Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner Seitz mạng hệ lập phương Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Theo cách xây dựng ô Wigner – Seitz ta thấy phép biến đổi mà không làm thay đổi vị trí cuủamạng Bravais ô Wigner – Seitz không thay đổi vị trí Nói khác đi, nhóm đối xứng mạng Bravais nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz Mỗi nhóm đối xứng điêể tập hợp yếu tố nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz nguyên vị trí điểm biến thành điểm tương đương định nghĩa sau Hai điểm khac snhau r r’ tinh thể gọi tương đương có phép tịnh tiến R tinh thể R = n1a1 + n2a2 + n3 a3 biến điểm thành điểm kia, nghĩa có điểm r’ mạng Bravais mà r ’ = r +R Theo xây dựng ô Wigner – Seitz phép tính tiến tinh thể ô chuyển hoàn toàn thành ô khác có mặt bên chung với nó, điểm chung với Vì điểm ô Wigner – Seitz tương đương với điêể nó: hai điểm nằm ô Wigner – Seitz có điểm tương đương năm ftrên mặt đối diện ô Do nhóm đối xứng điểm bên ô Wigner – Seitz gồm phép đối xứng ô Wigner – Seitz không thay đổi vị trí điểm này, nhóm đối xứng điểm mặt ô Wigner – Seitz tập hợp phép đối xứng ô Wigner – Seitz giữ nguyên vị trí điểm biến thành điểm tương đương Ta gọi biến đổi phép đối xứng điểm đặc biệt xét 1/6 Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương Tâm Γ ô Wigner – Seitz điểm đặc biệt mà nhóm đối xứng trùng với nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz Nhóm đối xứng điểm khác nói chung nhóm thực nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz Trong đoạn ta xét nhóm đối xứng số điểm đặc biệt không trùng với tâm ô Wigner – Seitz mạng hệ lập phương Trước hết ta xét mạng lập phương đơn Ô Wigner – Seitz hình lập phương Ngoài tâm Γ hình có đặc điểm đặc biệt sau đây: điểm đối xứng với mà X một, điểm đối xứng với mà Δ một, điểm mà đại diện , điểm mà đại diện R, 12 điểm mà đại diện M, 12 điểm mà đại diện T, 12 điểm mà đại diện ∑ , 24 điểm mà đại diện Z (xem hình 3.43) Ta dùng tên gọi điểm đặc biệt để ký hiệu nhóm đối xứng chúng Thí dụ nhóm đối xứng điểm X gọi nhóm X Nhóm đối xứng Oh hình lập phương gọi nhóm Γ Trước hết ta ý X có điểm tương đương nằm mặt bên đối diện, M có ba điểm tương đương nằm ba cạnh song song với cạnh chứa M Mọi phép đối xứng điểm X phép đối xứng điểm M đẳng cấu Trương tự điểm T điểm Δ có nhóm đối xứng, nghĩa nhóm T đẳng cấu với nhóm Δ Mọi phép đối xứng hình lập phương biến điể R thành điểm tương đương Do nhóm đối xứng điểm R trùng với nhóm Γ Xét ý nghĩa hình học phép đối xứng nhóm Oh bảng yếu tố nhóm Oh, ta thử lại nhóm X chứa tám yếu tố loại sau đây: E, Cz4, (Cz4) − ¯ xy , Cz2, Cx2, Cy2, Cxy , C2 Các yếu tố loại nhóm X tích yếu tố với phép nghịch đảo Trong số tám yếu tố loại có năm phép phản xạ gương: σxqua mặt phẳng x = 0, σyqua mặt phẳng y = 0, σzqua mặt phẳng z = 0, 2/6 Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương σxyqua mặt phẳng x = y, σx¯yqua mặt phẳng x = -y, Các yếu tố nhóm X chia thành mười lớp: Lớp CX1 gồm yếu tố đơn vị, lớp iCX1 gồm phép nghịch đảo i, Lớp CX2 gồm hai phép quay CZ4 (Cz4) − 1, lớp iCX2 gồm hai phép quay gương i(Cz4) i(Cz4) − 1, Lớp CX3 gồm phép quay Cx2, lớp iCX3 gồm phép phản xạ gương σz, Lớp CX4 gồm hai phép quay Cx2 Cy2, lớp iCX4 gồm hai phép phản xạ gương σz σy, ¯ xy X Lớp CX5 gồm hai phép quay Cxy C2 , lớp iC5 gồm hai phép phản xạ gương σxy σx¯y Chú ý trục quay C4 nằm mặt phẳng phản xạ gương nên hai phép quay ngược liên hợp với nằm lớp Điểm Δ nằm đoạn thẳng nối điểm Γ điểm X Do nhóm Γ nhóm nhóm X Nó có tám yếu tố, chia thành năm lớp: CΔ1 = CX1 , CΔ2 = CX2 , CΔ3 = CX3 , CΔ4 = CX4 , CΔ5 = CX5 Điểm Λ nằm ô Wigner – Seitz điểm tương đương ô Các yếu tố Oh giữ cố định điểm là: biến đổi đồng nhất, hai phép quay C3 C3− quanh mặt phẳng chứa ba trục toạ độ điểm Λ Nếu chọn Λ điểm mà x = y = z hình 3.43 trục quay đường thẳng x = y = z, mặt phẳng phản xạ gương mặt phẳng với phương trình sau đây: σxy:x = y, 3/6 Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương σyz:y = z, σzx:z = x Sáu yếu tố nói nhóm Λ chia thành ba lớp: a CΛ1 gồm yếu tố E, b CΛ2 gồm hai phép quay C3 C3− , c CΛ3 gồm ba phép phản xạ gương Trong phép quay C3 C3− mặt phẳng phản xạ gương biến thành mặt phẳng Vì mặt phẳng chứa trục quay nên hai phép quay ngược liên hợp với tạo thành lớp Điểm ∑ điểm tương đương bên hình lập phương Nhóm ∑ chứa yếu tố Nếu chọn ∑ mà z = 0, x = y hình 3.43 bốn yếu tố ∑ là: E, Cxy , σz , σxy Mỗi yếu tố lớp Điểm Z có điểm tương đương nằm mặt bên đối diện Nhóm Z có bốn yếu tố Nếu chọn Z nằm đường thẳng z = 0, y = yếu tố E, Cx2, σy, σz Điểm S có điểm tương đương Nhóm S có bốn yếu tố: chọn S hình 3.43 ta có yếu tố sau: E, Czx , σy, σzx Rõ ràng nhóm S đẳng cấu với nhóm ∑ Bây ta xét mạng lập phương tâm diện Ô Wigner – Seitz hình 12 mặt (xem hình 3.44) Các điểm đặc biệt Γ, Δ, Λ ∑ có nhóm đối xứng giống trường hợp mạng lập phương đơn Ngoài ra, có ba điểm đặc biệt mà ta cần ý: H, N P (hình 3.44) Lý luận giống trên, chứng minh nhóm đối xứng điểm H nhóm Oh, nghĩa nhóm H 4/6 Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương ¯ xy trùng với nhóm Oh Nhóm N có tám yếu tố, bốn yếu tố loại là: E, Cz2, Cxy , C2 , bốn yếu tố loại tích yếu tố loại với phép nghịch đảo Mỗi yếu tố N lớp Điểm P có ba điểm tương đương, ta nối liền bốn điểm tương đương với ta hình tứ diện Nhóm P nhóm Td mà biết Cuối ta xét mạng lập phương tâm thể Ô Wigner – Seitz hình 14 mặt (xem hình 3.45) Ngoài điểm đặc biệt Γ, X, Δ, Λ, ∑ có nhóm đối xứng giống trường hợp mạng lập phương đơn ta cần ý thêm điểm L Để xác định ta chọn L điểm mà x = y = z Nhóm đối xứng điểm L có 12 yếu tố, chia thành sáu lớp sau: a CL1 gồm E, iCL1 gồm i, 5/6 Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương xyz − b CL2 gồm Cxyz , (C3 ) xyz − iCL2 gồm iCxyz , i(C3 ) ¯ ¯ ¯ c CL3 gồm Cx2y, Cy2z Cz2x, iC3L gồm σxy, σyz σzx Nhóm đối xứng điểm khác thiết lập cách tương tự Để cho tiện ta dùng trục quay số phép quay lớp để ký hiệu lớp phép quay, dùng ký hiệu σ số phép phản xạ gương lớp để ký hiệu lớp phản xạ gương Thí dụ nhóm Γ ta dùng ký hiệu sau: C1 = E, C2 = 6C4, C3 = 3C24, C4 = 8C3, C5 = 6C2, i C1 = i, i C2 = i C4, i C3 = 3iC24, i C4 = i C3, iC5 = σ, nhóm X ta có CX1 = E, CX2 = 4C4, CX3 = C2, CX4 = 2C'2, CX5 = 2C''2, iCX1 = i, iCX2 = 4iC4, iCX3 = σ, iCX4 = 2σ', iCX5 = 2σ'' v.v… Sau nhóm đối xứng nói điểm đặc biệt ô Wigner – Seitz mạng hệ lập phương biểu diễn chúng sử dụng nghiên cứu đối xứng trạng thái điện tử tinh thể 6/6 .. .Nhóm đối xứng điểm đặc biệt ô Wigner - Seitz mạng hệ lập phương Tâm Γ ô Wigner – Seitz điểm đặc biệt mà nhóm đối xứng trùng với nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz Nhóm đối xứng điểm khác... chung nhóm thực nhóm đối xứng ô Wigner – Seitz Trong đoạn ta xét nhóm đối xứng số điểm đặc biệt không trùng với tâm ô Wigner – Seitz mạng hệ lập phương Trước hết ta xét mạng lập phương đơn Ô Wigner. .. 12 điểm mà đại diện ∑ , 24 điểm mà đại diện Z (xem hình 3.43) Ta dùng tên gọi điểm đặc biệt để ký hiệu nhóm đối xứng chúng Thí dụ nhóm đối xứng điểm X gọi nhóm X Nhóm đối xứng Oh hình lập phương