TRƯỜNG hè TOÁN PHỔ THÔNG KHU vực bắc TRUNG bộ năm 2015

TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ nhất: 10/8/2015 Bài 1. (5 điểm – Lê Khánh Hưng) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 = 1, xn +1 = xn + 2 3 + , n = 1, 2, . . . xn 3 xn  ax  Tìm tất cả các số thực a, b sao cho dãy số  bn ÷ có giới hạn hữu hạn đồng thời  n  lim axn = 2015. nb Bài 2. (5 điểm – Trần Nam Dũng) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a 2 + 2b 2 + c 2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(a + b + c) − abc. Bài 3. (5 điểm – Trần Quang Hùng) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và ABCD không là hình thang. Gọi E là giao điểm của AC và BD , P là một điểm thuộc đường thẳng OE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAD và PBC cắt nhau tại Q khác P . a) Chứng minh rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định khi P di chuyển. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB và PCD cắt nhau tại R khác P . Chứng minh rằng đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển. Bài 4. (5 điểm – Đậu Hoàng Hưng) Trường hè Bắc Trung bộ năm 2015 được tổ chức trong 7 ngày và có 42 học sinh tham dự. Trong mỗi ngày các em được ăn 3 bữa (sáng, trưa và tối) tại 21 bàn ăn, mỗi bàn gồm 2 em. Để tăng cường tính giao lưu, Ban tổ chức đặt ra quy định là phải sắp xếp sao cho 2 em tùy ý chỉ được ngồi cùng bàn ăn nhiều nhất là 1 bữa. a) Chứng minh rằng dù các bữa ăn trước đã được sắp xếp như thế nào đi nữa thì tới bữa ăn tùy ý trong đợt tập huấn ta cũng luôn có cách sắp xếp các em tham gia trường hè vào 21 bàn ăn theo quy định. b) Tính chất nói trên có còn đúng không nếu có thêm một bữa ăn thứ 22 vào sáng ngày thứ 8 của đợt tập huấn? --------------------------- Hết -------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ hai: 11/8/2015 Bài 5. (6 điểm – Trần Nam Dũng) Trên trang Facebook của một gia đình có n tấm ảnh. Trên mỗi tấm ảnh có 3 người, ở giữa là một người đàn ông, bên trái ông ta là con ông ta và bên phải ông ta là em (anh) ông ta. Ta quan tâm đến câu hỏi “Có ít nhất bao nhiêu người có trên các tấm ảnh nếu tất cả n người đàn ông đứng giữa đều khác nhau?” a) Giải bài toán với n = 2. b) Giải bài toán với n = 10. Bài 6. (7 điểm – Lê Mạnh Linh) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K. Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D, E ( BD < BE ). Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F, G (CF < CG ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm thứ hai là P. a) Chứng minh rằng các điểm G, H, P, E cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF, CD, PK đồng quy. Bài 7. (7 điểm – Hà Huy Khoái) Giả sử N > 1 là số nguyên dương, d < N là ước dương tùy ý của N . Chứng minh rằng với mọi k > 0, tồn tại x nguyên dương sao cho N x − d có ước nguyên tố p > k . --------------------------- Hết -------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ nhất: 10/8/2015 Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 = 1, xn +1 = xn + 2 3 + , n = 1, 2, ... xn 3 xn ax  ax  Tìm tất cả các số thực a, b sao cho dãy số  bn ÷ có giới hạn hữu hạn và lim bn = 2015. n  n  Lời giải. Ta có dãy ( xn ) tăng. Nếu ( xn ) bị chặn thì tồn tại lim xn = L. 2 3 + 3 , vô lý. Suy ra ( xn ) không bị chặn. Do đó lim xn = +∞. Khi đó L = L + L L (1 điểm) 9 1 y = , zn = 2. yn8 + 3 yn , n = 1, 2, ... n 4 Đặt xn3 4 4 3  3  4 4 4 3 1  2 3 1 Ta có xn3+1 − xn3 =  xn + 1 + 1 ÷ − xn3 =  3 + 2. yn8 + 3. yn4 ÷ − 1  ÷  ÷ y n  y4 ÷  2 3 ÷ x x n n   n   4   98 3 4 1 + 2. y + 3. y −1  n ÷÷ 9   n ÷ 3  1 1   =  1 + 2. yn8 + 3. yn ÷ − = yn  yn yn  4 ( 1 + zn ) 3 − 1 = = ( 1 + zn ) 4 −1 4   yn  ( 1 + z n ) + ( 1 + z n ) 3 + 1 ÷   1  8  2 yn + 3 ÷( zn3 + 4 zn2 + 6 zn + 4 )  3 2 z n ( zn + 4 z n + 6 zn + 4 )  = = . 8 4 8 4   ( 1 + zn ) 3 + ( 1 + zn ) 3 + 1 yn  ( 1 + zn ) 3 + ( 1 + z n ) 3 + 1 ÷   Từ lim xn = +∞ ta có lim yn = lim zn = 0. Suy ra  18  3 2 2 y + 3  ÷( zn + 4 zn + 6 zn + 4 ) n 4 4   3.4  lim  xn3+1 − xn3 ÷ = lim  = = 4. 8 4 3   1+ z 3 + 1+ z 3 +1 8 3 yn ( 4 3 n n ) ( xn n ) 3 4 Áp dụng định lý Stolz, ta có lim x = 4, hay 1 lim 3 = 4 = 2 2. n n4 (3 điểm) x axn a n  lim = lim . Ta có 3 nb  4 b − 34 n n Vậy a = 3  3   b − 4 = 0 b = 4 ÷ = 2015 ⇔  ⇔ 2015 ÷ a = a = 2015 .    2 2 2 2 2015 3 ,b= . 4 2 2 (1 điểm) Bài 2. (5 điểmCho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a 2 + 2b 2 + c 2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(a + b + c) − abc. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có P 2 = (a (2 − bc) + 2. 2(b + c)) 2 ≤ ( a 2 + 2)((2 − bc) 2 + 2(b + c) 2 ) = (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2). (2 điểm) Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) = 3(a 2 + 2).2(b 2 + 2).(c 2 + 2) 6 3 1  3( a 2 + 2) + 2(b 2 + 2) + (c 2 + 2)  ≤  ÷ = 36 6 3  Từ đó suy ra P2 ≤ 36. Suy ra – 6 ≤ P ≤ 6. . (2 điểm) Mặt khác với a = 0, b = 1, c = 2 thì P = 6; a = 0, b = –1, c = – 2 thì P = – 6. Vậy Pmin = – 6 và Pmax = 6. (1 điểm) Bài 3. (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và ABCD không là hình thang. AC giao BD tại E . P là một điểm thuộc đường thẳng OE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAD và PBC cắt nhau tại Q khác P . a) Chứng minh rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định khi P di chuyển. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB và PCD cắt nhau tại R khác P . Chứng minh rằng đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển. 2 Lời giải. a) Gọi AD giao BC tại M và AB giao CD tại N . Ta có kết quả quen thuộc OE vuông góc MN tại F là điểm Miquel của tứ giác ABCD . Do đó tứ giác FADN nội tiếp. Mặt khác theo tính chất trục đẳng phương dễ thấy PQ đi qua M . Từ đó MF .MN = MA.MD = MQ.MP suy ra tứ giác NFQP nội tiếp suy ra ∠NQP = ∠NFP = 90o suy ra ∠MQN = 90o vậy Q thuộc đường tròn đường kính MN cố định. (2.5 điểm) b) Tương tự phần a) dễ thấy MR vuông góc NP tại R . Do đó trong tam giác PMN các đường cao NQ, MR và PF đồng quy. Gọi RQ giao MN tại L . Theo hàng điều hòa cơ bản dễ thấy ( MN , FL) = −1 . Mà M , N , F cố định suy ra L cố định, vậy QR đi qua L cố định. (2.5 điểm) Bài 4. (5 điểm) Trường hè Bắc Trung bộ năm 2015 được tổ chức trong 7 ngày và có 42 học sinh tham dự. Trong mỗi ngày các em được ăn 3 bữa (sáng, trưa và tối) tại 21 bàn ăn, mỗi bàn gồm 2 em. Để tăng cường tính giao lưu, Ban tổ chức đặt ra quy định là phải sắp xếp sao cho 2 em tùy ý chỉ được ngồi cùng bàn ăn nhiều nhất là 1 bữa. a) Chứng minh rằng dù các bữa ăn trước đã được sắp xếp như thế nào đi nữa thì tới bữa ăn tùy ý trong đợt tập huấn ta cũng luôn có cách sắp xếp các em tham gia trường hè vào 21 bàn ăn theo quy định. 3 b) Tính chất nói trên có còn đúng không nếu có thêm một bữa ăn thứ 22 vào sáng ngày thứ 8 của đợt tập huấn? Lời giải. a) Gọi a là số các bữa ăn mà sau đó không thể sắp xếp các em ngồi ăn đúng theo quy tắc đề ra, ta cần chứng minh a > 20. Giả sử ngược lại, a ≤ 20 thì sau a bữa ăn này, ta xếp các em ngồi vòng tròn, mỗi cặp 2 em liên tiếp trên vòng tròn mà đã từng ngồi ăn cùng bàn với nhau được gọi là một cặp xấu. Xét một cách sắp xếp vòng tròn x1 x2 ...x42 x1 sao cho số cặp xấu của nó nhỏ nhất có thể. Nếu số cặp xấu là 0 thì ta có thể xếp các em ngồi theo cặp ( x1 , x2 ) , ( x3 , x4 ) , ..., ( x41 , x42 ) vào các bàn ăn (vô lý). Như vậy phải có ít nhất 2 em, giả sử là x1 , x42 đã ngồi cùng bàn ăn rồi. Ký hiệu A là tập hợp các em chưa ngồi cùng bàn ăn với x1 (có 41 − a ≥ 21 em) bữa nào và B = { i : xi −1 chưa ngồi cùng bàn ăn với x42 } (cũng có không ít hơn 21 phần tử). Do A + B = 42 , A ∪ B ≤ 41 nên tồn tại xi ∈ A ∩ B, suy ra cách xếp vòng tròn x1 x2 ...xi −1 x42 x41...xi x1 là cách sắp xếp có ít cặp xấu hơn so với cách xếp tối ưu (vô lý). Mâu thuẫn này chứng tỏ a ≥ 21. (3 điểm) b) Câu trả lời là không. Ta chỉ ra các cách sắp xếp bàn ăn sao cho sau 21 bữa ăn không còn có thể xếp các em sao cho 2 em chỉ ngồi cùng bàn nhiều nhất 1 lần như sau: Chia các em thành 2 nhóm, giả sử là X = { x1 , x2 , ..., x21} và Y = { y1 , y2 , ..., y21} . Ta bố trí bữa ăn thứ i ( i = 1, 2, ..., 21) hai em xi , yi + j (ở đây ta quy ước y22 = y1, y23 = y2, …) ngồi cùng bàn ăn. Như vậy có thể thấy trong 21 bữa ăn thì không có 2 em nào ngồi cùng bàn ăn quá 1 lần. Sau bữa ăn thứ 21 thì chỉ có các em cùng nhóm chưa ngồi cùng bàn ăn bao giờ, còn hai em khác nhóm bất kỳ thì đã ngồi cùng bàn ăn ít nhất một lần rồi. Do 21 là số lẻ nên khi chia các em vào 21 bàn ăn (2 em một bàn) thì luôn có hai em khác nhóm (đã ngồi cùng bàn ăn với nhau) ngồi cùng bàn ăn với nhau, điều này vi phạm quy tắc đã có. (2 điểm) --------------------------- Hết --------------------------- 4 TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ hai: 11/8/2015 Bài 5. Trên trang Facebook của một gia đình có n tấm ảnh. Trên mỗi tấm ảnh có 3 người, ở giữa là một người đàn ông, bên trái ông ta là con ông ta và bên phải ông ta là em (anh) ông ta. Ta quan tâm đến câu hỏi “Có ít nhất bao nhiêu người có trên các tấm ảnh nếu tất cả n người đàn ông đứng giữa đều khác nhau?” a) Giải bài toán với n = 2; b) Giải bài toán với n = 10. Lời giải. a) 3 người trong bức ảnh thứ nhất là khác nhau. Ngoài ra trong bức ảnh thứ hai, có ít nhất một người khác với 3 người trong bức ảnh thứ nhất (do một người không thể có 2 người cha). Suy ra số người ít nhất phải là 4 trở lên. Trường hợp này có thể xảy ra: Ta xét hai người 1-2 là anh em, 3 là con của 1 và 4 là con của 2. Các bức ảnh là 3-1-2 và 4-2-1. Vậy số người ít nhất là 4. (2 điểm) b) Ta gọi 10 người đàn ông đứng giữa các tấm ảnh là các gương mặt chính. Ta chia tất cả những người đành ông thành các lớp. Lớp 0 gồm những người không có cha trên các tấm ảnh. Và ở lớp k + 1 (k = 0, 1, 2,...) ta gom những người có cha trên các tấm ảnh ở lớp k. Ta ký hiệu rk là số gương mặt chính ở lớp k và tk – số các người đàn ông khác ở lớp k. Số những người cha của những người đàn ông lớp k + 1 không quá 1/2 rk+1 + tk+1, vì mỗi một gương mặt chính đều có anh em. Đồng thời, số cha của những người đành ông ở lớp k+1 không ít hơn rk, vì mỗi gương mặt chính có con trai. Suy ra, rk ≤ 1/2 rk+1 + tk+1. Chú ý rằng 1 ≤ 1/2 r0 + t0. Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại, ta được 1 /2 (r0 + r1 + ...) + (t0 + t1 + ...) ≥ (r0 + r1 + ...) + 1, suy ra (r0 + r1 + ...) + (t0 + t1 + ...) ≥ 3/2 (r0 + r1 + ...) + 1 = 3/2·10 + 1 = 16. (3 điểm) Cuối cùng, ta chỉ ra ví dụ với 16 người trên ảnh Ở đây các đường ngang nối anh em với nhau, các đường từ trên xuống dưới nối quan hệ cha con. Các bức ảnh là (3, 1, 2); (5, 2, 1); (7, 3, 4); (9, 4, 3); (11, 5, 6); (12, 6, 5); (13, 7, 8); (14, 8, 7); (15, 9, 10) и (16, 10, 9). 1 (1 điểm) Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K. Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D, E ( BD < BE ). Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F, G (CF < CG ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm thứ hai là P. a) Chứng minh rằng các điểm G, H, P, E cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF, CD, PK đồng quy. 2 uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Lời giải. a) Ta có PK / ( AGHF ) = KG.KF = KA.KH = PK / ( ADHE ) = KD.KE . Suy ra tứ giác GDFE nội tiếp. Dẫn đến · · GDF + GEF = 1800 (1). Từ giả thiết ta có AB, AC lần lượt là đường trung trực của GF, DE. Suy ra A là tâm của đường tròn (GDFE). Suy ra 1· · · GEF = GAF = BAF (2). 2 · · » của đường tròn (DHF)). Xét đường tròn đường Ta có FDP (cùng chắn cung FP = FHP kính AB ta có ( ) 1 1 » · ¼ + sd HF » · · FHP = sd BH = sd BF = BAF = GEF (do (2)). 2 2 · · Suy ra FDP (3). = GEF · · Từ (1) và (3) suy ra GDF + FDP = 1800. Suy ra G, D, P thẳng hàng. Tương tự E, F, P thẳng hàng. ¼ Vì A là điểm chính giữa cung GAF của đường tròn đường kính AB nên ·AHG = ·AHF . Tương tự ·AHE = ·AHD. Suy ra · · · · GHE = ·AHG + ·AHE = ·AHF + ·AHD = DHF = DPF = GPE . Suy ra các điểm G, H, P, E cùng thuộc một đường tròn. (3.5 điểm) b) Nhận thấy rằng, ba đường tròn (GDFE), (DHPF), (GHPE) có 3 trục đẳng phương DF, GE, HP đồng quy (tại Q). Từ đó, ta xét bài toán tổng quát như sau: “Cho tam giác PGE. Điểm Q thuộc tia đối của tia GE. Đường thẳng đi qua Q cắt cạnh PG, PE lần lượt tại D, F. Gọi K là giao điểm của GF và DE. Đường thẳng PQ cắt EK, GK lần lượt tại B, C. Chứng minh rằng các đường thẳng BF, CD, PK đồng quy”. 3 Xét tam giác CQG, ta có ( EDKB ) = −1 (hàng điểm điều hoà cơ bản). EK DK = Suy ra (*). EB DB Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác CBK với cát tuyến PFE ta có PB FC EK . . = 1 (**) PC FK EB PB FC DK . . = 1. Áp dụng định lý Ceva cho tam giác CBK suy ra Từ (*) và (**) suy ra PC FK DB BF, CD, PK đồng quy. (3.5 điểm) Bài 7. (7 điểm) Giả sử N > 1 là số nguyên dương, d < N là ước dương tùy ý của N . Chứng minh rằng với mọi k > 0, tồn tại x nguyên dương sao cho N x − d có ước nguyên tố p > k . Lời giải. Cần chứng minh tập hợp các ước nguyên tố của N x − d , x = 1, 2, ... là tập hợp vô hạn. Giả sử ngược lại, tất cả các ước nguyên tố của N x − d , x = 1, 2, ... đều thuộc tập hữu hạn số nguyên tố { p1 , p2 , ..., pr } . Do N > 1 nên rõ ràng tập đó khác rỗng. Lấy x = 2 ta có ( ) N 2 − d = p1a1 p2a2 ... prar , ai ≥ 0. a +1 a +1 a Đặt X = ϕ p1 1 p2 2 ... pr r +1 + 2, trong đó ϕ là hàm Euler. Khi đó ta có N X − d = p1b1 p2b2 ... prbr , bi ≥ 0.  NX  X N − d = d − 1÷. Viết   d  NX Do X > 2 nên chia hết cho pi với mọi i. d b b Nếu pi là một ước của d thì do cách viết trên đây, dễ thấy pi i | d . Suy ra pi i là ước của N 2 − d , tức là bi ≤ ai . ( ) a +1 Nếu pi không là ước của d thì pi không là ước của N , tức là pi 1 , N = 1. Từ Định lý Euler suy ra rằng ( ) N X − d ≡ N 2 − d mod piai +1 . a +1 2 Do pi i | N − d nên đồng dư kéo theo piai +1 | N X − d , tức là bi ≤ ai . Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có bi ≤ ai , vô lý vì X > 2. --------------------------- Hết --------------------------4  ...TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ hai: 11/8 /2015 Bài (6 điểm – Trần Nam Dũng)... dụng tài liệu máy tính cầm tay TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ nhất: 10/8 /2015 Bài (5 điểm) Cho dãy số... - Hết - TRƯỜNG HÈ TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ hai: 11/8 /2015 Bài Trên trang Facebook