Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . 10-5. HEÄ THOÁNG ĐIEÀU KHIEÅN TOÁI ÖU. Trong phaàn naøy chuùng ta seõ xem xeùt thieát keá HT ĐK oån ñònh döïa treân chæ soá thöïc hieän toaøn phöông. HT ĐK maø chuùng ta xem xeùt ôû ñaây laø: x& = Ax + Bu (10-122) Trong vieäc thieát keá HT ñieàu khieån, chuùng ta thöôøng quan taâm vieäc choïn vector ĐK u(t) ñeå cho moät chæ soá thöïc hieän toaøn phöông cho tröôùc laø toái thieåu. Ñieàu naøy coù theå chöùng minh vôùi moät chæ soá thöïc hieän toaøn phöông: J = ∫ 0∞ L( x, u ) dt vôùi L(x, u) laø moät haøm toaøn phöông hay haøm Hermitian cuûa x vaø u seõ taïo ra moät quy luaät ĐK tuyeán tính. Töùc laø: u (t ) = − K x(t ) vôùi K laø ma-traän r × n hay Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 71 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . u1 u 2 . =− . . u r 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . k11 k 21 . . . k r1 k12 k 22 . . . kr2 . . . k1n x1 . . . k 2 n x2 . . . . . . . . . k r n xn Do ñoù, thieát keá HT ĐK toái öu vaø HT ñieàu chænh toái öu döïa treân chæ soá thöïc hieän toaøn phöông laø xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa ma-traän K. Xeùt vaán ñeà xaùc ñònh vector ĐK toái öu u(t) cho HT ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (10 – 122) vaø chæ soá thöïc hieän cho bôûi: J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt (10-123) vôùi Q laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hoaëc laø ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông (hoaëc baùn xaùc ñònh döông), R laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hoaëc ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông, u khoâng bò raøng buoäc. HT ĐK toái öu naøy laø cöïc tieåu hoùa chæ soá thöïc hieän. HT nhö vaäy laø oån ñònh. Chuùng ta seõ ñöa ra kyõ thuaät döïa treân phöông phaùp 2 Liapunov. Chuù yù raèng trong nghieân cöùu vaán ñeà ĐK toái öu toaøn phöông sau chuùng ta söû duïng chæ số thöïc hieän toaøn phöông phöùc (chæ soá thöïc hieän Hermitian) hôn laø söû duïng chæ soá Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 72 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . thöïc hieän toaøn phöông thöïc vaø ma-traän thöïc vì daïng tröôùc bao haøm caû daïng sau.Vôùi HT vector thöïc vaø ma-traän thöïc thì ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt chính laø ∫ 0∞ ( x T Qx + u T Ru ) dt Toái öu hoùa HT ĐK theo phöông phaùp 2 Liapunov. Theo phöông phaùp coå ñieån thì HT ĐK tröôùc heát ñöôïc thieát keá vaø sau ñoù kieåm ñònh laïi tính oån ñònh cuûa noù. Trong luùc ñoù, ôû ñaây ñieàu kieän oån ñònh ñöôïc coâng thöùc hoùa tröôùc vaø sau ñoù HT ñöôïc thieát keá trong nhöõng giôùi haïn naøy. Neáu phöông phaùp 2 cuûa Liapunov ñöôïc söû duïng ñeå taïo ra daïng cô baûn thieát keá boä ĐK toái öu thì chuùng ta ñöôïc ñaûm baûo raèng HT seõ laøm vieäc, töùc laø tín hieäu ra cuûa HT seõ lieân tuïc ñöôïc ĐK ñöa veà giaù trò mong muoán cuûa noù. Vì vaäy HT ñöôïc thieát keá coù ñaëc tính oån ñònh. Vôùi phaàn lôùn HT ñieàu khieån, moái quan heä tröïc tieáp coù theå ñöôïc chæ ra giöõa caùc haøm Liapunov vaø caùc chæ soá thöïc hieän toaøn phöông ñöôïc söû duïng trong toång hôïp HT ĐK toái öu. Chuùng ta baét ñaàu kyõ thuaät Liapunov trong giaûi quyeát vaán ñeà toái öu hoùa baèng vieäc xeùt moät tröôøng hôïp ñôn giaûn ñöôïc bieát nhö laø vaán ñeà toái öu hoùa thoâng soá. Vaán ñeà toái öu hoùa thoâng soá ñöôïc giaûi quyeát döïa treân phöông phaùp 2 cuûa Liapunov. N/cöùu veà moät moái quan heä tröïc tieáp giöõa caùc haøm Liapunov vaø chæ soá thöïc hieän toaøn phöông vaø giaûi quyeát vaán ñeà toái öu hoùa thoâng soá söû duïng moái quan heä naøy. Xeùt HT: Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 73 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . x& = Ax Vôùi taát caû caùc giaù trò rieâng cuûa A coù phaàn thöïc aâm hoaëc goác toïa ñoä x = 0 laø oån ñònh tieäm caän. (goïi ma-traän A laø ma-traän oån ñònh). Chuùng ta giaû thieát raèng ma-traän A lieân quan ñeán caùc thoâng soá ñieàu chænh. Ñieàu mong muoán laø toái thieåu hoùa chæ soá thöïc hieän sau: J = ∫ 0∞ x ∗Qx dt vôùi Q laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hay ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông (hoaëc baùn xaùc ñònh döông). Vì theá vaán ñeà naøy trôû thaønh vieäc xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa caùc thoâng soá ñieàu chænh ñeå toái thieåu hoùa chæ soá thöïc hieän. Chöùng minh raèng haøm Liapunov coù theå ñöôïc söû duïng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy. Giaû söû : x ∗Qx = − d ∗ ( x Px) dt vôùi P laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hay ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông. Khi ñoù ta coù x ∗Qx = − x& ∗ Px − x ∗ Px& = − x ∗ A∗ Px − x ∗ PAx = − x ∗ ( A∗ P + PA) x Baèng caùch söû duïng phöông phaùp 2 Liapunov, chuùng ta bieát raèng vôùi Q cho tröôùc, toàn taïi P neáu A laø oån ñònh ñeå cho: A∗ P + PA = −Q Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. (10-124) 74 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Vì theá chuùng ta coù theå xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa P töø phöông trình naøy. Chæ soá thöïc hieän J coù theå ñöôïc öôùc löôïng. ∞ J = ∫ ∞0 x ∗Qxdt = − x ∗ Px = − x ∗ (∞) Px(∞) + x ∗ (0) Px(0) 0 Vì taát caû caùc giaù trò rieâng cuûa A coù phaàn thöïc aâm, chuùng ta seõ coù x(∞) → 0 . Vì vaäy: J = x ∗ (0) Px(0) (10-125) Vì chæ soá thöïc hieän J coù theå coù ñöôïc cho döôùi daïng ñieàu kieän ban ñaàu x(0) vaø P, lieân heä vôùi A vaø Q bôûi phöông trình (10-124). Chaúng haïn, neáu moät thoâng soá HT ñöôïc chænh ñeå toái thieåu hoùa chæ soá thöïc hieän J, khi ñoù noù coù theå ñöôïc hoaøn thaønh bôûi vieäc toái thieåu hoùa x ∗ (0) Px(0) theo thoâng soá. Vì x(0) laø ñieàu kieän ñaàu cho tröôùc vaø Q cuõng cho tröôùc. P laø haøm cuûa caùc phaàn töû cuûa A. Vì vaäy quaù trình toái thieåu hoùa naøy seõ taïo keát quaû toái öu cuûa caùc thoâng soá ñieàu chænh. Ñieàu quan troïng caàn löu yù laø giaù trò toái öu cuûa thoâng soá naøy noùi chung phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän ñaàu x(0). Tuy nhieân, neáu x(0) chæ bao goàm moät phaàn töû khaùc 0, chaúng haïn x1 (0) ≠ 0 , vaø caùc ñieàu kieän ñaàu khaùc baèng 0, thì giaù trò toái öu cuûa thoâng soá laø khoâng phuï thuoäc vaøo giaù trò soá cuûa x1(0). Ví duï 10-9. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 75 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Xeùt HT ñöôïc veõ treân hình 10-22. Xaùc ñònh giaù trò cuûa heä soá taét daàn ζ > 0 ñeå cho khi HT ñöôïc kích thích bôûi tín hieäu vaøo step r(t) = 1(t) thì chæ soá thöïc hieän sau laø toái thieåu: J = ∫ 0∞+ (e 2 + µ e& 2 )dt ( µ > 0) vôùi e laø tín hieäu sai soá vaø ñöôïc cho bôûi e = r – c. HT naøy ñöôïc giaû söû xuaát phaùt töø traïng thaùi nghæ. r e + - c 1 s(s + 2ζ ) Hình 10-22. HT ñieàu khieån Töø hình 10-22, ta coù: C ( s) 1 = 2 R( s ) s + 2ζ s + 1 hay c&& + 2ζ c& + c = r Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 76 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . hay 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . e&& + 2ζ e& + e = &r& + 2ζ r& Vì tín hieäu vaøo r(t) laø böôùc ñôn vò, chuùng ta coù r&(0+) = 0, &r&(0+) = 0 . Vì vaäy vôùi t ≥ 0 + , chuùng ta coù: e&& + 2ζ e& + e = 0, e(0+ ) = 1, e&(0+ ) = 0 Xaùc ñònh caùc bieán traïng thaùi nhö sau: x1 = e x2 = e& Khi ñoù phöông trình traïng thaùi seõ laø: x& = Ax vôùi 1 0 A= − 1 − 2ζ Chæ soá thöïc hieän J coù theå ñöôïc vieát nhö sau: J = ∫ 0∞+ (e 2 + µ e& 2 )dt = ∫ 0∞+ ( x12 + µ x 22 )dt = ∫ 0∞+ [x1 1 0 x1 x2 ] dt 0 µ x 2 = ∫ 0∞+ x T Qxdt Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 77 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . vôùi x1 e x= = , x2 e& 1 0 Q= 0 µ Vì A laø moät ma-traän oån ñònh (xem phöông trình 10-125), giaù trò cuûa J coù theå ñöôïc cho: J = x T (0+) Px(0+) vôùi P ñöôïc xaùc ñònh töø: (10-126) AT P + PA = −Q Töø (10-126), chuùng ta vieát laïi: 0 − 1 p11 1 − 2ζ p 12 p12 p11 + p 22 p12 p12 0 1 −1 0 = p 22 − 1 − 2ζ 0 − µ Khai trieån phöông trình naøy ta ñöôïc phöông trình sau: − 2 p12 = −1 p11 − 2ζ p12 − p 22 = 0 2 p12 − 4ζ p 22 = − µ Giaûi ba phöông trình naøy vôùi pi j , ta coù: Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 78 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . p p = 11 p12 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . 1+ µ ζ + p12 4ζ = 1 p 22 2 1 2 1 + µ 4ζ Thay theá ñieàu kieän ñaàu x1(0+) = 1, x2(0) = 0 vaøo phöông trình sau cuøng, chuùng ta coù: J = x T (0+) Px(0+) 1+ µ 2 1+ µ 2 = ζ + x 2 (0+ ) x1 (0+ ) + x1 (0+ ) x2 (0+) + 4ζ 4ζ Ñeå toái thieåu hoùa J theoξ , ñaët ∂J / ∂ζ = 0 1+ µ ∂J = 1− =0 2 ∂ζ 4ζ Hay ζ = 1+ µ 2 Vì vaäy giaù trò toái öu cuûa ζ laø 1 + µ / 2 . Chaúng haïn neáu µ = 1 thì giaù trò toái öu cuûa ζ laø 2 / 2 = 0.707 . Vaán ñeà ĐK toái öu toaøn phöông. Baây giôø chuùng ta seõ xeùt vaán ñeà ĐK toái öu cuûa heä thoáng. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 79 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . x& = Ax + Bu (10-127) Xaùc ñònh ma-traän K cuûa vector ĐK toái öu u (t ) = − Kx(t ) (10-128) ñeå toái thieåu hoùa chæ soá thöïc hieän J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt (10-129) vôùi Q laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hay ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông (hoaëc baùn xaùc ñònh döông) vaø r laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hay ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông. Chuù yù raèng thaønh phaàn thöù hai treân veá phaûi cuûa phöông trình (10-129) giaûi thích cho tieâu toán naêng löôïng cuûa tín hieäu ñieàu khieån. Ma-traän Q vaø R xaùc ñònh möùc ñoä quan troïng töông ñoái cuûa sai leäch vaø toån hao cuûa naêng löôïng. Giaû thieát u(t) laø khoâng bò giôùi haïn. Nhö seõ thaáy sau naøy, quy luaät ĐK tuyeán tính (10-128) laø quy luaät ĐK toái öu. Vì vaäy, neáu caùc phaàn töû chöa bieát cuûa ma-traän K ñöôïc xaùc ñònh ñeå toái thieåu hoùa chæ soá thöïc hieän, thì u(t) = - Kx(t) laø toái öu cho traïng thaùi xuaát phaùt x(0) baát kyø. Sô ñoà khoái veõ caáu truùc toái öu treân hình 10-23. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 80 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . u 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . x& = Ax + Bu x -K Hình 10-23. HT ĐK toáâi öu. Baây giôø chuùng ta giaûi quyeát vaán ñeà toái öu hoùa. Thay (10-128) vaøo (10-127), ta coù: x& = Ax − BKx = ( A − BK ) x Giaû söû raèng ma-traän A - BK laø oån ñònh hoaëc giaù trò rieâng cuûa A – BK coù phaàn thöïc aâm. Giaû söû thay (10-128) vaøo (10-129): J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + x ∗ K ∗ RKx)dt = ∫ 0∞ x ∗ (Q + K ∗ RK ) xdt Ñaët x ∗ (Q + K ∗ RK ) x = − d ∗ ( x Px) dt Khi ñoù ta coù x ∗ (Q + K ∗ RK ) x = − x& ∗ Px − x ∗ Px& = − x ∗ [( A − BK ) ∗ P + P( A − BK )]x So saùnh hai veá cuûa p/trình naøy vaø chuù yù raèng phöông trình phaûi ñuùng vôùi moïi x. ( A − BK ) ∗ P + P( A − BK ) = −(Q + K ∗ RK ) Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. (10-130) 81 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Baèng phöông phaùp 2 Liapunov, neáu A – BK laø moät ma-traän oån ñònh, toàn taïi moät matraän xaùc ñònh döông P thoûa phöông trình (10-130). Söû duïng kyõ thuaät töông töï ñeå ruùt ra phöông trình (10-125) vaø ñeå yù raèng x(∞) = 0 , chæ soá thöïc hieän coù theå ñöôïc vieát. J = x ∗ (0) Px(0) (10-131) Ñeå coù nghieäm cuûa vaán ñeà ĐK toái öu toaøn phöông, ta tieán haønh nhö sau: Vì R ñöôïc giaû thieát laø ma-traän ñoái xöùng thöïc hay ma-traän Hermitian xaùc ñònh döông, chuùng ta coù theå vieát: R = T ∗T vôùi T laø ma-traän nonsingular, khi ñoù phöông trình (10-130) coù theå vieát. ( A∗ − K ∗ B ∗ ) P + P( A − BK ) + Q + K ∗T ∗TK = 0 vaø coù theå vieát laïi A∗ P + PA + [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P] − PBR −1 B ∗ P + Q = 0 Vieäc toái thieåu hoùa J theo K yeâu caàu phaûi toái thieåu hoùa: x ∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]x theo K. (xem baøi taäp A – 10 –17). Vì bieåu thöùc cuoái cuøng naøy laø khoâng aâm neân cöïc tieåu xaûy ra khi noù baèng 0, hay TK = (T ∗ ) −1 B ∗ P Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 82 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . vì vaäy 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . K = T −1 (T ∗ ) −1 B ∗ P = R −1 B ∗ P (10-132) (10-132) cho ma-traän toái öu K. Vì vaäy, ĐK toái öu toaøn phöông vôùi chæ soá thöïc hieän ñöôïc cho ôû phöông trình (10-129) laø tuyeán tính vaø ñöôïc ñöa ra bôûi u (t ) = − Kx(t ) = − R −1 B ∗ Px(t ) Ma-traän P trong (10-132) phaûi thoûa phöông trình (10-130) hay phöông trình toái giaûn sau: A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0 (10-133) Phöông trình (10-133) ñöôïc goïi laø phöông trình ma-traän toái giaûn Riccati. Caùc böôùc thieát keá nhö sau: 1. Giaûi phöông trình (10-133), phöông trình ma-traän toái giaûn Riccati, cho ma-traän P. 2. Thay ma-traän P naøy vaøo phöông trình (10-132), keát quaû ma-traän K laø ma-traän toái öu. Neáu ma-traän A – BK laø oån ñònh, thì phöông phaùp naøy luoân cho keát quaû ñuùng. Noù coù theå ñöôïc chöùng minh raèng yeâu caàu A – BK laø ma-traän oån ñònh laø töông ñöông vôùi haïng cuûa Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 83 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Q1 / 2 1/ 2 Q A . . . 1 / 2 n−1 Q A (10-134) baèng n. Ñieàu kieän naøy ñöôïc aùp duïng ñeå kieåm tra ma-traän A – BK laø oån ñònh hay khoâng. Moät kyõ thuaät khaùc ñeå xaùc ñònh ma-traän hệ số phaûn hoài toái öu K nhö sau: 1. Xaùc ñònh ma-traän P thoûa phöông trình (10-130) nhö laø moät haøm cuûa K. 2. Thay theá ma-traän P vaøo phöông trình (160-131). Chæ soá thöïc hieän seõ laø haøm cuûa K. 3. Xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa K ñeå ño chæ soá thöïc hieän J laø toái thieåu. Vieäc toái thieåu hoaù J theo caùc phaàn töû k i j cuûa K coù theå hoaøn thaønh baèng vieäc ñaët ∂ J ∂ k i j = 0 vaø giaûi cho caùc giaù trò toái öu cuûa k i j . Ñeå hieåu theâm chi tieát cuûa kyõ thuaät thieát keá naøy, xem BT A – 10 – 18 vaø A – 10 – 19. Khi soá caùc phaàn töû k i j laø khoâng nhoû, thì phöông phaùp naøy laø khoâng thuaän tieän. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 84 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Chuù yù neáu chæ soá thöïc hieän ñöôïc cho ôû daïng vector ra thay cho vector traïng thaùi, töùc laø: J = ∫ 0∞ ( y ∗Qy + u ∗ Ru )dt thì chæ soá naøy coù theå söûa ñoåi baèng caùch söû duïng phöông trình ra y = Cx thaønh J = ∫ 0∞ ( x ∗C ∗QCx + u ∗ Ru )dt vaø caùc böôùc thieát keá ñöôïc ñöa ra ôû treân coù theå aùp duïng ñeå xaùc ñònh ma-traän toái öu K. VÍ DUÏ 10-10. Xeùt HT ñöôïc veõ treân hình 10-24. Giaû thieát tín hieäu ĐK laø: u (t ) = − Kx(t ) Xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài K ñeå cho chæ soá thöïc hieän sau laø cöïc tieåu. J = ∫ 0∞ ( x T Qx + u 2 )dt Vôùi 1 0 Q= 0 µ ( µ ≥ 0) Töø hình 10-24, phöông trình traïng thaùi cuûa ñoái töôïng laø: x& = Ax + Bu Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 85 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . Vôùi 0 1 A= , 0 0 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . 0 B= 1 Chuù yù raèng 1 Q= 0 0 1 µ 0 0 µ Chuùng ta tìm haïng cuûa ma-traän ôû phöông trình (10-134), hay 1 Q 1 / 2 0 1/ 2 = Q A 0 0 0 µ 1 0 laø 2. Vì vaäy A – BK laø ma-traän oån ñònh vaø phöông phaùp Liapunov trình baøy trong muïc naøy cho ta keát quaû ñuùng. Ñoái töôïng u ∫ x2 ∫ x1 -K Hình 10-24. HT ĐK Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 86 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Chuùng ta seõ minh hoïa vieäc söû duïng phöông trình ma-traän giaûn öôùc Riccati trong thieát keá HT toái öu. Baây giôø chuùng ta giaûi phöông trình (10-133) A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0 Chuù yù raèng ma-traän A laø ma-traän thöïc vaø ma-traän Q laø ma-traän ñoái xöùng thöïc, matraän P laø ñoái xöùng thöïc, vì vaäy phöông trình treân coù theå vieát 0 0 p11 1 0 p 12 p12 p11 + p 22 p12 p − 11 p12 p12 0 1 p 22 0 0 p12 0 p11 [ 1 ][ 0 1 ] p p 22 1 12 p12 1 0 0 0 + = p 22 0 µ 0 0 hay 0 p 11 0 0 + p12 0 2 p11 p12 − p12 p12 p 22 p12 p 22 1 0 0 0 + = 0 0 2 0 µ p 22 Ta ruùt ra ñöôïc ba phöông trình sau: 2 1 − p12 =0 p11 − p12 p 22 = 0 2 µ + 2 p12 − p 22 =0 Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 87 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Giaûi caùc phöông trình naøy ta coù (löu yù P xaùc ñònh döông) p P = 11 p12 p12 µ + 2 = p 22 1 µ + 2 1 Xem phöông trình (10-132), ma-traän heä soá phaûn hoài toái öu K laø: K = R −1B∗ P p = [1][0 1] 11 p12 p12 = [ p12 p22 [ p22 ] = 1 µ + 2] Vì theá tín hieäu ĐK toái öu laø: u = − Kx = − x1 − µ + 2x2 (10-135) Chuù yù raèng quy luaät ĐK ñöôïc ñöa ra bôûi (10-135) taïo ra moät keát quaû toái öu vôùi traïng thaùi ñaàu baát kyø döôùi chæ soá thöïc hieän cho tröôùc. Hình 10-25 laø sô ñoà khoái cho HT naøy. u ∫ x2 x1 ∫ µ +2 Hình 10-25. ĐK toái öu ñoái töôïng veõ treân hình 10-24 Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 88 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . Keát luaän 1. Vôùi traïng thaùi ñaàu x(t0) baát kyø, vaán ñeà ĐK toái öu laø tìm moät vector cho pheùp u(t) chuyeån traïng thaùi naøy tôùi mieàn mong muoán cuûa khoâng gian traïng thaùi vaø vôùi noù chæ soá thöïc hieän laø cöïc tieåu. Vôùi söï toàn taïi cuûa vector ĐK toái öu u(t), HT phaûi ĐK ñöôïc traïng thaùi ñaày ñuû. 2. HT cöïc tieåu (hoaëc cöïc ñaïi) chæ soá thöïc hieän ñöôïc choïn theo ñònh nghóa toái öu. Maëc duø boä ĐK coù theå khoâng laøm vieäc ñeå toái öu trong nhieàu tröôøng hôïp thöïc teá, ñieåm quan troïng laø vieäc thieát keá döïa treân chæ soá thöïc hieän toaøn phöông taïo ra moät HT oån ñònh. 3. Ñaëc tính cuûa quy luaät ĐK toái öu döïa treân chæ soá thöïc hieän toaøn phöông laø haøm tuyến tính cuûa caùc bieán traïng thaùi, ñieàu naøy nguï yù laø chuùng ta caàn phaûn hoài laïi taát caû caùc bieán traïng thaùi. Ñieàu naøy yeâu caàu taát caû caùc bieán nhö vaäy laø coù theå phaûn hoài. Neáu khoâng phaûi taát caû caùc bieát ñeàu phaûn hoài ñöôïc thì khi ñoù chuùng ta caàn söû duïng moät boä quan saùt traïng thaùi ñeå öôùc löôïng nghieäm bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc vaø söû duïng nhöõng giaù trò öôùc löôïng naøy ñeå taïo tín hieäu ĐK toái öu. 4. Khi HT ĐK toái öu ñöôïc thieát keá theo thôøi gian (time – domain), thì caàn phaûi nghieân cöùu ñaëc tính ñaùp öùng taàn soá ñeå buø aûnh höôûng cuûa nhieãu. Ñaëc tính ñaùp öùng taàn soá cuûa HT phaûi suy giaûm cao ôû daûi taàn soá coù nhieãu vaø thaønh phaàn coäng höôûng. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 89 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp . . . 10-5. Heä thoáng ñieàu khieån toái öu . . . (Ñeå buø aûnh höôûng cuûa nhieãu, trong haàu heát traïng thaùi chuùng ta phaûi söûa ñoåi caáu truùc toái öu vaø chaáp nhaän thöïc hieän phuï – toái öu hoaëc söûa ñoái chæ soá thöïc hieän). 5. Neáu giôùi haïn treân cuûa tích phaân trong chæ soá thöïc hieän J cho ôû phöông trình (10129) laø giôùi haïn, khi ñoù noù coù theå chæ ra raèng vector ĐK toái öu vaãn laø haøm tuyeán tính cuûa caùc bieán traïng thaùi, nhöng vôùi caùc heä soá khoâng döøng. (Vì vaäy, vieäc xaùc ñònh vector ĐK toái öu lieân quan ñeán caùc ma-traän khoâng döøng toái öu). Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An. 90 [...]... ĐK tối ưu là: u = − Kx = − x1 − µ + 2x2 (10- 1 35) Chú ý rằng quy luật ĐK được đưa ra bởi (10- 1 35) tạo ra một kết quả tối ưu với trạng thái đầu bất kỳ dưới chỉ số thực hiện cho trước Hình 10- 25 là sơ đồ khối cho HT này u ∫ x2 x1 ∫ µ +2 Hình 10- 25 ĐK tối ưu đối tượng vẽ trên hình 10- 24 Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 88 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5. ..Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp u 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu x& = Ax + Bu x -K Hình 10- 23 HT ĐK tốâi ưu Bây giờ chúng ta giải quyết vấn đề tối ưu hóa Thay (10- 128) vào (10- 127), ta có: x& = Ax − BKx = ( A − BK ) x Giả sử rằng ma-trận A - BK là ổn đònh hoặc giá trò riêng của A – BK có phần thực âm Giả sử thay (10- 128) vào (10- 129): J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx... 22 = 0 2 µ + 2 p12 − p 22 =0 Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 87 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu Giải các phương trình này ta có (lưu ý P xác đònh dương) p P = 11 p12 p12 µ + 2 = p 22 1 µ + 2 1 Xem phương trình (10- 132), ma-trận hệ số phản hồi tối ưu K là: K = R −1B∗ P p = [1][0 1] 11 p12 p12... ) = −(Q + K ∗ RK ) Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An (10- 130) 81 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu Bằng phương pháp 2 Liapunov, nếu A – BK là một ma-trận ổn đònh, tồn tại một matrận xác đònh dương P thỏa phương trình (10- 130) Sử dụng kỹ thuật tương tự để rút ra phương trình (10- 1 25) và để ý rằng x(∞) = 0 , chỉ số thực hiện... hiệu ĐK tối ưu 4 Khi HT ĐK tối ưu được thiết kế theo thời gian (time – domain), thì cần phải nghiên cứu đặc tính đáp ứng tần số để bù ảnh hưởng của nhiễu Đặc tính đáp ứng tần số của HT phải suy giảm cao ở dải tần số có nhiễu và thành phần cộng hưởng Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 89 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu (Để... 0 Việc tối thiểu hóa J theo K yêu cầu phải tối thiểu hóa: x ∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]x theo K (xem bài tập A – 10 –17) Vì biểu thức cuối cùng này là không âm nên cực tiểu xảy ra khi nó bằng 0, hay TK = (T ∗ ) −1 B ∗ P Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 82 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp vì vậy 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu K... ∫ x1 -K Hình 10- 24 HT ĐK Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 86 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu Chúng ta sẽ minh họa việc sử dụng phương trình ma-trận giản ước Riccati trong thiết kế HT tối ưu Bây giờ chúng ta giải phương trình (10- 133) A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0 Chú ý rằng ma-trận A là ma-trận thực và ma-trận Q... 83 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu Q1 / 2 1/ 2 Q A 1 / 2 n−1 Q A (10- 134) bằng n Điều kiện này được áp dụng để kiểm tra ma-trận A – BK là ổn đònh hay không Một kỹ thuật khác để xác đònh ma-trận hệ số phản hồi tối ưu K như sau: 1 Xác đònh ma-trận P thỏa phương trình (10- 130) như là một hàm của K 2 Thay... R −1 B ∗ P (10- 132) (10- 132) cho ma-trận tối ưu K Vì vậy, ĐK tối ưu toàn phương với chỉ số thực hiện được cho ở phương trình (10- 129) là tuyến tính và được đưa ra bởi u (t ) = − Kx(t ) = − R −1 B ∗ Px(t ) Ma-trận P trong (10- 132) phải thỏa phương trình (10- 130) hay phương trình tối giản sau: A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0 (10- 133) Phương trình (10- 133) được gọi là phương trình ma-trận tối giản Riccati... pháp 10- 5 Hệ thống điều khiển tối ưu Kết luận 1 Với trạng thái đầu x(t0) bất kỳ, vấn đề ĐK tối ưu là tìm một vector cho phép u(t) chuyển trạng thái này tới miền mong muốn của không gian trạng thái và với nó chỉ số thực hiện là cực tiểu Với sự tồn tại của vector ĐK tối ưu u(t), HT phải ĐK được trạng thái đầy đủ 2 HT cực tiểu (hoặc cực đại) chỉ số thực hiện được chọn theo đònh nghóa tối ưu Mặc dù ... Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển phương pháp 10-5 Hệ thống điều khiển tối ưu x& = Ax + Bu (10-127) Xác đònh ma-trận K vector ĐK tối ưu u (t ) = − Kx(t ) (10-128) để tối thiểu hóa số... Hoài An 80 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển phương pháp u 10-5 Hệ thống điều khiển tối ưu x& = Ax + Bu x -K Hình 10-23 HT ĐK tốâi ưu Bây giải vấn đề tối ưu hóa Thay (10-128) vào (10-127),... Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An 87 Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển phương pháp 10-5 Hệ thống điều khiển tối ưu Giải phương trình ta có (lưu ý P xác đònh dương)