hệ phương trình và phương pháp giải phần 1hocmai

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016MÔN TOÁNNGUYỄN BÁ TUẤNHỆ PHƯƠNG TRÌNH& CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI(Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế)Tài liệu dành tặng học sinhhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 1I. Phép rút - thế.Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1II. Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản.2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp.3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2.4. Hệ đồng bậc.5. Phương pháp hệ số bất định (UTC).6. Phương pháp liên hợp.Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau:+ Phép rút - thếHệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thayvào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụmbiểu thức hay thế hằng số.+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.--Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó nhưbình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y.Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phươngtrình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trìnhtrong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìmra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT).Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:-Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x  y, ( x  y ) 2 , x  y, ( x  y ) 2 ...... thì đặttổng – tích (P=x+y, S=xy).-Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x 2 , y 2 , x k , y k .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ.-Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.+ Sử dụng PP hàm số+ Sử dụng PP đánh giá+ Sử dụng PP lượng giác+ Kết hợp vận dụng nhiều phương pháphttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 2Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1I. PHÉP RÚT - THẾ x 4  x3 y  9 y  y 3 x  x 2 y 2  9 x (1)Bài 1. Giải hệ phương trình: 33(2) x  y  x   7GiảiDựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x  yTừ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặpđể tìm nhân tử chung:(1)   x 4  xy 3    x3 y  x 2 y 2   9  x  y   0  x  y   x  x 2  xy  y 2   x 2 y  9   02  x  y   x  x  y   9  0 x  x  y   9  0 (do x  y )2 x  x  y   9 (3) x  02(2)  y 3  x3 77 y  3 x3 xxThay vào (3) ta được:27x  x  3 x 3    9x277  x  x 2  2 x. 3 x 3   3  x 3     9  0xx 277 x  2 x . x   x. 3  x 3    9  0xx32 33 x 3  2 x. 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9  0 (4)2Xét hàm số: f ( x)  x 3  2 x 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9, x  02https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 3Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i6 x 6  14 x 23 62f '( x)  3x  2  x  7 x 23 3  x6  7 x2 2Phần184 1 9 x  70 x  49 0, x  0  3.2 243 x x 7Suy ra f ( x ) đồng biến trên  0;   mà: f (1)  0Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x  1  y  2Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x; y   1; 2  x 2  y 2  xy  x  3Bài 2. Giải hệ phương trình: 2222 x 1  4 xy   y 1  8 x GiảiBình phương 2 vế của phương trình (1): x 2  y 2  x 2 y 2  x  32Hệ phương trình tương đương với: xy  x  3  0 xy  x  3  0 2 2 22222 2xyxyx3 x y  x  3  0 2 223 22 2222 2 x  y  4 x y  8 x y x  y  x y  x  3 x  0 xy  x  3  0 x  0; y  0 2 22 y  0  x y  x  1  0 x  1 x  1; y   5 2222 25 x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2 x  y  x y  x  3 xy  2  y x 2  2Bài 3. Giải hệ phương trình:  y 2  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x1 2GiảiNhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và dox 2  2  x  x 2  x  x  x  0 x    x 2  2  x  0 x  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 4Nên ta có (1)  yHệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả ix2  2  x  2  y 2x 2x2Phần1 x2  2  xThế y  x 2  2  x vào phương trình (2) ta có:2x 2  2  x  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x 1  x x 2  2  2 x   x  1 x 2  2 x  3  0  x  1 1  x  12 2     x  1 x2 2  (*)Xét hàm số f ( x )  t 1  t 2  2 ta có:f '(t )  1  t 2  2 t2t2  2 0, t    f (t ) đồng biến trên (*)  f  x  1  f   x   x  1   x  x  1211x  x    y  1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là 22 y  1 x3  4 y  y 3  16 x (1)Bài 4: Giải hệ phương trình: 221  y  5 1  x  (2)Giải“Thế hằng số”PT (2)  y 2  5 x 2  4 (3)Thay vào (1) ta được:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 5Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1x  0x 3   y 2  5 x 2  y  y 3  16  x 3  5 x 2 y  16 x  0   2 x  5 xy  16  0x  0  y2  4  y  2x 2  5 xy  16  0  y x 2  165x2 x 2  16 2422  5 x  4  124 x  132 x  256  0  x  15x x  1  y  3 x  1  y  3 2 x 2 y  3 xy  4 x 2  9 yBài 5. Giải hệ phương trình: 27 y  6  2 x  9 xGiảiTa có từ (2) suy ra: y 2x2  9x  6(3)7Thay (3) vào (1) ta được: 2x2  9x  6  2 x 2  9 x  6  7.4 x 2 2x2  9x  6 2x2 3x97777  2 x 2  9 x  6  2 x 2  3 x  9   28 x 2 4 x 4  24 x 3  31x 2  99 x  54  01x  2 x  212  x    x  2   4 x  18 x  54   0   x  9  3 3324 x  9  3 334Với x 11 y   suy ra hệ phương trình có nghiệm27Với x  2  y   1 1  ; 2 7 1616 suy ra hệ phương trình có nghiệm  2;77 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 6Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iVới x 9  3 33 y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm4 9  3 33 ;3 4Với x 9  3 33 y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm4 9  3 33 ;3 4Phần1Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm  x; y  là:16  1 1   ;  ,  2;,7 2 7   9  3 33   9  3 33 ;3  , ;3 44 2 x  3 y  9Bài 6. Giải hệ phương trình:  42 y  4  2 x  3 y  48 y  48 x  155  0GiảiTa có (1) 9  x2y3Thay vào (2) ta có: 9  x2 y  4  2 x  3 y  48   48 x  155  0 3  y 4  4  2 x  3 y 2  16 x 2  48 x  11  042  y 2  4 x  11 y 2  4 x  1  0 y 2  4 x  11 (3) 2 y  4 x  1 (4)9  x2y3Từ (3) và (1) ta được 2 2 9  x   4 x  11 (*) 3 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 7Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 x 2  3 2 x  3 2  0 (6)(*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1  2 x  3 2 x  3 2  0 (7)3 2  18  12 212 2  6 36  24 2x y212Ta có (6)   x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 22123 2  18  12 212 2  6 36  24 2x y212(7)   x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 221242249  x2y3Thay (4) và (1) ta có: 2 2 9  x   4 x  1 (**) 3 (**)  x 4  18 x 2  36 x  72  0  x 2  6 x  12  x 2  6 x  6   0 x 2  6 x  6  0 (do x 2  6 x  12  0, x) x  3  3  y   1  2 3 x  3  3  y  1  2 3 x3  y 3  4 x  2 yBài 7. Giải hệ phương trình:  22 x  1  3 1  y Giảix 2  1  3 1  y 2   4  x 2  3 y 2Xét 4  x 2  0  x  2, y  0 hoặc x  2, y  0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)Xét y  0 suy ra x  2 hoặc x  2 (thỏa mãn HPT)Xét y  0 và x  2Ta có:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 8Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần14 x  x3    y 3  2 y  x  4  x 2    y  y 2  2 (*)  22224x3y4  x  3 y y 2  3 xy  2 (1)Suy ra 3 xy    y  2  . Vậy  2 x  10  9 xy (2)2Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y 2  x 2  6 xy  5 y 2  x 2  6 xy  0  5y2y 6 1  02xxyy 1đến đây các bạn tự làm tiếp. 1, xx 5232 2 y x  2 x  y  y  1  7 yBài 8. Giải hệ phương trình:  2 2 y  2 xy  1  7 yGiảiHệ phương trình đã cho tương đương: y  2 y 2  2 y  1  2 x  y 3  y 2  1  7 y 2 2 y  2 y  1  7 y 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1 2 2 y  2 xy  1  7 y 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1 232 2 y  y  y  6 y  8 y  1  1  7 y 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1 432 y  6 y  10 y  6 y  1  032 2 x  y  6 y  8 y  1  x  24y10y 1Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y    2;1x y 1 1  7 y 1 1Bài 9. Giải hệ phương trình:  x 2 y  x y  1  13 y  x 2  12https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 9Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1GiảiĐK: y  1Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:x2 13  y  1  x y  1  1  0 (*)Ta thấy x  7 không là nghiệm của hệ.=> x  7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:xy 1 1  7 y 1 1 7  x y 1  x 1Thếy 1 y 1 x 17xx 1vào (*) ta được:7x x  1  x  x  1 13 1  07x7x x 4  x 3  5 x 2  33 x  36  0xVới x  1 , ta đượcVới x  3 , ta được2x  1  x  1 x  3  x 2  5 x  12   0  x  319y 1   y  38y 1  1  y  08Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm  x; y    1;   ,  3;0 916 x 3 y 3  9 x 3   2 xy  y   4 xy 2  3Bài 10. Giải hệ phương trình: 2 2224 x y  2 xy  y  3GiảiVới y  0 không là nghiệm hệ.https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 10Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Với y  0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được 33 16 x  9   2 x  1  4 x  2  (1)y 4 x 2  2 x  1  3 (2)y2Thế (2) vào (1) ta được:16 x3  9   2 x  1  4 x  4 x 2  2 x  1  x 3  1  x  13 3  y  1y2Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1 x6 y  2  3 x  y  3 yBài 11. Giải hệ phương trình: 2 3x  3x  y  6 x  3 y  4GiảiPhương trình (1): 3 y  2 3x  y y 3 y  2 3x  y  0 (3)3x  y  0   y  3x  y  0 (4)Thế phương trình (3) vào phương trình (2):1 x  6 y  16 x  3 y  86 x  3 y  83 23 y  2 3 x  y  03 y  16  10 y  0 x  16 y  13 13 73 5 7313 73 5 73Thế phương trình (4) vào phương trình (2)https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 11Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 x  4  y  4 y  3 x  y  0 y  3 x  y  0  x  1246 x  5 y  42 y  4  7 y  01 y 2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y     111 11 113  73 ; 5  73  ;  13  73 ; 5  73  ;  4; 4  ;  ; 336 64 2x 2  2xy  y  0Bài 12. Giải hệ phương trình:  3x  3xy  2 y  1 x  x 2y  2   4(1)(2)GiảiĐiều kiện: y  1; x 2y  2Ta có: (1)  x 2  y  2xyTa có: (2)  x 3  xy  2xy  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0 x (x 2  y )  (x 2  y )  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0 x (2xy )  x 2  y  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0 (x 2y  2  y  1  2 y  1 x 2y  2)  x 2 (y  1)  2x y  1  1  02 22   x y  2  y  1  x y  1  1  0x 2 (y  1)  1x y  1  1 2 x 2y  y  1  x 2 (y  1)(y  1)  x 2yx y  2  y  1x  0https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 12TH1: x  0  y  0 không thỏa mãnTH2: y 2  y  1  0  y 1 5x 2Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần15 12 5  1 1  5  là nghiệm của hệ.;Thử lại ta được: (x ; y )   22 x 2 y  1  6y  21 Bài 13. Giải hệ phương trình:  4 2x y  2x 2y 2  y x 2  1  12y 2  1 2GiảiĐiều kiện : y  0; y  1Khi đó : 1  x 2y y  1  6y 2  2y  x 2  2 4y  4 29y  1;x  3 .y 1y 1Thay vào (2) , ta có : x 4y 2  x 2y 2  y  6y 2  2y  12y 2  1  x 2  2 x 2  3 y 2  y  1  04 y  19y  1 y 22y  1y  1  x   2y  1 y 1  22y  1  x  0 4 9y  1 y  y  13-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------II. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐLÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trìnhđể tạo ra phương trình mới có dạng tích. x 4  y 4  240Bài 1. Giải hệ phương trình:  3322 x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 13Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1GiảiNhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)x 4  8 x3  24 x 2  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256  x  2   y  4  x  2  y  4  x  2  4  y  x  y  2  x  6  y44Thay vào phương trình đầu ta được:1  8 y 3  24 y 2  32 y  16  240 y 3  3 y 2  4 y  28  0  y  2   y 2  5 y  14   0 y  2  x   4 2   24 y 3  216 y 2  864 y  1296  240 y 3  9 y 2  36 y  44  0  y  2   y 2  7 y  22   0 y 2 x4Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  x; y    4; 2  ,  4; 2  x 4  5 y  6 (1)Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2 x y  5 x  6 (2)GiảiLấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:x4  x2 y 2  5  y  x   0 x2  x2  y 2   5  x  y   0 x 2  x  y  x  y   5  x  y   0  x  y   x 2  x  y   5  0x  y 2x  x  y  5  0Nếu x = y, thay vào (1) ta được:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 14Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 x  2  y   2x 4  5 x  6   x 3  x  3  x  2  x  1  0  x  1 y  1Nếu x 2  x  y   5  0  y 5 x thay vào (1) ta được:x2 5 x 4  5  2   6  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0x Từ (2) ta có: 5 x  6  x 2 y 2  6  x 365243266Do đó: 5 x  6 x  5.    6.    25  x 6  5 x 3  6 x 2  25  05525  32Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệmVậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:  x; y    2; 2  , 1;1 x  x  y  1  1 (1)Bài 3. Giải hệ phương trình: 22 y  x  2 y x  y x  0 (2)Giảix  0ĐK: x  y 1  0(1)  x  x  y  1  1 x  x  y 1 2 x  y 1  1 y  2 x  y 1 y 2  4  x  y  1  y  2  4x2 y22 x(2)  y  x2 xy 2  y  x  y x1 y  2  2 xx  4 y  2  2 x y  2  2 xx (I )   24  y  y  2  02 y  y  2  y  y  2  y  x  y x y  1  y  2https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 15Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần12 y  xy  2   3 x (1)Bài 4. Giải hệ phương trình:  22 y  x y  2 x  0 (2)Giải y  xy  2   3x 2 (1)Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 y  y  x   2 x (2)Suy ra:xy  2 3x4  3x3y(3)y  x225xThế (3) vào (1), ta được4  3x3  4  3x3 2   3x 2 x.5x 5x  4  3 x 3   10.  4  3 x 3   75 x 3  02 9 x 6  69 x 3  24  0t  8Đặt x  t , ta được 9t  69t  24  0  t  1 323Với t  8 suy ra x  2 dẫn đến y  2Với t 1suy ra x 33111dẫn đến y 2  3 y  2 3  03932 11Phương trình này vô nghiệm do    3   8. 3  03 9Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2 243 4 x  y  4 xy  1 (1)Bài 5. Giải hệ phương trình:  22 4 x  2 y  4 xy  2 (2)GiảiTrừ vế theo vế được:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 16Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iy 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1Phần1  y 2  1  4 xy  y 2  12  y 2  1 y 2  1  4 xy   0Với y 2  1  y  1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)Với y 2  1  4 xy , thay vào (2), ta được 4 x 2  y 2  1  y 2  1  4 x 2 (3)Lại thay (3) vào (1) ta có: 1  4 x 2   4 xy 1  4 x 2   1  4 x 22Nếu 1  4 x 2  0 thì y  0 không thỏa hệ. Vậy 1  4 x 2  4 xy  1  x 2  xy  0Với x  0  y  1Với x   y thay vào hệ được x  151   1 1  1Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1), ;;, 5 5 5 5 x  y 4  13x  4(1)Bài 6. Giải hệ phương trình:  x  y  3x  y  2 (2)GiảiTa có:x  y  3x  y  2 x  y  3x  y  2 x  y  3x  y   2 4 x 2  4 x  1  3 x 2  2 xy  y 2 , x 12  x  y   4x 125xThay vào (1) ta được:  4 x  1  13x  4 16x12Do x  1 153nên loại nghiệm này. Vậy x  . Suy ra y .21616https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 17Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 5 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;  16 16  y 3  x3  9  x3  (1)Bài 7. Giải hệ phương trình: 22 x y  y  6 x (2)GiảiXét trường hợp x  0 dẫn đến y  0Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1) 26x(2)x  y yLấy (2) thế vào (1), ta được:(1)  2  x 4  x 2 y  y 2   3x 2 y 2  x4  2x2 y  y 2   9x2 y  x2  y  29 2x y (3)2Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:(2)   x 2  y  236 x 2(4)y2Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)  x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0Bài 8. Giải hệ phương trình: 222 xy  x  y   1  3 xy   x  y Giải+Phương trình thứ nhất tương đương: x 2 y  xy 2  3xy 2  3 y 3  4  x  y   0https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 18  x  y   3 y 2  xy  4   0Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 y  x 23 y  xy  4  0 (*)Thế y   x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được: x  12x  x 1  0  x   22422 2  2 2Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 ,  ;; ,  là bốn nghiệm của hệ đã cho.2222 + Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương: xy  1 xy  1  x 2  y 2  1  0  22 x  y  1  0 (**)Thế xy  1 vào (*), ta được: y 2  1  y  1 .Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho.Từ x 2  y 2  1 ta được y  0 . Do đó (*)  x Thế x 3y2  4y3y2  4vào (**), ta được: 10 y 4  25 y 2  16  0 (vô nghiệm)y2 2  22Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm  x; y    1;1 , 1; 1 ,  ;; , 2  2 2   2x y  x  2y  6y  2Bài 9. Giải hệ phương trình:  x  x  2 y  x  3y  2GiảiĐiều kiện: y  0Phương trình thứ nhất tương đương:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 19Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần12 x  2 y  3yy25 y 2x2y24 x  2 y  2 y+ Vớix  2 y  3 y thay vào PT(2) ta được:x  3y  x  3y  2 x  3y 1x  3y  2 x  3y  2 x  3 y  4 4  5 y  3 y  y + Với48 x 93x  2 y  2 y  y  0 thay vào PT(2) ta được:x  2 y  x  3y  2  x  2 y  x  2 y  5y  2 2 y   2 y 2 y  2 5y  2   y  2  x  12 y  1  L48 4Vậy hệ đã cho có nghiệm:  ;  , 12; 2  .3 9 x  x2  y 2 9x(1)5 x  x2  y 2Bài 10. Giải hệ phương trình: 5  3xx y  6  5  y  (2)Giảiy  0Điều kiện:  x 2  y 2  0(*)22 x  x  y  0Ta biến đổi phương trình (2):(2)  30 x  6 xy  5 y  3 xy x 5  9x10 x 5 x (**)y303y 9Trục căn thức ở (1) ta được:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 20x (1) x2  y 2y22Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần122x9xx9x   1  y55 y222xxx x9xxxx0 2   2116113  y  y5yy yy yxy 02 x   x   1  3  0 y yx  0xVới:  0  5 (vô nghiệm)yx92xxVới:     1  3  0y y2xx   1  3 y yxy 322 x   1  9  6 x   x   y y  yx 5 y 3Từx  5x 5. Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa. thay vào (**) ta được y 3y  3Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3x 2  4 3x  2  10  2yBài 11. Giải hệ phương trình:  2y  6 4y  3  11  x(1)(2)Giảihttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 21Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i23Điềukiện: x  ; y 34Phần1Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được:x 2  4 3x  2  10  y 2  6 4y  3  11  2y  x (3x  2  4 3x  2  4)  (x 2  4x  4)  (4y  3  6 4y  3  9)  (y 2  6y  9)  0223x  2  2  (x  2) x  24y  3  3  (y  3)  0  y  322Thử lại ta được (2; 3) là nghiệm của hệ.2 x 2  5 xy  y 2  1Bài 12. Giải hệ phương trình: 22 y xy  2 y  4 y  xy  1GiảiĐK: 4 y  x  2 y  0Trừ vế với vế ta được:2 x 2  5 xy  y 2  yChia hai vế cho y 2 ta có:Đặtx 2   5 y xy  2 y 2  4 y 2  xy  0x 1yxx2  4  0yyx t  t   2; 4 . Khi đó ta đượcy2t 2  5t  1  t  2  4  t  0 2t 2  6t  t  2 2t  t  3  t  3 t2t  2 1t 301 4  tt21  t  3  2t t  2 1 1 4  thttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToant  2 1  1 4  t  0  0Trang 22Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iTa thấy 2t Phần1t21 0 với t   2; 4t  2 1 1 4  tVậy t  3 suy ra x  3 y thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình13x222 y2  1  y  3 1 Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   ; 2 22. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng cấp bậc 2,bậc 3)( x  y )( x  4 y 2  y )  3 y 4  0Bài 12. Giải hệ phương trình: 22 x  2 y  1  y  y  1  0HDTừ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm  x  y  , y 2 xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặttạm a  x  y, b  y 2  (1) : a  a  b   3b 2  0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mốiliên hệ giữa a và b đó là a  3b  0, a  b  0 . Vậy ta có lời giải sau:PT 1  ( x  y ) 2  y 4   x  y  4 y 2  4 y 4  0 x  y  y   4 y  x  y  y   0  x  y  3 y  x  y  y   0 x  y  y222222 x   y  3y22 x   y  yhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 23Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i) x   y  3 y 2Phần1 PT  2  :  y  3 y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0  y  y 2  1  y 2  y  1  *  y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2 y 4  2 y3  y  0 y  y  1 y 2  y  1  0 y  0, y  1 y  1 5 , y  1 522 L) x   y  y 2 PT  2  :  y  y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0  y  y2 1  y2  y 1  y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2 y 4  2 y3  2 y 2  3 y  0 y  0 L y  1  y  1  132 y  1  1321  13 ĐS :  4  13;2 1  13  4  13; ; ( 2; 1)28x 2  18y 2  36xy  5(2x  3y ) 6xy  0Bài 13. Giải hệ phương trình:  22x  3y 2  30(1)(2)Giảihttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 24Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iĐiều kiện: xy  0Phần1Ta có: (1)  2(2x  3y )2  12xy  5(2x  3y ) 6xy  0(khi ta đặt: a  2x  3y, b  xy dễ thấy PT trên là ở dạng đẳng cấp bậc 2) (2x  3y  2 6xy )(4x  6y  6xy )  02x  3y  2 6xy 4x  6y  6xyTH1:2x  3y  0 2x  3y2x  3y  2 6xy   24x  12xy  9y 2  24xyThay vào (2) ta được:y  2  x  39y 2 3y 2  30  2y  2  x  3So sánh điều kiện ta được: (3;2) là nghiệm của hệ4x  6y  04x  6y  0TH2: 4x  6y  6xy   216x  48xy  36y 2  6xy8x 2  21xy  18y 2  0  VN3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2:Lấy 1 biến có bậc cao nhất là bậc 2 làm ẩn, biến còn lại coi như là 1 tham số rồi tính delta như 1phương trình bậc 2 nếu delta có dạng chính phương thì sử dụng công thức nghiệm của PT bậc 2 đểtìm mối quan hệ giữa 2 biến. 1y 2 x  2 (1)yBài 1. Giải hệ phương trình:  x x y x 2 1  1 = 3 x 2  3 (2)Giảihttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 25Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả ix  0ĐK: y  0Phần1(1)  y x  y 2  2 x x  2 xy y2 =x  2 x y  2 x  0 (3)2x  2 x  8x x x  2x20y   x(3)   y  2xNếu y   x , thay vào (2) ta được:  xTa có:  xx 2  1  1  3x 2  3x 2  1  1  0  3 x 2  3 nên phương trình này vô nghiệmNếu y  2 x , thay vào (2) ta được:2xx 2  1  1  3x 2  3 x2  1 2x  3  2 x x2  1 (vì x 2x2x  33không thỏa phương trình)2Xét 2 hàm số: f ( x)  x 2  1, x   0;   và g ( x) f '( x) xx2  1 0, x   0;   ; g '( x) 2x, x   0;  2x  32 3, x   0;  2x  3Suy ra f(x) đồng biến trên  0;   và g(x) nghịch biến trên  0;  Ta thấy x  3 là nghiệm của (4)Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x  3  y  2 3Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan3; 2 3Trang 26Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 xy  x  y  x 2  2 y 2 (1)Bài 2. Giải hệ phương trình  x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2)GiảiĐiều kiện: x  1; y  0 . Phương trình (1)  x 2  x  y  1  2 y 2  y  0Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có   y  1  4 2 y 2  y   3 y  122x   y x  2 y 1Do có x + y > 0, nên tâ được: x  2 y  1Thay vào phương trình (2) ta được:(2 y  1) 2 y  y 2 y  2(2 y  1)  2 y 2 y ( y  1)  2( y  1) ( y  1)( 2 y  2)  0  y  2( Do y  0)Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2) y 2  (5 x  4)(4  x)Bài 3. Giải hệ phương trình:  22 y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0(1)(2)GiảiBiến đổi phương trình (2) về dạng:y 2  (4 x  8) y  5 x 2  16 x  16  0 y  5x  4'  9 x2  y  4 xVới y = 5x + 4 thay vào phương trình (1)  (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)4x x, y   5    x , y  x  0 4  ;0  5 0, 4 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 27Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iVới y = 4 - x thay vào (1) ta được:Phần1x  4  y  0(4  x) 2  (5 x  4)(4  x)  x  0  y  4Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (-4; 0).5 x 2  y 4  9 y  x(9  y  y 3 )Bài 4. Giải hệ phương trình: 3 x  1  1  y  2HDPT 1  x 2  x(9  y  y 3 )  y 4  9 y  0 x  (9  y  y 3 )  4 y 4  36 y   y 3  y  929  y  y3   y3  y  9x  9  y32 9  y  y3   y3  y  9x y2+ Với x  9  y 3 thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm+Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số:ĐS : 0;0  ,  11  6 11  63; 11  6 33; 11  6 3Bài dưới đây là 1 sự nhạy bén trong việc sử dụng linh hoạt phương trình bậc 2 và vi-et để giải hệ.2 x 2  xy  1(1)Bài 5. Giải hệ phương trình:  9 x 23 xy 2 1  x 4  1  2 1  x 2 (2)  GiảiXét phương trình bậc hai: 2t 2  yt  1  0 (3)(1)  2 x 2  yx  1  0https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 28Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3)(2)  2.Cho thấy t 9x22 1  x 3 x2 1  x 24 y.3 x2 1  x 21  0là một nghiệm của phương trình (3)Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà x định lý Vi- et ta có: x.3 x2 1  x 23 xnên áp dụng2 1  x 2 1  3x y212 21  3 y2x 2 1  3    1  3 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( x; y )  ; 2  , ; 2 22 1  y  x 2  2 y 2  x  2 y  3 xy (1)Bài 6. Giải hệ phương trình  y  1  x 2  2 y 2   x  2 y (2)GiảiĐK: y  1Xét 1 : 1  y  x 2  2 y 2  x  2 y  3xyĐặtx2  2 y 2  t t  0Phương trình (1) trở thành: t 2  1  y  t  x 2  2 y 2  x  2 y  3xy  0  1  y   4  x 2  2 y 2  x  2 y  3 xy    2 x  3 y  12222t   x  y  1  x  2 y   x  y  1 x2  2 y 2  x  2 yt  x  2 yVớix 2  2 y 2   x  y  1 thay vào (2) ta có:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 29Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần11y  y 1  3y 1   y039 y 2  5 y  0 x 2   x  1 (vô nghiệm)Với1  5x  y  1  2 x4x 2  2 y 2  x  2 y , ta có hệ: 22 y  1 5 x  2 y  x  2 y2 1  5 1  5 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   ;42  y  2 . x  2  x . y  0Bài 7. Giải hệ phương trình  x  1. y  1  y  3. 1  x 2  y  3xGiảix  1; y  0Điều kiện :  2x  y  3x  0Ta có: (1)  x  2.y  x . y  2 x  2  0 y  2x  422 x 2Với: y  x 2  8 x  2  x  4   2 y  0  loai4x2Với y x 12x  42 x 2 y  x  2  y  x  2 , thếvào (1) ta được :x  2  1  x  1 1  x 2  2x  22 x  1.( x  2  1)  x  1.  x  1  1 (*)https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 30Xét hàm số f (t )  tHệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả it  1  1  t t  1  t , có f ' (t )  t 2  1 22t22t 1Phần1 1  0  f (t )đồng biến.x  1VìPT (*)  f ( x  1)  f (x  1)  x  1  x  1  2  x  3x  1  x  1Với x  3  y  5 (thỏa mãn). 3x  1  4 2x  1  y  1  3yBài 8. Giải hệ phương trình: x  y 2x  y   4  6x  3y(1)(2)GiảiĐiều kiện: x 1;y  13(2)  y 2  x  3y  2x 2  6x  4  0;y  x  1  0Vậy ta có: 2x  y  4  0Với: y  x  1  0 vô nghiệm vì x 1;y  13Với: 2x  y  4  0  y  2x  4 , thay vào (1) ta có:3x  1  4 2x  1  2x  3  3 2x  4 2 3x  1  3x  1  2 2x  3  2x  3* *3x  1  2x  3  x  4  y  12 .Vậy hệ có nghiệm là: (4; l2)4. Hệ đồng bậchttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 31Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1A  BNếu thấy hệ có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhauC  Dvà bậc A +bậc D= bậc C+bậc B. Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc =>sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3.... Khi đó giải phương trình bậc 2, 3.. ta sẽ tìm được mốiliên hệ giữa x và y.22 2 x  3 y  x  3 xy  yBài 1. Giải hệ phương trình:  22 x  2 y  x  2 yGiảiNhân theo vế hai phương trình của hệ ta được:(2 x  3 y )( x 2  2 y 2 )  ( x  2 y )( x 2  3 xy  y 2 )  x 3  4 y 3  3 xy 2  2 x 2 y  0x  y( x  y )( x  xy  4 y )  0   x  1  17 y222x  0 x  y  0Với y = x thay vào phương trình thứ hai suy ra 3 x 2  3 x  x  1x  y  11  17y1  17x Với x y khi đó ta có hệ: 22 x2  2 y 2  x  2 y2 y 2  x 2  11Bài 2. Giải hệ phương trình  332 x  y  2 y  x  2 GiảiTừ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc2 x 3  y 3   2 y 2  x 2   2 y  x   x 3  2 x 2 y  2 xy 2  5 y 3  0   x  y   x 2  3 xy  5 y 2   0x  y 22 x  3 xy  5 y  0  3Với x  y thay vào (1) ta được y 2  1  y  1 .https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 32Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i2Phần13  11Ta có x  3 xy  5 y   x  y   y 2  0 . Rõ ràng x  y  0 không phải là nghiệm hệ phương2 4trình. Vậy (3) vô nghiệm.22Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 ,  1; 1 .323 x  4 xy  8 y  1Bài 3: Giải hệ phương trình  44 2 x  8 y  2 x  yGiảiTừ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được: 2 x  y   x3  4 xy 2  8 y 3   2 x 4  8 y 4 x 3 y  8 x 2 y 2  12 xy 3  0(1)Với y  0  x  1Với y  032x x x(1)     8    12    0 y y yx y  2  x  2yx   6  x  6yyx 0 x 0 y 0yVới x  2 y thay vào phương trình đầu ta được2y34  8 y3  8 y3  1 8 y3  1y31 x 18Với x  6 y thay vào phương trình đầu ta đượchttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 336 y 3 24 y 3  8 y 3  1Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 200 y 3  1y31216x 32002001   216 3 1 Kết luận: Vậy hệ phương trìn có 4 nghiệm  x; y   1;0  ,  0;0  , 1; 3  ,  3;8   200 200  x3  8 x  y 3  2 y (1)Bài 4: Giải hệ phương trình:  22 x  3  3  y  1 (2)GiảiThế (2) vào (1) ta có:3  x3  y 3    x 2  3 y 2   4 x  y I    22 x  3 y  622 x3  x 2 y  12 xy 2  0 x  x  xy  12 y   0 2222 x  3 y  6 x  3 y  6 x  0  x  3 y  x  4 y 22x  3y  6x  0x  3y x  4 y 2 22222x  3y  6 x  3y  6 x  3y  644x78  x 78x0 x  3  x  3 1313(VN )  2 y  1  y  1  y  1 78 3 y  6 y   1 781313 x 3  y 3  xy 2  1 1Bài 5. Giải hệ phương trình:  44 4 x  y  4 x  y  2 GiảiThay (1) vào (2), ta có:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 34Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần14 x 4  y 4   4 x  y   x 3  y 3  xy 2  xy  3 y 2  4 xy  x 2   0x  0  y  1x  0  y  1 y  0  x 1 y  0  x 13 y 2  4 xy  x 2  0 x  y x  3 yVới x=y thay vào (1), ta có: x  y  1Với x=3y thay vào (1), ta có: x 331,y 325251  3Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  x; y    0;1 , 1;0  , 1;1 ,  3;3 25 25  x 3  5 xy 2  3 y 3  2 x  yBài 6. Giải hệ phương trình  2 x  2 xy  1Giải x 3  5 xy 2  3 y 3   2 x  y Hệ   2 x  2 xy  1 (2)(1)Nhân chéo 2 vế ta được x3  7 xy 2  3 x 2 y  3 y 3  0 (3)* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm* Với y  0 ta cóxxx(3)  ( )3  3( ) 2  7  3  0 (4)yyyĐặt t xphương trình (4) trở thànhyhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 35Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả it  1t3 + 3t2 – 7t + 3 = 0  t  2  7t  2  7Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (Với t = 2  7 hệ có nghiệm là (Với t = - 2 +Phần11 111), ( );;3 3332 712 71;), (;)7772 772 77 hệ có nghiệm là   7 21, ;77  2 7   x x  y y  2(4 x  y )Bài 7. Giải hệ phương trình:  x  3 y  67 21;77  2 7 (1)(2)GiảiPhân tích: trong PT(1) có VT bậc 3/2, VP bậc 1/2trong PT(2) có VT bậc 1, VP bậc 0khi đó bậc VT(1) +bậc VP(2) = bậc VT(2) +bậc VP(1)= 3/2Nên ta có lời giảix  0Điều kiện: y  01Thay 2  ( x  3 y ) từ (2) vào (1) ta được: 3( x x  y y )  ( x  3 y )(4 x  y )3 x ( x  xy  12 y )  0  x ( x  3 y )( x  4 y )  0 x 3 y  0 x 0 x  9 y  x  9; y  1 x  4 y  0Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (9;1)https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 36 x 2  xy  y 2  3Bài 8. Giải hệ phương trình  x5  y 5 31 x3  y 3  7Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1GiảiĐiều kiện: x   y x 2  xy  y 2  3  221 5 x  xy  y  35x  y315533 x3  y 3  77  x  y   31 x  y   2 Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc21 x 5  y 5   31 x 2  xy  y 2  x 3  y 3   10 x 5  31x 4 y  31x 3 y 2  31xy 4  10 y 4  0  3  .Rõ ràng x  y  0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x  ty thay vào (3) ta được:y 5 10t 5  31t 4  31t 3  31t  10   0  10t 5  31t 4  31t 3  31t  10  0t  1  0  t  1 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10   0   43210t  21t  10t  21t  10  0Với t  1  0  t  1 hay x   y  x  y  0 (loại).Với 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10  0  3 . Vì t  0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia1 1hai vế phương trình cho t 2 ta được: 10  t 2  2   21 t    10  0 ,t  t111Đặt u  t   u  2; u 2  t 2  2  2  t 2  2  u 2  2 . Khi đó (3) trở thànhttt2u  (loại)510u 2  21u  10  0  u   52t  21552Với u   ta có t     2t  5t  2  0  t   1t222https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 37Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Với t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta có 3 y 2  3  y 2  1  y  1 tương ứng x  2 .1Với t   ta có y  2 x thế vào (1) ta có 3 x 2  3  x 2  1  x  1 tương ứng y  2 .2Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là 1; 2  ,  1; 2  ,  2; 1 ,  2;1 .34 x y  y  7Bài 9. Giải hệ phương trình  223 x y  2 xy  y  9Giải33 x 3 y  y 4  7 y  x  y   7 1 2232 x y  2 xy  y  9 y  x  y   9  2 Từ hệ suy ra x.y  0; x   y, y  0 .Nhận xét: nếu để nguyên hệ dạng trên thì chưa có dạng đồng bậc nhưng khi ta lũy thừa 3 PT(1) vàlũy thừa 4 PT(2) ta sẽ đưa đc về hệ có dạng đồng bậc.Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn.Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:y 3  x3  y 3 3y4  x  y 8 t 3  1  7373 4 . Đặt x  ty ta được phương trình:849 t  1 93 3 . Từ phương trình này suy rat  1.tf t  Xét3 13 t  189t 2  t 3  1  t  1  8  t  1  t 3  12f'  t  t3; t  1.87 t  18 1  t  1  t 3  9t 2  8 23t3 1  t  1  9t 3  9t 2  8t 3  8 27 t  187 t  18 0 t  1Vậy f(t) đồng biến với mọi t  1 . Nhận thấy t  2 là nghiệm của (3). Vậy t  2 là nghiệm duy nhất.Với t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta được y 4  1  y  1 (vì y  0 ) suy ra x  2 .https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 38Vậy hệ phương trình có nghiệm là  2;1 .Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 x  y  x  y  2 y 1Bài 10. Giải hệ phương trình  2 x  5 y  3GiảiĐiều kiện của phương trình x  y  0Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc2 y  x  0x  y  x  y  2 y  2x+2 x 2  y 2  4 y  x 2  y 2  2 y  x   222 x  y   2 y  x 2 y  x2 y  x 2  y  05 y  4 xy  0 5 y  4 x  0Với y  0 thay vào (2) ta suy ra x  9 (loại)Với 5 y  4 x  0 thay vào (2) ta cóx 1 x 1 y 4(thỏa mãn).5 4Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;  . 55. Phương pháp hệ số bất định: Phương pháp này sẽ xử lý đẹp hầu hết các hệ phương trình hữu tỉ.a1 x 2  b 1 y 2  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  0 15.1. Với hệ có dạng tổng quát:  22a2 x  b 2 y  c2 xy  d 2 x  e2 y  f 2  0  2 Khi gặp hệ có 1 phương trình là dạng bậc 2 thì đầu tiên ta sẽ xem xét phương trình bậc 2 đó có đưavề dạng tích của 2 thằng bậc 1 hay không bằng cách:--Coi nó là 1 PT bậc 2 với ẩn là x hoặc y (biến còn lại là tham số), thực hiện hiện thao tác tính.+ Nếu  là số chính phương thì ta dùng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối liên hệgiữa x và y.+ Nếu  không là số chính phương thì sẽ không đưa về dạng tích được phải chuyển sanghướng khác.Dùng các kĩ năng về phân tích nhân tử bằng casio để kiểm nghiệm.https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 39Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Như vậy trong trường hợp mà cả 2 phương trình (1) và (2) không đưa về dạng tích thì khi đó ta sẽxử lý hệ như thế nào??. Một ý tưởng được đưa ra là ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình lại với nhautheo 1 hằng số k  PT (1)  kPT (2)  0*  để tạo ra là số chính phương. Xong việc khó khăntiếp theo ở đây là tìm k như thế nào để cho PT (*) có  là số chính phương. Có 1 phương phápchọn k được đề cập trong nhiều tài liệu như sau:Đặt a  a1  ka2 , b  b1  kb2 , c  c1  kc2 , d  d1  kd 2 , e  e1  ke2 , f  f1  kf 2Khi đó k sẽ là nghiệm của phương trình sau:cde  4abf  ae 2  bd 2  fc 2 *Như vậy đã có công thức để tính k, xong việc giải PT(*) để tìm k cũng là 1 công việc khá cồngkềnh, mất nhiều thời gian tính toán. Nên chỉ sử dụng PP này khi ta đã dùng các phương pháp khác(đặt ẩn phụ, thế...) mà vẫn chưa tìm được lời giải. x 2  xy  y 2  3(1)Bài 1. Giải hệ phương trình:  2 x  2 xy  7 x  5 y  9  0(2)GiảiDùng PP UCT22 x  y  xy  3  0(1)HPT   2 2 xy  7 x  5 y  9  0(2) xa  1  k1, b  1, c  1  2k , d  7 k , e  5k , f  3  9kcde  4abf  ae 2  bd 2  fc 2 1  2k  7 k  .  5k   4 1  k  3  9k   1  k  5k   1.  7 k    3  9k  . 1  2k 222 k 1Như vậy sử dụng PP UCT ta được k=1Vậy ta có lời giảix  y  2  0Cộng theo vế 2 phương trình ta được: ( x  y  2)(2 x  y  3)  0  2 x  y  3  0Với x + y – 2 = 0 khi đó ta có hệ:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 40Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1x  y  2  0y  2 xx  1 2222 x  xy  y  3  x  x(2  x)  (2  x)  3  y  1Với 2x + y – 3 = 0 khi đó ta có hệ: x  12 x  y  3  0 y  3  2xy 1 2 222 x  2 x  xy  y  3  x  x(3  2 x)  (3  2 x)  3  y  1 x  12 x  y  3  0 y  3  2xy 1Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;1), (2;-1).  2 222 x  2 x  xy  y  3  x  x(3  2 x)  (3  2 x)  3  y  11 22xy(1)5Bài 2. Giải hệ phương trình: 4 x 2  3 x  57   y (3 x  1)(2)25GiảiSử dụng UCT ta được k 5025Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được:73xy525(3 x  y ) 2  50(3 x  y )  119  0  3 x  y  175 2 1   11 2 Giải ra ta được nghiệm của hệ là  ;  ,  ;  5 5   25 25  x 2  2 xy  2 y 2  3 x  0(1)Bài 3. Giải hệ phương trình: 2 xy  y  3 y  1  0(2)GiảiSử dụng UCT ta được k  2https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 41Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được: x  2 y  1( x  2 y ) 2  3( x  2 y )  2  0   x  2 y  2 y  1  2  x  3  2 2Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được: y 2  2 y  1  0   y  1  2  x  3  2 21 5 x  3  5y 22Với x + 2y = -2, thay vào (2) ta được: y  y  1  0  1 5 x  3  5y 2Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm. y 2  xy  3 y  2 x  1Bài 4. Giải hệ phương trình sau:  212 y  4 xy  3 y  3 x  2 x 2Giải y 2  xy  2 x  3 y  1  0(1)Hệ đã cho   226 x  2 y  8 xy  4 x  6 y  1  0 (2)Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: y 2  3 x  1 y  2 x 2  2 x  0 (*)Có  y  x 2  2 x  1Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x* Với y  x  1 thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)2 2 y  2 2x 2* Với y = 2x thay vào (1) ta được: 2 2 y  2 2x 22 22 2Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ; 2  2  và ; 2  2  2 25.2. Bài toán đặt ra là với những hệ mà không có dạnghttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 42Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần122a1 x  b 1 y  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  0 1 22a2 x  b 2 y  c2 xy  d 2 x  e2 y  f 2  0  2 thì ta sẽ dùng UCT như thế nào để xử lý?5.2a. Dạng hệ mà x, y độc lập với nhau x 3  y 3  35(1)Bài 5. Giải hệ phương trình:  22 2 x  3 y  4 x  9 y (2)GiảiPhân tích: thấy pt (1) có bậc là 3, PT(2) có bậc 2 và bậc 1 và các biến x, y là độc lập với nhau=>ta liên tưởng tới hằng đẳng thức  u  v  . => ý tưởng kết hợp 2 PT đề đưa về dạng3 x  a3  y  b .3Hướng 1 dùng UCT: Do PT(2) có bậc nhỏ hơn nên ý tưởng ta sẽ nhân thêm 1 hằng số k vào PT(2)và kết hợp với PT(1) để đưa về dạng  x  a    y  b  .33Vậy: PT (1)  kPT (2)  x3  2kx 2  4kx  y 3  3ky 2  9ky  35  0Ta cần tìm k để đưa PT trên về dạng  x  a    y  b   033 k  3Sử dụng đồng nhất thức hệ số ta được a  2b  3=>Lời giảiLấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3  (3  y )3  x  y  5(3) y  2  x  3Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0   y  3  x  2Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3).Hướng 2 dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự do là 35 ta sẽ phân tích 35 thành các số có dạng lậpphương quen thuộc 35  27  8  33  23 ( x  2)3  ( y  3)3=>ta hi vọng sẽ đưa được về 1 trong các dạng sau 33 ( x  3)  ( y  2)https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 43Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Nếu là dạng ( x  2)3  ( y  3)3 => hệ số của x 2 là: 6 => khi đó ta phải nhân 3 vào pt(2)9Nếu là dạng ( x  3)3  ( y  2)3 => hệ số của x 2 là: 9 => khi đó ta phải nhân  vào pt(2) (thằng2này nhân số khá lẻ => khả năng là không được) nên thử:Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3  (3  y )3  x  y  5(3) y  2  x  3Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0   y  3  x  2Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3).33 x  y  91Bài 6. Giải hệ phương trình:  22 4 x  3 y  16 x  9 yGiảiPhần tích:Tương tự như bài trên k  3+ Nếu dùng UCT ta được: a  4b  3+ Nếu phân tích hệ số tự do: ta có 91  64  27  43  33 x  33 x  43 9 x 2 => ta cần nhân PT(2) với 94 12 x 2 => ta cần nhân PT(2) với 3 (ưu tiên hướng này) vậy:Lời giảiLấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được:( x  4)3   3  y   x  7  y (3) Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được:3y  4  x  3y 2  7 y  12  0  y  3 x  4Vậy nghiệm của hệ là (3;4), (4;3).https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 44Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1 x 4  y 4  240(1)Bài 7: Giải hệ phương trình:  3322 x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  (2)Giải:Nhân (2) với 8 rồi lấy (1) trừ đi (2) ta được:x 4  y 4  8 x 3  16 y 3  240  24  x 2  4 y 2   32  x  8 y  x 4  8 x 3  24 x 3  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256  x  2   y  422x  y  2x  6  yVới: x  y  2 thế lại vào (1) ta có: y  24 y 4  240  y 3  3 y 2  4 y  28  0  y  2   y 2  5 y  14   0 y  2  x   4Với x  6  y thế lại vào (1) ta có: y  64 y 4  240  y 3  9 y 2  36 y  44  0  y  2   y 2  7 y  22   0 y 2 x4Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    2; 4  ,  2; 4 5.2b. Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau:32 x  3 xy  49(1)Bài 8. Giải hệ phương trình sau:  22 x  8 xy  y  8 y  17 x(2)GiảiVì bậc của x > bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn yhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 453 y 2 x  x 3  49  0(1)PT   22 y  8 y  x  1  x  17 x  0(2)Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Vì PT(2) có chứa y mà PT(1) không chứa y => thử với x= - 1 để xem PT(1), (2) có dạng tươngđương nhau không? 3  y 2  16   0Ta có với x=-1 thì hệ :  2 y  16  0Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+1)=> lời giảiLấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được: x  1; y  4 ( x  1)  ( x  1) 2  3( y  4) 2   0   x  1; y  4Vậy nghiệm của hệ là (-1;-4), (-1;4).6 x 2 y  2 y 3  25  0(1)Bài 9. Giải hệ phương trình:  225( x  y )  2 xy  5 x  13 y  0(2)GiảiVì bậc của x < bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn x6 x 2 y  2 y 3  35  0(1)HPT   225 x  x  2 y  5   5 y  13 y  0(2)5Tương tự như trên thử với y vào hệ ta được:215215 x  4  05 x 2  5  04Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+5/2)Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được:(6 y  15) x 2  3(2 y  5) x  2 y 3  15 y 2  39 y  35  0https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 46Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần151yx22 1 522 (2 y  5)  3  x     y     0   2 2  x  1  y  522Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm.32 x  5 xy  35  0(1)Bài 10. Giải hệ phương trình:  22 2 x  5 xy  5 y  x  10 y  35  0(2)Hướng dẫn:Lấy PT 1  2 PT  2  ta sẽ được nhân tử chung là (x - 2)32 x  3 xy  6 xy  3 x  39  0(1)Bài 11. Giải hệ phương trình:  22 x  8 xy  y  10 y  25 x  9  0(2)Hướng dẫn:Lấy PT 1  3PT  2  ta sẽ được nhân tử chung là (x + 1)Nhận xét: Như vậy với những hệ mà ta đoán được nghiệm (a; b) và khi thay x=a (hoặc y=b) vào hệthì được PT(1) và PT(2) có dạng tương đương ta đã xử lý được. Vậy nếu khi thay vào hệ mà PT(1)và PT(2) không có dạng tương đương ta sẽ xử lý sao?+ khi ta dùng các kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính giữa x và y+ từ đó thế ngược lại vào hệ như các bài trên để tìm ra hệ số k hoặc biểu thức (chứa x,y,xy...) làmcho tổ hợp của PT(1) và PT(2) xuất hiện nhân tử chung.2 2 x y  3 x  3 y  3  0(1)Bài 12. Giải hệ phương trình:  22 x y  4 xy  3 y  2 y  x  1  0(2)Hướng dẫnDùng casio dự đoán mối quan hệ giữa x và y là: x  1  y thế ngược lại vào hệ ta được2 21  y 2 y 2  3 1  y   3 y  3  0(1) y  1 y  0(1)2221yy41yy3y2y1y10(2)   y  1 y  0(2)https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 47Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Như vậy nếu ta nhân (1-y).PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+y-1) x 2  2 y 2  xy  2 y (1)Bài 13. Giải hệ phương trình:  3222 2 x  3 xy  2 y  3 x y (2)GiảiVới y = 0 => x = 0 là một nghiệm của hệVới y  0 , nhân vào 2 vế của (1) với –y sau đó cộng theo vế phương trình (2) ta được:2 x 3  2 y 3  4 x 2 y  4 xy 2  0  x  y (3)Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2 y 2  2 y  y  1  x  1Vậy nghiệm của hệ là (0;0), (1;1).243 4 x  y  4 xy  1 (1)22 2 x  y  2 xy  1 (2)Bài 14: Giải hệ phương trình: Giải:Nhân vế (2) với -2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được:y 4  2 y 2  4 xy 3  4 xy  1  0  y 2  1  4 xy  y 2  1  02  y 2  12y2 1  4 xy   0 y  1  y  1  y 2  1  4 xy  0x  0x  1Nếu y  1 thay vào (1) ta được: 4 x 2  1  4 x  1  x  x  1  0  x  0 x  1Nếu y  1 thay vào (1) ta được: 4 x 2  1  4 x  1  x  x  1  0  y2 1Nếu y  1  4 xy  0  x (vì y = 0 không thỏa mãn phương trình). Thay vào (1) ta4y2được:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 48Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i2Phần1 y2 1  y2 1  34424y4 y  1  5y  6 y 1  04y4yy 1 x  0 y  1  x  0 y  5  x   55555xy  55Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: x; y   1;1 ,  0;1 ,  1; 1 ,  0; 1 ,  5 5  55;; , 5 5   55 6. Phương pháp sử dụng liên hợpMột số hằng đẳng thức hay sử dụng:+ x 2  y 2   x  y  x  y + x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 + x 4  y 4   x  y  x  y   x 2  y 2 PP này thường được áp dụng cho các hệ chứa căn thức và nhất là khi 1 trong 2 PT của hệ ta đoánđược nghiệm cố định (hoặc dùng casio dự đoán mối quan hệ đơn giản giữa x và y) từ đó dùng cácbiến đổi liên hợp để ép PT trong hệ về dạng tích. xy  2 y  3  y  x  1  y  3x  5Bài 1. Giải hệ phương trình: 1  y  2 x  y  2  x  1   2 x  y  1 y x, y   Giảiy  02 x  y1  x  5Điều kiện: (*)2  y  10 y  x 1 y  3 x  5https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 49Ta có phương trình (2)  1  y  1  y Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần12 x  y  1   2 x  y  1 1  y  011 2x  y 1 (3) 2 x  y  1 1  y 11 0 và 1  y  0 nên phương trình (3)  y  2 x  12x  y 1 1 yDoVới y  2 x  1 thế vào PT (1) ta được:x  2  4  x  2 x 2  5 x  1 (điều kiện: 2  x  4 ) 4  x  1   2 x 2  5 x  3  0x  2 1 x  311  x  3  2 x  1  0  11 2 x  1 (4)x214x1 x  2  14  x 1Xét f ( x) f '( x)  11và g ( x )  2 x  1 với x   2; 4 , ta có g ( x )  g (2)  5x  2 14  x 12 x2f ( x)  f (2)  1 1x  2 122 4 x14  x 12 0, x   2; 4  f ( x) nghịch biến1. Do đó f ( x)  g ( x), x   2; 4 hay phương trình (4) vô nghiệm.2 1Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 5) x  1  x 3 x  y  x x  3 y  y  1Bài 2. Giải hệ phương trình: 3 xy 2  4  4 x 2  2 y  xGiảix  1Điều kiện: y 1https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 50 y  1  4 y  4Với x  1 , ta được:  y 123 y  2 y  1  0Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1Suy ra  x; y   1;1 là một nghiệm của hệ.Với x  1 , phương trình thứ nhất tương đương:x 1  y 1  3 x  y   x  x  y   0x y 3 x  y   x  x  y   0x 1  y 11  x  y 3 x   0 x 1  y 1x yThế y  x vào phương trình thứ hai ta được:3x3  4 x 2  3x  4  0  x  1 x  1 3 x  4   0xVới x 4344, ta được y  x 334 4Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm  x; y   1;1 ,  ; 3 3 x x 2  y  y  x 4  x3  xBài 3. Giải hệ phương trình: 9 x  y  x  1  y ( x  1) 2DK : x  1, y  0HDhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 51PT 1  x x 2  y  y  x x 2  x  xxHệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iPhần1x2  y  x2  x  x  yx  y  xx2  y  x2  x x yx0  x  y  1 22xyxxx yDo với x  1, y  0 thì 1 xx2  y  x2  x0 25 25 ĐS :  ;  16 16 Thế vào PT(2) ta được222222 4x  3xy  7y  4 x  5xy  6y  3x  2xy  y (1)Bài 4. Giải hệ phương trình:  23x  10xy  34y 2  47(2)Giải3x  2xy  y  0Điều kiện:  24x  3xy  7y 2  022Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:1x  5xy  6y  4  0  4x 2  3xy  7y 2  3x 2  2xy  y 222x  y t / m x  6y t / m x  1  y  1Với x  y Thay vào 2 , ta được: x 2  1  x  1  y  1y  47  x  682Với x  6y Thay vào 2 , ta được: 82y 2  47  y   47  x  682https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan47824782Trang 52Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả ix  3 x  3  3 y  5  yBài 5. Giải hệ phương trình  x 2  16(y  x )  y  2 xyPhần1(1)(2)GiảiĐiều kiện: x  3; y  5; x 2  16(y  x )  0; xy  0Ta có: (2)  x 2  16(y  x )  xy  xy  yx  16y  0 (x  y ) 2xy  y  x  16(y  x )  xyx  yx  16y 0 2xy  y x  16(y  x )  xyVới: x  y Thay vào (1) ta được:2x  3x  3  x  5  x 4  9x 3  9x 2  324  0 x  6  y  6(t / m)Với:x  16x 2  16(y  x )  xyTa có: y  5  yxy  yyxy  y00Từ (1) ta có: x  3 x  3  3 y  5  y y  5  3 y  5  x  3  3 x  3  2  0 (*)Ta coi (*) là Phương trình bậc haivới y  5 làần, x là tham số.https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 53Ta có: y 5Phần1 9  4 x  3  3 x  3  2  4(x  3)  12 x  3  1(*) cónghiệm   x 3 Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả iy 5 0  4(x  3)  12 x  3  1  06  2 10 x  164x  162x  16(y  x )  xyx  16x 2  16(y  x )  xy0yxy  y 0  VNVậy hệ có nghiệm: 6;6HẾT PHẦN 1Các phần 2 và 3 sẽ được phát hành sớm, các em chú ý theo dõi thông tin trên facebook của thầy.Chi tiết cách làm, hướng dẫn cụ thể được thầy trình bày trong khóa học PEN-C 2016http://hocmai.vn/khoa-hoc-truc-tuyen/307/luyen-thi-quoc-gia-pen-c-mon-toan-thay-phan-huy-khaithay-tran-phuong-thay-nguyen-ba-tuan-2015.htmlhttps://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToanTrang 54[...]... LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình để tạo ra phương trình mới có dạng tích  x 4  y 4  240 Bài 1 Giải hệ phương trình:  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i Phần 1 Giải Nhân phương trình thứ hai... Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có: (2)   x 2  y   2 36 x 2 (4) y2 Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2 Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1 Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)   x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0 Bài 8 Giải hệ phương trình:  2 2 2  xy  x  y   1  3 xy   x  y  Giải +Phương trình. .. 4  t  0    0  Trang 22 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i Ta thấy 2t  Phần 1 t2 1   0 với t   2; 4 t  2 1 1 4  t Vậy t  3 suy ra x  3 y thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình 1 3 x 2 2 2 y2  1  y   3 1  Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    ;   2 2 2 Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng... C  D và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3 Khi đó giải phương trình bậc 2, 3 ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y 2 2  2 x  3 y  x  3 xy  y Bài 1 Giải hệ phương trình:  2 2  x  2 y  x  2 y Giải Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: (2 x  3 y )( x 2  2 y 2 )  ( x  2 y )( x 2  3 xy  y... phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i Phần 1  5 3  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;   16 16   y 3  x3  9  x3  (1) Bài 7 Giải hệ phương trình:  2 2  x y  y  6 x (2) Giải Xét trường hợp x  0 dẫn đến y  0 Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:  x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1)   2 6x (2) x  y  y  Lấy (2) thế vào (1), ta được:... Với x  9  y 3 thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm +Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số: ĐS :  0;0  ,  11  6  11  6 3; 11  6 3 3; 11  6 3   Bài dưới đây là 1 sự nhạy bén trong việc sử dụng linh hoạt phương trình bậc 2 và vi-et để giải hệ 2 x 2  xy  1 (1)  Bài 5 Giải hệ phương trình:  9 x 2 3 xy  2 1  x 4  1  2 1  x 2 (2)      Giải Xét phương trình bậc hai: 2t 2... kiện (*) ta thấy thỏa  thay vào (**) ta được  y 3 y  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3 x 2  4 3x  2  10  2y  Bài 11 Giải hệ phương trình:  2 y  6 4y  3  11  x  (1) (2) Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 21 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i 2 3 Điềukiện: x  ; y  3 4 Phần 1 Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được: x 2... 2  1 1 Phương trình này vô nghiệm do    3   8 3  0 3  9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2  2 4 3  4 x  y  4 xy  1 (1) Bài 5 Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  2 y  4 xy  2 (2) Giải Trừ vế theo vế được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i y 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1 Phần 1 ... 0;   và g(x) nghịch biến trên  0;   Ta thấy x  3 là nghiệm của (4) Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x  3  y  2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan  3; 2 3  Trang 26 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i Phần 1  xy  x  y  x 2  2 y 2 (1) Bài 2 Giải hệ phương trình  x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2)  Giải Điều... https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Hệ phương trı̀nh&cá c phương phá pgiả i Phần 1 2  y  xy  2   3 x (1) Bài 4 Giải hệ phương trình:  2 2  y  x y  2 x  0 (2) Giải  y  xy  2   3x 2 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với:  2  y  y  x   2 x (2) Suy ra: xy  2 3x 4  3x3   y  (3) y  x2 2 5x Thế (3) vào (1), ta được  4  3x3  4  3x3  2   3x 2  ... Quy phương trình dạng phương trình bậc Hệ đồng bậc Phương pháp hệ số bất định (UTC) Phương pháp liên hợp Khi gặp hệ phương trình ta có thứ tự ưu tiên cho hướng giải sau: + Phép rút - Hệ có phương. .. tương ứng phương trình hệ xuất nhân tử chung Đỉnh cao việc kết hợp phương trình để tìm mối liên hệ x, y phương pháp hệ số bất định (UCT) Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa phương trình hệ dạng... tích - - Nếu phương trình hệ có dạng hàm bậc x (y) giải PT bậc bình thường để tìm mối quan hệ x y Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với vài hệ đơn giản ta quan sát thấy phương trình hệ có form