chuyên đề hình học xạ ảnh

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành của sinh viên ngành toán tại các trường đại học, đặc biệt là trường ĐHSP trên cả nước. Mục đích môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quát về hình học và mối quan hệ giữa chúng, đồng thời hình học xạ ảnh còn giúp chúng ta có thêm một số phương pháp suy luận, phương pháp sáng tạo một số bài toán ở trường phổ thông.

LỜI NÓI ĐẦU Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích môn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng, đồng thời hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp sáng tạo số toán thuộc chương trình phổ thông Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo toán hình học afin vấn đề mục đích yêu cầu quan trọng công tác giảng dạy sau Trong chương trình học, làm quen với môn hình học xạ ảnh thấy mối liên hệ mật thiết hình học sơ cấp hình học xạ ảnh Trong hình học sơ cấp có tính chất xạ ảnh nhiều ẩn náu đằng sau tính chất không xạ ảnh Nếu ta phân biệt rõ ràng tính chất xạ ảnh với tính chất không xạ ảnh ta áp dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp cách hiệu Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip, hình parapol hay hybebol mà ta gặp phổ thông hay giải tích tính chất “ tròn ”, “ elip”, “ parabol”, “ hypebol” tính chất xạ ảnh tính chất “ đường bậc hai” tính chất xạ ảnh Hay khái niệm “ đường thẳng vô tận” tính chất “ở vô tận” tính chất xạ ảnh khái niệm “đường thẳng” khái niệm xạ ảnh đường thẳng đóng vai trò bình đẳng so với đường thẳng khác Hay khái niệm tọa độ Đêcac khái niệm không xạ ảnh khái niệm tỉ số kép mà ta dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac khái niệm xạ ảnh Trong chuyên đề này, trình bày cách hệ thống mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin đưa số ví dụ mặt phẳng xạ ảnh, chuyên đề gồm phần: Phần A: Một số kiến thức cần nhớ hình học xạ ảnh hình học afin Phần B: Ứng dụng ví dụ liên quan A Một số kiến thức cần nhớ hình học xạ ảnh hình học afin I.Siêu mặt bậc hai 1.Siêu mặt bậc hai 1.1 Định nghĩa: Cho phương trình bậc hai n+1 biến x0, x1, …xn trường K có dạng: ∑ đó, aij = (1) K, aij = aji có aij khác không Trong không gian xạ ảnh , với mục tiêu {Si ; E} (I), tập hợp gồm điểm X có tọa độ (x0 : x1 : … : xn) mục tiêu (I) thỏa mãn phương trình (1) gọi siêu mặt bậc hai xác định phương trình (1), kí hiệu (S) Nếu (S) siêu mặt bậc hai xác định phương trình (1) phương trình (1) gọi phương trình siêu mặt bậc hai (S) mục tiêu (I) Kí hiệu ma trận A = (ai,j), i, j = 0,1,2,…, n, A= hạng A Ma trận A gọi ma trận siêu mặt bậc hai (S) mục tiêu cho Nếu det A 0, tức ma trận A không suy biến, siêu mặt bậc hai (S) gọi không suy biến, ngược lại det A= siêu mặt bậc hai (S) gọi suy biến Kí hiệu (X)=( ) phương trình (1) viết dạng : AX = (2) Siêu mặt bậc hai gọi đường bậc hai Siêu mặt bậc hai gọi mặt bậc hai Hai siêu mặt bậc hai (S) (S‟) với ma trận A A‟ tương ứng xem K\{0} cho A = kA‟ trùng có số k 1.2 Dạng chuẩn tắc không gian xạ ảnh thực Trong không gian xạ ảnh thực (R) mục tiêu chọn, cho siêu mặt (S) có phương trình: A(X) = A(X) = ∑ dạng toàn phương không gian vecto , ta tìm phép biến đổi tuyến tính (X‟) = B(X) cho dạng toàn phương trở thành dạng tắc Lại xem phép biến đổi tuyến tính phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh , ta đến định lí sau : Định lý: Với siêu mặt bậc hai (S) khôn gian xạ ảnh thực (R), tìm mục tiêu xạ ảnh cho mục tiêu đó, phương trình (S) có dạng chuẩn tắc : - -…- - +…+ + = 0, ( có p dấu „„ – ”và q dấu „„ + ‟‟ q) Mỗi siêu mặt bậc hai có dạng toàn phương chuẩn tắc Siêu mặt bậc hai (S) trường hợp gọi siêu mặt bậc hai có số (p,q) 2.Phân loại siêu mặt bậc hai Trong (R), (R) tên gọi chúng (R) ta có loại đường bậc hai sau : 1) + + = Nó gọi đường ôvan ảo không chứa điểm thực Trong mặt phẳng phức mở rộng (R) phương trình xác định đường bậc hai không rỗng 2) - + + = Nó gọi đường ôvan, hay đường conic 3) + = Nó gọi cặp đường thẳng ảo liên hợp Nó gồm điểm thực điểm (0 : : 1) 4) - + = Đây cặp đường thẳng có phương trình : x0 + x1 = – x0 + x1 = 5) = Đây cặp đường thẳng trùng Trong 1) (R) ta có loại mặt bậc hai sau : + + = 0, gọi mặt trái xoan ảo + 2) - + + + = 0, gọi mặt trái xoan 3) - - + + = 0, gọi mặt kẻ bậc hai + = 0, gọi mặt nón ảo Nó gồm điểm thực 4) + (0 : : : 1) 5) 6) + + = 0, gọi mặt nón = 0, gọi mặt phẳng ảo liên hợp + Nó gồm đường thẳng thực với phương trình { 7) - = Đây cặp mặt phẳng có phương trình x0 + x1 = - x0 + + x1 = 8) =0 Đây cặp mặt phẳng trùng 3) Liên hệ hình học xạ ảnh hình học afin a) Liên hệ siêu mặt bậc hai xạ ảnh siêu mặt bậc hai afin Ta xét không gian xạ ảnh không gian afin = với mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, … , Sn ; E} (I) \W, W siêu phẳng vô tận, tức W có phương trình mục tiêu (I) x0 = Giả sử (S) siêu mặt bậc hai : ∑ =0 (*) có phương trình mục tiêu (I) Gọi (S‟) = (S)\W điểm (S‟) có tọa độ afin ( mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh chọn) thỏa mãn phương trình : ∑ + ∑ + = (**) Nếu aij (i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời không (S‟)là siêu mặt bậc hai afin khôn gian Khi đó, ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh siêu mặt bậc hai afin (S‟) Ngược lại, siêu mặt bậc hai afin (S‟) mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh siêu Thật vậy, (S‟) có phương trình (**) mục tiêu afin cách thay Xi ta phương trình (*) xác định cho ta siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) mục tiêu xạ ảnh sinh mục tiêu afin cho Ta lấy điểm C nằm giao S C( : c1 : … : cn) mà ∑ W C có tọa độ xạ ảnh = Bởi điểm vô tận C xác định ⃗ = (c1, c2, …, cn) phương tiệm cận siêu mặt afin (S‟) = (S)\ W b) Một số liên hệ khác : Giữa tỉ số đơn tỉ số kép ta có công thức: (ABCD) = Nếu D điểm thuộc đường thẳng vô tân P1 ta có (ABC )= (CAB) Đặc biệt D điểm vô tận (ABCD)= -1 mặt phẳng afin C trung điểm đoạn thẳng AB (ABC )= (CAB)= -1 Một đường conic P2 thể thành elip, parabol, hypebol mặt phẳng afin A2 tùy theo đường thẳng vô tận không cắt conic, tiếp xúc với conic cắt conic hai điểm thực Trong trường hợp conic thể thành hypebol, hai tiếp tuyến với conic hai đường tiệm cận hypebol Các đường tiệm cận cắt tâm hypebol Trong trường hợp conic thể thành hypebol elip (là đường bậc hai có tâm) đường thẳng vô tận đường đối cực tâm đường bậc hai dây cung qua tâm gọi đường kính đường bậc hai Hình bình hành mặt phẳng afin hình bốn cạnh toàn phần mặt phẳng xạ ảnh có hai đỉnh đối diện thuộc đường thẳng vô tận II Mô hình xạ ảnh không gian afin Định nghĩa mô hình xạ ảnh An Cho không gian xạ ảnh Pn ( Pn Đặt ) trường số K siêu phẳng Lấy mục tiêu xạ ảnh (S0, …, Sn; E) Pn mà Điểm M(x0: … : xn) thuộc x0 0, tức ) Bộ số (X1, … , Xn) mà M(1: gọi tọa độ không M mục tiêu xạ ảnh cho, kí hiệu M(X1,…,Xn) Xét không gian vectơ n chiều Kn (trên trường K) Có thể lập ánh xạ theo quy tắc: Cho M(X1,…,Xn), N(Y1, …,Yn) không theo tọa độ Ánh xạ thỏa mãn hai tính chất: ⃗⃗ (i) Cho (ii) Cho M, N, L Vậy có N để ⃗⃗ không gian afin lien kết với Kn Ta gọi không gian afin mô hình xạ ảnh không gian afin n-chiều tổng quát trường K kí hiệu Siêu phẳng hình gọi tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận (hay của) mô Mỗi điểm gọi điểm vô tận (hay của) hình (tập điểm) Nếu hình (tập điểm) sinh hình Ta nói hình điểm vô tận mà mà điểm Một số kết a) Mỗi m – phẳng mà không nằm sinh b) Hai đường thẳng song song phân biệt sinh hai đường Ngược lại, m – phẳng sinh m – phẳng m – phẳng thẳng phân biệt cắt c) Tọa độ không (X1, …, Xn) điểm tọa độ afin điểm M mục tiêu afin có gốc S0, vectơ sở ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Ei có tọa độ không (0, …, 1, …, 0) (Ei giao đường thẳng xạ ảnh S0Ei với siêu phẳng xạ ảnh qua E điểm Sj với ) có vectơ phương ⃗⃗ d) Phương chiều xác định điểm vô tận V(0 : v1: … : vn) e) Nếu A, B, C ba điểm thẳng hàng mà A B C tỉ số đơn [A, B, C] tỉ số kép [A, B, C, D], D điểm vô tận đường thẳng xạ ảnh AB Nói riêng, C trung điểm AB (tức [A, B, C]= -1) A, B chia điều hòa C, D g) Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh bậc hai afin không chứa không suy biến Ngược lại, siêu phẳng bậc hai afin siêu mặt bậc hai xạ ảnh h) Điểm C tâm Nói riêng, sinh siêu mặt không suy biến sinh C liên hợp với điểm không suy biến C tâm C cực i) Phương chiều (d) phương tiệm cận xác định điểm vô tận D , tức k) Nếu phương chiều (q) xác định điểm vô tận Q không phương tiệm cận siêu phằng kính liện hợp của phương (q) sinh siêu phẳng đối cực l) Siêu phằng afin m) Điểm U n) Trong STT điểm kì dị điểm M Q điểm M siêu phẳng tiếp xúc siêu phẳng tiếp xúc (d) điểm kì dị (R) ta có: GA Gp Hypebol Đường ôvan Cặp điểm phân biệt Parabol Đường ôvan Một điểm Elip Đường ôvan Tập rỗng Elip ảo Đường trống không Tập rỗng Gp p) Mỗi biến đổi xạ ảnh f : ( \ biến đổi afin F f: mà có thu hẹp biến đổi afin (ta nói f sinh F) Ngược lại, thu hẹp biến đổi xạ ảnh thỏa mãn Nói riêng: +) Phép thấu xạ f tâm I, , tỉ sô k (k ) thu hẹp thành phép vị tự tâm I, tỉ số Với k = -1 thu hẹp phép đối xứng afin qua I +) Phép thấu xạ g tâm S, , tỉ số k giữ bất động thu hẹp mà S ) thành phép thấu xạ afin qua siêu phẳng afin , có phương thấu xạ afin phương l chiều ( tận S, tỉ số thấu xạ afin k Nếu k = -1 thu hẹp qua (như xác định điểm vô phép đối xứng xiên , theo phương ( +) Phép thấu xạ đặc biệt t : , , tâm J thu hẹp thành phép tịnh tiến theo phương xác định J III Đường ôvan mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin thực Gọi W đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh thực P2 A2 = P2\ W mặt phẳng afin thực Ta xem đường conic A2 sinh đường bậc hai xạ ảnh P2 Giả sử (E) đường elip A2 Khi đó, ta chọn mục tiêu afin A2 cho phương trình (E) có dạng: Đường elip (E) sinh đường bậc hai xạ ảnh P2, mà phương trình mục tiêu xạ ảnh tương ứng là: Đây đường ôvan không cắt đường thẳng vô tận W Giả sử (H) đường hypepol Khi ta chọn mục tiêu afin A2 cho phương trình (H) có dạng: Đ, đường elip (H) sinh đường bậc hai xạ ảnh P2, mà phương trình mục tiêu xạ ảnh tương ứng là: Đây đường ôvan không cắt đường thẳng vô tận W hai điểm phân biệt (đó điểm (0: 1: 1) (0 : 1: -1)) Cuối cùng, ta giả sử (P) đường parabol A2 Ta chọn mục tiêu afin để có phương trình : Khi sinh đường bậc hai xạ ảnh có phương trình: Đây đường ôvan, cần dùng phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh: Ta đưa phương trình tắc: Ngoài ta nhận thấy đường ôvan cắt đường vô tận W điểm kép (đó điểm (0 : :1), ta nói tiếp với đường vô tận W) Tóm lại ta đến kết sau đây: Nếu (S) đường ôvan mặt phẳng xạ ảnh P2 mặt phẳng afin A2 tập hợp (S)\W là: - Đường elip, (S) không cắt W - Đường hypebol, (S) cắt W điểm phân biệt - Đường parabol, (S) tiếp W IV.Định lý Steiner mặt phẳng xạ ảnh thực P2( ) Định lý thuận Cho hai điểm cố định S1 S2 nằm đường ôvan điểm M thay đổi ôvan Khi ánh xạ f: {S1}→{S2} biến đường thẳng S1M thành đường thẳng S2M ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, M trùng với S1, ta xem S1M tiếp tuyến ôvan S1, S2 thế) Định lý đảo Cho ánh xạ xạ ảnh f:{S1}→{S2} hai chùm phân biệt {S1}và {S2} Nếu f phép chiếu xuyên trục tập hợp giao điểm đường thẳng tương ứng đường ôvan 10 Chứng minh định lý thuận Gọi d0 đường thẳng qua S1 S2, d1 d2 tiếp tuyến ôvan (S) S2 S1, S0= d1 d2 Lấy điểm E cố định ôvan (S) khác với S1 S2 Chọn mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, S2; E} (I) Giả sử phương trình (S) mục tiêu (I) (1) Vì (S) qua S1= (0: 1: 0), thay vào (1), suy a11=0 Tương tự, (S) qua S2 nên a22=0 Vì (S) qua E= (1: 1: 1), thay vào (1), suy Trong (2), chọn a01=a02=0, a12= (2) ,thay vào (1), ta phương trình (S) mục tiêu (I) là: (3) Lấy điểm M nằm đường ôvan, khác với S1, khác với S1 S2 tọa độ (m0: m1: m2) thỏa mãn phương trình m0 đó, m1 Bởi vậy, từ (3) suy (4) Gọi a=S1E, m=S1M, ta tính [ d0, d2, a, m]= , [ 11 ]= Phương trình d0 mục tiêu (I) x0=0, tọa độ xạ ảnh d0=(1: 0: 0) Phương trình d2 mục tiêu (I) x2=0, tọa độ xạ ảnh d0=(0: 0: 1) Phương trình a mục tiêu (I) x0 – x2=0, tọa độ xạ ảnh a=(1: 0: -1) Phương trình m mục tiêu (I) m2x0 – m0x2=0, tọa độ xạ ảnh m=(m2: 0: -m0) Từ kết ta có Từ suy [ d0, d2, a, m]= Gọi (5) Ta có f(d0)=d1, f(d2)=d0, f(a)= , f(m)= Tương tự trên, ta tính [ ]= (6) Từ (5) (6), kết hợp với (4), suy ra: [ d0, d2, a, m] = [ ] Ta thấy f bảo tồn tỉ số kép chùm bốn đường thẳng chùm tâm S1, theo định nghĩa ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng f ánh xạ xạ ảnh Vì f(d0)=d1 d0 nên d0 không tự ứng, f phép chiếu xuyên trục Chứng minh định lý đảo Gọi d0 đường thẳng qua S1 S2, f(d0)=d1, f-1(d0)=d2 Vì f phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, d0, d1, d2 đôi phân biệt Vì ba điểm S0=d1 d2, S1, S2 độc lập Gọi a đường thẳng chùm {S1} khác với d0 d2, =f(a), E= a Với đường thẳng m Ta chọn{ S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh {S1} = f(m) {S2}, ta đặt m x2) Khi ta tính tọa độ xạ ảnh đường thẳng nhưu sau: d0= (1: 0: 0), d1= (0:1: 0), d2= (0: 0: 1), a = (1: 0: -1), 12 =X=(x0: x1: = (-1: 1: 0), m=(x2: 0:-x0), = (-x1: x0: 0) Từ suy ra: [ d0, d2, a, m]= , [ ]= Nhưng f ánh xạ xạ ảnh nên: [ d0, d2, a, m]= [ Vậy ] , hay Đó phương trình đường ôvan tiếp với d1 d2 S2 S1 V Một số kiến thức hình học afin 1.Vectơ ⃗=(c1,….cn) gọi phương tiệm cận siêu mặt bậc hai (S) xác định phương trình ⃗ ⃗⃗ ∑ 2.Cho hai điểm M1, M2 thay đổi siêu mặt bậc hai (S) cho đường thẳng M1, M2 có phương cố định ⃑ ( mà phương tiệm cận) Khi tập hợp trung điểm đoạn thẳng M1M2 nằm siêu phẳng qua tâm(nếu có) (S) Siêu phẳng gọi siêu phẳng kính (S), liên hợp với phương ⃑ ,hoặc ⃑ phương liên hợp với siêu phẳng kính 13 B Ứng dụng ví dụ liên quan Ví dụ 1: Xét mô hình xạ ảnh không gian afin An = Pn\ W Cho siêu mặt bậc hai xạ ảnh f, sinh siêu mặt bậc hai afin ( )= S\W Chứng minh rằng: Nếu C điểm nằm W siêu phẳng đối cực C (S) \W siêu phẳng kính ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định điểm vô tận C Từ suy kết biết đường ellip, hypebol, parabol học phổ thông Chứng minh: +)Trong Pn chọn mục tiêu xạ ảnh { } (I) An= Pn\ W, W siêu phẳng vô tận có phương trình mục tiêu(I) là: Giả sử (S) siêu mặt bậc hai Pn, có phương trình mục tiêu(I) là: ∑ Gọi ( ) =S\W Khi điểm ( ) có tọa độ afin thỏa mãn phương trình: ∑ ∑ Trong C W suy C=( 0: y1: ….: yn) trình: ∑ siêu phẳng đối cực C nên =0 (1) uj= ∑ ( Thay tọa điểm C=( 0: y1: ….: yn) vào (2) ta được: { Suy , j=0,…,n vào (1) ta ∑ Thay Gọi ∑ = ∑ Hay ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =0 có phương trình: =0 với (*) 14 ) (2) có phương trường số thực chọn mục tiêu afin +) Trong không gian afin {O; ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗, …, ⃗⃗⃗⃗⃗}, siêu mặt bặc hai (S) có phương trình: Ax + x + = (S) I = (b1, b2, …, bn) trung điểm đoạn thẳng M1, M2 Giả sử M1, M2 Phương trình đường thẳng M1M2 có dạng : Xi = bi + ciλ, i =1, 2, …, n Trong (y1, y2, …, yn) tọa độ vecto ⃗ Tọa độ M1, M2 nghiệm phương trình : + 2Pλ + Q = (1) ( Với P = Q= Ac + c=∑ ∑ Ab + b + a0 Giả sử λ1, λ2 nghiệm phương trình (1) ứng với giao điểm M1, M2 I ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ trung điểm M1, M2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  λ1 ⃗ + λ2 ⃗ = ⃗⃗ (λ1 + λ2) ⃗ = ⃗⃗  λ1 + λ2 = ( ⃗ Vậy P = hay Ac + c = hay ⃗⃗ ) (Ab + a) = Như tọa độ trung điểm I đoạn thẳng M1, M2 thỏa mãn phương trình: (Ax + a) = (2) Trong (2), A ≠ A = => =0 ⃗ phương tiệm cận => (2) phương trình siêu phẳng: )( ) (y1, y2, …, yn)[( ( )] )  (y1, y2, …, yn)[( ∑  (y1, y2, …, yn)( ∑ ∑ )=0 ∑ ∑ 15 =0 ( )] = hay ∑ ∑ (**) Từ (*) (**) ta thấy phương trình thỏa mãn phương trình = siêu phẳng kính Vậy C điểm nằm W siêu phẳng đối cực C (S) \W siêu phẳng kính ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định điểm vô tận C Từ toán ta thấy thể afin đường conic học THPT Trong P2 cho đường bậc hai S đường thẳng mô hình afin A2=P2\ có phương trình: x3= 0, ta có S Với điểm X(x1: x2 : x3) S X x3 nên ta chia hai vế (1) cho ( )2 + ( )2 – = (1‟) phương trình (1‟) phương trình Elip (E) 16 (1) đường = thu phương trình: hay = Khi ta thu elip(E) Thật vậy, giả sử đường conic S1 có phương trình thẳng cho S Trong P2 cho đường bậc hai S đường thẳng hình afin A2 = P2\ Khi S = I mô ta thu Parabol (P) Thật vậy, giả sử conic S2 có phương trình: Và đường thẳng cho S (2) có phương trình: x3= = { I=(0,1,0)} Chia hai vế (2) cho ta thu phương trình: ( )2 - =0 (2‟) hay Kho (2‟) phương trình Parabol (P) A2 = P2\ Trong P2 cho đường bậc hai S đường thẳng mô hình afin A2 = P2\ cho S = {I, J} Khi ta thu Hypebol (H) Thật vậy, giả sử conic S3 có phương trình là: (3) Và đường thẳng = {I(1,1,0), J(1,- có phương trình : x3= 0, ta có S 1,0)} Chia hai vế (3) cho ta thu phương trình: ( )2 – ( Hay )2 = (3‟) Thì từ (3‟) phương trình Hypebol (H) mô hình A2= P2\ 17 Mặt khắc, đường tiệm cận (H) tiếp tuyến với conic S I J nên ta tìm phương trình đường tiêm cận là: y1- y2= y1+ y2= Ví dụ 2: Cho đường ôvan (S) hai điểm A, B cố định nó, đường thẳng d cố định không qua A B Với điểm M thay đổi (S), đưng thẳng AM BM cắt d Tìm quỹ tích giao điểm Phát biểu toán đối ngẫu Cho đường thẳng AB đường thẳng vô tận, suy từ toán thành toán mặt phẳng afin Giải: * Tìm quỹ tích điểm 18 +) Xét ánh xạ f: { } Với điểm { } xác định sau: , xác định đường thẳng { }, đường thẳng { } Khi xác định điểm xác định đường thẳng , Như vậy, với đường thẳng { } { } cho tương ứng đường thẳng Do f song ánh +) Ta chứng minh f ánh xạ xạ ảnh Thật vậy: Xét chùm bốn đường thẳng tâm M, giả sử cắt d M1, M2, M3, M4 Khi đó: [ ] [ ] Mặt khác, [ ] [ ] [ ] [ ] Do đó, f bảo tồn tỉ số kép bốn đường thẳng thuộc chùm A bốn đường thẳng thuộc chùm B Vậy, f ánh xạ xạ ảnh +) Tuy nhiên, f không phép chiếu xuyên trục Gọi A0 giao điểm d với tiếp tuyến (S) A 19 Theo luật ánh xạ trên, không đường thẳng tự ứng nên f không phép chiếu xuyên trục Theo định lý Steiner đảo, quỹ tích điểm nằm đường ôvan Hai điểm A B thuộc quỹ tích Vì: Nếu tiếp tuyến ôvan A Gọi , Vậy B thuộc quỹ tích Suy Tương tự, N Vậy A thuộc quỹ tích * Đối ngẫu: Cho đường ôvan (S) hai đường thẳng a, b tiếp xúc với (S) Điểm D cố định không thuộc a b Với đường thẳng m thay đổi tiếp xúc với (S), đường nối với D, đường nối với D Gọi n đường nối Khi đó, đường thẳng a, b, n tiếp xúc với đường ôvan * Cho AB đường vô tận, suy toán afin: Trong thực, cho Hypebol (H), hai tiệm cận a b, đường thẳng d cố định cắt (H) không qua hai tiếp điểm a b (H) Với điểm M thay đổi thuộc (H), gọi d1 đường thẳng qua M song song với a, d2 20 đường thẳng qua M song song với b, quỹ tích điểm N thỏa mãn , Khi hình bình hành nằm hypebol nhận a, b làm tiệm cận 21 [...]... a, m]= , [ 11 ]= Phương trình của d0 trong mục tiêu (I) là x0=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(1: 0: 0) Phương trình của d2 trong mục tiêu (I) là x2=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(0: 0: 1) Phương trình của a trong mục tiêu (I) là x0 – x2=0, tọa độ xạ ảnh của a=(1: 0: -1) Phương trình của m trong mục tiêu (I) là m2x0 – m0x2=0, vậy tọa độ xạ ảnh của m=(m2: 0: -m0) Từ các kết quả trên ta có Từ đó suy ra [ d0, d2, a,... Với mỗi đường thẳng m Ta chọn{ S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh {S1} và = f(m) {S2}, ta đặt m x2) Khi đó ta tính được tọa độ xạ ảnh của các đường thẳng nhưu sau: d0= (1: 0: 0), d1= (0:1: 0), d2= (0: 0: 1), a = (1: 0: -1), 12 =X=(x0: x1: = (-1: 1: 0), m=(x2: 0:-x0), = (-x1: x0: 0) Từ đó suy ra: [ d0, d2, a, m]= , [ ]= Nhưng vì f là ánh xạ xạ ảnh nên: [ d0, d2, a, m]= [ Vậy ] , hay Đó là phương trình... được [ ]= (6) Từ (5) và (6), kết hợp với (4), suy ra: [ d0, d2, a, m] = [ ] Ta thấy f bảo tồn tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng bất kỳ của chùm tâm S1, theo định nghĩa về ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng thì f là ánh xạ xạ ảnh Vì f(d0)=d1 d0 nên d0 không tự ứng, do đó f không phải là phép chiếu xuyên trục Chứng minh định lý đảo Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f(d0)=d1, f-1(d0)=d2 Vì f không... liên quan Ví dụ 1: Xét mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ W Cho siêu mặt bậc hai xạ ảnh f, sinh ra siêu mặt bậc hai afin ( )= S\W Chứng minh rằng: Nếu C là điểm nằm trên W à là siêu phẳng đối cực của C đối với (S) thì \W là siêu phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận C Từ đó suy ra các kết quả đã biết đối với đường ellip, hypebol, parabol đã học ở phổ thông Chứng minh:... trong mặt phẳng afin Giải: * Tìm quỹ tích các điểm 18 +) Xét ánh xạ f: { } Với mỗi điểm { } được xác định như sau: , xác định duy nhất đường thẳng { }, đường thẳng { } Khi đó sẽ xác định duy nhất điểm đó xác định đường thẳng , do Như vậy, với mỗi đường thẳng { } { } cho tương ứng đường thẳng Do đó f là song ánh +) Ta chứng minh f là ánh xạ xạ ảnh Thật vậy: Xét chùm bốn đường thẳng tâm M, giả sử là cắt... [ ] [ ] [ ] [ ] Do đó, f bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì thuộc chùm A và bốn đường thẳng bất kì thuộc chùm B Vậy, f là ánh xạ xạ ảnh +) Tuy nhiên, f không là phép chiếu xuyên trục Gọi A0 là giao điểm của d với tiếp tuyến của (S) tại A 19 Theo luật ánh xạ ở trên, không là đường thẳng tự ứng nên f không là phép chiếu xuyên trục Theo định lý Steiner đảo, quỹ tích các điểm nằm trên một đường... siêu phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận C Từ đó suy ra các kết quả đã biết đối với đường ellip, hypebol, parabol đã học ở phổ thông Chứng minh: +)Trong Pn chọn mục tiêu xạ ảnh { } (I) An= Pn\ W, khi đó W là siêu phẳng vô tận có phương trình trong mục tiêu(I) là: Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong Pn, có phương trình trong mục tiêu(I) là: ∑ Gọi ( ) =S\W Khi đó các điểm... C đối với (S) thì \W là siêu phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận C Từ bài toán trên ta thấy sự thể hiện của afin của các đường conic đã học ở THPT 1 Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳng trong mô hình afin A2=P2\ có phương trình: x3= 0, thì ta có S Với điểm X(x1: x2 : x3) S và X thì x3 nên ta chia hai vế (1) cho ( )2 + ( )2 – 1 = 0 (1‟) thì phương trình (1‟) là... S và đường thẳng hình afin A2 = P2\ Khi đó S = I thì trong mô ta sẽ thu được một Parabol (P) Thật vậy, giả sử conic S2 có phương trình: Và đường thẳng sao cho S (2) có phương trình: x3= 0 = { I=(0,1,0)} Chia hai vế (2) cho ta thu được phương trình: ( )2 - =0 (2‟) hay Kho đó (2‟) chính là phương trình của Parabol (P) trong A2 = P2\ Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳng trong mô hình afin A2 = P2\... đó suy ra: [ d0, d2, a, m]= , [ ]= Nhưng vì f là ánh xạ xạ ảnh nên: [ d0, d2, a, m]= [ Vậy ] , hay Đó là phương trình của đường ôvan tiếp với d1 và d2 lần lượt tại S2 và S1 V Một số kiến thức trong hình học afin 1.Vectơ ⃗=(c1,….cn) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) được xác định bởi phương trình nếu ⃗ ⃗⃗ và ∑ 2.Cho hai điểm M1, M2 thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường thẳng