Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu về các toán tử trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẢT LY TRẦN THỊ THU NGHIÊN CỨU VỀ CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LUtJ HÀ NỘI - 2015 t h ị k im t h a n h LỜI CẢM ƠN Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo, PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua. Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những người đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đế hoàn thiện khóa luận này. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Trần Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Nghiên cứu về các toán tử trong vật lý” không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ đề tài nào khác. Sinh viên Trần Thị Thu MỤC LỤC PHÀN 1: MỞ ĐẦU................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................2 5. Nội dung nghiên cứ u ......................................................................................... 2 PHÀN 2: NỘI DUNG...........................................................................................3 CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ BẢN CỦA TOÁN TỬ.................... 3 1.1. Toán tử..........................................................................................................3 1.1.1. Định nghĩa.............................................................................................3 1.1.2. Ma trận của toán tử liên h ợ p ............................................................... 3 1.1.3. Toán tử Hermite.................................................................................... 5 1.1.4. Toán tử Unita U(t) ..............................................................................8 1.1.5. Phép tính của toán tử...........................................................................10 1.2. Vectơ riêng và trị riêng của toán t ử ......................................................... 12 1.2.1. Định nghĩa........................................................................................... 12 1.2.2. Tĩnh chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử Hermite.............14 1.2.3. Phương trình đặc trưng của toán tử ...................................................15 Kết luận chương 1 CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ ........................................ 18 2.1. Toán tử Hamilton.......................................................................................18 2.2. Toán tử tịnh tiến T .....................................................................................21 2.3. Toán tử xung lượng................................................................................... 22 2.4. Toán tử moment xung lượng....................................................................24 2.5. Toán tử sinh hạt và hủy hạt boson........................................................... 25 2.6. Toán tử sinh hạt và hủy hạt Fermion.......................................................27 2.7. Toán tử spin của electron.......................................................................... 30 2.8. Một số toán tử khác....................................................................................33 2.9. Điều kiện đế hai đại lượng vật lý đồng thời xác định trong cùng một trạng thái................................................................................................................34 2.10. Định lí Ehrenfest..................................................................................... 35 Kết luận chương 2 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ HỆ THỨC ĐẠI SỐ TOÁN TỬ QUAN TRỌNG ............................................................................................................................... 38 3.1. Hệ thức 1..................................................................................................... 38 3.2. Hệ thức 2..................................................................................................... 39 3.3. Hệ thức 3..................................................................................................... 39 3.4. Hệ thức 4.....................................................................................................40 3.5. Hệ thức 5..................................................................................................... 41 3.6. Hệ thức 6..................................................................................................... 43 3.7. Hệ thức 7.....................................................................................................44 3.8. Hệ thức 8..................................................................................................... 45 3.9. Hệ thức 9..................................................................................................... 45 3.10. Hệ thức 10................................................................................................ 46 Kết luận chương 3 PHÀN 3*: KẾT LUẬN......................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................. 49 PHÀN 1:MỞ ĐẦU l.Lý do chọn đề tài Cơ học lượng tử xuất hiện vào nửa đầu thế kỉ XX, là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lỷ học. Cơ học lượng tử là phần bổ sung và mở rộng của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển). Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý lý thuyết,... Trong các công thức toán học của cơ học lượng do Paul Dirac và John von Neuman phát triển, các trạng thái khả di của một hệ cơ học lượng tử được biểu diễn bằng các vectơ đơn vị (còn gọi là các vectơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm số phức trong không gian Hilbert (không gian trạng th á i). Bản chất của không gian Hilbert này lại phụ thuộc vào hệ lượng tử. Mỗi quan sát trong hệ lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite xác định (hay một toán tử tự hợp ) tác động lên không gian trạng thái. Mỗi trạng thái riêng của một quan sát tương ứng với một vectơ riêng (còn gọi là hàm riêng) của toán tử, và một giá trị riêng ( còn gọi là trị riêng) tương ứng với giá trị của quan sát trong trạng thái riêng đó. Neu phổ của toán tử là rời rạc thì quan sát chỉ có thể có được những giá trị riêng rời rạc. Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa độ và xung lượng. Các đại lượng vật lỷ này đủ để đặc trưng cho trạng thái của hệ cơ học và được gọi là các đại lượng động lực của cơ học. Trong cơ học lượng tử, mỗi thuộc tính vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Ví dụ như năng lượng, động lượng, tọa độ,... đều có một toán tử tương ứng. Mặt khác cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một loạt các công cụ toán, trong đó toán tử giữ một vị trí quan trọng. Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử nói riêng và vật lý nói chung. 1 Vì lý do trên nên em quyết định chọn đề tài " Nghiên cứu về các toán tử trong vật lý." 2.Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các toán tử trong vật lý để tạo ra công cụ hữu hiệu dùng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô thuộc cơ lượng tử 3.ĐỐÌ tượng nghiên cứu Các toán tử cơ bản thường được sử dụng 4.Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết trường lượng tử 5.Nội dung nghiên cửu Chương 1: Một số vấn đề cơ bản của toán tử Chương 2: Các toán tử trong vật lý Chương 3: Một số hệ thức đại số toán tử quan trọng 2 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ BẢN CỦA TOÁN TỬ 1.1. Toán tử 1.1.1. Định nghĩa Cho không gian X, dim x= p và không gian Y, dim Y= q. Từ đó định nghĩa: [4] a. Một phép toán nào đó, biến phần tử X a X thành phần tử y a Y được gọi là một ánh xạ. Kí hiệu phép toán này là F , phép toán biến X —» y được viết như sau: Fx = y ( x e X , ỵ e F) b. Ánh xạ F được gọi là tuyến tính nếu: 1.1.2. Ma trận của toán tử liên hợp Ta biết rằng tác dụng của toán tử A lên vectơ trạng thái Ịụ/') dẫn đến trạng thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái Iọ ) . Định nghĩa này được viết dưới dạng phương trình [3]: ( 1. 1) 3 Bây giờ ta khai triển Iv') và Iợ?) theo cơ sở IIịị^Ỷị; ( n ) là các vectơ riêng của toán tử A : AI un^ = an Iun)) k ) = Zc„|w„);c „ =(w„k) ìì \f>) = 'L b „ \ u , ) ’b„ = {u,ị(p} lì Nhân hai vế của phương trình (1.1) với bra vectơ (ọ\ ta thu được: (H â \i// ) = X {â аф%\ = (афч =о (2.28) tức các giá trị của n có thể là n=0,1,2,... Chú ý rằng hàm афп và ộn_ị đều là hàm riêng của toán tử n tương ứng với cùng một trị riêng (n-1) nên chúng chỉ sai khác nhau một hằng số tức là афп = &фп- 1 (2.29) Trong đó a được xác định trong điều kiện chuẩn hóa Từ (2.22) và (2.29) ta có П= (фп’”фп) = (ф„’0 а ф \ = 1афи,афп) = а 2{фп_1,фп^ ) = а'1 (2.30) Từ (2.30) suy ra a - yfn (2.31) Từ (2.29) và (2.31) ta có hệ thức афп = yfnộn-\ (2.32) Ẩ. Tương tự hàm а фп và фп+\ đêu là hàm riêng của toán tirn tương ứng với cùng một trị riêng (n+1) nên ta cũng có: л + • 26 л + =ơy vơ .z ơ Jv — ơ z. ơ vy + Ơ >Ơ ,z —ơ >vơ ĩ. ơ .vV =0 Hoàn toàn tương tự °x°y=-°y°x (2 .53 ) ơ vơ ? = - ơ zơ y ơ 7ơ r = - ơ ơ Ta nói các toán tử ơ ,ơ ,ơi thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán. ; ' ' ' tl Bây giờ ta giả thiêt các giá trị riêng của vêt chiêu Sz =±—9tương ứng với điều đó, các giá trị riêng của ma trận ơ = ±1. Muốn vậy ta đòi hỏi [...]... tử, vectơ riêng trị riêng của toán tử, toán tử Hermite, phương trình đặc trưng của toán tử , Đây là một số những vấn đề cơ bản của toán tử giúp chúng ta tìm hiểu về định nghĩa, các tính chất của toán tử, là tiền đề để tìm hiểu về các toán tử trong vật lý 17 CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ Ngoài những đại lượng vật lý đặc trưng trạng thái chuyến động của hạt vi mô trong không gian như tọa độ, xung... hạt trong cùng một trạng thái Giả sử toán tử CL, a thỏa mãn phương trình /V /V 4 " a,a yv + /V = aa - a a = 1 (*) Bài toán đặt ra: xác định trị riêng của toán tử Hecmite a a và thiết lập hệ thức liên hệ quan trọng Lưu ý răng ở đây toán tử a ỉà toán tử liên hợp của toán tử a Trước tiên ta nhận thấy ộ n là hàm riêng chuẩn hóa của toán tử n = a a nộ„=nệ„ (2.21) /V Trong đó n là trị riêng của toán tử ĩl... không gian như tọa độ, xung lượng, năng lượng, còn có những đại lượng vật lý gắn liền với bản chất của hạt vi mô như khối lượng, điện tích, spin, Trong cơ học lượng tử, mỗi đại lượng hay thuộc tính vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử 2.1 Toán tử Hamilton Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton hay Hamiltonian là một toán tử tương ứng vớinăng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời... thái k ( 0 ) ở thời điểm t Toán tử u (t) không làm thay đổi điều kiện chuẩn hóa : ị ỵ (í)|ị^(í)) = (y/ (0) ữ (t)ũ (t) y/ (oỳj = ( ỵ (0)|(^ (o)) = 1 đòi hỏi ữ (t) là toán tử Ưnita: ũ \ t ) ũ ( t ) =\ (1.53) trong đó u là toán tử liên hợp Hecmite của U(t), I là toán tử đơn vị - Xét toán tử Unita: ữ ịd t) = \ - - ồ d t v ’ n 8 ( 1.54) trong đó H là một toán tử Dễ thấy toán tử u thỏa mãn phương trình... hạt và toán tử của các đại lượng vật lý được biểu diễn qua toán tử sinh hạt và hủy hạt Đây chính là nội dung chủ đạo của phương pháp toán tử sinh hạt và hủy hạt [2] Có hai loại hạt tương ứng với hai loại toán tử sinh hạt và hủy hạt Loại thứ nhất là hạt boson có các toán tử sinh hạt và hủy hạt boson Hạt boson có spin nguyên (hoặc bằng 0) hàm sóng là đối xứng và không bị rằng buộc bởi nguyên lý Pauli... hợp hai toán tử giao hoán • Giao hoán tử: Cho hai toán tử A,B và một hàm f bất kì, giao hoán tử của А,в được định nghĩa là: е = Га , в ~| = а в - Ê / = Â (b / ) - ва b (a / ) Neu hai toán tử được gọi là giao hoán tử thì ta có: Е = Га , в ] = А В -В А = 0 Hay AB = BA 1.2 Vectơ riêng và trị riêng của toán tử 1.2.1 Định nghĩa Cho một toán tử tuyến tính Ấ , ket Ijc) Ф 0 gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu:... thấy rằng toán tử п —Ск с к là toán tử số hạt và (nk = 0,1) và A ệ ịn ],n2, ,nk, ,n], nN) là trị riêng và hàm riêng của toán tử số hạt Пк Giữa các toán tử с к , с к tồn tại các hệ thức phản giao hoán sau 29 /* A + Ị Cl , C k A/v-f Ị — Cl Ck y v + /S "I~ Ck (2.47) Cl — Ôịị * '“'I l ^+^+l Cì,Ck Ị = ... đề tài " Nghiên cứu toán tử vật lý. " 2.Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu toán tử vật lý để tạo công cụ hữu hiệu dùng nghiên cứu hệ hạt vi mô thuộc lượng tử 3.ĐỐÌ tượng nghiên cứu Các toán tử thường... pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trường lượng tử 5.Nội dung nghiên cửu Chương 1: Một số vấn đề toán tử Chương 2: Các toán tử vật lý Chương 3: Một số hệ thức đại số toán tử. .. vectơ riêng toán tử Hermite 14 1.2.3 Phương trình đặc trưng toán tử 15 Kết luận chương CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ 18 2.1 Toán tử Hamilton .18 2.2 Toán tử tịnh tiến