Chuyên đề xác định véc tơ cường độ điện trường của vật mang điện

Để cho các đờng sức có thể biểu diễn cả độ lớn của cờng độ điện trờng, ngời ta quy ớc : vẽ qua một mặt S0 kích thớc nhỏ vuông góc với đờng sức, một số đờng sức N sao cho số đờng sức tổ

Chuyờn đề: Xỏc định vộc tơ cường độ điện trường của vật mang điện

Tổ Vật lý - Trường THPT Chuyờn Lương Văn Tụy Ninh Bỡnh

Đặt vấn đề

Trong chương trỡnh Vật lý lớp 11 chuyờn khi dạy và học về phần điện trường thỡ một trong những nội dung quan trọng là phải biết cỏch xỏc định vộc tơ cường độ điện trường do vật mang điện sinh ra đặc biệt là những vất cú kớch thước Vỡ vậy cần thiết phải cú chuyờn đề về cỏch tớnh cường độ điện trường do vật mang điện sinh ra Sau đõy

là phương phỏp tớnh cường độ điện trường và hệ thống cỏc bài tập vận dụng.

A Cỏch tớnh cường độ điện trường

I  Cờng độ điện trờng của vật mang điện

1 Cờng độ điện trờng do nhiều điện tích điểm gây ra

a) Cờng độ điện trờng của một điện tích điểm

Ta đã biết, cờng độ điện trờng do một điện tích điểm Q đặt tại điểm M gây ra tại một điểm A cách nó một khoảng r là một vectơ Er có gốc tại A, có độ lớn

9

2

Q

E = 9.10

r



(1.1)

hay E =

0

1

Q r



(1.2)

có giá là đờng thẳng nối điểm M và điểm A, có chiều hớng ra xa điện

tích Q nếu Q > 0, hoặc hớng về điện tích Q nếu Q < 0 (Hình 1.1)

Trong các công thức (1.1) và (1.2),  là hằng số điện môi của môi trờng bao quanh điện tích ; 0 là hằng số điện : 0 = 8,85.10-12C2/ (N.m2)

Dới dạng vectơ ta có thể viết : Er

=

0

1 4  2

Q r

r r

r

(1.3) Trong đó rr

= MAuuur là vectơ hớng từ M đến A và có độ lớn là r

b) Nguyên lí chồng chất điện trờng

Cờng độ điện trờng do nhiều điện tích điểm Q1, Q2 gây ra tại điểm A bằng tổng các vectơ cờng độ

điện trờng Er1

, Er2 do từng điện tích riêng biệt Q1, Q2 gây ra tại A :

i

Er Er  Er  Er

(1.4)

c) Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt trong điện trờng Eur là Fur = q Eur

2 Cờng độ điện trờng của vật mang điện

Để xác định vectơ cờng độ điện trờng do một vật mang điện có kích thớc bất kì gây ra tại một điểm A,

ta áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng Muốn vậy, ta tởng tợng phân chia vật mang điện thành

nhiều phần có kích thớc rất nhỏ sao cho điện tích q của mỗi phần đó có thể xem là một điện tích

điểm, và do đó, một vật mang điện tích bất kì có thể xem nh một hệ điện tích điểm Kí hiệu rr là vectơ hớng từ q đến điểm A cách nó một khoảng r, thì cờng độ điện trờng  Eur của q gây ra tại A là :  Eur

Hình 1.1

=

0

1

4 . 2

q r

r r





r

Từ đó theo (1.4), cờng độ điện trờng do vật mang điện gây ra tại A là :

Eur

0 toàn bộ vật



 



r

(1.5)

Về mặt toán học, biểu thức trên có thể viết dới dạng tích phân :

2 0 toàn bộ vật







r ur

(1.5a)

Đối với vật mang điện có hình dạng bất kì, việc tính Eur theo biểu thức (1.5) là rất phức tạp Vì vậy, trong một số trờng hợp mà phân bố điện tích của vật có tính đối xứng, ngời ta thờng dùng định lí Ô-xtrô-grát-xki -Gao-xơ

II  Định lí Ô-xtrô-grát-xki ịnh lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ

1 Định lí Ô-xtrô-grát-xki iện thông

a) Đờng sức điện

Nh ta đã biết, để mô tả điện trờng một cách trực quan, thuận tiện nhất là quy ớc biểu diễn điện trờng

bằng các đờng sức điện Đó là đờng mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm trùng với phơng của vectơ cờng

độ điện trờng tại điểm đó, chiều của đờng sức là chiều của vectơ cờng độ điện trờng tại điểm đó Để

cho các đờng sức có thể biểu diễn cả độ lớn của cờng độ điện trờng, ngời ta quy ớc : vẽ qua một mặt

S0 kích thớc nhỏ vuông góc với đờng sức, một số đờng sức N sao cho số đờng sức tổng cộng qua một đơn vị diện tích của S0 có trị số bằng độ lớn của cờng độ điện trờng trong phạm vi S0, nghĩa là sao cho :

0

N E S





Với điều kiện nh vậy, nơi nào cờng độ điện trờng lớn thì đờng sức dày (có mật độ lớn), còn nơi nào c-ờng độ điện trc-ờng nhỏ thì đc-ờng sức tha

b) Điện thông

Trong điện trờng Eur, ta xét một diện tích S đủ nhỏ để có thể xem nó

là phẳng và trong phạm vi S điện trờng Eur xem là đều Vẽ vectơ pháp

tuyến đơn vị nr

của S và có thể đặc trng cho S bằng vectơ S r nr

S (Hình 1.2)

Điện thông (hay thông lợng điện trờng)  qua diện tích S là đại lợng vô hớng có giá trị bằng :

 = E.S cos = Eur Sr

0

    là hình chiếu của  Sr trên mặt phẳng vuông góc với Eur) Ta thấy  có thể nhận giá trị âm hay dơng tùy theo chiều của pháp tuyến nr của S mà ta chọn, và độ lớn của  tùy thuộc vào góc  giữa Eur vànr Trong hệ SI, đơn vị của điện trờng là vôn/mét (V/m).

Đối chiếu với (1.6) ta thấy, xét về độ lớn, điện thông qua mặt S có ý nghĩa là số đờng sức đi qua mặt

đó.

Muốn xác định điện thông  qua một mặt bất kì S, ta chia mặt đó thành các nguyên tố diện tích S (Hình 1.2) Điện thông qua mỗi mặt S là , tính theo công thức (1.7) Điện thông qua mặt S là:

Đối với mặt kín, khi tính điện thông ta luôn luôn chọn chiều của pháp tuyến n là chiều hớng ra phía ngoài mặt đó Vì thế tại những nơi mà Eur hớng ra ngoài mặt kín, thì điện thông tơng ứng là dơng ; còn tại những nơi mà Eur hớng vào phía trong mặt kín (đờng sức đi xuyên vào trong thể tích bao bởi mặt kín) thì điện thông tơng ứng là âm

2 Thiết lập định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ Gao-xơ

Định lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ xác lập mối quan hệ giữa điện thông và điện tích

a) Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho chân không

Hình 1.2

Để thiết lập biểu thức tổng quát của định lí, ta xét trờng hợp một điện tích điểm

d-ơng q đặt trong chân không Bao quanh điện tích bằng một mặt cầu S có bán kính

r, có tâm là điểm đặt điện tích q Ta quy ớc chiều dơng của pháp tuyến với S là

chiều hớng từ tâm ra ngoài (Hình 1.3) Vì lí do đối xứng, tại mọi điểm trên mặt

cầu S, cờng độ điện trờng của điện tích q có cùng độ lớn E nh nhau và có phơng

vuông góc với mặt cầu ( = 0  cos = 1) Điện thông qua toàn bộ mặt cầu S

là :

 = E S cos  ES

S



 là tổng tất cả diện tích của các phần nhỏ trên mặt cầu S, nên nó chính là diện tích mặt cầu :

2

S = 4 r



Mặt khác : nếu cho  = 1 và theo (1.2) ta có : E =

2 0

4 r .

2

.4 r

Ta thấy điện thông  qua mặt cầu S không phụ thuộc vào bán kính r của mặt cầu, và do đó nó có giá trị

nh nhau đối với mọi mặt cầu đồng tâm với S (mặt cầu S1 chẳng hạn, trên hình 1.3) Điều đó cũng có nghĩa là trong khoảng không gian giữa hai mặt cầu S và S1, là nơi không có điện tích, thì các đờng sức là liên tục, không mất đi và cũng không thêm ra Cũng chính vì thế, cho nên có thể suy ra rằng điện thông qua mặt kín S2 có hình dạng bất kì bao quanh điện tích q cũng bằng điện thông qua S và S1, và nh vậy

điện thông qua mặt kín S2 bất kì không phụ thuộc vào hình dạng của S2 và vị trí của điện tích q bên trong thể tích giới hạn bởi S2

 Nếu xét mặt kín S3 không bao quanh điện tích q (Hình 1.3) thì, do tính liên tục của đờng sức, có bao nhiêu đờng sức đi vào mặt S3 thì có bấy nhiêu đờng sức đi ra khỏi mặt S3 Nh trên đã biết, điện thông của các đờng sức đi vào S3 có giá trị âm, còn điện thông của các đờng sức đi ra khỏi S3 có giá trị dơng Hai phần điện thông này có trị số tuyệt đối bằng nhau, do đó điện thông toàn phần qua mặt kín S3 không bao quanh điện tích q, có giá trị bằng 0

 Vì điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trí của điện tích đặt bên trong nó, nên áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng ta thấy kết quả (1.9) cũng đúng cho cả trờng hợp bên trong mặt kín có nhiều điện tích phân bố bất kì, chỉ cần chú ý rằng, khi đó q là tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt kín

Đó chính là nội dung của định lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ cho chân không :

Điện thông qua mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt đó chia cho 0 :

i 0

mặt kín

1



b) Định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ cho môi trờng điện môi

Trong trờng hợp môi trờng là điện môi có hằng số điện môi , thì lập luận hoàn toàn tơng tự nh trên (trong biểu thức của E không đặt  = 1), thay cho (1.10) ta có :

i 0

mặt kín

1



3 áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki  Gao-xơ

Định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ (O - G) đợc áp dụng để tính cờng độ điện trờng của vật mang điện, đặc biệt là trong trờng hợp điện tích phân bố đối xứng (đối xứng cầu, trục, phẳng) Khi áp dụng định luật,

ta lần lợt tiến hành nh sau :

Hình 1.3

a) Xác định yếu tố đối xứng của vật mang điện (hoặc hệ điện tích) từ đó có thể suy ra một số đặc điểm của cờng độ điện trờng Chẳng hạn, có thể dự đoán đợc hớng của vectơ Eur ở mỗi điểm, sự biến thiên của độ lớn

của Eur theo vị trí trong không gian

b) Chọn một mặt kín S (thờng gọi là mặt Gao -xơ) chứa điểm mà tại đó ta cần xác định Eur Ngời ta thờng chọn mặt S sao cho có thể tính toán dễ dàng điện thông qua S ; muốn vậy nó phải chứa yếu tố

đối xứng của hệ điện tích

c) Tính điện thông qua mặt S theo công thức (1.8), sau đó áp dụng công thức của định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ (1.10) hoặc (1.11) Từ đó suy ra đợc mối liên hệ giữa cờng độ điện trờng E và điện tích của hệ

B  Bài tập ỏp dụng

1 Cỏc bài tập áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki  Gao-xơ

Bài 1: Xác định cờng độ điện trờng gây ra bởi một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều đặt trong chân

không

Giải

Sự phân bố điện tích trên mặt phẳng đợc đặc trng bằng mật độ điện tích  trên

một đơn vị diện tích của mặt ; trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị là culông trên mét

vuông, kí hiệu

2

C m ở đây,  có giá trị nh nhau tại mọi điểm trên mặt phẳng Ta hãy xác định cờng độ điện trờng do mặt phẳng đó gây ra tại điểm A cách mặt

phẳng một khoảng h (Hình 1.4) (giả sử  > 0)

Do tính chất phân bố điện tích trên mặt phẳng, ta thấy mặt phẳng tích điện chia không gian làm hai nửa

đối xứng nhau

Vì mặt phẳng vô hạn, nên bất kì đờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng cũng đều là trục đối xứng của hệ điện tích Do đó, các vectơ cờng độ điện trờng tại mọi điểm bên ngoài mặt phẳng đều song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng, có độ lớn bằng nhau (nh sẽ thấy rõ dới đây), hớng ra xa mặt phẳng nếu  > 0 (mặt phẳng tích điện dơng, nh vẽ hình 1.4) và hớng về phía mặt phẳng nếu  < 0 Nh

vậy, ở mỗi nửa không gian hai bên mặt phẳng tích điện, điện trờng là đều Để tính cờng độ điện trờng

tại điểm A, ta chọn mặt kín S là mặt của một hình trụ (biểu diễn bằng đ ờng nét đứt trên hình 1.4) có đ-ờng sinh vuông góc với mặt phẳng, hai đáy song song (đáy trên chứa điểm A) cách mặt phẳng một khoảng h và có diện tích S Chọn chiều dơng của pháp tuyến nr hớng ra ngoài mặt S Vì pháp tuyến của mặt xung quanh hình trụ vuông góc với đờng sức nên  = 90o, cos = 0, điện thông qua mặt xung quanh bằng không Điện thông toàn phần qua mặt S chỉ còn bằng điện thông qua hai

đáy và có giá trị :  = 2E.S.cos = 2E.S

Điện tích q ở bên trong mặt S là điện tích có trên phần mặt phẳng có diện tích S giới hạn bởi mặt trụ, do đó : q = .S

áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki -Gao-xơ ta có :  = 2E.S =

0

S

 

0

2



Ta thấy, độ lớn E của cờng độ điện trờng gây ra bởi mặt phẳng vô hạn tích điện tại điểm A không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng

Bài 2: Xác định cờng độ điện trờng gây ra bởi mặt cầu kim loại tâm O, bán kính R, tích điện đều với

mật độ điện mặt 

Giải

Xét điểm A1, ở bên ngoài mặt cầu tích điện, cách tâm O một khoảng r >

R Giả sử  > 0 Xét mặt cầu S1 tâm O bán kính r chứa điểm A1 Vì lí do đối

xứng, tại mọi điểm trên S1 vectơ cờng độ điện trờng Er

đều vuông góc với S1 (tức là có phơng trùng với bán kính), có độ lớn bằng nhau, hớng ra xa tâm O

Hình 1.4

nếu  > 0 ) nh trên hình 1.5), hoặc hớng về tâm O nếu  < 0 Điện thông

qua mặt kín S1 là :  = 4r2E

Điện tích q bên trong mặt S1 là điện tích của toàn bộ mặt cầu : q = .4R2

áp dụng định lí Ô-xtrô-grát –xki-Gao-xơ, ta có :

 =

0

q

  4r

2E =

2

0

.4 R

 

 Suy ra : E =

2 2 0

R r





, hay E = 2

0

q

Ta thấy cờng độ điện trờng tại điểm A bên ngoài quả cầu giống nh cờng độ điện trờng do điện tích

điểm q (bằng điện tích toàn bộ mặt cầu) đặt tại O gây ra tại A

Xét điểm A2 bên trong mặt cầu tích điện, cách tâm O một khoảng r' < R Xét mặt cầu S2, tâm O bán kính r' chứa điểm A2

Tơng tự nh trên, điện thông qua mặt kín S2 là :  = 4 r'2E

Điện tích q bên trong mặt S2 là : q = 0

áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ ta có :

 =

0

q

  4 r'

Cờng độ điện trờng tại mọi điểm bên trong mặt cầu kim loại tích điện bằng không

Bài 3: Xác định cờng độ điện trờng gây ra bởi dây dẫn dài vô hạn tích điện đều.

Giải

Sự phân bố điện tích trên dây đợc đặc trng bằng mật độ điện tích dài,

có giá trị bằng điện tích có trên một đơn vị độ dài của dây ; trong hệ SI,

đơn vị của  là culông trên mét, kí hiệu C

m Ta hãy xác định cờng độ

điện trờng do dây gây ra tại điểm A cách trục của dây một khoảng r

Vì sự phân bố điện tích có tính đối xứng trục, nên ở mọi điểm cách đều sợi dây, cờng độ điện trờng có

độ lớn bằng nhau Đờng sức điện trờng là các đờng thẳng cắt trục của dây, có chiều hớng ra xa dây nếu

 > 0 (nh trên hình 1.6) hoặc hớng về phía dây nếu  < 0 Ta chọn mặt kín S là mặt của hình trụ đồng

trục với dây, có bán kính đáy bằng r, có chiều dài l (Hình 1.6) Điện thông qua hai mặt đáy bằng không

vì vectơ Eur song song với chúng Điện thông toàn phần bằng điện thông qua mặt bên hình trụ và bằng :

 = E.2rl.

Điện tích bên trong của mặt kín S là điện tích có trên đoạn dây có chiều dài l nằm trong hình trụ : q =

l.

áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ ta có :

 =

0

q

  E.2rl = 0





l  E =

0



Ta thấy, cờng độ điện trờng do dây dẫn dài vô hạn tích điện đều gây ra tại điểm A có độ lớn tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ A đến dây

B i ài 4 : Cho điện tích điểm dơng q = 1nC.

a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phơng cạnh a = 10cm Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phơng đó Nếu bên ngoài hình lập phơng còn có các điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phơng và qua toàn bộ hình lập phơng có thay đổi không ?

b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phơng nói trên Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phơng

(Trích đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Vật lí, năm học 1999-2000)

Gi

ải

Hình 1.5

Hình 1.6

a) Vì lí do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thông 1 qua 6 mặt của hình lập phơng Điện thông tổng hợp qua toàn bộ hình lập phơng là

 = 61 áp dụng định lí O – G ta có :

 =

0

q

  1 =

0

q 6 = 18,83V.mV.m Nếu có các điện tích khác bên ngoài hình lập phơng, thì các điện tích

này sẽ làm thay đổi điện thông qua các mặt khác nhau của hình lập

ph-ơng Nhng điện thông qua toàn bộ hình lập phơng bây giờ vẫn chỉ bằng

điện thông qua một mặt kín có chứa q mà thôi, nghĩa là điện thông qua

toàn bộ hình lập phơng vẫn là :

 =

0

q

  113V.mV.m b) Giả sử điện tích q đợc đặt tại đỉnh A của hình lập phơng đó Đối với 3

mặt của hình lập phơng có chứa điện tích q (Hình 1.3G), tức là chứa đỉnh

A (các mặt ABCD, ABB'A', ADD'A') từ thông bằng không (vì các đờng

sức điện trờng vuông góc với pháp tuyến  = 90o) Vì lí do đối xứng điện thông

qua ba mặt còn lại ( BB'C'C, A'B'C'D', CDD'C') là nh nhau, bằng2 Để tính 2, ta xét một hình hộp lớn tâm A, có cạnh bằng 2a, khi đó điện tích q nằm tại tâm hình lập phơng lớn Diện tích của mỗi mặt hình lập phơng lớn (bằng 4a2) lớn gấp 4 lần diện tích của một mặt hình lập phơng ABCD A'B'C'D', do đó điện thông qua mỗi mặt hình lập phơng lớn sẽ bằng 42 Và vì vậy, do đối xứng,

điện thông qua toàn bộ hình lập phơng lớn bằng :  = 6.42 = 242

áp dụng định lí O -G ta có :  = 242 =

0

q

  2 =

0

q 24  4,71V.m.

B i ài 6 : Hai mặt phẳng rộng vô hạn, đặt song song với nhau, đợc tích điện đều trái dấu với mật độ điện

mặt  và - Xác định cờng độ điện trờng tổng hợp Eur do hai mặt đó gây ra bằng cách áp dụng

định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ

Gi

ả i

Có thể áp dụng kết quả tìm đợc ở Bài tập ví dụ 1 vì cờng độ điện trờng do một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều gây ra và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng ở đây, ta vận dụng định lí O

G cho hệ hai mặt phẳng tích điện Vì điện tích phân bố đều trên hai mặt phẳng nên dễ dàng nhận xét rằng cờng độ điện trờng gây ra bởi từng mặt và bởi cả hai mặt có phơng vuông góc với các mặt Mặt khác cờng độ điện trờng có độ lớn nh nhau tại các điểm cách đều mặt phẳng Ngoài ra, ở trong khoảng giữa hai mặt phẳng vectơ Eur có chiều từ mặt phẳng tích điện dơng sang mặt phẳng tích điện âm (Hình 1.5G) Chọn mặt kín S là mặt trụ, có hai đáy song song diện tích S cách đều mặt phẳng và mặt xung quanh hình trụ vuông góc với mặt phẳng Nh vậy điện thông  qua toàn

bộ mặt S chỉ còn bằng điện thông qua hai mặt đáy

Đối với mặt kín S3 thì tổng đại số các điện tích bên trong mặt kín là :

q

 = .S + (_.S) = 0

Hình 1.3G

Hình 1.5G

áp dụng định lí O G ta đợc :  =

0

q

  2E.S = 0  E = 0

Nh vậy cờng độ điện trờng tại mọi điểm trong khoảng không gian bên ngoài hệ 2 mặt phẳng (ở cả

2 phía của hệ) bằng không : Eur = 0

Đối với các mặt kín S1 và S2 thì điện tích q bên trong mặt kín có độ lớn :

q = .S và vectơ Er

có chiều nh trên hình vẽ và theo kết quả vừa tìm đợc thì  = E.S áp dụng

định lí O G ta tìm đợc :

 =

0

q

  E.S =

0

S



  E =

0



 Trong khoảng không gian hai mặt phẳng, vectơ Eur

vuông góc với mặt phẳng, có chiều từ mặt

phẳng tích điện dơng sang mặt phẳng tích điện âm và có cờng độ E =

0



 .

2 Cỏc bài toỏn vật tớch điện

B i 1: ài Xác định cờng độ điện trờng gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây, cách tâm O của vòng dây một khoảng OM = h

Xét các trờng hợp riêng : điểm M trùng với tâm O và điểm M ở rất xa vòng dây (h ? R)

Gi

ả i

Chia vòng dây thành từng phần nhỏ có độ dài s

(s = R) sao cho mỗi phần tử nhỏ mang điện tích q có thể xem nh

một điện tích điểm Khi đó, vòng dây đợc xem nh là một tập hợp các

điện tích điểm Mỗi điện tích điểm này gây ra tại M một điện trờng và

điện trờng tổng hợp do cả vòng dây gây ra đợc xác định nhờ nguyên lí

chồng chất điện trờng

Kí hiệu  là mật độ điện dài trên vòng dây ta có :

 = q

2 R

Để cho cụ thể, giả sử q > 0 Phần tử s1, mang điện tích q1, gây ra tại

M một điện trờng có cờng độ Er1

với phơng và chiều nh trên hình 1.1G và có độ lớn :

E1 = k 2 q1 2

(R  h )

V

= k 2 s12





V

0

1

4

Chú ý đến tính đối xứng với trục vòng dây, ta thấy có thể tìm đợc một phần tử s2 giống hệt s1

(Hình 1.1G) Phần tử này mang điện tích q2 = q1, gây ra tại M một điện trờngE2 có cờng độ

E2 = E1, và có phơng chiều nh trên hình 1.1G Ta thấy các vectơ Er1

và Er2

đối xứng với nhau qua trục vòng dây Cờng độ điện trờng tổng hợp do cả s1 và s2 gây ra Ern

= Er1

+ Er2

có phơng dọc theo trục vòng dây, có chiều hớng ra xa tâm O (do giả thiết q > 0) và có độ lớn :

n

E

 = 2 E1 cos = 2k 1

2 2

s





V

2 2

h

R h = k h(2 s )2 2 3 / 21

 (với 2s1là tổng độ dàicủa hai phần tử ta xét) Xét tất cả các cặp phần tử của vòng dây tơng tự nh trên, mỗi cặp này cho một vectơ cờng độ điện trờng Ern

nằm trên trục vòng dây ; Tất cả các

vectơ Ern

đó tạo thành cờng độ điện trờng Er do toàn bộ vòng dây gây ra Nh vậy, vectơ cờng độ

điện trờng Er do vòng dây dẫn mang điện tích q gây ra có phơng là trục vòng dây, có chiều hớng

ra xa tâm O của vòng dây nếu q > 0, hoặc hớng về tâm O nếu q < 0, và có độ lớn :

E = 2 k h2 3 / 2



 (s1 + s2 + )

= 2 k h2 3 / 2



  (chiều dài vòng dây)

= 2 k h2 3 / 2



2 2 3 / 2

k q h

Từ (1) ta thấy :

- Tại tâm vòng dây (M  O) ; h = 0  E0 = 0

 Tại điểm M ở rất xa vòng dây h ? R  E 

2

k q h nghĩa là tại điểm ở xa vòng dây, cờng độ

điện trờng gây bởi vòng dây mang điện tích q có giá trị giống nh cờng độ điện trờng gây bởi một

điện tích điểm q đặt tại tâm của vòng dây

B i 2: ài Một vòng dây dẫn mảnh tâm O, bán kính R mang điện tích Q phân bố đều trên vòng Ngời ta cắt

đi từ vòng dây một đoạn rất nhỏ chiều dài l (l = R) sao cho sự phân bố điện tích trên vòng vẫn y nguyên nh trớc Xác định cờng độ điện trờng tại tâm O gây ra bởi vòng dây đã bị cắt một đoạn khi

đó

Gi

ả i áp dụng nguyên lí chồng chất cho hai vật mang điện : vòng dây nguyên vẹn mang điện tích phân

bố đều với mật độ điện dài  = Q

2 R (để cho cụ thể, giả sử Q > 0), và đoạn dây nhỏ chiều dài l

mang điện tích q = l đặt trên vòng dây tại vị trí của phần dây bị cắt Nh vậy, cờng độ điện trờng

Eur

do vòng dây bị cắt gây ra tại O là vectơ tổng hợp của các cờng độ điện trờng Er1

do vòng dây nguyên vẹn gây ra và Er2

do đoạn l mang điện tích q gây ra (xem là điện tích điểm) :

1 2

Er Er E r

Theo kết quả của bài toán 1.1, thì tại O : Er1

= 0 Vậy ta có : Eur = Er2

Nếu Q > 0 thì đoạn dây mang điện tích âm, vectơ Eur đặt tại O, có chiều hớng về chỗ bị cắt bớt, và

có cờng độ :

B i 3: ài Một bán cầu kim loại tâm O, đỉnh A, bán kính R, mang điện tích phân bố đều với mật độ điện tích mặt  Xác định cờng độ điện trờng do bán cầu gây ra tại tâm O

Ghi chú : Nếu chia bán kính OA thành các đoạn nhỏ h, thì tổng các đại lợng

(OA)

h h

tất cả các đoạn nhỏ h (với h là khoảng cách từ O đến đoạn h ta xét), có trị số bằng R2

2 :

(OA)

h h

 = R2

2

Gi

ả i

Do tính đối xứng với OA nên có thể thấy rằng các vectơ cờng độ điện

trờng Eur do bán cầu gây ra tại O có phơng là OA, có chiều hớng ra xa

bán cầu (theo chiều AO) nếu  > 0 (nh trên hình 1.2G) hoặc có chiều

ngợc lại  < 0

Để xác định E,r

ta chia bán kính OA thành các đoạn rất nhỏ h bằng các mặt phẳng vuông góc với

OA, các mặt phẳng này chia bán cầu thành các đới cầu có chiều cao h ; các đới cầu này đợc xem là các vòng dây mảnh tâm M cách O một khoảng OM = h và mang điện tích q = .S = .2R.h (S = 2R.h diện tích đới cầu)

áp dụng kết quả Bài tập 1.2, ta thấy mỗi đới cầu gây ra tại O một điện trờng Er

có phơng là AO,

có chiều hớng từ A đến O nếu  > 0 (nh trên hình 1.1G) và có cờng độ :



Cờng độ điện trờng Eur do toàn bộ bán cầu gây ra tại O là : Eur

= E.r

Nh vậy, vectơ Er có phơng là OA, có chiều hớng từ A đến O, và có độ lớn :

OA 0

h h

2 R







0

2 R









OA

h h,

ở đây tổng

OA

 lấy toàn bộ các đoạn nhỏ h của OA

Theo đề bài, ta có :

OA

h h

 = R2

2

Do đó : E =

0

4



 (Chú ý rằng, về mặt toán học ta có thể viết :



0

R

3 Cỏc bài tập vận dụng

B i 1 ài Một quả cầu khối lợng m, mang một điện tích là q đợc buộc vào một sợi chỉ cách điện Đầu còn

lại của sợi chỉ đợc buộc vào điểm cao nhất của một vòng dây có bán kính R đặt trong một mặt phẳng thẳng đứng Vòng dây đợc làm bằng một dây dẫn cứng có bán kính nhỏ không đáng kể Vòng dây đợc tích một điện tích Q cùng dấu với điện tích q và phân bố đều Hãy xác định chiều

dài l của sợi dây treo để sau khi bị đẩy lệch, quả cầu sẽ nằm trên trục giữa của vòng dây vuông góc

với mặt vòng

Đầu tiên hãy giải bài toán dới dạng tổng quát, sau đó thực hiện các phép tính với các số liệu Q = q = 9,0.108C ; R = 5,0 cm ; m = 1,0g ;  = 8,9.100 12 F/m Bỏ qua khối lợng của dây

(Trích đề thi Olimpic Vật lí Quốc tế, năm 1969 ở Cộng hòa Séc)

Gợi ý : áp dụng kết quả bài 1.1 và chú ý ngoài lực điện trờng, quả cầu còn chịu tác dụng của trọng

lực và lực căng T của sợi chỉ

B i 2 ài Bên trong một khối cầu cô lập tâm O bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích khối là  có

một cái hốc hình cầu tâm O1 bán kính r, với OO1 = a (Hình 1.7) Chứng tỏ rằng bên trong hốc điện trờng là đều và có cờng độ bằng

0

a

2



 Nếu O1 trùng với O thì kết quả sẽ ra sao ?

Gợi ý : Xem hệ gồm hai khối cầu chồng lên nhau, khối cầu O không có

hốc và hốc O1 là khối cầu tích điện đều với mật độ – áp dụng nguyên

lí chồng chất điện trờng

B i 3 ài Điện trờng trong khí quyển có hớng thẳng đứng xuống dới (ở các độ cao hợp lí) Cờng độ của

nó bằng 60V/m ở độ cao 300m và bằng 100V/m ở độ cao 200m Tính lợng điện tích chứa trong

khối không khí hình lập phơng có cạnh bằng 100m, nằm giữa hai độ cao đó Tính số ion (hóa trị 1) trung bình chứa trong 1m3 không khí Nêu nhận xét về kết quả thu đợc

Gợi ý : áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ để tính điện tích 

B i 4 ài Một bán cầu kim loại tâm O, bán kính R, mang điện tích phân bố đều

với mật độ điện mặt  Xác định phơng, chiều của cờng độ điện trờng tại

điểm bất kì M nằm trong mặt giới hạn bán cầu, cách tâm O một đoạn r <

R (Hình 1.8)

Gợi ý : Ghép vào bán cầu này một bán cầu khác giống hệt nó áp dụng

nguyên lí chồng chất điện trờng và kết quả ở bài tập ví dụ 2

B i 5 ài * Khoảng không gian giữa hai mặt phẳng song song có tọa độ x = a và

x = a đợc tích điện đều với mật độ điện khối  ( > 0) Xác định cờng độ điện

trờng tại mọi điểm trong toàn không gian Từ đó tìm biểu thức của điện thế tại mọi điểm (chọn V

= 0 tại x = a) Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của E và V theo x Xét trờng hợp x  

Gợi ý : áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ Chú ý đến tính đối xứng của phân bố điện tích và

hệ thức giữa cờng độ điện trờng và điện thế (Xem chủ đề 2)

B i 6 ài Trên một vòng tròn bán kính R nằm trong mặt phẳng thẳng đứng có gắn cố định hai quả cầu

nhỏ A và B mang điện tích Q Hai quả cầu nhỏ khác là C và D có khối l ợng m và điện tích q, có thể dịch chuyển không ma sát trên đờng tròn Biết AB = R 2 và có phơng nằm ngang Tìm điều kiện để khi cân bằng, thì 4 quả cầu nằm trên 4 đỉnh của một hình vuông

B i 7 ài Hai quả cầu kim loại nhỏ A và B có cùng khối lợng riêng D có bán kính lần lợt r và 2r, đợc treo

vào cùng một điểm O bằng hai sợi dây mảnh cách điện không dãn (có khối lợng không đáng kể)

có cùng chiều dài l Ban đầu hai quả cầu cân bằng, tích điện cho hai quả cầu điện tích 3q, chúng

đẩy nhau Hãy tính góc lệch của các dây treo so với phơng thẳng đứng Giả thiết góc lệch nhỏ Cho biết, với cùng một điện thế, điện tích mỗi quả cầu kim loại tỉ lệ thuận với bán kính của nó

B i 8 ài Hai quả cầu kim loại nhỏ, hoàn toàn nh nhau, đợc treo vào cùng một điểm O bằng hai sợi dây

mảnh cách điện (không dãn, có khối lợng không đáng kể) có cùng chiều dài l = 20cm mặt ngoài

của chúng tiếp xúc nhau Sau khi truyền cho một trong hai quả cầu đó một điện tích q0 = 4.107 Chúng đẩy nhau, và góc giữa hai dây treo bằng 60o

a) Tìm khối lợng của mỗi quả cầu ?

b) Khi nhúng hệ thống vào dầu hỏa, ngời ta thấy góc giữa hai dây treo quả cầu bây giờ chỉ bằng

54o Hãy tìm khối lợng riêng D1 của chất làm quả cầu

c) Muốn cho góc giữa hai dây treo trong không khí và trong dầu hỏa là nh nhau thì khối lợng riêng của chất làm quả cầu phải bằng bao nhiêu ?

B i 9ài Một thanh cách điện dài l = 40cm, đợc treo nằm ngang tại trung điểm O của nó bằng một sợi

dây bạc có hằng số xoắn C = 3.10-8N.m/rad ; ở một đầu thanh có gắn một viên bi kim loại nhỏ A Dịch chuyển điểm treo để đa thanh lại gần viên bi nhỏ B

đặt cố định, sao cho viên bi A tiếp xúc với viên bi B ở vị trí

cân bằng và sợi dây bạc không xoắn Truyền cho B một

điện tích q, đồng thời quay (xoắn) đầu trên của sợi dây bạc

một góc 1 = 90o theo chiều làm cho A lại gần B, ngời ta

thấy khi thanh nằm cân bằng, thì khoảng cách góc giữa

A và B là 2 = AOB = 60ã o Hãy tìm độ lớn của điện tích q

đã truyền cho viên bi B Cho biết khi dây bạc bị xoắn một

góc  thì có momen xoắn M = C tác dụng lên thanh

Bài 10: Tỡm cường độ điện trường tại tõm của nửa vũng trũn

tớch điện bỏn kớnh a, nếu như mật độ điện dài  của nú được xỏc

định bằng cụng thức =0sin với gúc  được vẽ trờn hỡnh So

sỏnh với trường hợp mật độ điện tớch dài  khụng đổi

