khóa luận tốt nghiệp đại học phụ thuộc nguyên

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ------------------------------- TRẦN THỊ HỒNG PHÚ PHỤ THUỘC NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th. S Nguyễn Huy Hƣng HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Hƣngngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và các thầy cô trong khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Dù đã hết sức cố gắng, nhƣng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những sai sót. Em mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô để cho khóa luận tốt nghiệp đƣợc tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hồng Phú LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự hƣớng dẫn tận tình chỉ bảo của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Hƣng em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin cam đoan đề tài khóa luận tốt nghiệp là do bản thân nghiên cứu với sự hƣớng dẫn của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Hƣng không hề trùng với bất cứ đề tài nào. Hà Nội, tháng 4 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hồng Phú MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài................................................................................................. 1 2. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 1 4. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................... 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................. 1 6. Cấu trúc khóa luận ............................................................................................ 2 CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 3 1.1.Vành, vành giao hoán, vành có đơn vị............................................................. 3 1.1.1. Định nghĩa................................................................................................. 3 1.1.2. Tính chất ................................................................................................... 4 1.2. Vành con. ........................................................................................................ 5 1.2.1. Định nghĩa................................................................................................. 5 1.2.2. Nhận xét .................................................................................................... 5 1.2.3. Điều kiện tƣơng đƣơng ............................................................................. 5 1.2.4. Tính chất ................................................................................................... 5 1.3. Một số lớp vành đặc biệt. ................................................................................ 6 1.3.1. Miền nguyên ............................................................................................. 6 1.3.2. Trƣờng. ..................................................................................................... 7 1.3.3. Trƣờng con ................................................................................................ 7 1.4. Đồng cấu vành. ............................................................................................... 8 1.4.1. Định nghĩa................................................................................................. 8 1.4.2. Tính chất ................................................................................................... 8 1.4.3. Định lí cơ bản của đồng cấu vành............................................................. 9 1.5. Iđêan .............................................................................................................. 10 1.5.1. Định nghĩa............................................................................................... 10 1.5.2. Điều kiện tƣơng đƣơng ........................................................................... 10 1.5.3. Tính chất ................................................................................................. 10 1.5.4. Ví dụ........................................................................................................ 11 1.6. Vành thƣơng.................................................................................................. 11 1.7. Một số lớp iđêan đặc biệt .............................................................................. 11 1.7.1. Iđêan hữu hạn sinh, iđêan chính. ............................................................ 11 1.7.2. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại ............................................................... 12 1.7.3. Phổ của vành và tôpô Zariski.................................................................. 14 1.7.4. Mệnh đề .................................................................................................. 15 1.7.5.Mở rộng và thu hẹp iđêan. ....................................................................... 15 1.8. Tập nhân đóng. .............................................................................................. 16 1.8.1. Định nghĩa............................................................................................... 16 1.8.2. Ví dụ........................................................................................................ 16 1.8.3. Mệnh đề .................................................................................................. 17 1.9. Vành các thƣơng ........................................................................................... 17 1.9.1. Xây dựng ................................................................................................. 17 1.9.2. Định nghĩa............................................................................................... 18 1.10.Vành địa phƣơng. ........................................................................................ 18 1.11.Vành nhân tử hóa. ........................................................................................ 19 1.12. Môđun ......................................................................................................... 19 1.13. Môđun con .................................................................................................. 21 1.14. Môđun hữu hạn sinh ................................................................................... 22 1.15. Môđun địa phƣơng hóa ................................................................................ 23 1.16. Môđun phẳng ............................................................................................... 24 1.17. Môđun hoàn toàn phẳng............................................................................... 25 1.18. Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m – adic. .............................................. 26 CHƢƠNG 2. PHỤ THUỘC NGUYÊN .................................................................. 28 2.1. Phụ thuộc nguyên .......................................................................................... 28 2.1.1. Định nghĩa............................................................................................... 28 2.1.2.Ví dụ: ....................................................................................................... 28 2.1.3. Bổ đề ....................................................................................................... 29 2.1.4. Mệnh đề .................................................................................................. 29 2.1.5. Hệ quả ..................................................................................................... 30 2.1.6. Hệ quả ..................................................................................................... 31 2.1.7. Ví dụ........................................................................................................ 32 2.1.8. Hệ quả ..................................................................................................... 32 2.1.9. Hệ quả ..................................................................................................... 33 2.1.10. Mệnh đề ................................................................................................ 33 2.1.11. Mệnh đề ................................................................................................ 34 2.1.12. Mệnh đề ................................................................................................ 34 2.2. Giới thiệu về định lí Going – up và Going – down. ..................................... 35 2.2.1. Bổ đề ....................................................................................................... 37 2.2.2. Chú ý ....................................................................................................... 38 2.2.3. Ví dụ........................................................................................................ 38 2.3. Định lí Going – down và đồng cấu phẳng. ................................................... 39 2.3.1. Định lí ..................................................................................................... 39 2.3.2. Chú ý ....................................................................................................... 40 2.4. Định lí Going – up và mở rộng nguyên. ....................................................... 40 2.4.1. Mệnh đề .................................................................................................. 40 2.5. Định lí Going – down và mở rộng nguyên. .................................................. 44 2.5.1. Định nghĩa............................................................................................... 44 2.5.2. Ví dụ: ...................................................................................................... 44 2.5.3. Mệnh đề .................................................................................................. 45 2.5.4. Định nghĩa............................................................................................... 46 2.5.5. Bổ đề ....................................................................................................... 46 2.5.6. Mệnh đề .................................................................................................. 47 2.5.7. Định lí ..................................................................................................... 48 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 50 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong hình học đại số cổ điển, các đƣờng cong đƣợc nghiên cứu bằng việc chiếu chúng lên một đƣờng thẳng. Điều này tƣơng tự với mối quan hệ giữa một trƣờng số và trƣờng hữu tỉ, hoặc đúng hơn là giữa các vành số nguyên của chúng, với đặc trƣng đại số là khái niệm phụ thuộc nguyên. Với sự say mê, yêu thích của mình, cùng với sự hƣớng dẫn của Th.S Nguyễn Huy Hƣng, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Phụ thuộc nguyên” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học cho mình. 2. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng : Phụ thuộc nguyên Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức có liên quan tới phụ thuộc nguyên, định lí Going – up và định lí Going – down. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phụ thuộc nguyên. 4. Mục đích nghiên cứu Chứng minh một số kết quả về phụ thuộc nguyên. Đặc biệt, chứng minh định lí của Cohen – Seidenberg (các định lí Going – up và Going – down) liên quan đến iđêan nguyên tố trong mở rộng nguyên. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 1 Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và tài liệu liên quan. 6. Cấu trúc khóa luận Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2. Phụ thuộc nguyên. 2 CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, em trình bày một số kiến thức về Đại số nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính cho khóa luận ở chƣơng 2. Ngoài ra, em còn trích dẫn một số kết quả đã có dƣới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 1.1.Vành, vành giao hoán, vành có đơn vị 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp tùy ý, X   . Trên X trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (). Khi đó, X đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i, X cùng với phép (+) là một nhóm giao hoán. ii, Phép nhân trong X có tính chất kết hợp (hay X cùng với phép nhân là nửa nhóm). iii, Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Tức là, với các phần tử tùy ý x, y, z  X ta có: ( x  y ) z  xz  yz x( y  z )  xy  xz Nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán: xy  yx với x, y  X thì X đƣợc gọi là vành giao hoán. i, Phép nhân trong X có phần tử đơn vị thì X là vành có đơn vị. ii, X là vành giao hoán, có đơn vị nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán, có đơn vị. 3 Chú ý: (1) Phần tử không của vành là phần tử đơn vị của phép cộng. (2) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1. Ví dụ: (1) , , ,  là vành giao hoán, có đơn vị 1 (phép cộng và nhân các số thông thƣờng).  (2) Cho  n  0,1,..., n  1 ,i  i  nt : t   . Trên  n ta trang bị hai phép toán: x y x y x. y  x  y Khi đó, ( n , , ) là vành giao hoán, có đơn vị 1 . 1.1.2. Tính chất i, x.0  0.x  0, x  X ii, Nếu vành X có ít nhất hai phần tử thì ta có: 0  1 Chứng minh: Nếu 0 = 1 thì x  X ta có: x  x.1  x.0  0 nên X = 0 (mâu thuẫn giả thiết X có ít nhất hai phần tử). iii, n( xy)  x(ny)  (nx) y, n  , x, y  X iv, x( y  z )  xz  yz ( x  y) z  xz  yz 4 v,  y1  ...  yn  x  y1 x  ...  yn x  x  y n n   Cn k . x n . y n  k yi , x  X x, y  X k 0 1.2. Vành con 1.2.1. Định nghĩa Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A  , A  X . A gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Ví dụ: (1)  là vành con của  ,  là vành con của  ,  là vành con của  . (2) A là vành con của  khi và chỉ khi A  m, m   . 1.2.2. Nhận xét Vành con X của vành giao hoán có đơn vị A cũng là vành giao hoán. 1.2.3. Điều kiện tương đương Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A  , A  X . Các điều kiện sau là tƣơng đƣơng: i, A là vành con của X ii, 1 A, x, y  A thì x  y  A, xy  A iii, 1 A, x, y  A thì x  y  A, xy  A,  x  A . 1.2.4. Tính chất 5 i, Giao của một họ bất kì các vành con của vành X là vành con của vành X . Chú ý: Hợp của họ tùy ý các vành con của vành X chƣa chắc là vành con của vành X . ii, Giả sử U  X , X là vành, giao của tất cả các vành con của X chứa U là vành con của X sinh bởi U . Kí hiệu U  . 1.3. Một số lớp vành đặc biệt 1.3.1. Miền nguyên Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Cho a, b  X , phần tử a đƣợc gọi là ƣớc của b nếu c  X sao cho b  ac . Cho X là một vành giao hoán, a  X , a  0 , phần tử a gọi là ƣớc của không nếu b  X , b  0 thỏa mãn ab  0 ( b cũng là ƣớc của không). Ví dụ:  6  0,...,5 , phần tử không là 0 . Các ƣớc của 0 là 2,3,4 . Chú ý: Nếu vành X không tồn tại phần tử nào là ƣớc của không thì vành X đƣợc gọi là vành không có ƣớc của không. Định nghĩa: Miền nguyên là một vành giao hoán, có đơn vị 1, có ít nhất hai phần tử , không có ƣớc của không. Ví dụ: , , ,  là miền nguyên. 6 Nhận xét: Một vành giao hoán có ít nhất hai phần tử 0  1 là miền nguyên khi và chỉ khi phép nhân trong có luật giản ƣớc, tức là: ab  ac, a  0 thì b  c hoặc ba  ca(a  0) thì b  c . 1.3.2. Trường Phần tử u  X đƣợc gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức là v  X sao cho uv  1 . Trƣờng là một miền nguyên, trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch trong vị nhóm nhân. Nhận xét: X là trƣờng khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: i, ( X , ) là nhóm Abel ii, ( X , ) là nhóm Abel, X *  X \ 0 iii, Phép nhân phân phối với phép cộng. Ví dụ: (1) , ,  là các trƣờng số (2)  n là trƣờng khi và chỉ khi n là số nguyên tố . 1.3.3. Trường con Cho X là trƣờng, A  X , A có ít nhất hai phần tử. Ta gọi A là trƣờng con nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh là một trƣờng. Nhận xét: A là trƣờng con của trƣờng X khi và chỉ khi: x, y  A thì x  y  A, xy 1  A, y  0 7 Ví dụ: Trƣờng  có vô số trƣờng con. Thật vậy:    d   a  b d : a, b  ( d là số nguyên tố) cùng với hai phép toán cộng, nhân các số thông thƣờng là một trƣờng con của  . 1.4. Đồng cấu vành 1.4.1. Định nghĩa Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ : f : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu thỏa mãn: x, y  X thì f ( x  y)  f ( x)  f ( y) và f ( xy)  f ( x). f ( y) . i, f là đơn cấu  f là đồng cấu vành và f là đơn ánh. ii, f là toàn cấu  f là đồng cấu vành và f là toàn ánh. iii, f là đẳng cấu  f là đơn cấu và f là toàn cấu. iv, Cho hai vành X , Y . Ta nói, X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X Y . 1.4.2. Tính chất i, Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành ii, Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu. iii, Cho f : X  Y là đồng cấu vành 8 +Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho g  f  1X thì f là đơn cấu. + Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho f  g  1Y thì f là toàn cấu. + Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu iv, f : X  Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X . B là iđêan nguyên tố của Y thì: f ( A) là một vành con của Y và f 1 ( B) là một iđêan của X . Đặc biệt, cho f : X  Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của f , kí hiệu là kerf với kerf  x  X : f ( x)  0Y  . Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu là Imf , với Imf  f ( X )   f ( x) Y  Nhận xét:  f là đơn cấu  kerf  0Y  f là toàn cấu  Imf  Y . 1.4.3. Định lí cơ bản của đồng cấu vành Cho f : X  Y là đồng cấu vành, A, B tƣơng ứng là các iđêan của X và Y sao cho: f ( A)  B . Khi đó, tốn tại duy nhất đồng cấu vành f : X / A  X / B sao cho: f  PA  PB  f với PA : X  X / A và PB : Y  Y / B là toàn cấu chính tắc. Đặc biệt, A  kerf ; B = 0Y . Tức là f  p  f với p : X  X / kerf hoặc là toàn cấu chính tắc. 9 1.5. Iđêan 1.5.1. Định nghĩa Cho X là một vành, A là vành con của X . i, A gọi là iđêan trái của X nếu với x  X , a  A thì xa  A ii, A gọi là iđêan phải của X nếu với x  X , a  A thì ax  A . iii, A gọi là iđêan của X nếu A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của X . Chú ý: (1) Nếu X là vành không giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là phân biệt. (2) Nếu X là vành giao hoán thì ax  xa , x  X , a  A . 1.5.2. Điều kiện tương đương Cho X là một vành, A  , A  X . Các điều kiện sau là tƣơng đƣơng: i, A là iđêan của X . ii, a, b  A thì a  b  A và x  X , a  A ta có: xa  A , ax  A . 1.5.3. Tính chất i, Giao của một họ tùy ý các iđêan của X là một iđêan của X . ii, Cho X là một vành, U  X , giao của tất cả các iđêan của vành X chứa U cũng là iđêan của X chứa U , gọi là một iđêan của X sinh bởi U . Kí hiệu:  U . Tập U đƣợc gọi là tập sinh của  U  Đặc biệt, nếu U là hữu hạn thì  U  đƣợc gọi là hữu hạn sinh. 10 1.5.4. Ví dụ (1) Cho X là một vành, 0 và X là các iđêan tầm thƣờng của X . (2)  là vành, A là iđêan của  khi và chỉ khi A  n . 1.6. Vành thƣơng Nếu A là iđêan của vành X thì: i, Lớp xy  A chỉ phụ thuộc vào các lớp x  A, y  A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn các phần tử x, y từ các lớp đó. ii, X / A cùng với hai phép toán: ( x  A, y  A)  x  y  A ( x  A, y  A)  xy  A là vành, gọi là vành thƣơng của X trên A . Kí hiệu X / A . 1.7. Một số lớp iđêan đặc biệt 1.7.1. Iđêan hữu hạn sinh, iđêan chính Cho X là vành giao hoán, A là iđêan hữu hạn sinh của X nếu tập sinh của A có hữu hạn phần tử. Giả sử U  u1 , u2 ,..., ur  là tập sinh của A . Khi đó: n A  u1 ,..., ur  { xiui : xi  X } i 1 Đặc biệt, nếu U  {a} thì A  a  ax:x  X   xA  Ax gọi là iđêan chính. 11 1.7.2. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại Cho X là vành giao hoán có đơn vị, A là iđêan của X . Ta gọi:  A gọi là iđêan nguyên sơ nếu A  X và, xy  A , x  A thì n  * thỏa mãn yn  A .  A là iđêan nguyên tố của X nếu A  X và xy  A thì x  A hoặc y  A .  A là iđêan cực đại của X nếu A  X và nếu tồn tại iđêan B của X mà B  A, B  A thì B  X . Ví dụ: Vì tập hợp số nguyên là vô hạn nên vành  có vô số iđêan nguyên tố. Mệnh đề 1.7.2: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. i, A là iđêan nguyên tố của X  X / A là miền nguyên. ii, A là iđêan cực đại của X  X / A là một trƣờng. Chứng minh: i, => Giả sử A là iđêan nguyên tố của X thì X / A có ít nhất hai phần tử. Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X / A là vành giao hoán , có đơn vị 1  A . x  A, y  A  X / A , mà ( x  A)( y  A)  0  A  A ta suy ra: xy  A  A nên xy  A (vì x  A  A và xA  A nên x  A ).  Giả sử A là iđêan cực đại của X , thì A  X nên X / A có ít nhất hai phần tử. Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X / A là vành giao hoán, có đơn vị 1  A x  A  A ( A là phần tử không) thì x  A . Xét A  x  a  xy : y  X  . Ta có A  x là iđêan của X với A  x  A, A  x  A . Vì A là iđêan cực đại của X nên A  x  X hay 1 A  x . Suy ra a  A, x  X sao cho 1  a  xy . Suy ra a  xy  A  1  A hay xy  A  1  A . Do đó, ( x  A)( y  A)  1  A . Vậy x  A có nghịch đảo là y  A nên X / A là một trƣờng.  Giả sử A là một trƣờng, ta chứng minh B là trƣờng. Lấy b  B, b  0 , do b nguyên trên A nên b là nghiệm của phƣơng trình: bn  a1bn1  ...  an1b  an  0, ai  A, i  1, n () Không giảm tổng quát, giả sử an  0 . Khi đó, an  A và do A là trƣờng nên an 1  A .   => b1  (an )1 (bn1  a1bn2  ..  an1 )  B 40 Do đó, B là một trƣờng. [...]... Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại Cho X là vành giao hoán có đơn vị, A là iđêan của X Ta gọi:  A gọi là iđêan nguyên sơ nếu A  X và, xy  A , x  A thì n  * thỏa mãn yn  A  A là iđêan nguyên tố của X nếu A  X và xy  A thì x  A hoặc y  A  A là iđêan cực đại của X nếu A  X và nếu tồn tại iđêan B của X mà B  A, B  A thì B  X Ví dụ: Vì tập hợp số nguyên là vô hạn nên vành  có vô số iđêan nguyên. .. các phần tử của nó đều là r Đồng cấu tự nhiên này là một đồng cấu hoàn toàn phẳng 27 CHƢƠNG 2 PHỤ THUỘC NGUYÊN Trong toàn bộ chƣơng này, vành đƣợc nhắc đến là vành giao hoán, có đơn vị 1  0 2.1 Phụ thuộc nguyên 2.1.1 Định nghĩa Cho A là một vành con của vành giao hoán B và x  B Ta nói rằng phần tử x là nguyên trên A nếu  n   và a1, a2 , , an  A sao cho: xn  a1x n1   an1x  an  0 có nghĩa... iđêan A trong vành Y bởi đồng cấu f Chú ý rằng: Nếu p ' là iđêan nguyên tố của vành Y và ( p ')c  X thì ( p ')c là iđêan nguyên tố của vành X Nếu p là iđêan nguyên tố của vành X thì p e có thể không là iđêan nguyên tố của vành Y Mệnh đề: Cho f : X  Y là một đồng cấu vành và p là iđêan nguyên tố của I Khi đó, p là thu hẹp của một iđêan nguyên tố J khi và chỉ khi p ec  p 1.8 Tập nhân đóng 1.8.1 Định... Cho X là một vành, 0 và X là các iđêan tầm thƣờng của X (2)  là vành, A là iđêan của  khi và chỉ khi A  n 1.6 Vành thƣơng Nếu A là iđêan của vành X thì: i, Lớp xy  A chỉ phụ thuộc vào các lớp x  A, y  A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn các phần tử x, y từ các lớp đó ii, X / A cùng với hai phép toán: ( x  A, y  A)  x  y  A ( x  A, y  A)  xy  A là vành, gọi là vành thƣơng của X trên... duy nhất một iđêan cực đại gọi là vành địa phƣơng Cho p  SpecX Khi đó, S  X \ p là một tập nhân đóng của vành X vành S 1 X trong trƣờng hợp này là vành địa phƣơng, kí hiệu là X p , với iđêan cực đại duy nhất là pX p  a / s : a  p, s  X \ p nên đƣợc gọi là vành địa phƣơng hóa của vành X tại iđêan nguyên tố p 1.10.2.Ví dụ (1) Trƣờng X là một vành địa phƣơng với iđêan cực đại duy nhất là iđêan... Ví dụ: Vì tập hợp số nguyên là vô hạn nên vành  có vô số iđêan nguyên tố Mệnh đề 1.7.2: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị i, A là iđêan nguyên tố của X  X / A là miền nguyên ii, A là iđêan cực đại của X  X / A là một trƣờng Chứng minh: i, => Giả sử A là iđêan nguyên tố của X thì X / A có ít nhất hai phần tử Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X / A là vành giao hoán , có đơn vị 1  A x ... A)  0  A  A ta suy ra: xy  A  A nên xy  A (vì x  A  A và xA  A nên x  A )  Giả sử A là iđêan cực đại của X , thì A  X nên X / A có ít nhất hai phần tử Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X / A là vành... iđêan cực đại duy nhất là iđêan 0 18 (2) Vành  không là vành địa phƣơng vì p , với p là số nguyên tố, là các iđêan cực đại của  1.11.Vành nhân tử hóa 1.11.1 Phần tử bất khả quy a  X là phần tử bất khả quy nếu a  0 , a không khả nghịch và a không có ƣớc thực sự 1.11.2.Định nghĩa vành nhân tử hóa Miền nguyên X đƣợc gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều... tƣơng đƣơng của các dãy Cauchy Chú ý rằng, nếu (rn ),( sn ) là các dãy Cauchy thì (rn  sn ), (rn sn ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tƣơng đƣơng của các dãy (rn  sn ),(rn sn ) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tƣơng đƣơng của các dãy (rn ), ( sn ) ,tức là 26 nếu (rn ~ r 'n ), (sn ~ s 'n ) thì (rn  sn ) ~ (r 'n  s 'n ), (rn sn ) ~ (r 'n s 'n ) Vì thế, 𝑅 đƣợc trang bị hai... tồn tại phần tử nào là ƣớc của không thì vành X đƣợc gọi là vành không có ƣớc của không Định nghĩa: Miền nguyên là một vành giao hoán, có đơn vị 1, có ít nhất hai phần tử , không có ƣớc của không Ví dụ: , , ,  là miền nguyên 6 Nhận xét: Một vành giao hoán có ít nhất hai phần tử 0  1 là miền nguyên khi và chỉ khi phép nhân trong có luật giản ƣớc, tức là: ab  ac, a  0 thì b  c hoặc ba  ca(a  ... nguyên chúng, với đặc trƣng đại số khái niệm phụ thuộc nguyên Với say mê, yêu thích mình, với hƣớng dẫn Th.S Nguyễn Huy Hƣng, em mạnh dạn chọn đề tài Phụ thuộc nguyên làm đề tài khóa luận tốt. .. thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số thầy cô khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp Dù... nguyên làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học cho Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng : Phụ thuộc nguyên Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức có liên quan tới phụ thuộc nguyên, định lí Going – up