Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường

Hệ thống các dạng bài tập về chuyển động của hạt mang điện trong trường tĩnh điện 1.. - Tại mọi điểm của điện trường, vectơ cường độ điện trường Eur vuông góc với mặt đẳng thế đi qua đi

MỞ ĐẦU

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia khi dạy và học về phần tĩnh điện, có các bài toán đặc trưng về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; kết hợp với các kiến thức cơ học bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng để giải những bài toán dao động của điện tích, hệ điện tích, lưỡng cực Đồng thời đó cũng là những kiến thức cơ bản trong nội dung thi chọn HSG quốc gia và chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế

Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh

điện lớp 11 và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia

Nội dung của đề tài gồm :

Phần I Tóm tắt lí thuyết

1 Lí thuyết phần tĩnh điện

2 Một số công thức khai triển toán học

3 Phương pháp giải phương trình vi phân

4 Các phép toán về tích véc tơ

Phần II Hệ thống các dạng bài tập về chuyển động của hạt mang điện

trong trường tĩnh điện

1 Bài tập về hệ hai điện tích điểm

2 Bài tập về hệ nhiều điện tích điểm

3 Bài tập về chuyển động của hệ điện tích trong điện trường gây bởi vật tích điện có kích thước

4 Các bài tập sử dụng phương pháp ảnh điện

5 Chuyển động của vật tích điện có kích thước

6 Dao động của điện tích, hệ điện tích

7 Dao động của lưỡng cực điện

PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

A LÍ THUYẾT PHẦN TĨNH ĐIỆN

I Nguyên lí chồng chất điện trường

Cường độ điện trường do nhiều điện tích điểm Q1, Q2 gây ra tại điểm A bằng tổng các vectơ cường độ điện trường Er1, Er2 do từng điện tích riêng biệt Q1, Q2 gây ra tại A :

i

Er = Er + Er + = ∑Er

Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt trong điện trường Eur là Fur = qEur

II Cường độ điện trường của vật mang điện

2

0 toµn bé vËt

* Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho môi trường điện môi

III Thế năng của điện tích điểm trong điện trường

1 Thế năng của q trong điện trường gây ra bởi điện tích điểm Q : W =

Trong đó r1, r2, là khoảng cách từ điểm A đến Q1, Q2

+ Những điểm trong điện trường có cùng điện thế đều nằm trên mặt đẳng thế Phương trình của mặt đẳng thế : V(r) = V(x, y, z) = C

Mặt đẳng thế có các tính chất sau đây :

- Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q trên mặt đẳng thế là bằng không

- Tại mọi điểm của điện trường, vectơ cường độ điện trường Eur vuông góc với mặt đẳng thế đi qua điểm đó (Vì ∆A = 0 ⇒Eur.∆rl = 0 ⇒ Eur ⊥mặt đẳng thế).

là điện thế tại điểm đặt điện tích qi do các điện tích khác của hệ tạo ra

4 Trong trường hợp vật tích điện, ta chia vật thành các phần tử nhỏ mang điện tích ∆q (xem

như điện tích điểm) và tính thế năng của vật theo công thức: W 1 V q

2

= ∑ ∆Với V là điện thế tại điểm đặt ∆q do các điện tích còn lại của vật tạo ra

- Nếu vật tích điện là một vật dẫn, thì mọi điểm của vật có cùng điện thế V (V là điện thế vật dẫn) do đó thế năng (năng lượng tĩnh điện) của vật là :

W = 1V q 1qV

5 Đối với hệ gồm n vật dẫn tích điện ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, điện tích và điện thế của

chúng lần lượt bằng q1, q2 qn và V1, V2 Vn, thì thế năng của hệ là :

và hướng về phía điện trường mạnh

2 Thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường : Wt = -peEcosα = −pre.Eur

B MỘT SỐ CÁCH KHAI TRIỂN TRONG TOÁN HỌC

1 Định nghĩa và đạo hàm chuỗi mũ

Bằng cách lấy loga có dễ dàng suy ra rằng exey = ex+y vì :

loge(exey) = logeex + logeey = x + y

2 Khai triển hàm lượng giác, công thức Ơle (Euler)

3 Biểu diễn sinx và cosx theo hàm mũ phức

Từ công thức Euler suy ra rằng: e-ix = cosx – isinx (10)

Phương trình: y” + py’ + qy = 0 (2)

là phương trình không có vế phải hoặc phương trình thuần nhất tương ứng với (2.1)

Phương trình đặc trưng của (1) và (2)

đó là một phương trình đại số bậc hai, có hai nghiệm thực phân biệt r1 và r2 nếu biệt thức

∆ = p2 – rq > 0 Khi ∆ = p2 – 4q = 0 thì r1 = r2 là một nghiệm kép Khi ∆ < 0 thì không có

nghiệm thực, nếu xét nghiệm ảo thì r = - ± pΔ = α ± iβ

α = - , β = -Δ

2 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi ∆ > 0

Định lí: Nếu y1 và y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2) thì: y = C1y1 +C2y2

là nghiệm tổng quát của (2) C1 và C2 là hai hằng số tuỳ ý

Tìm nghiệm riêng: Nếu ∆ > 0 thì phương trình đặc trưng (3) có 2 nghiệm thức riêng biệt

3 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi ∆ < 0

Tìm nghiệm riêng Khi ∆ < 0 phương trình đặc trưng : r + pr + q = 02 (3)

Có hai nghiệm phức: r = - + 1 pΔ = α + iβ; r = - - 2p Δ = α - iβ

Có thể thử lại rằng:

y = e α+ β = eα cosβx + isinβx ; y = e α − β = eα cosβx - isinβx

Là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (2)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2) có dạng: y = C1y1 + C2y2

còn có thể viết dưới dạng khác Thật vậy:

Đặt D1 = C1 + C2 và D2 = i(C1 – C2) ta sẽ có:y = eαx(D cosβx + D sinβx1 2 ) (5)

Trong đó D1 và D2 là hai hằng số bất kì, α và β là hai số thực

4 Trường hợp riêng : phương trình y” + ω2 y = 0

Phương trình đặc trưng r2 + ω2 = 0 có hai nghiệm ảo r1 = iω, r2 = -iω(α = 0, β = ω) Theo công thức (5) thì nghiệm tổng quát có dạng:

y = D1cosωx + D2sinωx (6) với D1 và D2 là hai hằng số bất kì, ω là thực.Khi giải phương trình vi phân y” + ω2y = 0 có thể chọn ngay hai nghiệm riêng y1 = cosωx, y2 = sinωx; chọn như thế ta có thể đi đến biểu thức (6) của nghiệm tổng quát.Việc chọn y1 = cosωx là nghiệm riêng có thể thử lại một cách dễ dàng Thật vật y’1 =

-ωsinωx, y”1 = -ω2sinωx Thay y”1 và y1 vào phương trình y” + ω2y = 0 ta thấy ngay rằng phương trình này được nghiệm đúng

5 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2) khi ∆ = 0

Khi đó thì phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0 có một nghiệm kép : r1 r2 p

y = c.e chính là nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1

Nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1y1 + C2y2 = (C1 + C2x)er x 1 (7)

Trong đó C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ, r1 là nghiệm kép thực của phương trình đặc trưng

6 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải:

y” + py’ + qy = f(x) (8)

Phương trình không vế phải (thuần nhất ) tương ứng là:

y” + py’ + qy = 0 (9)

Trong lí thuyết phương trình vi phân, người ta đã chứng minh rằng:

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải (8) thì bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình không vế phải tương ứng (9) và một nghiệm riêng bất

kì của (8)

y = y1(x) + y2(x)

Nghiệm tổng quát y1(x) của (9) đã tìm được trong các mục trên Một nghiệm riêng y2(x) của (8) có thể tìm được trong trường hợp vế phải có dạng đặc biệt

C TÍCH VÉC TƠ TRONG TOÁN HỌC

1 Một véc tơ A ur có thể được xác định bằng một trong hai cách sau đây:

- Bằng độ dài A và hướng (xác định bởi góc θ hợp với trục Oz và góc ϕ mà mặt phẳng chứa A ur và Oz hợp với trục Ox) θ còn gọi là góc phương vị và ϕ gọi là góc kinh độ, xem hình P.3

- Bằng 3 toạ độ Ax, Ay, Az tức là ba hình chiếu lần lượt lên các trục Ox, Oy, Oz

2 Nếu gọi i, j, kr r uur lần lượt là vec tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz thì ta có:

A = A i + A j + A k

3 Tích vô hướng của hai véc tơ A ur và B ur: A.B = ABcosαur ur

α là góc giữa hai vec tơ Aur và Bur

Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì:

A.B A B ur ur = x x + A By y+ A Bz z

A.B ur ur = A B cos ur ur α ;α =(A ur,B ur)

4 Tích véc tơ (hoặc tích hữu hướng) của hai véc tơ A ur và B ur : A B ABsin n ur ur ∧ = α r

n r là véctơ đơn vị trên trục vuông góc với mặt phẳng chứa A ur và B ur trục hướng theo chiều

chuyển động tịnh tiến của một đinh vít thuận khi nó quay theo chiều từ A ur tới B ur

Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì:

PHẦN II HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MANG ĐIỆN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

I BÀI TẬP HỆ HAI ĐIỆN TÍCH ĐIỂMBài tập 1 Hai quả cầu kim loại, bán kính r được nối với nhau bằng một sợi

dây thép mảnh, dài l Các quả cầu được đặt cách một điện tích điểm Q một

đoạn R như hình vẽ (Với R>>l>>r) Hỏi điện tích Q tác dụng lên hệ hai quả

cầu một lực bằng bao nhiêu? Điện tích toàn phần của hệ 2 quả cầu bằng 0

l

R + 2

- 2kQqlF=FQ, q+ FQ, -q= 3

R

Vậy lực Q tác dụng lên hệ là lực hút có độ lớn F = kQ l r2 25

R

Bài tập 2 Hai quả cầu có cùng khối lượng m, điện tích q nối với nhau bằng sợi dây dài l

Hệ số ma sát giữa quả cầu và sàn là μ Đốt cháy dây nối giữa hai quả cầu Tính vận tốc cực đại của quả cầu phụ thuộc vào điện tích q

1) Vận tốc của quả cầu 2 thay đổi như thế nào?

2) Xác định các tỷ số K = q2

2 m2 theo

q1

K = 1m1

Giải

1) Gọi uurV0`là vận tốc ban đầu của quả cầu 1 và 2

Theo đề ra uurV1 là vận tốc của quả cầu 1 khi (uur uuurV , V = 60) 0

uurV2 là vận tốc của quả cầu 2 khi (uuur uuurV , V = 90) 0

Với = 0 1

+ Gia tốc theo phương Oy là: ∆

Hỏi vận tốc viên bi thứ hai thay đổi bao nhiêu lần ? Hãy xác định giá trị tuyệt đối của thương số giữa điện tích và khối lượng đối với viên bi thứ hai, nếu thương số đó là k1 đối với viên bi thứ nhất Bỏ qua lực tương tác tĩnh điện giữa hai viên bi

Giải

Do điện trường là đều, nên lực tác dụng lên mỗi điện tích có độ lớn và hướng không đổi trong suốt thời gian tồn tại điện trường Trong khoảng thời gian đó các viên bi nhận được các xung lượng của lực tương ứng bằng F tv1

và F tr2 Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho mỗi viên bi :

F t = Eq t = m v - m v1 1 1 1 1 (1)

F t = Eq t = m v - m v (2)2 2 2 2 2

đồng thời Eq t // Eq tr 2 r 1 , nghĩa là các xung lượng đó hợp với hướng của động lượng ban

đầu các góc như nhau bằng α , suy ra m v = m vtg302 2 2 0 v2 = 1

Bµi tËp 5 Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm Xét hai loại hạt M1 và M2 khối lượng m1

và m2 có điện tích q1 và q2 cùng dấu Ở thời điểm ban đầu hai hạt được buông ra không vận tốc đầu ở khoảng cách r0 giữa chúng Bỏ qua trường trọng lực Tính vận tốc giới hạn

v1 và v2 của chúng

a) Bằng cách tích phân của năng lượng

b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt rút gọn M trong hệ quy chiếu khối tâm

Giải

a) Bảo toàn động lượng : m1v1uur + m2v2uur = →0 (1)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

b) Hệ quy chiếu gắn với khối tâm :

- Bảo toàn cơ năng cho hạt M rút gọn : μ 2v + kq q1 2 = kq q1 2

k v

Bài tập 6 Ở cách xa các vật thể khác trong không gian, có hai quả cầu nhỏ tích điện

Điện tích và khối lượng của các quả cầu lần lượt là q1 = q2 , m1 = 1g; q1= q2, m2 = 2g Ban đầu, khoảng cách hai quả cầu là a = 1m, vận tốc quả cầu m2 là 1m/s, hướng dọc theo đường nối hai quả cầu và đi ra xa m1 và vận tốc quả cầu m1 là 1m/s, nhưng hướng vuông góc với đường nối hai quả cầu Hỏi với giá trị điện tích q bằng bao nhiêu thì trong chuyển động tiếp theo, các quả cầu có hai lần cách nhau một khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tác điện của hai quả cầu

- Xét trong hệ quy chiếu khối tâm (C) Vận tốc

của mỗi hạt gồm 2 thành phần :

+ Thành phần theo phương nối 2 hạt (dưới đây

gọi là thành phần song song)

+Thành phần vuông góc với đường thẳng nối 2 hạt (dưới đây gọi là thành phần vuông góc)

Tại thời điểm ban đầu vật tốc trong hệ quy chiếu C của các hạt là :

y

x

C2/3V0

m2/3V0

vmr

2

Vmx = v0

32

- Do động lượng của hệ trong hệ quy chiếu C bằng 0 nên vm = 2v và v2m = v

Theo định luật bảo toàn mômen động lượng quanh C của hạt 2m, ta có :

Từ (1) và (2) suy ra : v = v a0

3lmax Vì lmax≥ 3a ⇒ v ≤

0

3 3a hay v ≤ v0

9 (3)Theo định luật bảo toàn năng lượng:

  ⇒ m.

2v

4 2v + 2m 0 - 3mv20

2

- 4πε0 a lmax

lmax

Trạng thái đạt ()

- Mặt khác, cũng theo định luật bảo toàn năng lượng, ứng với trạng thái trong đó hai hạt cách nhau một khoảng l, ta có :

Bài tập 7 Hai quả cầu nhỏ, mỗi quả có khối lượng m và điện tích

q được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông

một vỏ cầu cách điện có bán kính OA = OB = r và khối lượng 4m

Hãy xác định vận tốc cực đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu Bỏ qua tác dụng

của trọng lực

Giải

Dễ dàng thấy 2 quả cầu sẽ trượt xuống Xét khi ∠AOx = BOx = α, các vật m có vật tốc là v1

uur

, v2uur; vật 4m có vật tốc là vr

- Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn :mv1+mv2+4m.v 0=

- Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương ⊥Ox ta được :

mv1cosα = mv2.cosα (1)

O

4mv = mv1sinα + mv2sinα (2)

→ v1 = v2 = 2v

sinαÁp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

2 2

α − α

⇔ =

α +Vận tốc vỏ cầu lớn nhất ( )

2 2

2sin siny

a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu

a) Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều Khi khoảng cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc ur (u cùng chiều với 0

b) Xét trường hợp a = ∞ hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau Từ (2) ta có : rmin= 5kq22

mv0c) Khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:

Từ đó tìm được nghiệm của (7) : u = 2 v50 ± q 5k

1) Tìm thời điểm t0 các ion sẽ gặp nhau

2) Tìm khoảng cách r1 mà ta phải thả các ion ra không vận tốc đầu để chúng gặp nhau ở thời điểm t1 = 8t0

1 2 và ta khảo sát chuyển động của hạt này.

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

= - dt

μr

0 - 1r

  ⇒Chú ý : Kí hiệu r = M Mr uuuuuuuur1 2 là véctơ vị trí của M2

đối với M1 và μ là khối lượng rút gọn của hệ, xác định bởi : 1μ = m1 + m1

Bµi tËp 10 Hai quả cầu kim loại, lúc đầu trung hoà về điện, mỗi quả cầu có bán kính r và

khối lượng m, được nối với nhau bằng một dây dẫn nhẹ và mềm có chiều dài L Sau đó các quả cầu được đặt trong điện trường đều E có phương song song với đường thẳng nối

tâm của hai quả cầu Các quả cầu đươc giữ đứng yên, cách nhau một khoảng l (r << l <

L) Xác định tốc độ lớn nhất mỗi quả cầu đạt được sau khi được thả tự do Bỏ qua tác dụng của trường trọng lực

Chọn hệ toạ độ có gốc trùng với vị trí khối tâm của hai quả cầu

Vì các quả cầu có kích thước (bán kính r) rất nhỏ so với khoảng cách l giữa chúng, nên

mỗi quả cầu có thể coi là các điện tích điểm Vì hai quả cầu được nối với nhau bằng dây dẫn nên khi khoảng cách giữa các quả cầu thay đổi, các điện tích chạy từ quả cầu này sang quả cầu kia thông qua dây dẫn Coi sự thay đổi vị trí của các quả cầu là rất chậm, khi

đó dòng điện chạy qua dây dẫn sẽ rất nhỏ, coi như I ≈0 Một cách gần đúng ta coi hệ là cân bằng điện tại mọi thời điểm

- Gọi q là điện tích đã di chuyển từ quả cầu này sang quả cầu kia, khi đó hiệu điện thế

giữa hai quả cầu sinh ra do điện tích trên các quả cầu là : ΔV = 2kq

r , với k là hằng số Coulomb

Hiệu điện thế này giữa hai quả cầu được sinh ra do sự dịch chuyển điện tích từ quả cầu này sang quả cầu kia do tác dụng của điện trường ngoài

Vì các quả cầu được đặt trong điện trường ngoài nên lực điện trường có xu hướng đẩy các

quả cầu ra xa nhau : F = E.q = E r.x2

+ Khi r << (L + l), ta có : r L - l( 2 2)

Ev

Bài tập 11 Hai quả cầu kim loại cùng khối lượng m, có bán kính tương ứng là r và 2r,

tâm của chúng cách nhau 4r, được đặt trong một điện trường đều E có hướng từ quả lớn đến quả nhỏ Qủa cầu lớn hơn được tích điện q (kq/r << E) , quả cầu nhỏ không mang 2điện Người ta thả đồng thời các quả cầu Thời gian giữa va chạm thứ nhất và va chạm thứ hai là τ Tìm thời gian giữa lần va chạm thứ n và lần thứ (n +1) và quãng đường mà mỗi quả cầu đi được trong khoảng thời gian ấy Gia tốc của các quả cầu bằng bao nhiêu sau thời gian đủ lớn Xem rằng các va chạm là tuyệt đối đàn hồi và thời gian xảy ra va chạm là rất nhỏ

Giải

- Khi các quả cầu được buông ra :

+ quả cầu nhỏ vẫn còn đứng yên (ở đây ta bỏ qua tác dụng của trọng lực)

+ qủa cầu lớn bắt đầu chuyển động với gia tốc a = qE/m;

+ sau thời gian t = 2(R - 3r)/a = 2r/a0 qủa cầu lớn tiến gần tới quả cầu nhỏ với vận tốc u = at = 2ar Sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau: quả cầu lớn ngay sau va chạm có vận tốc bằng 0 và quả cầu nhỏ có vận tốc u = 2ar

- Vì các quả cầu đều làm bằng kim loại nên khi va chạm điện tích q phân bố trên cả hai quả cầu

+ Giả sử αqlà điện tích của quả lớn sau va chạm (α < 1)khi đó điện tích của quả cầu nhỏ

là (1 - α)q

- Dễ dàng thấy rằng trong những va chạm tiếp sau, điện tích của mỗi quả cầu không thay đổi Trong thời gian giữa hai va chạm gia tốc của hai quả cầu là:

+ αqE/m = αa(quả cầu lớn)

+(1 - α)qE/m = (1 - α)a(quả cầu nhỏ)

Cứ mỗi va chạm các quả cầu lại trao đổi vận tốc cho nhau

- Va chạm thứ hai xảy ra qua thời gian τ sau va chạm thứ nhất Từ điều kiện quãng đường đi được bằng nhau của hai quả cầu trong khoảng thời gian giữa va chạm thứ nhất

và thứ hai :

αaτ = 2arτ + 2 (1 - α)aτ2

2 2 ta tìm được : αa = + a 2ar

- Để xác định thời gian giữa va chạm thứ hai và thứ ba ta chuyển sang hệ quy chiếu

chuyển động với vận tốc aτ/2(vận tốc của quả cầu lớn ngay sau va chạm thứ hai):

+ Trong hệ quy chiếu này tại thời điểm đầu quả cầu lớn có vận tốc bằng không còn quả cầu nhỏ có vận tốc 2ar Nhưng điều đó có nghĩa là thời gian giữa va chạm thứ hai và thứ ba cũng bằng τ

- Bằng lập luận tương tự ta đi đến kết luận rằng thời gian giữa hai va chạm liên tiếp đều bằng τ

- Từ những tính toán ở trên ta dễ dàng thấy rằng vận tốc của quả cầu lớn sau va chạm thứ

II BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU ĐIỆN TÍCH ĐIỂMBài tập 1 Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m, M, m cùng điện tích Q nối với nhau bằng hai

dây nhẹ không dãn và không dẫn điện, chiều dài l Hệ thống

được đặt trên mặt bàn nhẵn nằm ngang Quả cầu giữa khối

lượng M được truyền vận tốc vr0theo hướng vuông góc với dây Bỏ qua mọi ma sát.

v0

a) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 quả cầu m trong quá trình chuyển động.

b) Tính vận tốc của quả cầu M ở thời điểm cả 3 quả cầu lại thẳng hàng

Giải

a) Khi 2 quả cầu m gần nhau nhất thì 3 quả cầu cùng vận tốc v

- Theo bảo toàn động lượng, ta có : Mv0 = (M + 2m)v → v v0 M 2m= M+ (1)

Vì khoảng cách giữa quả cầu M và các quả cầu m không đổi nên chỉ có thế năng tương tác của hệ gồm hai quả cầu m là thay đổi

- Theo định luật bảo toàn năng lượng : E1 = E2

+l

b) Khi cả 3 quả cầu lại thẳng hàng :

Bài tập 2 Ba quả cầu cùng khối lượng m, điện tích cùng dấu, đều bằng

q, được nối với nhau bằng ba sợi dây dài, không giãn, không khối lượng

, không dẫn điện Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang, nhẵn Người ta

đốt một trong ba sợi dây đó

a) Xác định vận tốc cực đại vmax của các quả cầu trong quá trình chuyển động

b) Mô tả chuyển động của các quả cầu sau khi đã đạt được vmax

Giải

Cách 1 :

a) Khi một trong ba dây bị đứt, dưới tác dụng của các nội lực còn lại (lực đẩy tĩnh điện và lực căng dây) cả ba viên bi đều chuyển động nhưng khối tâm của hệ vẫn đứng yên và động lượng của hệ vẫn bảo toàn :

vr1+vr2+vr3 =0 → vr1+vr3= −vr2

- Do tính chất đối xứng của hệ, nên quả cầu 2 chuyển động trên đường trung trực y’y, và hai quả cầu 1 và 3 luôn luôn nằm ngang, các vận tốc v1r và vr3đối xứng qua y’y để “tam giác điện tích ” luôn có khối tâm tại G

- Ở vị trí bất kì, thế năng tĩnh điện của hệ là :

Wt(min)⇔ x = 2l : Hệ ba quả cầu thẳng hàng

→ vr1=vr3 và vuông góc với đường nối 3 điện tích

Cách 2 : (Dùng định luật bảo toàn năng lượng)

- Vì hệ không chịu tác dụng của ngoại lực nên năng lượng của hệ được bảo toàn Dễ thấy rằng thế năng tĩnh điện giữa các quả cầu 1, 3 và 2, 3 không thay đổi nên có thể viết định luật bảo toàn năng lượng của hệ dưới dạng :

Bài tập 3 Tại ba đỉnh của một tứ diện đều cạnh a giữ ba quả cầu nhỏ giống nhau có khối

lượng và điện tích tương ứng là M và Q Tại đỉnh thứ tư giữ một quả cầu khác điện tích q, khối lượng m (m << M, Q = 2q) Tất cả các quả cầu được thả đồng thời

a) Tính độ lớn vận tốc các quả cầu sau khi chúng đã bay rất xa nhau

b) Sau khi đã bay ra xa nhau, các quả cầu này chuyển động theo phương hợp với mặt phẳng tứ diện chứa ba quả cầu M một góc bao nhiêu ?

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

a → v0 =

212kqma

Do tính đối xứng nên khi các quả cầu M chuyển động thì vận tốc

của chúng có độ lớn luôn bằng nhau Gọi v là vận tốc mỗi quả

cầu M khi chúng rất xa nhau Áp dụng định luật bảo toàn năng

23Mv

2 =

23kQ

a → v =

22kQ

Ma =

28kqMab) Gọi thành phần vận tốc của các quả cầu M theo phương trục Z là vz

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (m + 3M), ta có :

3Mvz = mv = m 12kq2

ma → vz = m

3M

212kqma

Do vz << v nên góc α rất nhỏ Ta có : vZ m

Bài tập 4 Có bốn hạt mang điện giống nhau, khối lượng mỗi hạt là m, điện tích mỗi hạt

là q, được giữ trên bốn đỉnh của một hình vuông cạnh a

a) Hãy xác định động năng cực đại của mỗi hạt khi chúng được thả ra đồng thời b) Hãy xác định động năng của từng hạt khi người ta lần lượt thả từng hạt một sao cho hạt tiếp theo được thả ra khi hạt trước nó đã đi khá xa hệ

Còn hai hạt tại các đỉnh B và D Giữ một hạt và thả hạt kia, thì động năng cực đại của nó

Điện tích thứ tư được hoàn toàn tự do sau khi các điện tích khác của hệ đã ra xa vô cùng

Nó không thể tự chuyển động từ trạng thái nghỉ và do đó không có đông năng

Bài tập 5 Tại các đỉnh của một đa giác đều gồm 2004 cạnh, có gắn các viên bi giống

nhau, mang điện tích giống nhau Mỗi cạnh đa giác bằng a Vào một thời điểm nào đó người ta thả một viên bi ra, và sau một khoảng thời gian đủ lâu, người ta thả tiếp viên nằm cạnh viên đã thả lúc trước Nhận thấy rằng khi đã cách đa giác một khoảng đủ lớn thì động năng của hai viên bi đã thả chênh nhau một lượng bằng K Hãy tìm điện tích q của mỗi viên bi

Giải

Giả sử viên bi thứ nhất được thả từ đỉnh thứ N Khi đã ở

vô cùng (sau một khoảng thời gian đủ lớn), nó đạt được động

năng bằng thế năng tương tác ban đầu của nó với N - 1 điện

Trong đó a i là khoảng cách từ các điện tích ở các đỉnh 1, 2, đến q đặt tại đỉnh N Riêng

a1 và a N-1 là các khoảng cách từ đỉnh cạnh nó và bằng a Động năng của hạt thứ hai khi tới

vô cùng được tính tương tự, nhưng thiếu đi một số hạng của một điện tích cạnh nó, tựa

như nó cũng được thả ra từ đỉnh N, nhưng đã thiếu mất điện tích ở đỉnh N - 1 :

K = K - K =1

2 4πε a0 Suy ra : q = 4πε Ka0

2 3

N 4

N -1 5

N -2

III BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH ĐIỂM TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

GÂY BỞI VẬT TÍCH ĐIỆN CÓ KÍCH THƯỚC Bài tập 1 Có một nửa vòng trong tích điện trên hình vẽ Một hạt mang điện trái dấu với

điện một điểm nửa vòng tròn đó Được thả ra từ một điểm rất xa trên đường thẳng AB với

vận tốc ban đầu bằng 0 Biết tỉ số vận tốc của hạt khi đi qua A và B vA = n

Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và tại B:

FA = qEA = maA; FB = qEB = maB, vớiEA, EB tương ứnglà cường độ điện trường của nửa vòng tròn tại A và B

Dưới đây ta sẽ lần lượt xác định VA, EA; VB; EB

* Tính V A Chia nửa vòng tròn thành những đoạn đủ nhỏ để coi là điện tích điểm, mỗi

đoạn mang điện tích ΔQ Điện tích do nó gây ra tại A là (hình vẽ)

+ Tính EA gọi chiều dài của mỗi đoạn

mang điện tích ΔQàΔl , λ1 v i là điện

tích của mỗi đơn vị độ dài của nửa vòng

tròn, cường độ điện trường do AQi gây

ra tại A là:

ΔEAi= k.ΔQ2 i = kλ.Δl2 i

Ví lý do đối xứng, EAuuur hướng dọc theo trục Ax Vì vậy ta chỉ xét hình chiếu

ΔEAix= ΔEAixcosα = i kλ2Δlcosαi

kλ

ΔEAix= 2Δri

rTrong đó Δr = Δl cosαi i i là hình chiếu của đoạn Δli trên đường kính MN

A

N

ir

∆

AixΔE

AiΔE

ΔE = ΔE cosβ = k.ΔQi

Bài tập 2 Một hạt khối lượng m, tích điện q quay quanh quả cầu dẫn điện bán kính r, tích

điện Q Quĩ đạo của hạt là đường tròn bán kính R và tâm trùng với tâm quả cầu Tính tốc

độ góc quay của hạt

Giải

Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q , điện tích Q và các điện tích hưởng ứng như

là trường tạo bởi hệ của 3 điện tích : q, điện tích q'= -qr

IV CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN

Bài tập 1 Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng

đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt σ một khoảng h Thả quả cầu cho nó chuyển động Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu

Giải

Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường đều, có

phương vuông góc với bản, có cường độ : E = σ

2ε0Lực điện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên

+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :

qσ

F = qE =1

2ε0Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng

lực tác dụng giữ điện tích q và điện tích – q là ảnh của q

qua mặt phẳng vô hạn Lực này là lực hút, nó có hướng ra

xa bản và có độ lớn : F =2 kq22

4dTrong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại

Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại

m, q

m, q’

h

hσ

2σ.q kq

F = F - F =1 2 - 2

2ε0 4d

* Vị trí cân bằng : P = F ⇔ mg =

2σ.q kq

+ Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng

+ Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại

Bài tập 2 Một mặt phẳng kim loại rộng được uốn thành dạng góc vuông

như hình vẽ Một điện tích điểm có khối lượng m và điện tích Q được đặt

ở vị trí cách mỗi mặt một khoảng d Thả tự do điện tích Hãy xác định :

a) Gia tốc của điện tích khi nó bắt đầu chuyển động

b) Vận tốc của nó khi nó đi được một đoạn d/ 2 Bỏ qua tác dụng của trọng lực

a) Do tính đối xứng nên điện tích Q sẽ chuyển động dọc theo Ox

Áp dụng định luật II Newton theo Ox :

F - (F + F )cos45 = ma3 1 2 0

Trong đó : F = F = 1 2 kQ22

4d ;

2kQ

F = 3 28d

450 F rd2

QF r3

x

(m)d

1

F r

-Q (1)

(V = 0)

Vậy : Gia tốc của điện tích khi nó bắt đầu chuyển động là : a = (2 2 - 1)kQ22 (1)

Thế năng của hệ 4 điện tích lúc đầu là : kQ2( )

W = 0 2 - 4

2dLúc điện tích đi được một đoạn d

2 thì thế năng của hệ lúc này là :

v = (4 - 2)

2 md

⇒

Bài tập 3 Một quả cầu dẫn điện bán kính r = 2cm

được nối đất Có một electron ban đầu từ xa

chuyển động với vận tốc v0 theo hướng thẳng cách

tâm quả cầu một khoảng bằng 2r Hãy xác định giá

trị vận tốc của electron khi bay tới gần quả cầu nhất, nếu biết rằng tại vị trí gần nhất điện

tử cách tâm quả cầu một khoảng 3r/2