Đang tải... (xem toàn văn)
Thông thường với các loại tích phân này, các phép biến đổi thông dụng là: đặt t= sinx hoặc t=cosx...[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 2:
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Các phương pháp để tính nguyên hàm, tích phân
1 Phương pháp bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm tích phân Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm, tích phân
3 Phương pháp tích phân phần tốn ngun hàm tích phân Định nghĩa nguyên hàm:
- Giả sử f(x) hàm số liên tục / (a;b) Khi hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) /(a;b) F’(x)=f(x) , x a b; .
- Nếu F(x) nguyên hàm f(x) / (a;b) tập hợp tất nguyên hàm f(x) tập hợp I F x( )C C R; Và họ nguyên hàm f(x) kí hiệu:
( ) ( ) ;
f x dx F x C C R
Vi phân:
( ) '( )
df x f x dx
Các công thức ngun hàm:
1 Nếu f(x) có ngun hàm thìf x dx( ) 'f x( ); df x dx( ) f x dx( )
2 Nếu f(x) có nguyên hàm thì: dF x( )F x C Nếu f(x) g(x) có ngun hàm thì:
+ f x( )g x dx f x dx( ) g x dx( )
+ k f x dx k f x dx ( ) ( ) , k R
Định nghĩa tích phân:
giả sử f(x) /(a;b) có nguyên hàm F(x) ta định nghĩa:
( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
Công thức thường gọi công thức newton – leibnit Các tính chất tích phân:
1 ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2 ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
3 ( )
b a
a b
f x dx f x dx
4 ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
5 Nếu f x g x ; x a b; f(x) g(x) đều… / ;a b thì:
b b
a a
f x dx g x dx
(2)Phương pháp 1: Phương pháp bảng nguyên hàm.
“để sử dụng phương pháp bảng ngun hàm, khơng địi hỏi phải sử dụng thành thạo bảng ngun hàm ngồi cịn phải nắm vững phép tính vi phân, biến đổi đẳng thức vi phân”
Ví dụ Chìa khố Lời giải
3
sinx+cosx sinx-cosx
I dx ds inx-cosx cosx+sinx
1
2
0
x dx x
2
2xdx dx 2
2 2
0 0
1
x x x x
dx dx dx
x x x
4
2
3
sinx
os x cos 1dx
c x
1
tan
os dx d x
c x
2
1
tdt dt
2
3
4
2
3
2
3
2
1
sinx
os x cos
tan t anx tan t anx
1 (1 tan )
1 cos
t
t t
2
2
dx
c x
xd xd
x x
d d
t t
1 x 01
dx e
x x
e dx de 1 x x
x x
0
1
x
0
1
1
1
x
e e dx dx
e e
de dx
e
Ta sử dụng thêm bớt để quy tích phân cần tính thành tổng, hiệu tích phân dễ quy bảng nguyên hàm
2
sin2x
osx 1dx
c
sinx xd dcosx
2
0
2
2
0
2
0
sin2x sinx.cosx
2
osx osx
sinx cosx+1 -sinx
osx sinx sinxdx-2
osx d cosx+1 sinxdx-2
osx
dx dx
c c
dx c
dx c
c
(3)
x+b
ln x a dx
I x a x b
x a x b
ln ln
ln ln
x a x b dx x b x a d x a x b
ln ln
ln ln
ln ln
x a x b
I dx
x b x a d x a x b
x a x b C
Phương pháp 2: phương pháp đổi biến số. “Là phương pháp quan trọng nhất”
Chú ý: - khi đổi biến phải đổi cận
- về bản, có phép đổi biến:
+ x t .
+ t x
Ví dụ Chìa khố Lời giải
1 Phương pháp đổi biến số: x t loại
1:
Khi hàm dấu tích phân có biểu thức dạng:
f x lúc đó, nhiều trường hợp (chứ khơng phải trường hợp) ta sử dụng phép thay biến:
t f x VD1:
ln
3 x
0
x
e dx y
e
x x
x
1
2
t e t e
tdt e dx
VD2:
ln x
ln
x
e dx y
e
x x
x
1
2
t e t e
tdt e dx
VD3:
47 3
3
0 1
x dx y
x
Phương pháp dùng bảng ngun hàm khơng thích hợp VD
VD4:
3
2
2
x x
y dx
x
VD5:
2
6
0
1 os inx.cos
y c xs xdx
2 Phương pháp đổi biến số: x t loại
2:
Phép đổi biến: x=-t đặc biệt có tác dụng với dạng tốn sau đây: Biểu thức dấu tích
(4)phân hàm chẵn lẻ tích phân cần tính có dạng: f x
a
a
dx
ta sử dụng kết sau đây: - f(x) hàm lẻ /[-a;a]
thì f x
a a dx
- f(x) hàm chẵn/[-a;a]
0
f x f x
a a a dx dx
VD1:
1
2
ln x x dx
Phải nhớ ví dụ để làm mẫu
Lưu ý:
- gặp dạng toán trên, đổi biến I1
hoặc I2 (đổi biến
nửa) đổi biến I1 I2
sẽ quay trở lại đầu ban đầu
- Tích phân khơng phụ thuộc vào biến
- Hàm
ln
y x x hàm lẻ Tvậy: 2 2 2
( ) ln
1 ln 1 ln ln
f x x x x x x x
x x x x x x 1 2 ln
ln ln
I x x dx
x x dx x x dx
đặt: 1 2 ln ln
I x x dx
I x x dx
có: đổi biến: t=-x suy dt=-dx
1 2 1 2 0 ln 1 ln 1
ln ln
1
I t t dt
t t t t
dt t t
dt t t dt t t I
1 2
I I I I I
VD2: 2 osx 4-sin x c dx x 2 4-sin x dx x
tích
phân hàm lẻ
(5)2
2
0
osx osx
2
4-sin 4-sin
c c
dx dx
x x
Vì tích phân hàm chẵn
VD3:
1
x
x
2 1dx
Phép đổi biến x=-t áp dụng cho trường hợp biểu thức tích phân dạng:
a x
f x
k
a
dx
f(x) hàm chẵn /[-a;a]
Dễ dàng chứng minh kết quả:
a x
0
f x
k
a
a
d f x dx
1 4
x x x
1
1
x x x
2 1dx 1dx 1dx
I I
Thực đổi biến x=-t nửa với I1 ta có:
0 4
1 x -t
1
1 t
-t t
0
t 4
1 t
1
4
2 t
0 0
x t
2
t t
2
2 +1 t
2
2
I dx dt
dt dt
t dt t
t dt dt t dt I
VD4:
2 x
sin
3
x d
2
2 x
0
sin
sin x
3
x
d dx
3 Phương pháp đổi biến số: x t loại 3:
đổi biến: x=a-t
với tích phân có cận a biểu thức dấu tích phân
a
f x dx
f(x) thường có chứa biểu thức lượng giác biểu thức có liên quan đến cận a ( theo nghĩa chúng có mối liên hệ hàm số lượng giác góc liên quan đặc biệt) Thơng thường ;2 ;
2
a
VD1:
0
.sinx 4-cos
x
dx x
đổi biến: x t
VD2: 3 3
0
sin x
sin x+cos xdx
đổi biến: x t
VD3:
0
1 sinx ln
1+cosx dx
đổi biến: x t
(6)VD4:
0
ln t anx dx
đổi biến: x t
Trong trường hợp cận
a ví
dụ hoi gặp phải, thông thường cận ;
2
a Phương pháp đổi
biến số: x t loại 4:
Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng: a2 x a2, 0
Với
các tích phân này, người ta sử dụng phép biến đổi sau: x=asint x= acost
VD1:
2
3
2
dx x
đổi biến: x=sint x=cost
VD2:
2 2
2
2
1
x dx x
đổi biến: x=sint x=cost
5 Phương pháp đổi biến số: x t loại 5
Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng: 1 x2k
Trong
trường hợp ta sử dụng phép đổi biến: x=tant x=cott VD1:
3
3
dx x
đổi biến: x=tant x=cott
6 Phương pháp đổi biến số: x t loại 6
Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng: a2 x2, a 0
Trong trường hợp ta sử dụng phép đổi biến:
x sint
a
x ost
a c
VD1:
2 2
3
1
dx x x
đặt xsint1 Phương pháp đổi
biến số: t x loại
Hàm dấu tích phân chứa biểu thức bậc sinx , cosx sử dụng phép đổi biến:
Sau sử dụng công thức:
2
2
2 1-t
sinx ; osx=
1
t c
t t
(7)
2
2
2
t tan
1 os
2
1 tan
2
1 t
2
x dx dt
x c
x dx dx dt dx
t
VD1:
sinx
dx
VD2:
01 sinx+cosx
dx
8 Phương pháp đổi biến số: t x loại 2