PHƯƠNG TRÌNH hàm TRÊN lớp hàm KHẢ VI

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI Trường THPT chuyên Biên Hòa I.Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa đạo hàm -Cho hàm số fx xác định trên a,b và x0 là một điểm thuộc khoảng đó... Một số k

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI

Trường THPT

chuyên Biên Hòa

I.Kiến thức cần nhớ

1.Định nghĩa đạo hàm

-Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng

đó Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x0 là

0

0 0

lim )

(

x f x f x

f

x

−

=

→

-Hàm số f(x) xác định trên khoảng K Khi đó f(x) có đạo hàm trên K nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K

- Đạo hàm bên phải của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng [x ,0 b)

kí hiệu là

( )+

0 ' x

f được xác định bởi ( )+

0 ' x

0

0 ) ( ) ( lim

x f x f

x

− +

→

- Đạo hàm bên tr ái của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng (a , x0]

kí hiệu là

( )−

0 ' x

f được xác định bởi ( )−

0 ' x

0

0) ( ) ( lim

x x

x f x f

o x

−

−

→

- Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 ⇔ ∃ ( )+

0 ' x

f , ( )−

0 ' x

f và ( )+

0 ' x

f = ( )−

0 ' x f

= ( )0

' x

f

2 Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b) Khi đó

f '( )x =0∀x∈( )a,b ⇔ f( )x = c∀x∈[ ]a,b (c: hằng số)

3 Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b) Khi đó

f '( )x = k∀x∈( )a,b ⇔ f ( )x = kx+c∀x∈[ ]a,b (k, c: hằng số)

4 f '( )x g(x) x [ ]a,b f(x) g(t)dt f(a)

x

a

+

=

⇔

∈

∀

và liên tục trên [a,b]

II Một số kĩ năng giải phương trình hàm trên lớp hàm khả vi.

1.Sử dụng các kết quả sau :

+/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trên (a,b) Khi đó

f '( )x =0∀x∈( )a,b ⇔ f( )x = c∀x∈[ ]a,b (c: hằng số)

+/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b) Khi đó

f '( )x = k∀x∈( )a,b ⇔ f ( )x = kx+c∀x∈[ ]a,b (k, c: hằng số) +/ f '( )x g(x) x [ ]a,b f(x) g(t)dt f(a)

x

a

+

=

⇔

∈

∀

định và liên tục trên [a,b]

VD1 : Tìm tất cả các hàm f,g :R+ → R có đạo hàm trên R+ thỏa mãn

f ' (x) = −g(x x) ; g' (x) = − f(x x) ∀x∈R+

Giải : Ta có

[ x.( f(x) + g(x) ) ] ’ = x( f’(x) + g’(x))+f(x) + g(x)

= x(−g )(x x

x

x

f( )

− )+f(x) + g(x) = 0 ∀x > 0

⇒ x[f(x) + g(x) ] = a ∀x >0 ( a : hằng số)

⇒ f(x) + g(x) =a x ∀x >0 (1)

Tương tự , có ( ) ( ) 0

'

=







x

x g x f

∀x >0 ⇒f(x) –g(x) =bx ∀x >0 (b: hằng số) (2)









 +

x

a x

f

2

1 )









 −

x

a x

g

2

1 ) ( ∀x >0 ( a ,b là hằng số ∈

R)

VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn

f(x) = f’’(x) ∀x∈R

Giải : Ta có

f(x) = f’’(x) ⇔ f(x)- f’(x) + f’(x)- f’’(x) = 0

Đặt g(x) = f(x)- f’(x) ⇒ g(x) + g’(x) = 0 ⇔ g(x) ex+ g’(x) ex = 0 ⇔( g(x) ex)’ = 0 ⇔ g(x) ex = c ( c : Hằng số) ⇔ f(x)- f’(x) =c.e-x

⇔ f(x)e-x - f’(x).e-x =c.e-2x

⇔ (f(x)e-x)’ = c.e-2x

⇔ f(x)e-x = -2c e-2x +b

⇔f(x) = a.e-x +bex ( a,b: hằng số) ∀x∈R

Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) = a.e-x +bex ∀x∈R

VD3: Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(x)sinx – f(x)cosx = sin2x ∀x∈R (1)

Giải: Xét x∈(kπ , (k + 1 ) π)

x

x f x

x f

+

=

⇒

=













sin

) ( 1

sin

) ( '

⇔ f (x) = (x+C k)sinx ∀x∈(kπ , (k + 1 ) π)

Đặt g(x) = Cksinx = f(x)-x.sinx

Vì f(x) có đạo hàm trên trên R nên g(x) cũng có đạo hàm trên R

' ' + = − ⇒ − 1 = − 1 k−

k k

k

C C

k g k

⇒ Ck = Ck-1 ∀k ⇒ Đặt Ck =a ∀k ( a: hằng số)

⇒ f(x) = (a+ x)sinx ∀x∈R

Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) =(a + x)sinx ∀x∈R

2.Sử dụng định nghĩa đạo hàm

VD1: Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y)=f(x) +f(y) +2xy ∀x,y∈R (1)

Giải: +/ Cho x = y = 0 ⇒ f(0) = 0

+/ Với y≠0 Với mỗi x∈R ta có

f(x+y)-f(x)=f(y) +2xy x

y

f y f y

x f y x f

2 ) 0 ( ) ( ) ( ) (

+

−

=

− +

Cho y→0 khi đó (2) ⇒ f '( )x = f '( )0 + 2x = 2x+a

( với a = f’(0)) ⇒ f(x) =x2 +ax+b

Vì f(0) = 0 nên b=0 ⇒ f(x) = x2 +ax ∀x∈R, thử lại hàm số này thỏa mãn Vậy f(x) = x2 +ax ∀x∈R

VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn ( ) 1 ( )( ) (( ))

y f x f

y f x f y x f

−

+

=

) 0 ( ) ( 1

) 0 ( ) ( )

−

+

=

f x f

f x f x f

Từ (1) ( ) ( ) ( )11 ( )( () )

2

y f x f

x f y

f x f y x f

−

+

=

− +

) ( ) ( 1

) ( 1 ) ( ) ( )

y f x f

x f y

y f y

x f y x f

−

+

=

− +

(2)

Cho y →0 ⇒ f y y f a const

y

=

=

=

→

: ) 0 ( )

(

0

(Vì f(0) = 0)

Khi đó (2) ⇒ f’(x) = a( 1+f2(x)) a

x f

x f

= +

⇔

) ( 1

) (

2

'

x f

x

t

+

=

= +

0 0

2

'

)

( 1

) (

⇒ f(x) = tan(ax+b)

Thử lại ⇒ b = 0 Vậy f(x) = tan(ax) ∀x∈R , a là hằng số bất kì

(*) Chú ý: Khi hàm số cần tìm chưa có đạo hàm thì ta phải chứng minh

nó có đạo hàm trên tập tương ứng.

VD3: Tìm tất cả các hàm f :R → R thỏa mãn f(x) − f(y)2 ≤ x− y3 ∀x,y∈R

(1)

y x

y f x f

−

≤

−

) (

x y

y x

y f x f

−

≤

−

−

≤

Cho y→x ⇒ ( ) ( ) → 0

−

−

y x

y f x f

⇒ f '(x) =0 ⇒ f (x) = a: =const ∀x∈R

Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn Vậy f(x) = a ∀x∈R

VD4: Tìm tất cả các hàm f,g: R → R, thỏa mãn

f (y) − f(x) − g(x)(y− x) ≤ M y− x m+2 (1) ∀x,y∈R( M ,m là 2

số dương cho trước)

Giải:

+/ Thay y = x và x= y ta có f (x) − f(y) − g(y)(x− y) ≤ M x− y m+2 (2) +/ Từ (1) và (2) ta có (g(x) −g(y))(x− y) =

) )(

( ) ( ) ( ) )(

( ) (

)

≤ f (y) − f (x) − g(x)(y− x) + f (x) − f (y) − g(y)(x− y)

≤ M x− y2+m

2

x

y

x g

y

−

≤

−

2 ) ( )

(

Cố định x, cho y→ x ⇒ ( ) ( ) → 0

−

−

x y

x g y g

0 ) (

⇒ g x

⇒ g(x) = a :=const ∀x∈R

+/ Thay g(x) = a vào (1) ta có f (y) − f (x) −a(y− x) ≤ M y− x m+2

⇔ a M y x m

x y

x f y

−

≤

−

−

) (

Cố định x, cho y→ x ⇒ ( ) ( )− → 0

−

x y

x f y f

⇒ f ' (x) =a ⇒ f(x) = ax +b ( b : hằng số)

Thử lại hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = a thấy thỏa mãn

Vậy f(x) = ax + b và g(x) = a ∀x∈R

VD5: Tìm tất cả các hàm f :R → R thỏa mãn

i) f(x+ y) ≤ f(x) + f(y) ∀x,y∈R (1)

ii) lim ( ) 1

x f

x (2)

Giải: Từ (1) ta có f(x) = f((x+y)+(-y)) ≤ f(x+y) + f(-y)

y

y f y

y f y x f y

y f

y f x f y x f y f

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

≤

− +

≤

−

−

⇒

≤

− +

≤

−

−

⇒

với y > 0

−

−

⇒

y

y f

y và ( ) → 1

y

y f

( do (2))

y

y f y x f

y

) ( ) (

0

+

→

⇒

+

= 1 ⇒ ∃f ' (y+ ) = 1

Tương tự xét y < 0 ⇒ ∃f ' (y− ) = 1

Do đó ∃f ' (y) = 1 ∀y∈R ⇒ f(y) = y + c ( c: hằng số)

Thử lại ta có c = 0

Vậy f(x) = x ∀x∈R

3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo từng biến

VD1 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) +f(y) ∀x,y∈R

Giải : Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo biến x , y ta có

f’(x+y) = f’(x) ∀x,y∈R

f’(x+y) = f’(y) ∀x,y∈R

⇒f’(x) = f’(y) ∀x,y∈R ⇒ f’(x) = a ∀x∈R ( a : hằng số) ⇒ f(x) = ax +b

Thử lại ⇒ b = 0 Vậy f(x) = ax ∀x∈R

VD2: : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) f(y) ∀x,y∈R (1)

Giải : +/ Dễ thấy f(x) = 0 là một nghiệm

+/ Nếu ∃x0 ∈R, f(x0) ≠ 0

Ta có f(x0) = f(x + (x0-x)) = f(x).f(x0-x)≠ 0 ∀x∈R

⇒ f(x)≠ 0 ∀x∈R

Mặt khác từ (1) ta có

2

2 )

(x =fx

f >0 ∀x∈R

Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có

f’(x+y) = f’(x).f(y) ∀x,y∈R

f’(x+y) = f(x).f’(y) ∀x,y∈R

⇒f’(x).f(y)= f(x).f’(y) ∀x,y∈R

)

(

)

(

'

x

f

x

f

) (

) ( '

y f

y f

∀x,y∈R

) (

) ( '

x f

x f

⇒ = a:= const

⇒ [ln f (x)] ' = a⇒ f (x) = e ax+b ( b: hằng số) ∀x∈R

Thử lại ⇒ b = 0 Vậy f(x) = 0 hoặc f(x) =e ax ∀x∈R

VD3: Tìm tất cả các hàm f : *

+

R → R có đạo hàm trên *

+

R thỏa mãn f(xy) = f(x) +f(y) ∀x, y∈ *

+

R (1)

Giải:

Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có

yf’(xy) = f’(x) ∀x, y∈R+*

xf’(xy) = f’(y) ∀x, y∈R+*

) ( )

(

.f ' x y f ' y

⇒ ∀x,y∈R+* ⇒ x.f ' (x) =a :=const *

+

∈

∀x R

⇒ f(x) =a lnx+b *

+

∈

∀x R (b:= const) Thử lại ⇒ b = 0 Vậy f(x) =a lnx *

+

∈

∀x R

VD4 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy ∀x,y∈R (1)

Giải: +/ Cho x = y = 0 ⇒ f(0) = 0

+/ Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có

f’(x+y) = f’(x) +2y ∀x,y∈R

f’(x+y) = f’(y) +2x ∀x,y∈R

⇒f’(x) -2x = f’(y) -2y ∀x,y∈R ⇒ f’(x) -2x = a ∀x∈R ( a : hằng số) ⇒ f(x) = x2 + ax +b

Thử lại ⇒ b = 0 Vậy f(x) = x2 + ax ∀x∈R

VD5 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn

x y R x y

x y

x f y f y x

−

−

=











2

'

(1)

Giải: +/ Trong (1) thay x bởi x-y và y bởi x +y ta có

( ) , ; 0

2

) ( ) (

y

y x f y x f x

2

) ( )

' '' = + − − ∀x y∈R y ≠

y

y x f y x f x f

Do (2) nên f x y f x y y f x

2

) ( ) 2 ( ) (

và f x y f x f y x y

2

) ( ) ( ) (

4

) 2 ( ) ( 2 ) 2 (

2

y

y x f x f y x f x

f

4

) 2 ( ) ( 2 ) 2 (

y

y x f x f y x f x









y

y x f y x f y

y x f y x f y

y x f y x f

) 3 ( ) ( 2

) ( ) ( 2 2

) ( ) 3 ( 4

1

2

= (f x y f x y f x y f x y)

y ( 3 ) 3 ( ) 3 ( ) ( 3

8

1









 +

−

=

−

2 )

( ) ( )

f x y x f y f

⇒ f(x+ 3y) − f(x− 3y) = 6yf'( )x

và f(x+ y) − f(x− y) = 2yf '( )x

Thay vào (3) ⇒ f’’’(x) = 0 ∀x∈R

⇒ f’’(x) = a ∀x∈R

⇒ f’(x) = ax+b ∀x∈R

⇒ f(x) = ax2 +bx+c

2

1

R

∀

Thử lại thỏa mãn vậy f(x) = ax2 +bx+c

2

1

R

x∈

∀

III Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho h > 0 Tìm tất cả các hàm f :R → R thỏa mãn

f(x+h)− f (x −h) < h2∀x∈R

Bài 2 Tìm hàm f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn

f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) ∀x,y∈R

Bài 3 Cho n là một số tụ nhiên Tìm hàm f(x) không âm , có đạo hàm

trên R thỏa mãn

2 ( )2 ( )

2

f y

x f

n















Bài 4 a/Cho f :R → R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn

f’’(x) + k2f(x) = 0 ∀x∈R, k>0

CMR: f(x) = Acos kx + B sinkx ∀x∈R, k>0 ,( A,B: hằng số)

b/ Cho f :R → R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn

f’’(x) - k2f(x) = 0 ∀x∈R , k>0

CMR: f(x) = Aekx+ B e-kx ∀x∈R, k>0 ,( A,B: hằng số)

Bài 5 Cho α>0 Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f ( x ( )y)

y x

y f x

f = α + − α

−

)

R y

∀ ,

Bài 6 Tìm f :R → R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f(x) = - f’’(x)

R

x∈

∀

Bài 7.Cho hàm f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên R thỏa mãn

( ) 1

' x ≤

f ∀x∈R

CMR: ∃x∈R sao cho f’’(x) = 0

Bài 8: Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác hằng số và có đạo hàm trên R thỏa mãn

f’(0) =0 và

i) f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) ∀x,y∈R

ii) g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y) ∀x,y∈R

CMR : f2(x) + g2(x) = 1 ∀x∈R