Chuyên đề: Xác định véc tơ cường độ điện trường vật mang điện Tổ Vật lý - Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình Đặt vấn đề Trong chương trình Vật lý lớp 11 chuyên dạy học phần điện trường nội dung quan trọng phải biết cách xác định véc tơ cường độ điện trường vật mang điện sinh đặc biệt vất có kích thước Vì cần thiết phải có chun đề cách tính cường độ điện trường vật mang điện sinh Sau phương pháp tính cường độ điện trường hệ thống tập vận dụng A Cách tính cường độ điện trường I − Cêng ®é ®iƯn trêng cđa vËt mang ®iƯn Cêng ®é ®iƯn trêng nhiều điện tích điểm gây a) Cờng độ ®iƯn trêng cđa mét ®iƯn tÝch ®iĨm Ta ®· biÕt, cêng ®é ®iƯn trêng mét ®iƯn tÝch ®iĨm Q đặt điểm M gây điểm A cách r khoảng r vectơ E có gốc A, có độ lớn E = 9.109 Q (1.1) εr Q (1.2) 4πε0 εr có giá đờng thẳng nối điểm M điểm A, cã chiỊu híng xa ®iƯn tÝch Q nÕu Q > 0, hớng điện tích Q Q < (H×nh 1.1) hay E = H×nh 1.1 Trong công thức (1.1) (1.2), số điện môi môi trờng bao quanh điện tích ; số điện : = 8,85.10 -12 C / (N.m2) r Q r r Dới dạng vectơ ta viết : E = 4πε0 εr r uuur r Trong ®ã r = MA vectơ hớng từ M đến A có độ lớn r (1.3) b) Nguyên lí chồng chất ®iƯn trêng Cêng ®é ®iƯn trêng nhiỊu ®iƯn tÝch điểm Q1, Q2 gây điểm A tổng vectơ cờng độ r r điện trờng E1 , E điện tích riêng biệt Q1, Q2 gây A : r r r r E = E1 + E + = ∑ E i i (1.4) ur ur ur c) Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt điện trờng E F = q E Cêng ®é ®iƯn trêng cđa vËt mang ®iƯn Để xác định vectơ cờng độ điện trờng vật mang điện có kích thớc gây điểm A, ta áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng Muốn vậy, ta tởng tợng phân chia vật mang điện thành nhiều phần có kích thớc nhỏ cho điện tích q phần xem điện tích r điểm, đó, vật mang điện tích cã thĨ xem nh mét hƯ ®iƯn tÝch ®iĨm KÝ hiệu r vectơ ur ur hớng từ q đến điểm A cách khoảng r, cờng độ điện trờng E q gây A lµ : ∆ E r ∆q r = 4πε0 εr r Tõ ®ã theo (1.4), cêng độ điện trờng vật mang điện gây A lµ : r ∆q r r ur ∑ 4πε ε r r (1.5) E = E = toàn vật Về mặt toán học, biểu thức viết dới dạng tích ph©n : r ur dq r E= (1.5a) ∫ 4πεε0 r r toµn bé vËt ur Đối với vật mang điện có hình dạng bất kì, viƯc tÝnh E theo biĨu thøc (1.5) lµ rÊt phøc tạp Vì vậy, số trờng hợp mà phân bè ®iƯn tÝch cđa vËt cã tÝnh ®èi xøng, ngêi ta thờng dùng định lí Ôxtrô-grát-xki -Gao-xơ II Định lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ Điện thông a) Đờng sức điện Nh ta đà biết, để mô tả điện trờng cách trực quan, thuận tiện quy ớc biểu diễn điện trờng đờng sức điện Đó đờng mà tiếp tuyến với điểm trùng với phơng vectơ cờng độ điện trờng điểm đó, chiều đờng sức chiều vectơ cờng độ điện trờng điểm Để cho ®êng søc cã thĨ biĨu diƠn c¶ ®é lín cđa cêng ®é ®iƯn trêng, ngêi ta quy íc : vÏ qua mặt S0 kích thớc nhỏ vuông góc với ®êng søc, mét sè ®êng søc ∆N cho sè đờng sức tổng cộng qua đơn vị diện tích S0 có trị số độ lớn cờng độ điện trờng phạm vi S0, nghĩa cho : ∆N =E (1.6) ∆S Víi ®iỊu kiƯn nh vậy, nơi cờng độ điện trờng lớn đờng sức dày (có mật độ lớn), nơi cờng độ điện trờng nhỏ đờng sức tha b) Điện thông ur Trong điện trờng E , ta xét mét diƯn tÝch ∆S ®đ nhá ®Ĩ cã thĨ xem ur phẳng phạm vi S điện trờng E xem Vẽ vectơ pháp r r r tuyến đơn vị n S đặc trng cho S vectơ S = n Hình 1.2 S (Hình 1.2) Điện thông (hay thông lợng điện trờng) qua diện tích S đại lợng vô hớng có giá trị : ur r = E.∆S cosα = E ∆S = E.∆S0 (1.7) r ur S = S cos hình chiếu S mặt phẳng vuông góc với E ) Ta thấy nhận giá r trị âm hay dơng tùy theo chiều pháp tuyến n S mà ta chọn, độ lớn tùy thuộc vào ur r góc E n Trong hệ SI, đơn vị điện trờng vôn/mét (V/m) Đối chiếu với (1.6) ta thấy, xét độ lớn, điện thông qua mặt S có ý nghĩa số đờng sức qua mặt Muốn xác định điện thông qua mặt S, ta chia mặt thành nguyên tố diện tích S (Hình 1.2) Điện thông qua mặt S , tính theo công thức (1.7) Điện thông qua mặt S là: = V = E.Scos (1.8) r Đối với mặt kín, tính điện thông ta luôn chọn chiều pháp tuyến n chiều hớng phía ur mặt Vì nơi mà E hớng mặt kín, điện thông tơng ứng dơng ; ur nơi mà E hớng vào phía mặt kín (đờng sức xuyên vào thể tích bao mặt kín) điện thông tơng ứng âm Thiết lập định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ Định lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ xác lập mối quan hệ điện thông điện tích a) Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho chân không Để thiết lập biểu thức tổng quát định lí, ta xét trờng hợp điện tích điểm dơng q đặt chân không Bao quanh điện tích mặt cầu S có bán kính r, có tâm điểm đặt điện tích q Ta quy ớc chiều dơng pháp tuyến với S chiều hớng từ tâm (Hình 1.3) Vì lí đối xứng, điểm mặt cầu S, cờng độ ®iƯn trêng cđa ®iƯn tÝch q cã cïng ®é lín E nh có phơng vuông góc với mặt cầu ( = cos = 1) Điện thông qua toàn mặt cầu S : = Hình 1.3 ∑ E.∆S cos α = E∑ ∆S ∑ ∆S tổng tất diện tích phần nhỏ mặt cầu S, nên diện tích mặt cầu : S = 4r Mặt khác : cho = theo (1.2) ta cã : E = Do ®ã : Φ = q πε0 r q q πr = πε0 r ε0 (1.9) Ta thấy điện thông qua mặt cầu S không phụ thuộc vào bán kính r mặt cầu, có giá trị nh mặt cầu đồng tâm với S (mặt cầu S1 chẳng hạn, hình 1.3) Điều có nghĩa khoảng không gian hai mặt cầu S S1, nơi điện tích, đờng sức liên tục, không không thêm Cũng thế, suy điện thông qua mặt kín S2 có hình dạng bao quanh điện tích q điện thông qua S S 1, nh điện thông qua mặt kín S2 không phụ thuộc vào hình dạng S2 vị trí điện tích q bên thể tích giới hạn S2 Nếu xét mặt kín S3 không bao quanh điện tích q (Hình 1.3) thì, tính liên tục đờng sức, có đờng sức vào mặt S3 có nhiêu đờng sức khỏi mặt S3 Nh đà biết, điện thông đờng sức vào S3 có giá trị âm, điện thông đờng sức khỏi S3 có giá trị dơng Hai phần điện thông có trị số tuyệt đối nhau, điện thông toàn phần qua mặt kín S3 không bao quanh điện tích q, có giá trị Vì điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trí điện tích đặt bên nó, nên áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng ta thấy kết (1.9) cho trờng hợp bên mặt kín có nhiều điện tích phân bố bất kì, cần ý rằng, q tổng đại số điện tích có mặt bên mặt kín Đó nội dung định lí Ô-xtrô-grát-xki - Gao-xơ cho chân không : Điện thông qua mặt kín có giá trị tổng đại số điện tích có mặt bên mặt chia cho ε0 : Φ= ∑ E.∆Scosα = toµn bé mỈt kÝn ∑ qi ε0 i (1.10) b) Định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ cho môi trờng điện môi Trong trờng hợp môi trờng điện môi có số điện môi , lập luận hoàn toàn tơng tự nh (trong biểu thức E không đặt = 1), thay cho (1.10) ta cã : Φ = ∑ E.∆Scosα = ∑ qi (1.11) εε toµn bé i mặt kín áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ Định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ (O - G) đợc áp dơng ®Ĩ tÝnh cêng ®é ®iƯn trêng cđa vËt mang điện, đặc biệt trờng hợp điện tích phân bố đối xứng (đối xứng cầu, trục, phẳng) Khi áp dụng định luật, ta lần lợt tiến hành nh sau : a) Xác định yếu tố đối xứng vật mang điện (hoặc hệ điện tích) từ suy số đặc điểm ur cờng độ điện trờng Chẳng hạn, dự đoán đợc hớng vectơ E điểm, biến thiên độ lớn ur E theo vị trí không gian ur b) Chän mét mỈt kÝn S (thêng gäi mặt Gao -xơ) chứa điểm mà ta cần xác định E Ngời ta thờng chọn mặt S cho tính toán dễ dàng điện thông qua S ; muốn phải chứa yếu tè ®èi xøng cđa hƯ ®iƯn tÝch c) TÝnh ®iƯn thông qua mặt S theo công thức (1.8), sau áp dụng công thức định lí Ô-xtrô-grátxki- Gao-xơ (1.10) (1.11) Từ suy đợc mối liên hệ cờng độ điện trờng E điện tích hƯ B − Bµi tËp áp dụng Các áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki Gao-xơ Bi 1: Xác định cờng độ điện trờng gây mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đặt chân không Giải Sự phân bố điện tích mặt phẳng đợc đặc trng mật độ điện tích đơn vị diện tích mặt ; hệ đơn vị SI, có đơn vị culông mét C vuông, kí hiệu đây, có giá trị nh điểm mặt phẳng Ta m hÃy xác định cờng độ điện trờng mặt phẳng gây điểm A cách mặt Hình 1.4 phẳng khoảng h (Hình 1.4) (giả sử > 0) Do tính chất phân bố điện tích mặt phẳng, ta thấy mặt phẳng tích điện chia không gian làm hai nửa đối xứng Vì mặt phẳng vô hạn, nên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng trục đối xứng hệ điện tích Do đó, vectơ cờng độ điện trờng điểm bên mặt phẳng song song với vuông góc với mặt phẳng, có độ lớn (nh thấy rõ dới đây), hớng xa mặt phẳng > (mặt phẳng tích điện dơng, nh vẽ hình 1.4) hớng phía mặt phẳng < Nh vậy, nửa không gian hai bên mặt phẳng tích điện, điện trờng Để tính cờng độ điện trờng điểm A, ta chọn mặt kín S mặt hình trụ (biểu diễn đ ờng nét đứt hình 1.4) có đờng sinh vuông góc với mặt phẳng, hai đáy song song (đáy chứa điểm A) cách mặt phẳng r khoảng h có diện tích S Chọn chiều dơng pháp tuyến n hớng mặt S Vì pháp tuyến mặt xung quanh hình trụ vuông góc với đờng sức nên = 90o, cos = 0, điện thông qua mặt xung quanh không Điện thông toàn phần qua mặt S điện thông qua hai đáy có giá trị : = 2E.S.cos = 2E.S Điện tích q bên mặt S điện tích có phần mặt phẳng có diện tích S giới hạn mặt trụ, : q = .S .S áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki -Gao-xơ ta có : = 2E.S = Từ tìm đợc : E= (1.12) Ta thÊy, ®é lín E cđa cêng ®é ®iƯn trờng gây mặt phẳng vô hạn tích điện điểm A không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng Bi 2: Xác định cờng độ điện trờng gây mặt cầu kim loại tâm O, bán kính R, tích điện với mật độ điện mặt Giải Xét điểm A 1, bên mặt cầu tích điện, cách tâm O kho¶ng r > R Gi¶ sư σ > XÐt mặt cầu S1 tâm O bán kính r chứa điểm A1 Vì lí đối r xứng, điểm S1 vectơ cờng độ điện trờng E vuông góc với S1 (tức có phơng trùng với bán kính), có độ lớn nhau, hớng xa tâm O > ) nh hình 1.5), hớng tâm O < Điện thông qua mặt kín S1 : = 4r2E Điện tích q bên mặt S1 điện tích toàn mặt cầu : q = .4R2 áp dụng định lí Ô-xtrô-grát xki-Gao-xơ, ta có : Hình 1.5 q σ.4 πR2 Φ = ε ⇒ 4πr2E = ε0 Suy : E= σR2 q , hay E = πε0 r ε0 r (1.13) Ta thấy cờng độ điện trờng điểm A bên cầu giống nh cờng độ điện trờng điện tích điểm q (bằng điện tích toàn mặt cầu) đặt O gây A Xét điểm A2 bên mặt cầu tích điện, cách tâm O khoảng r' < R Xét mặt cầu S 2, tâm O bán kính r' chứa điểm A2 Tơng tự nh trên, điện thông qua mặt kín S2 : = r'2E Điện tích q bên mặt S2 : q = áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ ta cã : q Φ= ⇒ 4π r'2E = ⇒ E = ε0 (1.14) Cêng ®é ®iƯn trêng điểm bên mặt cầu kim loại tích điện không Bi 3: Xác định cờng độ điện trờng gây dây dẫn dài vô hạn tích điện Giải Sự phân bố điện tích dây đợc đặc trng mật độ điện tích dài , có giá trị điện tích có đơn vị độ dài dây ; hệ SI, C đơn vị culông mét, kí hiệu Ta hÃy xác định cờng độ m điện trờng dây gây điểm A cách trục dây khoảng r Hình 1.6 Vì phân bố điện tích có tính đối xứng trục, nên điểm cách sợi dây, cờng độ điện trờng có độ lớn Đờng sức điện trờng đờng thẳng cắt trục dây, có chiều hớng xa dây > (nh hình 1.6) hớng phía dây < Ta chọn mặt kín S mặt hình trụ đồng trục với dây, có bán kính đáy r, có chiều dài l (Hình 1.6) Điện thông qua hai mặt đáy không ur vectơ E song song với chúng Điện thông toàn phần điện thông qua mặt bên hình trụ : = E.2rl Điện tích bên mặt kín S điện tích có đoạn dây có chiều dài l nằm hình trụ : q = l áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ ta có : q l = ⇒ E.2πrl = ⇒E= (1.15) ε0 ε0 2πε0 r Ta thấy, cờng độ điện trờng dây dẫn dài vô hạn tích điện gây điểm A có độ lớn tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ A đến dây Bi 4: Cho điện tích điểm dơng q = 1nC a) Đặt điện tích q tâm hình lập phơng cạnh a = 10cm Tính điện thông qua mặt hình lập phơng Nếu bên hình lập phơng có điện tích khác, điện thông qua mặt hình lập phơng qua toàn hình lập phơng có thay đổi không ? b) Đặt điện tích q đỉnh hình lập phơng nói Tính điện thông qua mặt hình lập phơng (Trích đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Vật lí, năm học 1999-2000) Gii a) Vì lí đối xứng, điện tích q gửi điện thông qua mặt hình lập phơng Điện thông tổng hợp qua toàn hình lập phơng = 61 áp dụng định lÝ O – G ta cã : q q ⇒ = = 18,83V.m 60 Nếu có điện tích khác bên hình lập phơng, điện tích làm thay đổi điện thông qua mặt khác hình lập phơng Nhng điện thông qua toàn hình lập phơng điện thông qua mặt kín có chứa q mà thôi, nghĩa điện thông qua toàn hình lập phơng : = q 113V.m b) Giả sử điện tích q đợc đặt đỉnh A hình lập phơng Đối với mặt hình lập phơng có chứa điện tích q (Hình 1.3G), tức chứa đỉnh A (các mặt ABCD, ABB'A', ADD'A') từ thông không (vì đờng sức điện trờng = Hình vuông góc với pháp tuyến = 90o) Vì lí đối xứng điện thông qua ba mặt lại ( BB'C'C, A'B'C'D', CDD'C') nh nhau, Để tính 2, ta xét hình hộp lớn tâm A, có cạnh 2a, điện tích q nằm tâm hình lập phơng lớn Diện tích mặt hình lập phơng lớn (bằng 4a2) lớn gấp lần diện tích mặt hình lập phơng ABCD A'B'C'D', điện thông qua mặt hình lập phơng lớn 42 Và vậy, đối xứng, điện thông qua toàn hình lập phơng lớn : = 6.42 = 242 q q áp dụng định lí O -G ta cã : Φ = 24Φ2 = ε ⇒ Φ2 = 24 4,71V.m 0 Bi 6: Hai mặt phẳng rộng vô hạn, đặt song song với nhau, đợc tích điện trái dấu với mật độ điện ur mặt - Xác định cờng độ điện trờng tổng hợp E hai mặt gây cách áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ Gii Có thể áp dụng kết tìm đợc Bài tập ví dụ cờng độ điện trờng mặt phẳng rộng vô hạn tích điện gây áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng đây, ta vận dụng định lí O G cho hệ hai mặt phẳng tích điện Vì điện tích phân bố hai mặt phẳng nên dễ dàng nhận xét cờng độ điện trờng gây mặt hai mặt có phơng vuông góc với mặt Mặt khác cờng độ điện trờng có độ lớn nh điểm cách mặt phẳng Ngoài ra, ur khoảng hai mặt phẳng vectơ E có chiều từ mặt phẳng tích điện dơng sang mặt phẳng tích điện âm (Hình 1.5G) Chọn mặt kín S mặt trụ, có hai đáy song song diện tích S cách mặt phẳng mặt xung quanh hình trụ vuông góc với mặt phẳng Nh điện thông qua toàn mặt S điện thông qua hai mặt đáy Hình 1.5G Đối với mặt kín S3 tổng đại số điện tích bên mặt kín : q = .S + (_.S) = áp dụng định lí O G ta đợc : = q 2E.S = ⇒ E = ε0 Nh vËy cêng ®é ®iƯn trờng điểm khoảng không gian bên hệ mặt phẳng (ở ur phía hệ) không : E = Đối với mặt kín S S2 điện tích q bên mặt kín có độ lớn : r q = .S vectơ E có chiều nh hình vẽ theo kết vừa tìm đợc = E.S áp dụng định lí O G ta tìm đợc : = q S E.S = E= 0 ur Trong khoảng không gian hai mặt phẳng, vectơ E vuông góc với mặt phẳng, có chiều từ mặt phẳng tích điện dơng sang mặt phẳng tích điện âm có cờng độ E = ε0 Các tốn vật tích điện Bi 1: Xác định cờng độ điện trờng gây vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q, điểm M nằm trục vòng dây, cách tâm O vòng dây khoảng OM = h Xét trờng hợp riêng : điểm M trùng với tâm O điểm M xa vòng dây (h ? R) Gii Chia vòng dây thành phần nhỏ có độ dài s (s = R) cho phần tử nhỏ mang điện tÝch ∆q cã thĨ xem nh mét ®iƯn tÝch ®iĨm Khi đó, vòng dây đợc xem nh tập hợp điện tích điểm Mỗi điện tích điểm gây M điện trờng điện trờng tổng hợp vòng dây gây đợc xác định nhờ nguyên lí chồng chất điện trờng Kí hiệu mật độ điện dài vòng dây ta có : = q 2R Để cho cụ thể, giả sử q > Phần tử s1, mang điện tích q1, gây M điện trờng có cr ờng độ E1 với phơng chiều nh hình 1.1G có độ lớn : E1 = k Vq1 2 (R + h ) =k λ.Vs1 ( k = = 9.10 đơn vị SI) (R + h ) 2 Chó ý ®Õn tính đối xứng với trục vòng dây, ta thấy tìm đợc phần tử s2 giống hệt s1 (s2 = s1) nhng đối xứng với qua tâm O (Hình 1.1G) Phần tử mang điện tích q2 = q1, gây M điện trờng E2 có cờng độ r r E2 = E1, có phơng chiều nh hình 1.1G Ta thấy vectơ E1 E đối xứng với r r r qua trục vòng dây Cờng độ điện trờng tổng hợp s1 s2 gây E n = ∆E1 + ∆ E cã ph¬ng däc theo trục vòng dây, có chiều hớng xa tâm O (do giả thiết q > 0) có độ lớn : kλh(2 ∆s1 ) = (R2 + h )3 / R2 + h (víi 2∆s1 lµ tỉng độ dài hai phần tử ta xét) Xét tất cặp phần tử vòng dây tơng tự nh r trên, cặp cho vectơ cờng độ điện trờng E n nằm trục vòng dây ; Tất r r vectơ E n tạo thành cờng độ điện trờng E toàn vòng dây gây Nh vậy, vectơ cờng độ r điện trờng E vòng dây dẫn mang điện tích q gây có phơng trục vòng dây, có chiều hớng xa tâm O vòng dây q > 0, hớng tâm O q < 0, có độ lớn : E n = ∆E1 cosα = 2k E = λ.Vs1 (R2 + h ) kλh h (∆s1 + ∆s2 + ) (R2 + h )3 / = = kλh (R2 + h )3 / kλh 2 3/ (R + h ) ì (chiều dài vòng dây) ì 2R = kqh (1) (R + h )3 / Tõ (1) ta thÊy : - Tại tâm vòng dây (M O) ; h = E0 = Tại điểm M xa vòng dây h ? R E kq nghĩa điểm xa vòng dây, cờng độ h2 điện trờng gây vòng dây mang điện tích q có giá trị giống nh cờng độ điện trờng gây điện tích điểm q đặt tâm vòng dây Bi 2: Một vòng dây dẫn mảnh tâm O, bán kính R mang điện tích Q phân bố vòng Ngời ta cắt từ vòng dây đoạn nhỏ chiều dài l (l = R) cho phân bố điện tích vòng y nguyên nh trớc Xác định cờng độ điện trờng tâm O gây vòng dây đà bị cắt đoạn Gii áp dụng nguyên lí chồng chất cho hai vật mang điện : vòng dây nguyên vẹn mang điện tích phân Q bố với mật độ điện dài = (để cho cụ thể, giả sử Q > 0), đoạn dây nhỏ chiều dài l 2R mang điện tích q = l đặt vòng dây vị trí phần dây bị cắt Nh vậy, cờng độ điện trr ur ờng E vòng dây bị cắt gây O vectơ tổng hợp cờng độ điện trờng E1 vòng r dây nguyên vẹn gây E đoạn l mang điện tích q gây (xem điện tích điểm) : r r r E = E1 + E r r ur Theo kết toán 1.1, t¹i O : E1 = VËy ta cã : E = E ur NÕu Q > đoạn dây mang điện tích âm, vectơ E đặt O, có chiều hớng chỗ bị cắt bớt, có cờng độ : q l Ql = = E = πε πε0 πR3 πε0 R2 R Bài 3: Mét b¸n cầu kim loại tâm O, đỉnh A, bán kính R, mang điện tích phân bố với mật độ điện tích mặt Xác định cờng độ điện trờng bán cầu gây tâm O Ghi : Nếu chia bán kính OA thành đoạn nhỏ h, tổng đại lợng (OA) h.h , ứng với tất đoạn nhỏ h (với h khoảng cách từ O đến đoạn h ta xét), có trÞ sè b»ng ∑ (OA) h.∆h = R2 Giải Do tính đối xứng với OA nên thấy vectơ cờng độ điện ur trờng E bán cầu gây O có phơng OA, có chiều hớng xa bán cầu (theo chiều AO) > (nh hình 1.2G) có chiều ngợc lại < R2 : r Để xác định E, ta chia bán kính OA thành đoạn nhỏ h mặt phẳng vuông góc với OA, mặt phẳng chia bán cầu thành đới cầu có chiều cao h ; đới cầu đợc xem vòng dây mảnh tâm M cách O khoảng OM = h mang điện tích q = .S = .2R.h (S = 2R.h diện tích đới cầu) r áp dụng kết Bài tập 1.2, ta thấy đới cầu gây O điện trờng E có phơng AO, cã chiỊu híng tõ A ®Õn O nÕu σ > (nh hình 1.1G) có cờng độ : ∆qh σh.∆h ∆E = πε = ε0 R R r ur ur Cờng độ điện trờng E toàn bán cầu gây O : E = E r Nh vậy, vectơ E có phơng OA, có chiều hớng từ A đến O, có độ lớn : E= tổng OA E = ∑ 2ε OA σ 0R h.∆h = σ h.h, 20 R2 OA lấy toàn đoạn nhá ∆h cđa OA σ R2 Do ®ã : E = 4ε OA (Chó ý r»ng, vỊ mặt toán học ta viết : Theo đề bµi, ta cã : ∑ h.∆h = E = σ R ∫ hdh = ε0 R R2 σ = ) ε0 ε0 R 2 σ Các tập vận dụng Bài Một cầu khối lợng m, mang điện tích q đợc buộc vào sợi cách điện Đầu lại sợi đợc buộc vào điểm cao vòng dây có bán kính R đặt mặt phẳng thẳng đứng Vòng dây đợc làm dây dẫn cứng có bán kính nhỏ không đáng kể Vòng dây đợc tích điện tích Q dấu với điện tích q phân bố HÃy xác định chiều dài l sợi dây treo để sau bị đẩy lệch, cầu nằm trục vòng dây vuông góc với mặt vòng Đầu tiên hÃy giải toán dới dạng tổng quát, sau thực phép tính với c¸c sè liƯu Q = q = − − 9,0.10 8C ; R = 5,0 cm ; m = 1,0g ; ε0 = 8,9.10 12 F/m Bá qua khèi lỵng dây (Trích đề thi Olimpic Vật lí Quốc tế, năm 1969 Cộng hòa Séc) Gợi ý : áp dụng kết 1.1 ý lực điện trờng, cầu chịu tác dụng trọng lực lực căng T sợi Bi Bên khối cầu cô lập tâm O bán kÝnh R, tÝch ®iƯn ®Ịu víi mËt ®é ®iƯn tÝch khối có hốc hình cầu tâm O1 bán kính r, với OO1 (Hình 1.7) Chứng tỏ bên hốc điện trờng có cêng ®é b»ng ρa NÕu O1 trïng víi O kết ? Gợi ý : Xem hệ gồm hai khối cầu chồng lên nhau, khối cầu O hốc hốc O1 khối cầu tích điện với mật độ áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng 10 = a Bài §iƯn trêng khÝ qun cã híng thẳng đứng xuống dới (ở độ cao hợp lí) Cêng ®é cđa nã b»ng 60V/m ë ®é cao 300m 100V/m độ cao 200m Tính lợng điện tích chứa khối không khí hình lập phơng có cạnh 100m, nằm hai độ cao Tính số ion (hóa trị 1) trung bình chứa 1m3 không khí Nêu nhận xét kết thu đợc Gợi ý : áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ để tính điện tích Bi Một bán cầu kim loại tâm O, bán kính R, mang điện tích phân bố với mật độ điện mặt Xác định phơng, chiều cờng độ điện trờng điểm M nằm mặt giới hạn bán cầu, cách tâm O đoạn r < R (Hình 1.8) Gợi ý : Ghép vào bán cầu bán cầu khác giống hệt áp dụng nguyên lí chồng chất điện trờng kết tập ví dụ Bi 5* Khoảng không gian hai mặt phẳng song song có tọa độ x = a x = a ®ỵc tÝch ®iƯn ®Ịu víi mËt ®é ®iƯn khèi ρ ( > 0) Xác định cờng độ điện trờng điểm toàn không gian Từ tìm biểu thức điện điểm (chọn V = x = a) Vẽ đồ thị biểu diễn sù phơ thc cđa E vµ V theo x XÐt trờng hợp x Gợi ý : áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xkiGao-xơ Chú ý đến tính đối xứng phân bố điện tích hệ thức cờng độ ®iƯn trêng vµ ®iƯn thÕ (Xem chđ ®Ị 2) Bài Trên vòng tròn bán kính R nằm mặt phẳng thẳng đứng có gắn cố định hai cầu nhỏ A B mang điện tích Q Hai cầu nhỏ khác C D có khối l ợng m điện tích q, dịch chuyển không ma sát đờng tròn Biết AB = R có phơng nằm ngang Tìm điều kiện để cân bằng, cầu nằm đỉnh hình vuông Bi Hai cầu kim loại nhỏ A B có khối lợng riêng D có bán kính lần lợt r 2r, đợc treo vào điểm O hai sợi dây mảnh cách điện không dÃn (có khối lợng không đáng kể) có chiều dài l Ban đầu hai cầu cân bằng, tích điện cho hai cầu điện tích 3q, chúng đẩy HÃy tính góc lệch dây treo so với phơng thẳng đứng Gi¶ thiÕt gãc lƯch nhá Cho biÕt, víi cïng mét điện thế, điện tích cầu kim loại tỉ lƯ thn víi b¸n kÝnh cđa nã Bài Hai cầu kim loại nhỏ, hoàn toàn nh nhau, đợc treo vào điểm O hai sợi dây mảnh cách điện (không dÃn, có khối lợng không đáng kể) có chiều dài l = 20cm mặt cđa chóng tiÕp xóc Sau trun cho mét hai cầu điện tích q = 4.107 Chúng đẩy nhau, góc hai dây treo 60o a) Tìm khối lợng cầu ? b) Khi nhúng hệ thống vào dầu hỏa, ngời ta thấy góc hai dây treo cầu 54o HÃy tìm khối lợng riêng D1 chất làm cầu c) Muốn cho góc hai dây treo không khí dầu hỏa nh khối lợng riêng chất làm cầu phải ? 11 Bi Một cách điện dài l = 40cm, đợc treo nằm ngang trung điểm O sợi dây bạc có số xoắn C = 3.10 -8N.m/rad ; đầu có gắn viên bi kim loại nhỏ A Dịch chuyển điểm treo để đa lại gần viên bi nhỏ B đặt cố định, cho viên bi A tiếp xúc với viên bi B vị trí cân sợi dây bạc không xoắn Truyền cho B điện tích q, đồng thời quay (xoắn) đầu sợi dây bạc góc = 90o theo chiều làm cho A lại gần B, ngời ta thấy nằm cân bằng, khoảng cách góc A B = à = 60o HÃy tìm độ lớn điện tích q đà truyền cho AOB viên bi B Cho biết dây bạc bị xoắn góc có momen xoắn M = C tác dơng lªn Bài 10: Tìm cường độ điện trường tâm nửa vịng trịn tích điện bán kính a, mật độ điện dài λ xác định cơng thức λ=λ0sinθ với góc θ vẽ hình So sánh với trường hợp mật độ điện tích dài λ khơng đổi 12 ... áp dụng định luật, ta lần lợt tiến hành nh sau : a) Xác định yếu tố đối xứng vật mang điện (hoặc hệ điện tích) từ suy số đặc điểm ur cờng độ điện trờng Chẳng hạn, dự đoán đợc hớng vectơ E điểm,... điện không Bi 3: Xác định cờng độ điện trờng gây dây dẫn dài vô hạn tích điện Giải Sự phân bố điện tích dây đợc đặc trng mật độ điện tích dài , có giá trị điện tích có đơn vị độ dài dây ; hệ... tích điện trái dấu với mật độ điện ur mặt - Xác định cờng độ điện trờng tổng hợp E hai mặt gây cách áp dụng định lí Ô-xtrô-grát-xki-Gao-xơ Gii Có thể áp dụng kết tìm đợc Bài tập ví dụ cờng độ điện