sj với )

d) Phương một chiều của có vectơ chỉ phương ⃗⃗ được xác định bởi điểm vô tận V(0 : v1: … : vn)

e) Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng của mà A B C thì tỉ số đơn [A, B, C] là tỉ số kép [A, B, C, D], trong đó D là điểm vô tận của đường thẳng xạ ảnh AB Nói riêng, C là trung điểm của AB (tức [A, B, C]= -1) khi và chỉ khi

A, B chia điều hòa C, D

g) Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh không chứa sinh ra một siêu mặt bậc hai afin và không suy biến khi và chỉ khi không suy biến Ngược lại, mỗi siêu phẳng bậc hai afin của được sinh ra bởi một và chỉ một siêu mặt bậc hai xạ ảnh

h) Điểm C là tâm của khi và chỉ khi C liên hợp với mọi điểm của đối với Nói riêng, nếu không suy biến thì C là tâm của khi và chỉ khi C là cực của đối với

i) Phương một chiều (d) của là phương tiệm cận của khi và chỉ khi (d) xác định bởi một điểm vô tận D của , tức là

k) Nếu phương một chiều (q) của không là phương tiệm cận của và được xác định bởi điểm vô tận Q thì siêu phằng kính liện hợp của của đối với phương (q) được sinh ra bởi siêu phẳng đối cực của Q đối với l) Siêu phằng afin là siêu phẳng tiếp xúc của tại điểm M khi và chỉ khi là siêu phẳng tiếp xúc của tại điểm M

m) Điểm U là điểm kì dị của khi và chỉ khi nó là điểm kì dị của n) Trong (R) ta có:

Cặp điểm phân biệt

Một điểm

Tập rỗng

Tập rỗng

p) Mỗi biến đổi xạ ảnh f : mà có thu hẹp

( \ là một biến đổi afin của (ta nói f sinh ra F) Ngược lại, mỗi biến đổi afin F của đều là thu hẹp của một biến đổi xạ ảnh duy nhất

f : thỏa mãn

Nói riêng:

+) Phép thấu xạ f tâm I, nền , tỉ sô k (k ) của thu hẹp trên thành phép vị tự tâm I, tỉ số Với k = -1 thì thu hẹp này là phép đối xứng afin qua I +) Phép thấu xạ g tâm S, nền , tỉ số k của mà S (như vậy ) giữ bất động và thu hẹp trên thành phép thấu xạ afin qua siêu phẳng afin , có phương thấu xạ afin là phương l chiều ( xác định bởi điểm vô tận S, tỉ số thấu xạ afin bằng k Nếu k = -1 thì thu hẹp là phép đối xứng xiên qua , theo phương (

+) Phép thấu xạ đặc biệt t : , nền , tâm J thu hẹp trên thành phép tịnh tiến theo phương xác định bởi J

III Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực

Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 và A 2 = P 2 \ W là

mặt phẳng afin thực Ta hãy xem một đường conic của A2 sẽ được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh nào trong P2

Giả sử (E) là đường elip của A2 Khi đó, ta có thể chọn một mục tiêu afin của

A2 sao cho phương trình của (E) có dạng: Đường elip (E) được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là: Đây là một đường ôvan không cắt đường thẳng vô tận W

Giả sử (H) là một đường hypepol Khi đó ta có thể chọn một mục tiêu afin của

A2 sao cho phương trình của (H) có dạng: Đ, đường elip (H) được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là: Đây là một đường ôvan

không cắt đường thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt (đó là điểm (0: 1: 1) và (0 : 1: -1))

Cuối cùng, ta giả sử (P) là một đường parabol của A2 Ta chọn mục tiêu afin

để nó có phương trình : Khi đó nó được sinh ra bởi đường bậc hai

xạ ảnh có phương trình: Đây là một đường ôvan, vì chỉ cần dùng phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh:

Ta đưa nó về phương trình chính tắc:

Ngoài ra ta nhận thấy đường ôvan ấy cắt đường vô tận W tại một điểm kép (đó

là điểm (0 : 0 :1), ta còn nói rằng nó tiếp với đường vô tận W)

Tóm lại ta đi đến kết quả sau đây:

Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2 tập hợp (S)\W sẽ là:

- Đường elip, nếu (S) không cắt W

- Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại 2 điểm phân biệt

- Đường parabol, nếu (S) tiếp W

IV.Định lý Steiner trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 ( )

Định lý thuận Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đường ôvan và một điểm M thay đổi trên ôvan Khi đó ánh xạ f: {S1}→{S2} biến đường thẳng S1M thành đường thẳng S2M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, khi M trùng với S1, ta xem S1M là tiếp tuyến của ôvan tại S1, đối với S2 cũng thế)

Định lý đảo Cho ánh xạ xạ ảnh f:{S1}→{S2} giữa hai chùm phân biệt {S1}và {S2} Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các đường thẳng tương ứng là một đường ôvan

(3)

Lấy điểm M nằm trên đường ôvan, khác với S1, khác với S1 và S2 thì tọa độ (m0: m1: m2) của nó thỏa mãn phương trình đó và m0 0 và do đó, m1 Bởi vậy, từ (3) suy ra

(4)

Gọi a=S1E, m=S1M, ta tính [ d0, d2, a, m]= , [ ]=

Phương trình của d0 trong mục tiêu (I) là x0=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(1: 0: 0) Phương trình của d2 trong mục tiêu (I) là x2=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(0: 0: 1) Phương trình của a trong mục tiêu (I) là x0 – x2=0, tọa độ xạ ảnh của a=(1: 0: -1) Phương trình của m trong mục tiêu (I) là m2x0 – m0x2=0, vậy tọa độ xạ ảnh của m=(m2: 0: -m0) Từ các kết quả trên ta có

Từ đó suy ra

[ d0, d2, a, m]= (5) Gọi Ta có

Chứng minh định lý đảo

Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f(d0)=d1, f-1(d0)=d2 Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, do đó d0, d1, d2 đôi một phân biệt Vì vậy ba điểm S0=d1 d2, S1, S2 độc lập Gọi a là đường thẳng của chùm {S1} khác với d0 và d2, =f(a), và E= a Ta chọn{ S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh Với mỗi đường thẳng m {S1} và = f(m) {S2}, ta đặt m =X=(x0: x1: x2) Khi đó ta tính được tọa độ xạ ảnh của các đường thẳng nhưu sau:

d0= (1: 0: 0), d1= (0:1: 0), d2= (0: 0: 1), a = (1: 0: -1),

Đó là phương trình của đường ôvan tiếp với d1 và d2 lần lượt tại S2 và S1

V Một số kiến thức trong hình học afin

1.Vectơ ⃗=(c1,….cn) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) được xác định bởi phương trình